Enkeltspaltediffraksjon

Hvordan kan én åpning interferere med seg selv? Svaret ligger i en gammel og fruktbar idé om hvordan bølger brer seg. Huygens’ prinsipp sier at hvert punkt på en bølgefront kan betraktes som kilde til små, sekundære elementærbølger som brer seg utover med bølgefarten, og at bølgefronten et øyeblikk senere er den felles ytterkanten – omhyllingen – av alle elementærbølgene. Christiaan Huygens formulerte prinsippet allerede på $1600$-tallet [112], og det er nettopp et prinsipp: en modellantakelse som ikke utledes av noe enklere her, men som gjengir bølgeutbredelse riktig. Du har dessuten sett det i arbeid før – utledningen av Snells lov i kapittelet om geometrisk optikk fulgte nettopp bølgefrontene over grenseflaten. Det avgjørende tillegget kom senere, med Augustin-Jean Fresnel: elementærbølgene interfererer med hverandre, med veiforskjeller og faser som alle andre bølger, og diffraksjonsmønstrene er resultatet av den interferensen [113].

Send så en plan bølgefront rett mot en spalte med bredde $a$. I det fronten fyller åpningen, blir hvert punkt i åpningen en elementærkilde – og alle svinger i takt, siden de sitter på samme bølgefront. Spalten er dermed en sammenhengende rekke av små kilder i fast, felles fase: samme grep som ga Youngs to spalter koherensen, nå med uendelig mange kilder side om side. Rett fram, i retningen $\theta =0$, har alle bidragene like lang vei fram, ankommer i fase og forsterker hverandre; der ligger mønsterets sentrale, lyse maksimum. I andre retninger er veiene ulike, og da kan bidragene slukke hverandre.

Se på en retning $\theta$ ut fra rett-frem-retningen, med skjermen så langt borte at strålene fra alle punktene i spalten er tilnærmet parallelle – samme fjernfelttilnærming som i forrige seksjon, nå med $L\gg a$. Del spalten i to like halvdeler, og par hver kilde i den øverste halvdelen med kilden som sitter nøyaktig $a/2$ under den: toppen pares med midtpunktet, punktet like under toppen med punktet like under midtpunktet, og så videre nedover. Figuren viser ett slikt par. Innen hvert par er veiforskjellen den samme som i dobbeltspaltegeometrien, bare med parets avstand $a/2$ i rollen som kildeavstand:

Blir denne veiforskjellen en halv bølgelengde, ankommer de to bidragene i motfase og slukker hverandre. Og her er poenget: det gjelder hvert eneste par samtidig, siden alle parene har samme avstand $a/2$. Overbevis deg om at hver kilde i spalten hører til nøyaktig ett slikt par – da slukkes alt lyset i denne retningen, og skjermen er mørk der. Det første minimumet ligger altså der $\frac{a}{2}\sin \theta =\frac{\lambda }{2}$, det vil si

Argumentet gjentar seg for større vinkler. Del spalten i fire like striper i stedet: nabostriper med avstand $a/4$ slukker hverandre parvis når $\frac{a}{4}\sin \theta =\frac{\lambda }{2}$, altså ved $a\sin \theta =2\lambda$. Seks striper gir $a\sin \theta =3\lambda$, og generelt, med $2m$ striper:

De negative ordenstallene er speilbildene på den andre siden av midten, som for dobbeltspalten.

Figuren viser hele intensitetsprofilen: et bredt, kraftig sentralmaksimum, mørke minima ved $\sin \theta =\pm \lambda /a$, $\pm 2\lambda /a$, … og lave sidemaksima imellom.

To trekk ved profilen fortjener ærlige ord. For det første har de lyse sidemaksimaene ingen enkel formel av typen $a\sin \theta =\mathrm{\dots }$: de ligger nær midtpunktene mellom minimaene, men ikke nøyaktig der, og posisjonene deres må finnes numerisk. For det andre er de svake: det første sidemaksimumet når bare omkring $4.7\mathrm{\%}$ av sentralintensiteten, det andre under $2\mathrm{\%}$ [114]. Nesten alt lyset samles i sentralmaksimumet, som strekker seg mellom de to første minimaene – fra $\sin \theta =-\lambda /a$ til $+\lambda /a$ – og derfor er dobbelt så bredt som hvert av sidemaksimaene, som bare får plassen $\lambda /a$ mellom to nabominima.

På en skjerm i avstanden $L$ bak spalten blir vinkler til posisjoner på samme måte som for dobbeltspalten. Så lenge spalten er mange bølgelengder bred, er alle de aktuelle vinklene små, og småvinkeltilnærmingen $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta$ gir posisjonen til minimum nummer $m$:

Sentralmaksimumet strekker seg fra $y_{-1}$ til $y_1$ og har dermed den fulle bredden

Her står kvantifiseringen av regelen fra kapittelet om bølger: trangere spalte gir bredere mønster, og nå vet du hvor mye – bredden på skjermen er omvendt proporsjonal med spaltebredden. Halverer du $a$, dobles $w$.

Dette forklarer også hvorfor du aldri ser diffraksjonsstriper i klinikkhverdagen. Spalten i en spaltelampe kan snevres inn til noen tidels millimeter for et optisk snitt – smal for øyet, men flere hundre bølgelengder bred. Avbøyningsvinkelen $\lambda /a$ blir da noen tusendels radian, en brøkdel av en grad, og lysbladet gjennom hornhinnen forblir i praksis den skarpe, geometriske skiven du kjenner fra kapittelet om geometrisk optikk. Dimensjoner mye større enn bølgelengden er nettopp strålemodellens gyldighetsområde – diffraksjonen er der, men umerkelig.

Hva skjer så i mellomområdet? Står skjermen i avstanden $L$ bak spalten, setter to effekter hver sin skala for lysstripen på den: det geometriske bildet av spalten er omtrent like bredt som spalten selv, $a$, mens diffraksjonen krever bredden $2\lambda L/a$. En bred spalte gir $a\gg 2\lambda L/a$, og geometrien rår; en trang spalte gir det motsatte, og diffraksjonen rår. Den samlede bredden er i størrelsesorden den største av de to. Selve overgangssonen, der de to er jevnstore, krever en grundigere behandling enn denne boken gir – men størrelsesordensresonnementet er nok til å forutsi noe uventet, som neste eksempel viser.

Youngs mønster i forrige seksjon ble regnet ut som om hver spalte var uendelig smal. Virkelige spalter har bredde, og nå vet du hva bredden gjør: hver av de to spaltene lager sitt eget diffraksjonsmønster, i tillegg til at de interfererer med hverandre. De to effektene opptrer på hver sin skala. Interferensen mellom spaltene gir de tette stripene med avstand $\lambda L/d$; diffraksjonen i hver enkelt spalte gir den brede profilen med første minimum ved $\lambda L/a$ – og siden spaltene ikke kan overlappe, er $d>a$, så interferensstripene ligger alltid tettest. Resultatet er at dobbeltspaltemønsteret ligger under enkeltspaltens profil, som en omhylling: interferensen bestemmer hvor stripene ligger, diffraksjonen bestemmer hvor lyse de får bli.

Der omhyllingen har et minimum, er det ikke noe lys å fordele. En interferensstripe som etter $d\sin \theta =m\lambda$ skulle ligget nettopp der, mangler rett og slett i mønsteret – en manglende orden.

Mer enn dette kvalitative bildet trenger du ikke. Ser du et virkelig dobbeltspaltemønster, vil stripene ut mot kanten alltid være svakere enn de midterste, og en og annen stripe kan mangle helt – det er enkeltspaltens omhylling som holder i tøylene.

Spalten var den enkleste geometrien å regne på, men de fleste åpningene lys faktisk passerer – pupillen, en kamerablender, et teleskopobjektiv – er sirkulære. Fysikken er den samme: hvert punkt i åpningen er en elementærkilde, og i bestemte retninger slukker bidragene hverandre parvis. Husk fra kapittelet om bølger at diffraksjonsbildet av en punktkilde gjennom en sirkulær åpning er en sentral lysflekk – Airy-skiven – omgitt av svake ringer, og at faktoren $1.22$ i Rayleigh-kriteriet ble oppgitt uten begrunnelse. Nå kan den få sin plass. For en sirkulær åpning med diameter $D$ ligger den første mørke ringen ved

Sammenlign med spaltens første minimum, $\sin \theta =\lambda /a$: samme form, med åpningens tverrmål i nevneren. Forskjellen er tallfaktoren, og den kommer av sirkelens geometri. I spalten var alle stripene vi delte den i like brede; i en sirkel er «stripene» korte ved kantene og lange over midten, og parringsregnskapet blir skjevere. Å gjennomføre det regnskapet krever matematikk utenfor denne boken; faktoren $1.22$ er den avrundede verdien av det eksakte resultatet av den beregningen, ikke et målt tall [115].

Airy-skiven – alt innenfor den første mørke ringen – inneholder omkring $84\mathrm{\%}$ av lyset; den første lyse ringen topper på under $2\mathrm{\%}$ av sentralintensiteten, og den andre mørke ringen ligger ved $\sin \theta \approx 2.23\lambda /D$. Det er derfor skiven, ikke ringene, dominerer synsinntrykket – og derfor Rayleigh-kriteriet kunne formuleres med skiven alene.

Øyets pupille er en slik sirkulær åpning, og $1.22\lambda /D$ er derfor synets diffraksjonsgrense, slik kapittelet om bølger regnet på den; hvor den grensen møter netthinnens egen oppbygning og klinikkens instrumenter, ser du i neste seksjon.