Kapittel 10 · Bølgeoptikk · 10.3

Optisk oppløsning

Kapittelet om bølger fant den grensen diffraksjonen setter for synet: to punktkilder kan akkurat skilles når vinkelavstanden mellom dem er $\theta\approx 1.22\,\lambda/D$ , med pupillediameteren $D$ i nevneren. Der ble grensen regnet ut som en vinkel – omkring $1.15^{\prime}$ ved en $2\text{\,}\mathrm{mm}$ pupille, $0.92^{\prime}$ ved $2.5\text{\,}\mathrm{mm}$ , ned mot ett bueminutt der pupillen er $2.3\text{\,}\mathrm{mm}$ – og satt opp mot at et virkelig øye også begrenses av aberrasjonene, som vokser med pupillen, slik at synet er skarpest ved en mellomstor pupille. Her går vi videre dit den seksjonen ikke gikk: hva grensevinkelen svarer til som en lengde på netthinnen, hvordan netthinnens egen finkornethet setter en andre grense av samme størrelse, hvorfor det stenopeiske hullet har en optimal størrelse, og hvordan den samme aperturgrensen binder klinikkens instrumenter.

Fra grensevinkel til netthinne

En grensevinkel forteller hvor tett to punkter kan stå ute i verden før øyet blander dem sammen. Men selve sammenblandingen skjer på netthinnen, der lyset til slutt lander, og for å se hva $1.22\,\lambda/D$ betyr der, må vinkelen oversettes til en avstand på netthinneflaten. Broen er øyets knutepunkt (også kalt nodalpunktet): det punktet på den optiske aksen som en stråle kan siktes mot og gå videre gjennom uten å skifte retning. Fordi strålen gjennom knutepunktet går rett, spenner bildet på netthinnen den samme vinkelen sett fra knutepunktet som objektet spenner sett utenfra – og da kan netthinnebildets størrelse leses rett av med buelengden.

Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at en liten synsvinkel $\theta$ (i radianer) og buen $s$ den spenner i avstanden $r$ , henger sammen som $s=r\theta$ . Med knutepunktet som toppunkt og netthinnen i avstanden $r$ bak er $r$ nettopp knutepunkt–netthinne-avstanden – den samme du brukte i den interferometriske visusmålingen tidligere i kapittelet, om lag $16.7\text{\,}\mathrm{mm}$ i skjematiske øyemodeller [116]. En vinkel $\theta$ ute i verden blir dermed en bue

s=$16.7\text{\,}\mathrm{mm}$\cdot\theta

på netthinnen. Setter du inn ett bueminutt – normalsynets grense fra kapittelet om trigonometri og geometri – får du $s≈16.7 mm⋅2.91×10−4≈4.9 µm$ : den minste detaljen et $6/6$ -øye skiller, spenner knappe fem mikrometer på netthinnen.

Figur 10.8: En stråle gjennom knutepunktet

N

går videre uten å skifte retning, så synsvinkelen

\theta

spenner buen

s=r\theta

på netthinnen.

Det er denne lengden Rayleigh-grensen tegner opp. En punktkilde avbildes ikke som et punkt, men som Airy-skiven fra forrige seksjon, og skivens radius på netthinnen er nettopp grensevinkelen ganget med knutepunktavstanden. Ved en skarp dagslyspupille, $D=$2.5\text{\,}\mathrm{mm}$$ , er grensevinkelen $\theta\approx 0.92^{\prime}$ , altså $2.68\text{\times}{10}^{-4}$ radianer, og skiven får radien

s≈16.7 mm⋅2.68×10−4≈4.5 µm.

Lysflekken en enkelt fjern stjerne kaster på netthinnen din, er altså noen få mikrometer bred – og som neste avsnitt viser, er det ingen tilfeldighet at det er akkurat den skalaen netthinnens egen oppbygning arbeider på.

Eksempel 10.3.1

En pupille har diameter $D=$3.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ , og lyset har bølgelengde $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ . Bruk at avstanden fra øyets knutepunkt til netthinnen er $16.7\text{\,}\mathrm{mm}$ . Hvor stor blir radien til Airy-skiven på netthinnen?

Løsning: Vi finner først grensevinkelen med Rayleigh-kriteriet, og gjør den så om til en lengde med buelengden $s=r\theta$ .

\theta\approx 1.22\cdot\frac{$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$3.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx$2.24\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{rad}$.

s=rθ≈16.7×10−3 m⋅2.24×10−4≈3.7×10−6 m=3.7 µm.

En Airy-skive med en radius på knapt fire mikrometer på netthinnen – altså en lysflekk på rundt sju mikrometer i diameter, mindre enn ved en trangere pupille, i tråd med at $\theta\propto 1/D$ .

Tappmosaikken – den andre grensen

Netthinnen samler ikke lyset kontinuerlig; den avleser det med et rutenett av lysfølende sanseceller. I den gule flekken – området for skarpsyn, som du så et par ganger tidligere i kapittelet – er disse cellene tett pakkede tapper, sansecellene for dagslyssyn og farger, lagt side om side i et regelmessig, nesten sekskantet mønster. Senter-til-senter-avstanden mellom nabotapper i den tetteste delen er om lag $2.5 µm$ [117]. Denne mosaikken setter en grense for detalj som er helt uavhengig av optikken: uansett hvor skarpt bildet er, kan netthinnen ikke skille finere enn den avleser.

Tenk deg to lysflekker – to Airy-skiver – som nærmer seg hverandre på tappmosaikken. Faller begge på én og samme tapp, registreres de som ett punkt. Skal de skilles, må de lande på to forskjellige tapper med minst én uberørt tapp imellom – ellers ser rekken av tapper bare en sammenhengende lysende stripe uten en mørk kile i midten. Det korteste mønsteret som bærer «to atskilte punkter», er altså tapp–mellomrom–tapp: to opplyste tapper med én mørk imellom, en avstand på om lag to tappavstander, $5 µm$ . Regner du den lengden tilbake til en vinkel gjennom knutepunktet, $\theta=s/r\approx$5\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}\mathrm{m}$/$16.7\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$\approx$3.0\text{\times}{10}^{-4}$$ radianer, får du drøyt ett bueminutt.

Her møtes tre grenser som er blitt til på helt ulikt vis. Diffraksjonen ga en grensevinkel nær ett bueminutt ved dagslyspupillen (kapittelet om bølger). Tappmosaikken gir, gjennom kravet om en umerket tapp imellom, også drøyt ett bueminutt. Og normalsynet – $6/6$ , MAR $=1^{\prime}$ fra kapittelet om trigonometri og geometri – er selve definisjonen av ett bueminutt. De ligger i samme størrelsesorden fordi de er koblet: en optikk som tegnet mye finere enn mosaikken kunne avlese, ville sløst bort skarpheten, og en mosaikk mye finere enn optikken tillot, ville avlest tomrom. Synet er dimensjonert slik at optikk og mosaikk møtes rundt normalvisus. Aberrasjonene (de klassiske avbildningsfeilene fra kapittelet om geometrisk optikk) er det tredje leddet i denne avveiningen: ved store pupiller er det de, ikke diffraksjonen eller mosaikken, som binder – akkurat balansen kapittelet om bølger stanset ved.

Figur 10.9: To Airy-topper som nærmer seg hverandre: fra tydelig atskilte, via Rayleigh-grensen der en grunn dal fortsatt skiller dem, til helt sammensmeltet.

Eksempel 10.3.2

En vidåpen pupille har diameter $D=$4.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ , og lyset har bølgelengde $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ . (a) Finn radien til Airy-skiven på netthinnen, med knutepunktavstanden $16.7\text{\,}\mathrm{mm}$ . (b) Sammenlign med tappenes senteravstand på $2.5 µm$ : er lysflekken finere eller grovere enn mosaikken?

Løsning: Vi regner grensevinkelen om til en netthinnelengde med $s=r\theta$ , og holder den opp mot tappavstanden. For (a):

θ≈1.22⋅550×10−9 m4.0×10−3 m≈1.68×10−4 rad,s=rθ≈16.7×10−3 m⋅1.68×10−4≈2.8 µm.

For (b) er Airy-radien $2.8 µm$ bare så vidt større enn tappavstanden $2.5 µm$ : lysflekken er nå praktisk talt like fin som mosaikken selv. Ved denne store pupillen er den optiske uskarpheten så liten at det er tappmosaikken – og aberrasjonene – som overtar som begrensning, ikke lenger diffraksjonen.

Eksempel 10.3.3

Ved en skarp dagslyspupille, $D=$2.5\text{\,}\mathrm{mm}$$ , er diffraksjonsgrensen $\theta\approx 0.92^{\prime}$ (kapittelet om bølger). Sett de tre lengdene som møtes rundt normalsynet opp mot hverandre på netthinnen, med knutepunktavstanden $16.7\text{\,}\mathrm{mm}$ : (a) Airy-skivens radius ved denne pupillen, (b) den netthinnelengden ett bueminutt spenner, og (c) den korteste tappavstanden to punkter må stå fra hverandre for å skilles ( $2.5 µm$ mellom nabotapper, med én umerket tapp imellom).

Løsning: Vi regner de to første vinklene om til lengder med $s=r\theta$ og leser den tredje rett av mosaikken. For (a), med $\theta\approx 0.92^{\prime}\approx$2.68\text{\times}{10}^{-4}$$ radianer:

sAiry=rθ≈16.7×10−3 m⋅2.68×10−4≈4.5 µm.

For (b), med ett bueminutt $=$2.91\text{\times}{10}^{-4}$$ radianer:

s1′=rθ≈16.7×10−3 m⋅2.91×10−4≈4.9 µm.

For (c) er den korteste avstanden tapp–mellomrom–tapp om lag to tappavstander, $5.0 µm$ . De tre lengdene er dermed $sAiry≈4.5 µm$ , $s1′≈4.9 µm$ og tappskillet $≈5.0 µm$ – alle målt langs netthinnen, alle noen få mikrometer. Optikkens lysflekk, ett bueminutt og tappmosaikkens korteste skille faller sammen: synet er dimensjonert slik at de tre grensene møtes rundt normalvisus.

Det stenopeiske hullets optimum

I kapittelet om geometrisk optikk møtte du det stenopeiske hullet: en tett skive med et lite hull som pasienten ser gjennom, brukt til å avgjøre om nedsatt syn skyldes en brytningsfeil. Et lite hull slipper bare gjennom en tynn stråle nær aksen, så et uskarpt netthinnebilde skarpnes – den geometriske uskarphetsflekken fra en defokusert stråle krymper med hullet. Men nå vet du hva som skjer når en åpning blir liten: diffraksjonen sprer lyset, og Airy-skiven vokser. De to virkningene trekker i hver sin retning, og et sted imellom ligger et optimum.

Vi kan anslå det med en ærlig forenklet modell. La pasienten ha en ukorrigert defokus $\Delta$ (i dioptri), og la hulldiameteren være $D$ . Den geometriske uskarpheten fra defokusen brer netthinnebildet over en vinkel som vokser med hullet, i grov tilnærming $\theta_{\text{geo}}\approx D\Delta$ ; diffraksjonen brer det over Rayleigh-vinkelen $\theta_{\text{diff}}\approx 1.22\,\lambda/D$ . Modellen legger de to sammen til en samlet uskarphetsvinkel:

\theta_{\text{tot}}(D)\approx D\Delta+\frac{1.22\,\lambda}{D}.

Det første leddet vokser med hullet, det andre avtar; summen har et minimum. Med litt regning – eller ved å prøve seg fram, siden en sum av to positive ledd med fast produkt er minst når leddene er like store – ligger minimet der de to bidragene møtes, ved

D_{\text{opt}}\approx\sqrt{\frac{1.22\,\lambda}{\Delta}}.

Figur 10.10: Den geometriske uskarpheten vokser med hullet og diffraksjonsuskarpheten avtar, så summen har et minimum ved en mellomstor hulldiameter.

Klinisk brukes et hull på om lag $1.2\text{\,}\mathrm{mm}$ [118]. Det er ikke «så lite som mulig», men et kompromiss: for en mindre brytningsfeil enn den figuren over er tegnet for ( $\Delta=$0.5\text{\,}\mathrm{D}$$ i stedet for $1.0\text{\,}\mathrm{D}$ ) gir modellen $D_{\text{opt}}\approx$1.2\text{\,}\mathrm{mm}$$ , mens et enda mindre hull ville gitt så stor diffraksjonsuskarphet at bildet ble dårligere igjen. Hullet er, med andre ord, avstemt mot lysets bølgenatur.

Eksempel 10.3.4

En pasient har en ukorrigert brytningsfeil på $\Delta=$1.0\text{\,}\mathrm{D}$$ . Undersøkeren prøver to stenopeiske hull, ett på $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ og ett på $2.0\text{\,}\mathrm{mm}$ . Bruk modellen der den samlede uskarphetsvinkelen er summen $\theta_{\text{tot}}\approx D\Delta+1.22\,\lambda/D$ , med $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ , og at $1$ radian $\approx 3438$ bueminutter. (a) Regn ut det geometriske og det diffraksjonsbetingede bidraget, og summen, for hvert hull. (b) Hvilket hull gir minst samlet uskarphet? (c) Forklar hvorfor både et mye mindre og et mye større hull ville vært dårligere, og hva det sier om det kliniske pinhole.

Løsning: Vi regner hvert ledd for seg – den geometriske delen $D\Delta$ og diffraksjonsdelen $1.22\,\lambda/D$ , begge gjort om til bueminutter – og legger dem sammen. For $D=$1.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ :

	$\displaystyle\theta_{\text{geo}}$	$\displaystyle\approx$1.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$\cdot$1.0\text{\,}\mathrm{D}$\cdot 3438\approx 3.44^{\prime},$	$\displaystyle\theta_{\text{diff}}$	$\displaystyle\approx\frac{1.22\cdot$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$1.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\cdot 3438\approx 2.31^{\prime},$
	$\displaystyle\theta_{\text{tot}}$	$\displaystyle\approx\underline{\underline{5.7^{\prime}}}.$

For $D=$2.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ :

	$\displaystyle\theta_{\text{geo}}$	$\displaystyle\approx$2.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$\cdot$1.0\text{\,}\mathrm{D}$\cdot 3438\approx 6.88^{\prime},$	$\displaystyle\theta_{\text{diff}}$	$\displaystyle\approx\frac{1.22\cdot$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$2.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\cdot 3438\approx 1.15^{\prime},$
	$\displaystyle\theta_{\text{tot}}$	$\displaystyle\approx\underline{\underline{8.0^{\prime}}}.$

For (b) gir $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ -hullet den minste samlede uskarpheten, $5.7^{\prime}$ mot $8.0^{\prime}$ . For (c): et mye større hull slipper mer av den geometriske defokusen gjennom (leddet $D\Delta$ vokser), mens et mye mindre hull øker diffraksjonen ( $1.22\,\lambda/D$ vokser); optimum ligger der de to byttes om, her ved $D_{\text{opt}}=\sqrt{1.22\lambda/\Delta}\approx$0.82\text{\,}\mathrm{mm}$$ for denne feilen. Det kliniske hullet på om lag $1.2\text{\,}\mathrm{mm}$ er valgt litt større, som et robust kompromiss som treffer optimum for de små brytningsfeilene uten å bli sterkt diffraksjonsbegrenset – pinhole-hullet er avstemt mot bølgenaturen, ikke gjort minst mulig.

Oppløsning i instrumentene

Den samme aperturgrensen binder instrumentene i og utenfor undersøkelsesrommet. Et teleskop eller en kikkert – kikkertbrillen fra forrige kapittel er et lite teleskop montert på en innfatning – forstørrer synsvinkelen, men det kan ikke tegne detalj finere enn diffraksjonen tillater. Det er objektivets diameter $D$ , ikke forstørrelsen, som setter grensen $\theta\approx 1.22\,\lambda/D$ : øker du bare forstørrelsen, blåses den samme uskarpe Airy-flekken opp til noe større, uten at ny detalj kommer til. Forstørrelse forbi det aperturen kan oppløse, gir altså ikke mer å se – fenomenet kalles i dagligtale og astronomilitteraturen tom forstørrelse. Skal en kikkertbrille vise finere detalj, må objektivet gjøres større; å skru opp forstørrelsen alene hjelper ikke forbi grensen det lille objektivet setter.

Det samme gjelder klinikkens egne instrumenter. Keratometeret fra forrige kapittel leser av speilbildet – Purkinje-bilde I – av en mire i hornhinnen gjennom en begrenset åpning, og den åpningen setter grensen for hvor fine detaljer i miren det kan skille. Det direkte oftalmoskopet, med sin forstørrelse på om lag $15\times$ [119], ser netthinnen gjennom pasientens egen pupille; det er den pupillen – ofte bare noen millimeter, med mindre den utvides medikamentelt – som til slutt er aperturen som begrenser detaljen instrumentet kan vise, og det er en av grunnene til at pupillen utvides før en grundig netthinneundersøkelse.

Til slutt knytter grensen an til kontrastmålingen fra kapittelet om trigonometri og geometri. Der målte du synets evne til å skille et sinusgitter – et stripemønster med en romlig frekvens i sykler per grad (cpd). Fine gitre, altså høy cpd, svarer til små detaljer nær diffraksjonsgrensen, og diffraksjonen svekker kontrasten i slike gitre gradvis – stripene blekner før de forsvinner helt – lenge før mønsteret når den grensen der det ikke lenger kan oppløses i det hele tatt. Hvor mye kontrasten svekkes ved hver frekvens, er en egen historie som hører til et senere kapittel; her er poenget bare at den samme bølgenaturen som setter oppløsningsgrensen, også demper de fineste mønstrene på veien dit.

Oppgaver

Oppgave 10.3.1

To billykter på en bil står $s=$1.2\text{\,}\mathrm{m}$$ fra hverandre. En observatør ser bilen komme mot seg i mørket. Anta en effektiv pupillediameter $D=$5.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ , $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ , og at øyet er diffraksjonsbegrenset.

a)

Regn ut Rayleigh-grensevinkelen $\theta\approx 1.22\,\lambda/D$ .
b)

Finn den avstanden $L$ der lyktene så vidt kan skilles (bruk $\theta\approx s/L$ for den lille vinkelen).
c)

Det virkelige synet skiller lyktene på langt kortere hold enn dette. Foreslå én grunn.

Løsningsforslag

Oppgave 10.3.1:

a)

Rayleigh-grensevinkelen:

$\theta\approx 1.22\cdot\frac{$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$5.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$1.34\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{rad}$}},$

om lag $0.46^{\prime}$ .
b)

Den lille vinkelen gir $L\approx s/\theta$ :

$L\approx\frac{$1.2\text{\,}\mathrm{m}$}{$1.34\text{\times}{10}^{-4}$}\approx$8.9\text{\times}{10}^{3}\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$8.9\text{\,}\mathrm{km}$}}.$
c)

Ved en så stor pupille som $5.0\text{\,}\mathrm{mm}$ er øyet ikke diffraksjonsbegrenset: aberrasjonene vokser med pupillen og gjør den virkelige uskarphetsflekken større enn Airy-skiven, så lyktene smelter sammen på langt kortere hold enn diffraksjonsgrensen tilsier.

Oppgave 10.3.2

En dagslyspupille har diameter $D=$2.5\text{\,}\mathrm{mm}$$ . Bruk $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ og at avstanden fra øyets knutepunkt til netthinnen er $16.7\text{\,}\mathrm{mm}$ .

a)

Finn Airy-skivens vinkelradius $\theta\approx 1.22\,\lambda/D$ .
b)

Regn vinkelen om til en radius på netthinnen med buelengden $s=r\theta$ .
c)

Sammenlign resultatet med tappenes senteravstand i den gule flekken ( $2.5 µm$ ).

Løsningsforslag

Oppgave 10.3.2:

a)

Vinkelradien:

$\theta\approx 1.22\cdot\frac{$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$2.5\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$2.68\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{rad}$}},$

altså om lag $0.92^{\prime}$ .
b)

Buelengden med $r=$16.7\text{\,}\mathrm{mm}$$ :

$s=rθ≈16.7×10−3 m⋅2.68×10−4≈4.5 µm.$
c)

Radien $4.5 µm$ er nesten to tappavstander ( $2⋅2.5 µm=5.0 µm$ ) – samme skala som det korteste skillet tapp–mellomrom–tapp. Optikken tegner altså akkurat så fint som mosaikken kan avlese: de to grensene møtes rundt normalvisus.

Oppgave 10.3.3

Airy-skivens radius på netthinnen er om lag $5.6 µm$ ved $D=$2.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ og om lag $1.9 µm$ ved $D=$6.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ (begge ved $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ , knutepunktavstand $16.7\text{\,}\mathrm{mm}$ ). Tappenes senteravstand er om lag $2.5 µm$ .

a)

Ved $D=$2.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ : er det den optiske lysflekken eller tappmosaikken som er grovest, og dermed begrensende?
b)

Ved $D=$6.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ : hvilken av de to er nå den grovere?
c)

Forklar hvorfor et virkelig øye likevel ikke ser skarpere ved $6.0\text{\,}\mathrm{mm}$ enn ved $2$ – $3\text{\,}\mathrm{mm}$ , selv om Airy-skiven er mindre [120].

Løsningsforslag

Oppgave 10.3.3:

a)

Ved $D=$2.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ er Airy-radien $5.6 µm>2.5 µm$ : den optiske lysflekken er grovest, så det er diffraksjonen som begrenser.
b)

Ved $D=$6.0\text{\,}\mathrm{mm}$$ er Airy-radien $1.9 µm<2.5 µm$ : nå er tappmosaikken den grovere av de to.
c)

Aberrasjonene – de klassiske avbildningsfeilene fra kapittelet om geometrisk optikk – vokser med pupillen, og ved $6.0\text{\,}\mathrm{mm}$ er det de som binder: den virkelige uskarphetsflekken er da langt større enn den lille Airy-skiven tilsier. Synet er derfor skarpest ved en mellomstor pupille – optimumet ligger omkring $2$ – $4\text{\,}\mathrm{mm}$ , der diffraksjon og aberrasjoner balanserer, slik seksjonen beskriver.

Oppgave 10.3.4

En pasient har en ukorrigert brytningsfeil på $\Delta=$0.5\text{\,}\mathrm{D}$$ . Undersøkeren har stenopeiske hull på $0.5\text{\,}\mathrm{mm}$ , $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ og $2.0\text{\,}\mathrm{mm}$ . Bruk modellen der samlet uskarphet i bueminutter er $\theta_{\text{tot}}\approx D\Delta\cdot 3438+\frac{1.22\,\lambda}{D}\cdot 3438$ , med $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ .

a)

Regn ut begge bidragene og summen for hvert hull.
b)

Hvilket hull gir minst samlet uskarphet?
c)

Regn ut $D_{\text{opt}}=\sqrt{1.22\,\lambda/\Delta}$ , og forklar hvorfor det kliniske pinhole på om lag $1.2\text{\,}\mathrm{mm}$ passer godt nettopp for små brytningsfeil som denne.

Løsningsforslag

Oppgave 10.3.4:

a)

Vi regner begge leddene i bueminutter for hvert hull, f.eks. for $D=$0.5\text{\,}\mathrm{mm}$$ : $\theta_{\text{geo}}\approx$0.5\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$\cdot$0.5\text{\,}\mathrm{D}$\cdot 3438\approx 0.86^{\prime}$ og $\theta_{\text{diff}}\approx\frac{1.22\cdot$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$0.5\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\cdot 3438\approx 4.61^{\prime}$ . Tilsvarende for de to andre:

$\displaystyle D=$0.5\text{\,}\mathrm{mm}$:$ $\displaystyle\quad\theta_{\text{geo}}\approx 0.86^{\prime},\quad\theta_{\text{diff}}\approx 4.61^{\prime},\quad\theta_{\text{tot}}\approx\underline{\underline{5.5^{\prime}}},$

$\displaystyle D=$1.0\text{\,}\mathrm{mm}$:$ $\displaystyle\quad\theta_{\text{geo}}\approx 1.72^{\prime},\quad\theta_{\text{diff}}\approx 2.31^{\prime},\quad\theta_{\text{tot}}\approx\underline{\underline{4.0^{\prime}}},$

$\displaystyle D=$2.0\text{\,}\mathrm{mm}$:$ $\displaystyle\quad\theta_{\text{geo}}\approx 3.44^{\prime},\quad\theta_{\text{diff}}\approx 1.15^{\prime},\quad\theta_{\text{tot}}\approx\underline{\underline{4.6^{\prime}}}.$
b)

Hullet på $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ gir minst samlet uskarphet, $4.0^{\prime}$ mot $5.5^{\prime}$ og $4.6^{\prime}$ .
c)

Optimum:

$D_{\text{opt}}=\sqrt{\frac{1.22\cdot$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$0.5\text{\,}\mathrm{D}$}}\approx$1.16\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$\approx\underline{\underline{$1.2\text{\,}\mathrm{mm}$}}.$

Det kliniske pinhole på om lag $1.2\text{\,}\mathrm{mm}$ treffer altså optimum for nettopp små brytningsfeil som $0.5\text{\,}\mathrm{D}$ : et mindre hull ville økt diffraksjonsleddet $1.22\,\lambda/D$ , et større ville sluppet mer av den geometriske defokusen $D\Delta$ gjennom.

Oppgave 10.3.5

En kollega påstår: «En sterkere kikkertbrille gir alltid mer lesedetalj – bare skru opp forstørrelsen.» Kikkertbrillen har et objektiv med diameter $D=$10\text{\,}\mathrm{mm}$$ ; bruk $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ og $1$ radian $\approx 3438$ bueminutter.

a)

Regn ut objektivets diffraksjonsgrensevinkel $\theta\approx 1.22\,\lambda/D$ i bueminutter.
b)

Hvilken forstørrelse skal til for at denne grensen forstørres opp til øyets egen grense på ett bueminutt?
c)

Vurder påstanden: hva skjer med detaljen ved forstørrelse utover dette, og hva burde kollegaen heller endre for å se finere detalj? Begrunn ut fra hva som står i nevneren i $1.22\,\lambda/D$ .

Løsningsforslag

Oppgave 10.3.5:

a)

Objektivets grensevinkel:

$\theta\approx 1.22\cdot\frac{$550\text{\times}{10}^{-9}\text{\,}\mathrm{m}$}{$10\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx$6.71\text{\times}{10}^{-5}\text{\,}\mathrm{rad}$\approx\underline{\underline{0.23^{\prime}}}.$
b)

Forstørrelsen skal løfte $0.23^{\prime}$ opp til øyets grense på $1^{\prime}$ :

$M\approx\frac{1^{\prime}}{0.23^{\prime}}\approx\underline{\underline{4.3\times}}.$
c)

Påstanden er gal forbi denne grensen: ved forstørrelse utover om lag $4.3\times$ blåses den samme Airy-flekken bare opp uten at ny detalj kommer til – tom forstørrelse. Skal kollegaen se finere detalj, må objektivdiameteren $D$ gjøres større: det er $D$ som står i nevneren i $1.22\,\lambda/D$ , så bare en større apertur senker grensevinkelen – forstørrelsen står der ikke i det hele tatt.

Alle løsningsforslag til kapittel 10

	$\displaystyle D=$0.5\text{\,}\mathrm{mm}$:$	$\displaystyle\quad\theta_{\text{geo}}\approx 0.86^{\prime},\quad\theta_{\text{diff}}\approx 4.61^{\prime},\quad\theta_{\text{tot}}\approx\underline{\underline{5.5^{\prime}}},$
	$\displaystyle D=$1.0\text{\,}\mathrm{mm}$:$	$\displaystyle\quad\theta_{\text{geo}}\approx 1.72^{\prime},\quad\theta_{\text{diff}}\approx 2.31^{\prime},\quad\theta_{\text{tot}}\approx\underline{\underline{4.0^{\prime}}},$
	$\displaystyle D=$2.0\text{\,}\mathrm{mm}$:$	$\displaystyle\quad\theta_{\text{geo}}\approx 3.44^{\prime},\quad\theta_{\text{diff}}\approx 1.15^{\prime},\quad\theta_{\text{tot}}\approx\underline{\underline{4.6^{\prime}}}.$