Kapittel 10 · Bølgeoptikk · 10.5

Tynnfilmsinterferens

De tre første seksjonene lot lyset interferere med seg selv etter å ha passert spalter og åpninger. Nå lar vi det interferere etter å ha blitt reflektert – ikke fra én flate, men fra to som ligger like ved hverandre, med et tynt, gjennomsiktig lag imellom. En såpehinne, en oljeflekk på våt asfalt, den blanke tårefilmen som kler hornhinnen: alle bærer fargespill som strålemodellen ikke har et ord for, og som er ren interferens. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at Purkinje-bilde I – glansen fra tårefilmen – reflekterer omkring to prosent av lyset; i denne seksjonen ser du hvor det tallet kommer fra, og hva som skjer når to slike svake reflekser møtes. De to sporene ender der kapittelet ble lovet å ende: i antirefleksbelegget på et brilleglass og i fargene klinikeren leser av tårefilmen.

Lys i tynne lag

For å forstå hva som skjer i en tynn film, trenger vi først to ting om lys som går gjennom et medium, ikke bare langs en stråle i det.

Det første er hvordan bølgelengden endrer seg. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at lyset går langsommere i et optisk tettere medium, $v=c/n$ , der $n$ er brytningsindeksen. Men frekvensen $f$ endres ikke når lyset krysser en grenseflate. Overbevis deg om det med samme bilde som bar Snells lov: bølgefrontene som strømmer inn mot grensen, verken hoper seg opp eller forsvinner ved den – like mange topper må forlate grensen per sekund som ankommer den, ellers ville bølgen rives i stykker ved flaten. Antall topper per sekund er nettopp frekvensen, så $f$ er den samme på begge sider. Med $v=c/n$ og den uforanderlige $f$ følger da bølgelengden i mediet direkte fra $v=\lambda f$ :

\lambda_{n}=\frac{v}{f}=\frac{c/n}{f}=\frac{\lambda}{n},

der $\lambda$ er bølgelengden i vakuum (praktisk talt den samme i luft). Farten og bølgelengden krymper i takt med $n$ ; frekvensen står stille. I et medium med $n=1.5$ er bølgelengden bare to tredeler av luftverdien.

Det andre er en konsekvens av det første. En strekning $t$ gjennom mediet rommer $t/\lambda_{n}=n\,t/\lambda$ bølgelengder – $n$ ganger så mange som samme geometriske strekning i luft ville rommet. Fordi det er antall bølgelengder langs veien, ikke veien selv i meter, som avgjør om to reflekser møtes i fase eller motfase, er det denne størrelsen $n\,t$ – den optiske veilengden – som styrer interferensen. En tynn film teller for tykkere enn den er, i nøyaktig det forholdet brytningsindeksen angir.

Figur 10.14: Bølgelengden krymper til

\lambda_{n}=\lambda/n

i det tettere mediet, mens frekvensen står stille – toppene følger hverandre uavbrutt over grensen.

Nå til reflekset selv. En gjennomsiktig grenseflate kaster tilbake en liten del av lyset som treffer den; ved vinkelrett innfall er den reflekterte andelen av intensiteten

R=\left(\frac{n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}\right)^{2},

der $n_{1}$ og $n_{2}$ er brytningsindeksene på hver side av flaten. Denne Fresnel-refleksjonen lar seg ikke utlede med bølgefrontene alene – den krever elektromagnetisk teori for feltene ved grensen, som ligger utenfor denne boken, så vi oppgir den [124]. Legg merke til at $R$ ikke skiller på hvilken vei lyset går: bytter du om $n_{1}$ og $n_{2}$ , snur telleren fortegn, men kvadratet visker det ut.

To tall er verdt å regne ut med en gang. For lys fra luft ( $n_{1}=1$ ) mot tårefilmen – målt til $n=1.337$ [125], praktisk talt kammervannets indeks – blir refleksen, regnet med $n_{2}=1.336$ fra kapittelet om geometrisk optikk,

R=\left(\frac{1.336-1}{1.336+1}\right)^{2}=\left(\frac{0.336}{2.336}\right)^{2}\approx 0.0207=$2.07\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$.

Det er nettopp de «omkring to prosent» kapittelet om geometrisk optikk oppga for Purkinje-bilde I – nå tallfestet. For et ubelagt kroneglass, $n_{2}=1.523$ , blir refleksen per flate større:

R=\left(\frac{0.523}{2.523}\right)^{2}\approx 0.0430=$4.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$.

Et brilleglass har to slike flater, så over fire prosent går tapt i hvert speilbilde – grunnen til at ubelagte glass gir tydelige, sjenerende reflekser. Å bli kvitt dem er hele poenget med antirefleksbelegget, som vi kommer til.

Eksempel 10.5.1

Grønt lys med bølgelengde $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ i luft går inn i kammervannet foran øyelinsen, $n=1.336$ . (a) Finn bølgelengden $\lambda_{n}$ i kammervannet. (b) Endrer frekvensen seg når lyset krysser inn i kammervannet?

Løsning: Vi bruker $\lambda_{n}=\lambda/n$ for bølgelengden, og bølgefront-kontinuiteten for frekvensen. For (a):

\lambda_{n}=\frac{\lambda}{n}=\frac{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}{1.336}\approx\underline{\underline{$412\text{\,}\mathrm{nm}$}}.

For (b) står frekvensen stille: like mange bølgetopper forlater grenseflaten per sekund som ankommer den, så $f$ er uendret. Nei, frekvensen endres ikke. Bølgelengden krymper fordi farten synker ( $v=c/n$ ), mens frekvensen $f=v/\lambda_{n}=c/\lambda$ holder seg – de to endringene følger hverandre nøyaktig.

De to refleksene og betingelsene

Se nå på en tynn, plan film med tykkelse $t$ og brytningsindeks $n_{f}$ , belyst tilnærmet vinkelrett. Noe av lyset reflekteres fra forsiden av filmen; resten går inn, reflekteres fra baksiden, og kommer ut igjen omtrent parallelt med det første reflekset. Disse to bølgene har fulgt veier som skiller seg med turen ned gjennom filmen og opp igjen – en ekstra geometrisk strekning $2t$ ved vinkelrett innfall. Regnet i optisk veilengde, som er det interferensen bryr seg om, er veiforskjellen

\Delta=2n_{f}t.

Det er den samme veiforskjellen fra kapittelet om bølger, nå gjennom en film med brytningsindeks $n_{f}$ . At vi setter innfallet vinkelrett, er en bevisst forenkling: ved skrått innfall blir veiforskjellen kortere, $2n_{f}t\cos\theta_{2}$ med brytningsvinkelen $\theta_{2}$ , og fargene forskyver seg med synsvinkelen – derfor skifter en såpeboble farge når du vrir på hodet. Vi navngir forenklingen og forbigår den skrå geometrien.

Figur 10.15: De to refleksene fra for- og baksiden av filmen skiller seg med den optiske veilengden

\Delta=2n_{f}t

Men veiforskjellen alene avgjør ikke lenger tolkningen, og her kommer det nye leddet inn. Når lys reflekteres mot et optisk tettere medium – fra lav mot høy brytningsindeks – snur den reflekterte bølgen fase et halvt omløp, $\pi$ ; den kastes tilbake «opp-ned». Reflekteres den derimot mot et tynnere medium, skjer ingen faseendring [9]. Dette halvbølgetapet oppgir vi – den fulle begrunnelsen krever, som Fresnel-formelen, feltene ved grensen – men det har en tro analogi som ikke ble berørt i bølgekapitlet: en puls langs en snor som treffer en fast, tung ende, kastes tilbake invertert, mens en puls mot en fri, løs ende kommer tilbake rettvendt. Den tettere flaten spiller den faste enden.

Et halvbølgetap svarer til en veiforskjell på en halv bølgelengde: får den ene bølgen et slikt tap og den andre ikke, forskyves de innbyrdes en halv bølgelengde i tillegg til $2n_{f}t$ . Regnskapet blir derfor et lite bokholderi over hvor mange av de to refleksene som får et halvbølgetap. To tilfeller dekker alt vi trenger:

Antirefleksbelegget – kvartbølgefilmen

Nå har vi alt vi trenger for å fjerne de sjenerende refleksene fra et brilleglass. Legg et tynt, gjennomsiktig belegg på glasset, med en brytningsindeks som ligger mellom luftens og glassets, $1<n_{b}<n_{\text{glass}}$ . Da reflekteres lyset mot et tettere medium ved begge grenseflatene – luft mot belegg, og belegg mot glass – så begge reflekser får et halvbølgetap. Antallet er likt (to), de to tapene opphever hverandre i bokholderiet, og vi er i tilfellet der utslukking krever en halv bølgelengde veiforskjell:

2n_{b}t=\tfrac{1}{2}\lambda.

De to refleksene fra belegget slukker da hverandre, og glasset kaster ikke lenger lyset tilbake ved den bølgelengden. Den tynneste beleggtykkelsen som får dette til, er

t=\frac{\lambda_{\text{design}}}{4n_{b}},

der $\lambda_{\text{design}}$ er vakuumbølgelengden belegget skreddersys for. Navnet kvartbølgebelegg sier hva $t$ er: en kvart av bølgelengden i belegget, $\lambda_{n}=\lambda_{\text{design}}/n_{b}$ – ikke en kvart av vakuumbølgelengden. Regner du $2n_{b}t$ med denne tykkelsen, får du nettopp $\lambda_{\text{design}}/2$ , den halve bølgelengden utslukkingen krever.

Figur 10.16: Begge refleksene fra kvartbølgebelegget vender mot et tettere medium, så begge får halvbølgetap – antallet er likt, og tykkelsen

t

avgjør resten.

Utslukkingen blir bare fullstendig dersom de to refleksene er like sterke – to bølger kan slukke hverandre helt bare når amplitudene er like store. Fresnel-formelen viser hva som skal til: refleksen fra luft mot belegg og fra belegg mot glass blir like store når

n_{b}=\sqrt{n_{\text{glass}}},

altså den geometriske mellomverdien. For kroneglass er dette $\sqrt{1.523}\approx 1.23$ , og materialer med så lav indeks er det knapt av. I praksis brukes magnesiumfluorid ( $\text{MgF}_{2}$ ) med $n_{b}=1.38$ [126], det laveste blant enkeltlagsstoffene som er i bruk [127, avsn. 4.1.1, s. 11], som et kompromiss.

Amplitudene blir da ikke helt like, og refleksen forsvinner ikke helt. Regner du restrefleksen ved designbølgelengden, faller den fra de $4.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ et ubelagt kroneglass ga, til om lag $1.2\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ per flate – en kraftig demping, om ikke en fullstendig utslukking. Med det ideelle belegget $n_{b}=1.23$ ville den vært null.

Og belegget virker bare ved den ene bølgelengden det er skreddersydd for. Legger man designet til $\lambda_{\text{design}}=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ [128], nær der øyet er mest følsomt i dagslys, treffer utslukkingsbetingelsen $2n_{b}t=\lambda/2$ eksakt bare der. Mot spekterets ender bommer den: for $400\text{\,}\mathrm{nm}$ blir $2n_{b}t/\lambda\approx 0.69$ og for $700\text{\,}\mathrm{nm}$ om lag $0.39$ , begge et stykke fra den halve bølgelengden som gir full utslukking. Blått og rødt reflekteres derfor mer enn grønt, og det som er igjen av refleksen, får et karakteristisk grønnlig eller purpurfarget skjær – den svake fargen du ser i et antirefleksbehandlet brilleglass holdt mot lyset. Et flerlagsbelegg kan dempe over hele det synlige båndet på én gang, men ligger utenfor denne boken.

Eksempel 10.5.2

Et antirefleksbelegg av magnesiumfluorid ( $\text{MgF}_{2}$ , $n_{b}=1.38$ ) skal legges på et kroneglass ( $n_{\text{glass}}=1.523$ ) og virke best for grønt lys, $\lambda_{\text{design}}=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ . (a) Forklar hvorfor begge de to refleksene fra belegget får et halvbølgetap. (b) Finn den tynneste beleggtykkelsen $t$ som gir utslukking av refleksen ved designbølgelengden. (c) Hva er en kvart av bølgelengden i belegget, og stemmer det med $t$ ?

Løsning: Vi teller halvbølgetapene, bruker kvartbølgebetingelsen $t=\lambda_{\text{design}}/(4n_{b})$ , og kontrollerer mot bølgelengden i belegget. For (a): siden $1<1.38<1.523$ , reflekteres lyset mot et tettere medium ved begge flatene – luft mot $\text{MgF}_{2}$ og $\text{MgF}_{2}$ mot glass – så begge reflekser får et halvbølgetap. Antallet er likt, tapene opphever hverandre, og utslukking krever en halv bølgelengde veiforskjell. For (b):

t=\frac{\lambda_{\text{design}}}{4n_{b}}=\frac{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}{4\cdot 1.38}\approx\underline{\underline{$99.6\text{\,}\mathrm{nm}$}},

altså rundt hundre nanometer. For (c) er bølgelengden i belegget $\lambda_{n}=\lambda_{\text{design}}/n_{b}=$550\text{\,}\mathrm{nm}$/1.38\approx$398.6\text{\,}\mathrm{nm}$$ , og en kvart av den er $398.6\text{\,}\mathrm{nm}$/4\approx$99.6\text{\,}\mathrm{nm}$ – nøyaktig $t$ . Tykkelsen er en kvart bølgelengde målt i belegget, ikke i luft.

Tårefilmen og andre tynne filmer

Det er ingen kunstig laboratoriesituasjon som gir tynnfilmsfarger; naturen er full av dem. En såpehinne er den reneste: et vannlag med litt såpe, med luft på begge sider. Bare forsiden reflekterer mot et tettere medium, så bokholderiet er «ulikt antall» – ett halvbølgetap. Der hinnen er tykkere, forsterkes lengre bølgelengder; der den er tynnere, kortere; og fordi tykkelsen varierer over flaten og drenerer nedover under tyngdekraften, tegner fargene et tykkelseskart som skifter mens hinnen renner. Det samme gjelder en oljeflekk på våt asfalt.

Tårefilmen din bærer den samme fysikken. Ytterst ligger et tynt lipidlag – en oljefilm, typisk noen titalls til drøyt hundre nanometer tykk¹¹ 1 Litteraturen oppgir $13$ – $170\text{\,}\mathrm{nm}$ hos friske, avhengig av instrument og graderingsskala [129]; med LipiView-interferometeret er medianen hos friske $67\text{\,}\mathrm{nm}$ [130]. – oppå det vandige tårelaget. Det gir interferensfarger av nøyaktig såpehinnens slag, og fargemønsteret er et kart over lipidlagets tykkelse. Klinisk utnyttes dette direkte: et tårefilm-interferometer avbilder fargemønsteret og oversetter det til en anslått lipidtykkelse. Tykkelsen samvarierer med hvor raskt tårefilmen bryter opp, og med hvor hardt de fettproduserende kjertlene i øyelokkskanten er rammet – men verdiene hos friske og hos tørre øyne overlapper så mye at tallet alene ikke kan stille diagnosen [129]. Anatomien i tårefilmen – og lagene under lipidet – hører til øyekapitlet; her er poenget bare at fargen er en tykkelsesmåler.

Figur 10.17: Lipidlaget er en tynn film mellom luft og det vandige tårelaget, så interferensfargen er et mål på tykkelsen

t

Eksempel 10.5.3

En såpehinne ( $n_{f}=1.33$ ) står loddrett i luft og belyses vinkelrett med hvitt lys. (a) Hvor mange halvbølgetap har de to refleksene til sammen? (b) Hvilken hinnetykkelse gir sterkest refleks av grønt lys ( $\lambda=$550\text{\,}\mathrm{nm}$$ ) i laveste orden? (c) Rett før hinnen brister, blir den svært tynn øverst ( $t\to 0$ ). Blir den delen lys eller mørk i refleks?

Løsning: Vi teller halvbølgetapene, velger riktig forsterkningsbetingelse og ser på grensen $t\to 0$ . For (a): forsiden (luft mot såpe) reflekterer mot et tettere medium og får et halvbølgetap; baksiden (såpe mot luft) mot et tynnere og får ingen. Til sammen ett halvbølgetap. For (b) er antallet ulikt, så forsterkning krever $2n_{f}t=(m+\tfrac{1}{2})\lambda$ . Laveste orden er $m=0$ :

t=\frac{\lambda}{4n_{f}}=\frac{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}{4\cdot 1.33}\approx\underline{\underline{$103\text{\,}\mathrm{nm}$}}.

For (c): når $t\to 0$ , går veiforskjellen $2n_{f}t\to 0$ , men det ene halvbølgetapet står igjen og holder de to refleksene i motfase. De slukker hverandre for alle bølgelengder, så toppen blir mørk – den velkjente svarte flekken øverst på en såpehinne rett før den brister.

Eksempel 10.5.4

Ved en undersøkelse med et tårefilm-interferometer viser lipidlaget en tydelig forsterket refleks av gulgrønt lys ( $\lambda\approx$500\text{\,}\mathrm{nm}$$ ) i laveste orden. Modeller lipidlaget som en tynn film med $n_{f}=1.48$ [131] oppå det vandige tårelaget ( $n=1.336$ ), belyst vinkelrett. (a) Hvor mange halvbølgetap har de to refleksene til sammen? (b) Anslå lipidtykkelsen som gir denne forsterkningen i orden $m=0$ . (c) Nevn to forenklinger modellen bygger på.

Løsning: Vi teller halvbølgetapene – de avgjør betingelsen – og bruker forsterkningsformelen. For (a): forsiden (luft $\to$ lipid, $1.00\to 1.48$ ) reflekterer mot et tettere medium og gir et halvbølgetap; baksiden (lipid $\to$ vandig lag, $1.48\to 1.336$ ) mot et tynnere og gir ingen. Til sammen ett – samme bokholderi som såpehinnen. For (b) gir ett halvbølgetap forsterkning ved $2n_{f}t=(m+\tfrac{1}{2})\lambda$ , altså i $m=0$ :

t=\frac{\lambda}{4n_{f}}=\frac{$500\text{\,}\mathrm{nm}$}{4\cdot 1.48}\approx\underline{\underline{$84\text{\,}\mathrm{nm}$}}.

Det ligger midt i det rapporterte intervallet for lipidlagets tykkelse ( $13$ – $170\text{\,}\mathrm{nm}$ ), så anslaget er rimelig. For (c), for eksempel: at innfallet er vinkelrett (skrått innfall neglisjert), og at lipidlaget er et enkelt, plant, homogent lag med skarpe grenseflater og fast brytningsindeks – i virkeligheten er laget ujevnt, og $n_{f}$ er ikke sikkert kjent.

Oppgaver

Oppgave 10.5.1

Grønt lys med bølgelengde $550\text{\,}\mathrm{nm}$ i luft går inn i et kroneglass med brytningsindeks $n=1.523$ .

a)

Finn bølgelengden $\lambda_{n}$ i glasset.
b)

Endrer frekvensen seg når lyset krysser inn i glasset? Begrunn kort.
c)

Hvor mange bølgelengder rommer en strekning på $t=2.0 µm$ i glasset, sammenlignet med samme strekning i luft?

Løsningsforslag

Oppgave 10.5.1: Vi bruker $\lambda_{n}=\lambda/n$ , bølgefront-kontinuiteten for frekvensen, og at en strekning $t$ rommer $t/\lambda_{n}=n\,t/\lambda$ bølgelengder.

a)

$\displaystyle\lambda_{n}=\frac{\lambda}{n}=\frac{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}{1.523}\approx\underline{\underline{$361\text{\,}\mathrm{nm}$}}$ .
b)

Like mange bølgetopper må forlate grenseflaten per sekund som ankommer den, ellers ville bølgen rives i stykker ved flaten. Nei, frekvensen er uendret. Det er farten og bølgelengden som krymper i takt, $v=c/n$ og $\lambda_{n}=\lambda/n$ .
c)

I glasset: $\dfrac{n\,t}{\lambda}=\dfrac{1.523\cdot$2000\text{\,}\mathrm{nm}$}{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}\approx 5.5$ bølgelengder. I luft: $\dfrac{t}{\lambda}=\dfrac{$2000\text{\,}\mathrm{nm}$}{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}\approx 3.6$ bølgelengder. Omtrent $5.5$ bølgelengder i glasset mot $3.6$ i luft – $n=1.523$ ganger så mange.

Oppgave 10.5.2

En brilleglassflate av CR-39-plast har brytningsindeks $n=1.498$ (kapittelet om geometrisk optikk), og er i kontakt med luft.

a)

Finn den reflekterte andelen $R$ ved vinkelrett innfall for én flate.
b)

Et glass har to slike flater. Omtrent hvor stor andel av lyset går tapt i reflekser til sammen (regn de to flatene hver for seg og legg sammen)?
c)

Sammenlign med kroneglassets $4.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ per flate: hvilket glass speiler minst ubelagt?

Løsningsforslag

Oppgave 10.5.2: Vi bruker Fresnel-formelen $R=\left(\dfrac{n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}\right)^{2}$ ved vinkelrett innfall.

a)

$\displaystyle R=\left(\frac{1.498-1}{1.498+1}\right)^{2}=\left(\frac{0.498}{2.498}\right)^{2}\approx 0.0397\approx\underline{\underline{$4.0\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}$ .
b)

To flater med hver sin refleks: $2\cdot$3.97\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$\approx\underline{\underline{$7.9\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}$ – omtrent åtte prosent av lyset går tapt i reflekser.
c)

CR-39 gir $4.0\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ per flate mot kroneglassets $4.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ ; lavere brytningsindeks gir mindre Fresnel-refleks. CR-39-glasset speiler minst ubelagt.

Oppgave 10.5.3

Et antirefleksbelegg av magnesiumfluorid ( $n_{b}=1.38$ ) på et kroneglass ( $n_{\text{glass}}=1.523$ ) skal denne gangen skreddersys for blått lys, $\lambda_{\text{design}}=$460\text{\,}\mathrm{nm}$$ .

a)

Gjør rede for hvor mange halvbølgetap de to refleksene fra belegget får, og hvilken betingelse utslukking derfor krever.
b)

Finn den tynneste beleggtykkelsen $t$ som slukker refleksen ved $460\text{\,}\mathrm{nm}$ .
c)

Vil et belegg optimalisert for $460\text{\,}\mathrm{nm}$ virke bedre eller dårligere for grønt lys enn ett optimalisert for $550\text{\,}\mathrm{nm}$ ? Begrunn kort.

Løsningsforslag

Oppgave 10.5.3: Vi teller halvbølgetapene og bruker kvartbølgebetingelsen $t=\lambda_{\text{design}}/(4n_{b})$ .

a)

Siden $1<1.38<1.523$ , reflekteres lyset mot et tettere medium ved begge flatene – luft mot $\text{MgF}_{2}$ og $\text{MgF}_{2}$ mot glass – så begge reflekser får halvbølgetap. To halvbølgetap – likt antall, så utslukking krever $2n_{b}t=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda$ .
b)

Tynnest for $m=0$ , altså $2n_{b}t=\lambda_{\text{design}}/2$ :

$t=\frac{\lambda_{\text{design}}}{4n_{b}}=\frac{$460\text{\,}\mathrm{nm}$}{4\cdot 1.38}\approx\underline{\underline{$83\text{\,}\mathrm{nm}$}}.$

Kontroll: bølgelengden i belegget er $460\text{\,}\mathrm{nm}$/1.38\approx$333\text{\,}\mathrm{nm}$ , og en kvart av den er nettopp $83\text{\,}\mathrm{nm}$ .
c)

For grønt lys ( $550\text{\,}\mathrm{nm}$ ) gir $460\text{\,}\mathrm{nm}$ -belegget $2n_{b}t/\lambda=$230\text{\,}\mathrm{nm}$/$550\text{\,}\mathrm{nm}$\approx 0.42$ , et stykke fra den halve bølgelengden utslukkingen krever – mens et $550\text{\,}\mathrm{nm}$ -belegg treffer $0.5$ eksakt der. Dårligere for grønt lys: utslukkingen treffer eksakt bare ved designbølgelengden.

Oppgave 10.5.4

Ved undersøkelse med et tårefilm-interferometer viser en pasients lipidlag en forsterket refleks av oransje lys ( $\lambda\approx$600\text{\,}\mathrm{nm}$$ ) i laveste orden. Modeller lipidlaget som en tynn film med $n_{f}=1.48$ [131] oppå det vandige tårelaget ( $n=1.336$ ), belyst vinkelrett.

a)

Hvor mange halvbølgetap har de to refleksene til sammen, og hvilken betingelse gir forsterkning?
b)

Anslå lipidtykkelsen som gir denne forsterkningen i orden $m=0$ .
c)

Ligger anslaget innenfor det rapporterte intervallet for lipidlaget ( $13$ – $170\text{\,}\mathrm{nm}$ )? Nevn én forenkling som gjør anslaget usikkert.

Løsningsforslag

Oppgave 10.5.4: Vi teller halvbølgetapene og bruker forsterkningsbetingelsen for ulikt antall.

a)

Forsiden (luft $\to$ lipid, $1.00\to 1.48$ ) reflekterer mot et tettere medium og får halvbølgetap; baksiden (lipid $\to$ vandig lag, $1.48\to 1.336$ ) mot et tynnere og får ingen. Ett halvbølgetap – forsterkning krever $2n_{f}t=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda$ .
b)

I orden $m=0$ :

$t=\frac{\lambda}{4n_{f}}=\frac{$600\text{\,}\mathrm{nm}$}{4\cdot 1.48}\approx\underline{\underline{$101\text{\,}\mathrm{nm}$}}.$
c)

$101\text{\,}\mathrm{nm}$ ligger i øvre del av intervallet $13$ – $170\text{\,}\mathrm{nm}$ , så ja, anslaget er innenfor. Én forenkling som gjør det usikkert: innfallet er antatt vinkelrett – skrått innfall forkorter veiforskjellen ( $2n_{f}t\cos\theta_{2}$ ) og forskyver anslaget; alternativt at lipidlaget er antatt som et plant, homogent lag med sikkert kjent $n_{f}$ .

Oppgave 10.5.5

En optiker sier til en kunde: «Dette antirefleksbelegget fjerner alle reflekser fra glasset ditt.» Vurder påstanden kritisk. Bruk minst tre av punktene under i begrunnelsen, med tall der du kan.

a)

Belegget er en kvartbølgefilm optimalisert for én designbølgelengde ( $550\text{\,}\mathrm{nm}$ ).
b)

Amplitudene til de to refleksene er ikke like når $n_{b}\neq\sqrt{n_{\text{glass}}}$ ; for $\text{MgF}_{2}$ ( $1.38$ ) på kroneglass ( $1.523$ ) er restrefleksen ved designbølgelengden om lag $1.2\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ mot $4.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ ubelagt.
c)

Hva som skjer i de blå og røde endene av spekteret, og hvilken restfarge det gir.
d)

At kunden sjelden ser rett gjennom glasset (skrått innfall forskyver designet).

Avslutt med en mer presis formulering optikeren kunne brukt.

Løsningsforslag

Oppgave 10.5.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et godt svar tallfester minst tre av punktene a)–d) med seksjonens egne tall (f.eks. restrefleks om lag $1.2\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ mot $4.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ ubelagt ved designbølgelengden) og munner ut i en formulering der «fjerner alle» er erstattet med en presis, avgrenset påstand om demping.

Alle løsningsforslag til kapittel 10