Interferens og diffraksjon

Når to bølger passerer gjennom samme punkt samtidig, legger de seg sammen. Det momentane utslaget i punktet er summen av utslagene hver bølge ville gitt der alene – dette kalles superposisjon. Resultatet avhenger av hvordan de to bølgene ligger i forhold til hverandre.

Møtes de i fase, slik at topp faller sammen med topp og bunn med bunn, forsterker de hverandre: utslagene legges sammen til et større utslag, med amplitude opptil $A_1+A_2$. Dette er konstruktiv interferens. Møtes de derimot i motfase, med topp mot bunn, motvirker de hverandre: utslagene trekkes fra, og den samlede amplituden blir $\left|A_1-A_2\right|$. Har de to bølgene like store amplituder, slukker de hverandre helt ut, og punktet ligger i ro. Dette er destruktiv interferens.

For å avgjøre hvilket av tilfellene som råder i et gitt punkt, ser vi på hvor langt de to bølgene har reist dit. Anta at to kilder svinger i takt – i fase – og sender ut bølger med samme bølgelengde $\lambda$. I et punkt som ligger like langt fra begge kildene, ankommer bølgene fortsatt i fase og forsterker hverandre. Ligger punktet derimot nærmere den ene kilden, har den ene bølgen reist en kortere vei enn den andre. Denne forskjellen i tilbakelagt vei kaller vi veiforskjellen $\mathrm{\Delta }$.

Er veiforskjellen null eller et helt antall bølgelengder, kommer bølgene fram i fase, for da har den ene rukket akkurat en, to eller flere hele svingninger mer enn den andre og står likevel i samme utslag. Er veiforskjellen derimot en halv bølgelengde – eller halvannen, eller to og en halv – ankommer de i motfase. Kriteriet blir dermed

der $m$ er et helt tall ($m=0,1,2,\mathrm{\dots }$) – her et telletall for hvor mange hele bølgelengder som ligger i veiforskjellen, ikke massen $m$ fra mekanikk-kapitlet.

Dette knytter interferensen tilbake til fasen $\phi$ fra den første seksjonen. En veiforskjell $\mathrm{\Delta }$ svarer til en faseforskjell

målt i radianer. En hel bølgelengde veiforskjell ($\mathrm{\Delta }=\lambda$) gir $\phi =2\pi$ – en hel runde, som fører bølgen tilbake til samme fase og gir forsterkning; en halv bølgelengde ($\mathrm{\Delta }=\lambda /2$) gir $\phi =\pi$, altså motfase og utslukking.

En bølge går ikke bare rett fram. Når den passerer kanten av en hindring eller går gjennom en åpning, bøyer den av og sprer seg inn i området bak – et fenomen som kalles diffraksjon. Det er derfor du kan høre noen rope rundt et gatehjørne selv om du ikke ser dem: lydbølgen bøyer av rundt kanten.

Hvor kraftig spredningen blir, avhenger av forholdet mellom bølgelengden og åpningens bredde. Er åpningen mye bredere enn bølgelengden, går bølgen stort sett rett fram, med bare en svak avbøyning langs kantene. Er åpningen derimot smal – sammenlignbar med bølgelengden – sprer bølgen seg kraftig utover bak åpningen, nesten som om åpningen selv var en ny punktkilde.

Det fulle mønsteret bak en spalt – med vekslende lyse og mørke striper der de avbøyde bølgene interfererer med hverandre – er en sak for det kommende kapittelet om bølgeoptikk. Her trenger vi bare den kvalitative innsikten: en trang åpning tvinger bølgen til å spre seg, og jo trangere åpningen er i forhold til bølgelengden, desto mer. Den innsikten er nok til å forstå den grensen diffraksjonen setter for synet.

Øyets pupille er en slik åpning. Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at pupillen er en tilnærmet sirkulær åpning med en diameter på noen få millimeter. Alt lys som når netthinnen, må passere den – og dermed bøyer det av. Følgen er at selv et helt feilfritt øye ikke kan avbilde en fjern punktkilde som et matematisk punkt.

Lyset fra en punktkilde som passerer en sirkulær åpning, samles ikke i ett punkt, men i en liten lysflekk omgitt av svake ringer. Denne flekken kalles Airy-skiven, og den inneholder mesteparten av lyset. Airy-skiven har en endelig størrelse som vokser når åpningen krymper – en trang pupille gir en stor Airy-skive, i tråd med at en trang åpning sprer bølgen mest.

To fjerne punktkilder – to stjerner, to bokstaver, to celler i et mikroskop – kan bare skilles fra hverandre hvis Airy-skivene deres ikke smelter sammen. Rayleigh-kriteriet setter en grense for dette: to punkter kan akkurat skilles når vinkelavstanden mellom dem er

der $\theta$ er grensevinkelen i radianer, $\lambda$ er bølgelengden og $D$ er åpningens diameter. Grensevinkelen $\theta$ er en synsvinkel av samme slag som den du møtte i kapittelet om trigonometri – vinkelen to punkter spenner ut ved øyet – her målt i radianer. Faktoren $1.22$ kommer fra formen på Airy-mønsteret; vi oppgir den uten å utlede den. Ved denne avstanden faller toppen i det ene mønsteret nettopp på den første mørke ringen i det andre, slik figuren antyder.

Sett nå pupillen inn som åpningen. Med grønt lys, $\lambda =550\mathrm{nm}$ – nær der øyet er mest følsomt i dagslys – gir Rayleigh-kriteriet en grensevinkel som avhenger av pupillediameteren. For $D=2.0\mathrm{mm}$ blir

For å tolke tallet gjør vi det om til bueminutter, det vinkelmålet synsstyrken bruker. Husk fra kapittelet om trigonometri at $2\pi$ radianer er en hel omdreining, så $1\text{radian}=\frac{180}{\pi }\cdot 60\approx 3438$ bueminutter. Dermed er $\theta \approx 3.36\times {10}^{-4}\cdot 3438\approx 1.15$ bueminutter.

Dette tallet er verdt å stanse ved. Husk fra kapittelet om trigonometri at $6/6$-syn svarer til at den minste detaljen som kan skilles, spenner ut en synsvinkel på ett bueminutt (MAR $=1$) [4]. En dagslyspupille på $2\mathrm{mm}$ [38] har altså en diffraksjonsgrense helt oppe ved normalsynets nivå – diffraksjonen er en reell fysisk grense, ikke en teoretisk kuriositet. Setter vi $\theta$ lik nøyaktig ett bueminutt og løser for diameteren, treffer grensen $6/6$ ved $D\approx 2.3\mathrm{mm}$.

Grensevinkelen er omvendt proporsjonal med diameteren: en større pupille gir en mindre $\theta$, altså finere oppløsning. Det kunne friste til å tro at en så stor pupille som mulig alltid gir skarpest syn. Men et virkelig øye er ingen feilfri optikk. Når pupillen utvider seg, slipper den inn lys gjennom stadig større deler av hornhinnen og øyelinsen, og brytningsfeilene – aberrasjonene – vokser om lag i takt med pupillearealet [79, 80]. Ved store pupiller er det aberrasjonene, ikke diffraksjonen, som setter grensen [81]. Ved små pupiller er det omvendt: en trang pupille gir en stor Airy-skive og diffraksjonsuskarphet. En mellomting gir det skarpeste netthinnebildet: den smaleste linjespredningsfunksjonen i øyet er målt ved en pupille på $2.4\mathrm{mm}$, der de to feilkildene til sammen er minst [81, s. 570].

Rayleigh-kriteriet gir bare den øvre grensen en perfekt optikk kunne nådd. Det virkelige synet begrenses i tillegg av aberrasjonene, av tettheten i netthinnens mosaikk av lysfølende tapper, og av den nevrale bearbeidingen bakenfor. Diffraksjonen er ett ledd i denne kjeden – et grunnleggende ledd, siden det følger av bølgenaturen alene, men ikke det eneste.