Kapittel 8 · Bølger og oscillasjoner · 8.4

Lydbølger

De to foregående seksjonene fulgte for det meste lyset. Den andre store bølgetypen i kliniske sammenhenger er lyden, som knytter sammen to tråder kapittelet allerede har spunnet. Den ene er longitudinalbølgen fra seksjonen om bølgefenomener, som lyden er det vanligste eksempelet på. Den andre er tierlogaritmen fra kapittelet om funksjoner, som dukker opp igjen når vi skal måle hvor sterk en lyd er. Til slutt fører seksjonen fram til et ekte klinisk måleinstrument: ultralyden som brukes til å måle øyets lengde innenfra.

Lyd som trykkbølge

Husk fra seksjonen om bølgefenomener at bølger deles i to grunntyper etter hvilken retning punktene svinger i, og at lyd i luft er skoleeksempelet på den longitudinelle typen. En lydbølge er en trykkbølge: når en lydkilde – en høyttalermembran, en stemmebånd, en klaffende dør – svinger fram og tilbake, dytter og drar den på luften like foran seg. Der membranen dytter, presses luftmolekylene tettere sammen til en fortetning med litt forhøyet trykk; der den trekker seg tilbake, tynnes de ut til en fortynning med litt senket trykk. Hvert luftmolekyl svinger bare fram og tilbake langs utbredelsesretningen om sin egen hvilestilling, akkurat som punktene på tråden svingte – men her på langs, ikke på tvers. Selve mønsteret av fortetninger og fortynninger, og energien det bærer, vandrer utover; luften blir værende. Avstanden fra én fortetning til den neste er bølgelengden $\lambda$ fra forrige seksjon.

Figur 8.7: Et øyeblikksbilde av en rad luftmolekyler, tette i fortetningene og glisne i fortynningene, med trykket

p

tegnet over som en kurve som topper seg der molekylene er tettest.

Én ting skiller lyd fra lys med én gang: en trykkbølge trenger noe å presse på. Uten et medium – luft, vann, vev – finnes det ingen molekyler å fortette og fortynne, og lyden forplanter seg ikke. Lys, som er en elektromagnetisk bølge, går gjennom tomt rom; lyd gjør det ikke.

Hvor fort trykkmønsteret vandrer, avhenger av mediet. I luft er lydfarten

c\approx$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$,

ved romtemperatur (om lag $20°$ ) og vanlig lufttrykk [82]. Forutsetningen er verdt å oppgi, for farten øker svakt med temperaturen – om lag 0.6 meter i sekundet per grad [82] – så en varm sommerdag ligger den litt høyere. Den sentrale bølgesammenhengen fra forrige seksjon gjelder uforandret, bare med lydens fart satt inn:

c=\lambda f.

Det er den samme likningen som for lys og for bølgen på tråden; det er bare mediet og farten som skifter.

Frekvensen til en lydbølge oppfatter øret som tonehøyde: en høy frekvens gir en lys tone, en lav frekvens en dyp. Det menneskelige øret svarer på et begrenset bånd av frekvenser, det hørbare området, fra om lag $20\text{\,}\mathrm{Hz}$ til om lag $20\text{\,}\mathrm{kHz}$ ; svingninger under $20\text{\,}\mathrm{Hz}$ kalles infralyd og over $20\text{\,}\mathrm{kHz}$ ultralyd [83, avsn. 17.6]. Ingen av delene hører vi, men begge er lyd i fysisk forstand – og ultralyden blir sentral mot slutten av seksjonen. Med $c=$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ svarer det hørbare båndet til bølgelengder fra $\lambda=c/f=($343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$)/($20\text{\,}\mathrm{Hz}$)\approx$17\text{\,}\mathrm{m}$$ ved den dypeste tonen ned til $\lambda=($343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$)/($20\,000\text{\,}\mathrm{Hz}$)\approx$1.7\text{\,}\mathrm{cm}$$ ved den lyseste – et spenn på tusen ganger, akkurat som frekvensspennet, siden $c$ er fast.

Eksempel 8.4.1

En tone har frekvensen $f=$1000\text{\,}\mathrm{Hz}$$ . Finn bølgelengden $\lambda$ i luft ved romtemperatur, der lydfarten er $c=$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ .

Løsning: Vi løser den sentrale sammenhengen $c=\lambda f$ for bølgelengden, $\lambda=c/f$ :

\lambda=\frac{c}{f}=\frac{$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{$1000\text{\,}\mathrm{Hz}$}=\underline{\underline{$0.343\text{\,}\mathrm{m}$}}.

Enhetssjekk: $($\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$)/$\mathrm{Hz}$=($\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$)\cdot$\mathrm{s}$=$\mathrm{m}$$ . En tusenhertztone har altså en bølgelengde på drøyt en tredjedels meter – midt i det hørbare båndet, mellom de sytten meterne ved $20\text{\,}\mathrm{Hz}$ og de knappe to centimeterne ved $20\text{\,}\mathrm{kHz}$ .

Intensitet og desibelskalaen

En lydbølge bærer energi, og et mål på hvor sterk den er, er lydintensiteten $I$ : effekten bølgen fører gjennom en flate, delt på flatens areal. Enheten er derfor watt per kvadratmeter, $\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ . Her betyr $I$ altså en intensitet, ikke treghetsmomentet $I$ fra rotasjonsseksjonen i forrige kapittel – samme bokstav, ny størrelse, slik kapittelingressen varslet, og sammenhengen avgjør hvilken som gjelder.

Hørselen dekker et svært vidt intensitetsspenn. Fra den svakeste lyden et friskt øre så vidt fanger opp, opp til lyd på grensen av det smertefulle, spenner intensiteten over rundt tolv tierpotenser – en faktor på tusen milliarder [83]. Å feste en lineær tallskala til noe slikt er ubrukelig; en skala der $1$ og $1\,000\,000\,000\,000$ skal stå på samme akse, klemmer alt det svake sammen i ett punkt. Løsningen er den samme som da du møtte enorme tallspenn i kapittelet om funksjoner: en logaritmisk skala.

Vi måler derfor styrken som et lydintensitetsnivå $L$ i desibel ( $\mathrm{dB}$ ), definert med tierlogaritmen fra kapittelet om funksjoner:

L=10\log_{10}\frac{I}{I_{0}},\qquad I_{0}=$1\text{\times}{10}^{-12}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Her er $I_{0}$ en fast referanseintensitet, satt nær den svakeste lyden et menneske kan høre ved $1\text{\,}\mathrm{kHz}$ [83]. I audiometri møter du en nær beslektet skala, lydtrykknivået (dB SPL), som isteden defineres ut fra selve lydtrykket $p$ , som $20\log_{10}(p/p_{0})$ med referansetrykket $p0=20 µPa$ [84]; for en fritt forplantende bølge ligger de to skalaene så tett tallmessig at de i praksis regnes som én [85, kap. 6.3, s. 104]. Ved denne referansen selv blir $L=10\log_{10}1=$0\text{\,}\mathrm{dB}$$ , og en lyd på $1\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ – tolv tierpotenser sterkere – gir $L=10\log_{10}(10^{12})=$120\text{\,}\mathrm{dB}$$ . Hele det uhåndterlige spennet er dermed brettet ned til en grei skala fra $0$ til $120\text{\,}\mathrm{dB}$ .

Det virkelig nyttige er hvordan forhold i intensitet oversettes til tillegg i desibel. Husk logaritmereglene fra kapittelet om funksjoner: $\log(a\cdot b)=\log a+\log b$ . Ganger vi intensiteten med en fast faktor $F$ , blir det nye nivået

10\log_{10}\frac{F\cdot I}{I_{0}}=10\log_{10}F+10\log_{10}\frac{I}{I_{0}},

altså det gamle nivået pluss et fast tillegg $10\log_{10}F$ som bare avhenger av faktoren, ikke av hvor vi startet. Dette er nøyaktig samme mønster som den optiske tettheten $\mathrm{OD}=-\log T$ fra samme kapittel, der to stablede filtre la tetthetene sine sammen: like faktorer blir like tillegg. To tilfeller er verdt å pugge. En dobling av intensiteten ( $F=2$ ) gir tillegget $10\log_{10}2\approx$3\text{\,}\mathrm{dB}$$ , og en tidobling ( $F=10$ ) gir $10\log_{10}10=$10\text{\,}\mathrm{dB}$$ . Hundre ganger intensiteten – to tidoblinger – gir $20\text{\,}\mathrm{dB}$ , i tråd med at $\log_{10}100=2$ .

Figur 8.8: Skalaen med intensiteten under og nivået

L

over: en fast faktor i

I

gir et fast tillegg i

L

, uansett hvor på aksen man starter.

Eksempel 8.4.2

En lydkilde gir intensiteten $I=$1\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ ved øret. (a) Finn lydintensitetsnivået $L$ i desibel, med referansen $I_{0}=$1\text{\times}{10}^{-12}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ . (b) Kilden skrus opp så intensiteten dobles. Hvor mange desibel stiger nivået, og hva blir det nye nivået?

Løsning: Vi setter inn i $L=10\log_{10}(I/I_{0})$ , og bruker for (b) at en fast faktor gir et fast tillegg. For (a) er forholdet $I/I_{0}=10^{-6}/10^{-12}=10^{6}$ , så

L=10\log_{10}(10^{6})=10\cdot 6=\underline{\underline{$60\text{\,}\mathrm{dB}$}}.

For (b) dobles intensiteten. Etter logaritmeregelen legger doblingen seg til som et fast tillegg:

10\log_{10}\frac{2I}{I_{0}}=10\log_{10}2+10\log_{10}\frac{I}{I_{0}}\approx 3.0+60,

altså en økning på $\approx\underline{\underline{$3\text{\,}\mathrm{dB}$}}$ , opp til $\approx$63\text{\,}\mathrm{dB}$$ . Legg merke til at doblingen ga de samme $3\text{\,}\mathrm{dB}$ som den ville gitt fra et hvilket som helst annet utgangsnivå – det er hele poenget med den logaritmiske skalaen.

Ultralyd i øyediagnostikk

Ultralyd – lyd med frekvens over $20\text{\,}\mathrm{kHz}$ – er uhørlig for oss, men nettopp derfor nyttig: den kan sendes i korte, veldefinerte pulser gjennom vev og gi ekko fra grensene den møter. Det gjør den til et måleredskap inne i øyet. Diagnostisk ultralyd i øyet ligger i megahertz-området, langt over det hørbare; en høyere frekvens gir finere oppløsning, men trenger mindre dypt inn i vevet, så frekvensen velges etter hva som skal avbildes [86].

Måleprinsippet er å telle tid. En kort ultralydpuls sendes inn fra en probe mot øyet, og når den treffer en grenseflate – for eksempel netthinnen bakerst – kastes en del av den tilbake som et ekko, akkurat den refleksjonen ved en medieovergang vi omtalte i seksjonen om bølgefenomener. Instrumentet måler tiden $t$ fra pulsen sendes til ekkoet er tilbake ved proben. Kjenner vi lydfarten $c_{\text{vev}}$ i vevet, følger avstanden av $s=c\cdot t$ -tankegangen – men med én viktig retting: lyden reiser strekningen to ganger, fram til grenseflaten og tilbake igjen. Den fysiske dybden er derfor bare halvparten av det farten ganger tiden gir:

s=\tfrac{1}{2}\,c_{\text{vev}}\,t.

Faktoren $\tfrac{1}{2}$ er hele nøkkelen: uten den ville du overvurdert enhver dybde med det dobbelte.

Lydfarten i øyevev er ikke den samme som i luft. Vevet er tettere og stivere, og lyden går atskillig raskere – raskest i den faste linsen og hornhinnen, litt tregere i det væskefylte kammervannet og glasslegemet [87]. I praktisk biometri brukes en midlere verdi for hele øyet,

c_{\text{vev}}\approx$1555\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$,

som gir ubetydelig feil i et gjennomsnittsøye [87, 88]. Verdien er et veid snitt og passer derfor best for et øye av midlere lengde: i et kort øye – aksiallengde under $20\text{\,}\mathrm{mm}$ – er den midlere farten $1560\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ , i et langt $1550\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ [87]. To måter å samle ekkoene på gir to undersøkelser. Et A-skann sender pulsen langs én linje og viser ekkoenes styrke mot tid – en endimensjonal profil, godt egnet til å måle avstander presist. Et B-skann sveiper strålen sidelengs og setter mange slike linjer sammen til et todimensjonalt tverrsnittsbilde av øyet, nyttig når mediene er uklare og øyebunnen ikke kan ses direkte.

Avstanden A-skannet først og fremst måler, er aksiallengden. Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at aksiallengden er avstanden fra hornhinnens forflate til netthinnen bak, om lag $24\text{\,}\mathrm{mm}$ i et normalt øye – et avrundet tall: en befolkningsbasert måleserie av voksne mellom 40 og 80 år gir $23.7\text{\,}\mathrm{mm}$ i snitt [40]. Denne lengden er avgjørende i biometri før kataraktkirurgi: når den grumsete øyelinsen fjernes og erstattes med en kunstig intraokulær linse (IOL), må aksiallengden være kjent for å velge riktig styrke på den innsatte linsen.

Figur 8.9: Pulsen går fram til netthinnen og tilbake, så den målte tiden

t

dekker den dobbelte avstanden.

Eksempel 8.4.3

Ved et A-skann sendes en ultralydpuls inn i øyet, og ekkoet fra netthinnen registreres $t=31.0 µs$ senere. Lydfarten i øyevev settes til $c_{\text{vev}}=$1555\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . (a) Finn øyets aksiallengde. (b) Forklar hvorfor den målte tiden må deles på to.

Løsning: Vi bruker ekko-tid-relasjonen $s=\tfrac{1}{2}c_{\text{vev}}\,t$ , med tiden gjort om til sekunder, $t=$31.0\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}\mathrm{s}$$ . For (a):

s=\tfrac{1}{2}\,c_{\text{vev}}\,t=\tfrac{1}{2}\cdot 1555\cdot$31.0\text{\times}{10}^{-6}$\ $\mathrm{m}$\approx$0.0241\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$24.1\text{\,}\mathrm{mm}$}}.

Enhetssjekk: $($\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$)\cdot$\mathrm{s}$=$\mathrm{m}$$ . For (b): de $31.0 µs$ er tiden pulsen bruker tur-retur – fram til netthinnen og tilbake til proben. Den fysiske dybden er halve denne veien, derav faktoren $\tfrac{1}{2}$ . Svaret $24.1\text{\,}\mathrm{mm}$ stemmer med aksiallengden til et normalt øye fra geometrikapittelet – det er den samme lengden, nå målt med lyd i stedet for regnet fra geometri.

Eksempel 8.4.4

En pasient henvises til vurdering før mulig kataraktkirurgi, og aksiallengden måles med A-skann. Ekkoet fra netthinnen kommer $t=28.4 µs$ etter pulsen; lydfarten i vev settes til $c_{\text{vev}}=$1555\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . (a) Beregn aksiallengden. (b) Et normalt øye er om lag $24\text{\,}\mathrm{mm}$ . Er dette øyet langt eller kort, og hvilken refraksjonstendens – nærsynt eller langsynt – henger typisk sammen med det? (c) Aksiallengden brukes til å velge styrken på den kunstige linsen (IOL). Forklar kort hvorfor en systematisk feil i den målte lengden fører til feil linsestyrke.

Løsning: Vi bruker $s=\tfrac{1}{2}c_{\text{vev}}\,t$ som i forrige eksempel, og tolker resultatet klinisk. For (a), med $t=$28.4\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}\mathrm{s}$$ :

s=\tfrac{1}{2}\cdot 1555\cdot$28.4\text{\times}{10}^{-6}$\ $\mathrm{m}$\approx$0.0221\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$22.1\text{\,}\mathrm{mm}$}}.

For (b): $22.1\text{\,}\mathrm{mm}$ er kortere enn de $24\text{\,}\mathrm{mm}$ et normalt øye har, altså et kort øye. Et for kort øye samler lyset bak netthinnen og henger typisk sammen med langsynthet (hypermetropi) [89] – motstykket til den aksiale nærsyntheten et for langt øye gir. For (c): aksiallengden bestemmer hvor langt bak linsen bildet skal dannes, og går rett inn i formelen som velger IOL-styrken. Måler man lengden systematisk feil, får den innsatte linsen feil styrke, og pasienten sitter igjen med en brytningsfeil etter operasjonen. $s\approx$22.1\text{\,}\mathrm{mm}$$ ; et kort øye, forenlig med langsynthet. Nettopp fordi et par tideler millimeter monner [87], stiller biometrien strenge krav til både måletiden og den antatte lydfarten – som den siste oppgaven får deg til å sette tall på.

Oppgaver

Oppgave 8.4.1

Kammertonen $a^{\prime}$ har frekvensen $f=$440\text{\,}\mathrm{Hz}$$ [90]. Lydfarten i luft ved romtemperatur er $c=$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . Finn bølgelengden $\lambda$ til denne tonen.

Løsningsforslag

Oppgave 8.4.1: Vi løser den sentrale bølgesammenhengen $c=\lambda f$ for bølgelengden:

\lambda=\frac{c}{f}=\frac{$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{$440\text{\,}\mathrm{Hz}$}\approx\underline{\underline{$0.780\text{\,}\mathrm{m}$}}.

Kontroll: $440\text{\,}\mathrm{Hz}$\cdot$0.780\text{\,}\mathrm{m}$\approx$343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ – kammertonen har altså en bølgelengde på knapt åtti centimeter, godt innenfor det hørbare båndets spenn fra centimeter til meter.

Oppgave 8.4.2

En lydkilde gir intensiteten $I=$1\text{\times}{10}^{-8}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ ved øret. Bruk referansen $I_{0}=$1\text{\times}{10}^{-12}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ . Finn lydintensitetsnivået $L$ i desibel.

Løsningsforslag

Oppgave 8.4.2: Forholdet til referansen er en ren tierpotens, $I/I_{0}=10^{-8}/10^{-12}=10^{4}$ , så desibelformelen gir

L=10\log_{10}\frac{I}{I_{0}}=10\log_{10}(10^{4})=10\cdot 4=\underline{\underline{$40\text{\,}\mathrm{dB}$}}.

Kontroll: $40\text{\,}\mathrm{dB}$ svarer til fire tidoblinger fra $I_{0}$ , og $10^{4}\cdot$1\text{\times}{10}^{-12}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$=$1\text{\times}{10}^{-8}\text{\,}\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ .

Oppgave 8.4.3

En høyttaler B avgir intensitet, og vi sammenligner den med en svakere høyttaler A.

a)

Høyttaler B avgir $100$ ganger så stor lydintensitet som A. Hvor mange desibel høyere er nivået fra B?
b)

Ved en annen anledning øker nivået med $9\text{\,}\mathrm{dB}$ . Hvor mange ganger økte intensiteten? Sammenlign svaret med tre doblinger, og forklar ut fra logaritmereglene hvorfor de gir omtrent det samme.

Løsningsforslag

Oppgave 8.4.3:

a)

En fast faktor i intensitet gir et fast tillegg i nivå: $10\log_{10}100=10\cdot 2=\underline{\underline{$20\text{\,}\mathrm{dB}$}}$ – to tidoblinger à $10\text{\,}\mathrm{dB}$ .
b)

Vi løser $10\log_{10}F=9$ for faktoren: $\log_{10}F=0.9$ , så $F=10^{0.9}\approx\underline{\underline{7.9}}$ . Tre doblinger gir faktoren $2^{3}=8$ og tillegget $3\cdot 10\log_{10}2\approx 3\cdot$3.0\text{\,}\mathrm{dB}$=$9.0\text{\,}\mathrm{dB}$$ – omtrent det samme. Grunnen er logaritmeregelen $\log(a\cdot b)=\log a+\log b$ : hver dobling legger til de samme $10\log_{10}2\approx$3\text{\,}\mathrm{dB}$$ , og siden $10\log_{10}2=3.01\approx 3$ , er tre doblinger ( $F=8$ ) nesten nøyaktig $9\text{\,}\mathrm{dB}$ ( $F\approx 7.9$ ).

Oppgave 8.4.4

Ved et A-skann sendes en ultralydpuls inn i øyet, og ekkoet fra netthinnen registreres $29.7 µs$ senere. Lydfarten i øyevev settes til $c_{\text{vev}}=$1555\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ .

a)

Hvor lang er øyets aksiallengde?
b)

Forklar hvorfor svaret må deles på $2$ .
c)

Et B-skann av det samme øyet gir et tverrsnittsbilde, men brukes ikke til denne lengdemålingen. Hva er forskjellen på hva de to skannene gir?

Løsningsforslag

Oppgave 8.4.4:

a)

Ekko-tid-relasjonen med $t=$29.7\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}\mathrm{s}$$ gir

$s=\tfrac{1}{2}\,c_{\text{vev}}\,t=\tfrac{1}{2}\cdot 1555\cdot$29.7\text{\times}{10}^{-6}$\ $\mathrm{m}$\approx$0.0231\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$23.1\text{\,}\mathrm{mm}$}}.$

Kontroll: $t=2s/cvev=2⋅0.0231 m/(1555 m s−1)≈29.7 µs$ . Lengden ligger tett på de om lag $24\text{\,}\mathrm{mm}$ i et normalt øye.
b)

Den målte tiden er tiden pulsen bruker tur-retur – fram til netthinnen og tilbake til proben. Lyden reiser altså den doble strekningen, og den fysiske dybden er bare halvparten av det $c_{\text{vev}}\cdot t$ gir; derav faktoren $\tfrac{1}{2}$ .
c)

A-skannet sender pulsen langs én linje og viser ekkoenes styrke mot tid – en endimensjonal profil som egner seg til å måle avstander presist, slik som her. B-skannet sveiper strålen sidelengs og setter mange slike linjer sammen til et todimensjonalt tverrsnittsbilde – nyttig når mediene er uklare og øyebunnen ikke kan ses direkte, men det er bildet, ikke den presise lengdemålingen, som er poenget.

Oppgave 8.4.5

En pasient skal opereres for grå stær (katarakt), og aksiallengden måles med A-skann for å velge riktig kunstig linse (IOL). Ekkoet fra netthinnen kommer $34.2 µs$ etter pulsen; lydfarten i vev er $c_{\text{vev}}=$1555\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ .

a)

Beregn aksiallengden.
b)

Et normalt øye er om lag $24\text{\,}\mathrm{mm}$ . Er dette øyet langt eller kort, og hvilken refraksjonstendens (nærsynt eller langsynt) henger typisk sammen med det?
c)

Anta at instrumentet ved en feil brukte lydfarten i luft, $343\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ , i stedet for vevsfarten. Hvilken lengde ville det da rapportert? Forklar ut fra formelen hvorfor lengden er proporsjonal med den antatte lydfarten, og hvorfor det derfor er avgjørende å bruke vevets lydfart i biometri.

Løsningsforslag

Oppgave 8.4.5:

a)

Med $t=$34.2\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}\mathrm{s}$$ gir ekko-tid-relasjonen

$s=\tfrac{1}{2}\,c_{\text{vev}}\,t=\tfrac{1}{2}\cdot 1555\cdot$34.2\text{\times}{10}^{-6}$\ $\mathrm{m}$\approx$0.0266\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$26.6\text{\,}\mathrm{mm}$}}.$

Kontroll: $t=2s/cvev=2⋅0.0266 m/(1555 m s−1)≈34.2 µs$ .
b)

$26.6\text{\,}\mathrm{mm}$ er lengre enn de om lag $24\text{\,}\mathrm{mm}$ i et normalt øye, altså et langt øye. Et for langt øye samler lyset foran netthinnen og henger typisk sammen med nærsynthet (myopi) – motstykket til langsyntheten det korte øyet i seksjonens siste eksempel viste.
c)

Med lydfarten i luft ville instrumentet rapportert

$s_{\text{luft}}=\tfrac{1}{2}\cdot 343\cdot$34.2\text{\times}{10}^{-6}$\ $\mathrm{m}$\approx\underline{\underline{$5.9\text{\,}\mathrm{mm}$}}.$

I formelen $s=\tfrac{1}{2}\,c\,t$ står den antatte lydfarten $c$ som en ren faktor: med samme målte tid $t$ skaleres den beregnede lengden direkte med $c$ . Forholdet $343/1555\approx 0.22$ krymper derfor svaret fra $26.6\text{\,}\mathrm{mm}$ til $5.9\text{\,}\mathrm{mm}$ – en grotesk feil på over tjue millimeter. Siden IOL-styrken velges ut fra aksiallengden, og alt et par tideler millimeter monner for styrkevalget, er riktig vevslydfart avgjørende i biometri.

Alle løsningsforslag til kapittel 8