Lysets natur og utbredelse

For å forstå briller, kontaktlinser og øyets egen optikk trenger vi sjelden hele bølgebeskrivelsen fra forrige kapittel – vi trenger å vite hvor lyset går. Denne seksjonen innfører modellen som svarer på akkurat det, og gir samtidig fysisk innhold til to størrelser du kjenner fra kapittelet om algebra: brytningsindeksen og vergensen.

Strålemodellen

En punktkilde er en lyskilde så liten at vi kan regne alt lyset som sendt ut fra ett punkt. Bølgen fra en punktkilde brer seg utover i alle retninger, og punktene bølgen når samtidig – de som svinger i takt – danner flater rundt kilden. Slike flater kalles bølgefronter; du så dem allerede i forrige kapittel, som de rette linjene inn mot spalten i figuren om diffraksjon. Nær en punktkilde er bølgefrontene kuleflater; langt fra kilden har kuleflatene så stor radius at de er tilnærmet plane.

En lysstråle er linjen som står vinkelrett på bølgefronten og peker i utbredelsesretningen. Fra en punktkilde stråler linjene radielt utover; i en plan bølge er de parallelle. Figuren under viser begge deler.

Figur 9.1: Strålen står vinkelrett på bølgefronten: radielt utover nær kilden, parallelt langt fra den.

Strålemodellen – innholdet i den geometriske optikken fra kapittelåpningen – består i å glemme selve bølgen og bare følge strålene. I et ensartet medium går lyset da langs rette linjer (rettlinjet utbredelse) og skifter retning bare der det møter en grenseflate – ved refleksjon og brytning, som resten av kapittelet handler om. Rettlinjet utbredelse er grunnen til at en tett gjenstand kaster en skarp skygge: strålene som treffer gjenstanden stopper, resten fortsetter rett fram.

Modellen har et gyldighetsområde, og det er verdt å kjenne. Husk fra forrige kapittel at en bølge bøyer av og sprer seg når den passerer en åpning som ikke er stor sammenlignet med bølgelengden – diffraksjon. Strålemodellen neglisjerer nettopp denne avbøyningen, og den er derfor en tilnærming: den geometrisk-optiske tilnærmingen, som formelt svarer til grensen der bølgelengden går mot null ( $\lambda\to 0$ ). Tilnærmingen er god når alle åpninger og hindringer lyset møter, er mye større enn bølgelengden – og med synlig lys på omkring $550\text{\,}\mathrm{nm}$ mot pupiller og linser på flere millimeter er den svært god, slik en av oppgavene lar deg tallfeste. Helt borte blir diffraksjonen likevel aldri: den setter den prinsipielle grensen for øyets skarphet, slik du så med Rayleigh-kriteriet i forrige kapittel, og den behandles kvantitativt i kapittelet om bølgeoptikk.

Lysfarten i et medium

Husk fra forrige kapittel at alle elektromagnetiske bølger i vakuum går med lysfarten $c\approx$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . I et stoff – vann, glass, hornhinnevev – vekselvirker lyset med stoffets molekyler og kommer langsommere fram. Farten i mediet kaller vi $v$ , og forholdet mellom de to fartene er nettopp brytningsindeksen:

v=\frac{c}{n},\qquad\text{alts\r{a}}\qquad n=\frac{c}{v}.

Husk fra kapittelet om algebra at brytningsindeksen $n$ ble innført som «et dimensjonsløst mål på hvor mye materialet bremser lyset» – nå kan vi si det presist: $n$ er hvor mange ganger langsommere lyset går i mediet enn i vakuum. Siden lyset aldri går fortere enn i vakuum, er $n\geq 1$ . Et medium med høyere brytningsindeks omtales som optisk tettere; pass på at dette ikke blandes med den optiske tettheten $\mathrm{OD}$ fra kapittelet om funksjoner og grafer, som handler om hvor mye lys et filter absorberer, ikke om fart.

Tabellen viser brytningsindeksen for medier du kommer til å regne på; verdiene for øyets indre er hentet fra Gullstrands skjematiske øye, en klassisk regnemodell for øyets optikk som vi kommer tilbake til i kapittelet om øyet [8], mens de to brilleglassmaterialene – CR-39-plast og kroneglass – står med disse indeksene i en materialoversikt for brilleglass [6, s. 4–6] og vannets indeks er målt ved $20 °C$ i en standardmåling fra National Bureau of Standards [91]. Luftens indeks i tabellen gjelder ved $0 °C$ og $101.325\text{\,}\mathrm{kPa}$ [83, avsn. 25.3, tab. 25.1]; den følger luftens tetthet og er litt lavere ved romtemperatur, men avviket fra 1 er så lite at vi regner med $n=1.00$ for luft hele veien. Kammervannet er væsken som fyller rommet mellom hornhinnen og øyelinsen; glasslegemet er den geléaktige massen som fyller øyet bak linsen.

Medium	$n$
vakuum	$1$ (eksakt)
luft	$1.000293\approx 1.00$
vann	$1.333$
kammervann og glasslegeme	$1.336$
hornhinne	$1.376$
øyelinsens kjerne	$1.406$
CR-39-plast (brilleglass)	$1.498$
kroneglass (brilleglass)	$1.523$

Eksempel 9.1.1

Kammervannet har brytningsindeks $n=1.336$ . Finn lysfarten i kammervannet.

Løsning: Vi setter inn i $v=c/n$ :

v=\frac{c}{n}=\frac{$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{1.336}\approx\underline{\underline{$2.25\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

Lyset holder altså om lag $75\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av vakuumfarten – brytningsindeksen forteller bokstavelig talt hvor mye mediet bremser.

Eksempel 9.1.2

Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at øyets aksiallengde – avstanden fra hornhinnens fremre flate til netthinnen – er om lag $24\text{\,}\mathrm{mm}$ , og fra kapittelet om algebra at mediene inne i øyet har brytningsindeks $n^{\prime}\approx 1.336$ [8]. Omtrent hvor lang tid bruker lyset gjennom øyet, fra hornhinne til netthinne, når vi regner med én felles brytningsindeks for hele øyet?

Løsning: Vi finner først farten i øyet med $v=c/n^{\prime}$ , og deretter tiden med $t=d/v$ fra mekanikken.

	$\displaystyle v$	$\displaystyle=\frac{c}{n^{\prime}}=\frac{$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{1.336}\approx$2.25\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$
	$\displaystyle t$	$\displaystyle=\frac{d}{v}=\frac{$0.024\text{\,}\mathrm{m}$}{$2.25\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}\approx\underline{\underline{$1.1\text{\times}{10}^{-10}\text{\,}\mathrm{s}$}}$

Lyset bruker altså omkring en tidels nanosekund gjennom øyet. Transporttiden er praktisk talt null; den tiden synsinntrykket faktisk bruker, går med til netthinnens og hjernens bearbeiding, ikke til lysets gange.

Punktkilder, lysbunter og vergens

En samling stråler som hører sammen – for eksempel alle strålene fra ett objektpunkt som treffer en pupill eller en linse – kalles en lysbunt. Tre typer går igjen i all optikk, og figuren under viser dem: en divergerende bunt spriker ut fra et punkt, en parallell bunt har stråler i samme retning, og en konvergerende bunt løper sammen mot et punkt. Enhver punktkilde gir en divergerende bunt – og i praksis er hvert punkt på en lysende eller belyst flate en slik punktkilde. En parallell bunt er grensetilfellet der kilden er uendelig langt borte, slik at bølgefrontene er plane. En konvergerende bunt finnes ikke i naturlig lys; den må lages av et optisk system, for eksempel en samlelinse.

Figur 9.2: Fortegnet på vergensen følger buntens form.

Husk fra kapittelet om algebra at vergensen ble definert som $V=1/s$ , målt i dioptri når $s$ er i meter – uten at $s$ fikk noen geometrisk tolkning utover «avstand». Nå kan vi gi definisjonen dens egentlige innhold. En bølgefront som har gått avstanden $\left|s\right|$ fra en punktkilde, er et utsnitt av en kuleflate med radius $\left|s\right|$ , og krumningen til en kuleflate er den omvendte av radien, $1/\left|s\right|$ – liten radius betyr sterkt krummet flate, akkurat som for linseflatene i kapittelet om algebra. Overbevis deg om at en front $25\text{\,}\mathrm{cm}$ fra kilden dermed er dobbelt så sterkt krummet som en front $50\text{\,}\mathrm{cm}$ fra kilden. Vergensen $V=1/s$ er nettopp denne krumningen, med fortegn etter bokens konvensjon: $s$ er avstanden fra planet vi måler i, til buntens sentrum – kildepunktet eller samlingspunktet – regnet positiv i lysets retning. I en divergerende bunt ligger sentrum der lyset kom fra, mot lysretningen, så $s<0$ og $V<0$ . I en konvergerende bunt ligger sentrum der lyset er på vei hen, med lysretningen, så $s>0$ og $V>0$ . En parallell bunt har plane fronter, uendelig radius og $V=0$ . Kort sagt: divergerende lys har negativ vergens, konvergerende lys har positiv, og parallelt lys har null.

Eksempel 9.1.3

Lyset fra en punktkilde undersøkes i tre avstander fra kilden: $10\text{\,}\mathrm{cm}$ , $50\text{\,}\mathrm{cm}$ og $6.0\text{\,}\mathrm{m}$ .

a)

Finn vergensen i hver av de tre avstandene.
b)

Synsstyrke måles med en tavle $6\text{\,}\mathrm{m}$ fra øyet. Bruk svaret i a) til å forklare hvorfor denne avstanden i praksis regnes som «uendelig langt borte».

Løsning: Lyset går fra kilden mot planet vi måler i, så kilden ligger mot lysretningen og avstandene er negative – et reelt objekt har $s<0$ . For a) gir $V=1/s$ :

V=\frac{1}{$-0.10\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-10.0\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad V=\frac{1}{$-0.50\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad V=\frac{1}{$-6.0\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$-0.17\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Vergensen er negativ hele veien – lyset divergerer – men bunten «flater ut» med avstanden. For b): prøveglassene er normalt gradert i trinn på $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ [7, avsn. VIII.3, s. 11], og det er det trinnet en refraksjon til vanlig oppgis i. Ved $6\text{\,}\mathrm{m}$ er divergensen bare $-0.17\text{\,}\mathrm{D}$ , mindre enn ett slikt trinn, og lyset er derfor klinisk umulig å skille fra parallelt lys med $V=0$ . Ved $6\text{\,}\mathrm{m}$ er $\left|V\right|<$0.25\text{\,}\mathrm{D}$$ , så lyset regnes som parallelt. Husk fra kalkuluskapittelet at $6\text{\,}\mathrm{m}$ kalles optisk uendelig fordi akkommodasjonsbehovet $1/6\approx$0.17\text{\,}\mathrm{D}$$ er neglisjerbart – det er nøyaktig samme tall, nå lest som en vergens.

Oppgaver

Oppgave 9.1.1

Lysfarten i vakuum er $c\approx$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . Beregn lysfarten i

a)

vann ( $n=1.333$ )
b)

hornhinnevev ( $n=1.376$ )
c)

kroneglass ( $n=1.523$ )

Løsningsforslag

Oppgave 9.1.1: Vi setter inn i $v=c/n$ for hvert medium.

a)

$v=\dfrac{$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{1.333}\approx\underline{\underline{$2.25\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$
b)

$v=\dfrac{$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{1.376}\approx\underline{\underline{$2.18\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$
c)

$v=\dfrac{$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}{1.523}\approx\underline{\underline{$1.97\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$

Kontroll: jo høyere brytningsindeks, desto lavere fart – og alle tre ligger under $c$ , slik $n\geq 1$ krever.

Oppgave 9.1.2

En punktkilde sender ut en divergerende lysbunt. Finn vergensen til lyset når det har nådd en avstand på

a)

$25\text{\,}\mathrm{cm}$
b)

$80\text{\,}\mathrm{cm}$
c)

$4.0\text{\,}\mathrm{m}$

fra kilden. Husk konvensjonen: kilden er et reelt objekt, så $s<0$ .

Løsningsforslag

Oppgave 9.1.2: Kilden er et reelt objekt, så avstandene regnes negative etter bokens konvensjon, og $V=1/s$ .

a)

$V=\dfrac{1}{$-0.25\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-4.00\text{\,}\mathrm{D}$}}$
b)

$V=\dfrac{1}{$-0.80\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-1.25\text{\,}\mathrm{D}$}}$
c)

$V=\dfrac{1}{$-4.0\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-0.25\text{\,}\mathrm{D}$}}$

Vergensen er negativ hele veien – bunten divergerer – og flater ut med avstanden, akkurat som i eksempelet i seksjonen.

Oppgave 9.1.3

Under en synsundersøkelse ser pasienten på en tavle $6.0\text{\,}\mathrm{m}$ unna.

a)

Hvor lang tid bruker lyset fra tavla til øyet? Regn i luft, der $v\approx c$ .
b)

Hornhinnen er om lag $0.54\text{\,}\mathrm{mm}$ tykk sentralt [92], med $n=1.376$ . Hvor lang tid bruker lyset gjennom selve hornhinnen?
c)

Omtrent hvor mange ganger lengre er tiden i a) enn i b)?

Løsningsforslag

Oppgave 9.1.3: Vi bruker $t=d/v$ fra mekanikken, og $v=c/n$ der lyset går i vev.

a)

I luft er $v\approx c$ :

$t=\frac{d}{c}=\frac{$6.0\text{\,}\mathrm{m}$}{$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}=\underline{\underline{$2.0\text{\times}{10}^{-8}\text{\,}\mathrm{s}$}}.$
b)

Farten i hornhinnen er $v=c/n=$3.0\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$/1.376\approx$2.18\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ , så

$t=\frac{d}{v}=\frac{$0.54\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}{$2.18\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}\approx\underline{\underline{$2.5\text{\times}{10}^{-12}\text{\,}\mathrm{s}$}}.$
c)

Forholdet mellom de to tidene er

$\frac{$2.0\text{\times}{10}^{-8}\text{\,}\mathrm{s}$}{$2.5\text{\times}{10}^{-12}\text{\,}\mathrm{s}$}\approx\underline{\underline{8000}}.$

Turen gjennom rommet tar altså rundt åtte tusen ganger lengre tid enn turen gjennom selve hornhinnen.

Oppgave 9.1.4

Strålemodellen forutsetter at åpningene lyset passerer, er mye større enn bølgelengden.

a)

Pupillen har diameter omkring $4\text{\,}\mathrm{mm}$ , og synlig lys har bølgelengde omkring $550\text{\,}\mathrm{nm}$ . Regn ut forholdet mellom de to, og vurder om strålemodellen er rimelig for lys gjennom pupillen.
b)

Ved undersøkelse brukes iblant et stenopeisk hull – en tett skive med et lite hull pasienten ser gjennom, brukt til å avgjøre om nedsatt syn skyldes en brytningsfeil. Regn ut det samme forholdet for to tenkte åpninger, $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ og $0.10\text{\,}\mathrm{mm}$ , og avgjør om vurderingen fra a) fortsatt holder.
c)

Hvor liten måtte åpningen ha vært før forholdet kom ned mot $10$ ?
d)

Strålemodellen neglisjerer diffraksjonen. Forklar, med det du vet fra kapittelet om bølger, hvorfor diffraksjonen likevel ikke kan glemmes helt i synets fysikk.

Løsningsforslag

Oppgave 9.1.4: Vi regner forholdet åpning/bølgelengde og holder det opp mot kravet «mye større enn».

a)

$\frac{$4\text{\,}\mathrm{mm}$}{$550\text{\,}\mathrm{nm}$}=\frac{$4\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}{$5.5\text{\times}{10}^{-7}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{7300}}.$

Pupillen er flere tusen bølgelengder bred, så strålemodellen er en svært god tilnærming for lys gjennom pupillen.
b)

Samme regning gir

$\frac{$1.0\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}{$5.5\text{\times}{10}^{-7}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{1800}},\qquad\frac{$0.10\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{m}$}{$5.5\text{\times}{10}^{-7}\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{180}}.$

Begge forholdene er fortsatt store – åpningen er hundrevis til tusenvis av bølgelengder – så vurderingen fra a) holder også for det stenopeiske hullet.
c)

Forholdet blir $10$ når åpningen er ti bølgelengder:

$d=10⋅550 nm=5.5 µm≈0.0055 mm.$

Det er langt mindre enn noen åpning i klinisk bruk.
d)

Diffraksjonen blir liten når åpningen er stor mot bølgelengden, men den blir aldri null: lyset fra hvert objektpunkt spres over en liten vinkel som vokser når pupillen minker, slik Rayleigh-kriteriet fra forrige kapittel tallfester. Uansett hvor perfekt øyets optikk ellers er, setter denne spredningen den prinsipielle grensen for hvor skarpt netthinnebildet kan bli – derfor kan diffraksjonen neglisjeres i strålekonstruksjonene, men ikke glemmes i synets fysikk.

Oppgave 9.1.5

Skap en egen oppgave der en medstudent skal finne vergensen i tre ulike avstander fra en punktkilde, og der minst én avstand er valgt slik at svaret lander nøyaktig på et klinisk styrketrinn (et multiplum av $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ ). Lag fasit, og kontroller fortegnene mot bokens konvensjon.

Løsningsforslag

Oppgave 9.1.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: kontroller at alle avstandene er ført med $s<0$ (reelt objekt gir negativ vergens), og at minst én avstand faktisk lander på et multiplum av $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ – for eksempel gir $50\text{\,}\mathrm{cm}$ vergensen $-2.00\text{\,}\mathrm{D}$ .

Alle løsningsforslag til kapittel 9