Brytning og Snells lov

Ved refleksjon kastes lyset tilbake fra grensen mellom to medier. Men en gjennomsiktig grense – luft mot vann, luft mot glass, tåre mot hornhinne – slipper også lys gjennom, og der skifter strålen retning. Denne retningsendringen kaller vi brytning. I kapittelet om bølger så du refleksjon og brytning som bølgefenomener og fikk vite at den fulle kvantitative behandlingen – Snells lov – var varslet hit. Her innfrir vi det løftet, og bruker det med én gang på totalrefleksjon og på det instrumentet som lar klinikeren se inn i øyets kammervinkel.

Snells lov

Grunnen til at lyset bryter, ligger i farten. Husk fra første seksjon at lyset går langsommere i et optisk tettere medium, $v=c/n$ . Tenk deg en plan bølgefront som treffer grensen skrått. Den kanten av fronten som først krysser over i det tregere mediet, sinkes mens resten av fronten ennå går fort – og en front som bremses ulikt langs sin egen bredde, svinger. Følgen er at strålen, som står vinkelrett på fronten, peker en ny vei etter grensen.

Vi kan gjøre dette presist. La en plan bølgefront treffe grensen, og mål vinklene fra normalen – linjen vinkelrett på flaten, som i forrige seksjon. Kall vinkelen mellom innfallsstrålen og normalen innfallsvinkelen $\theta_{1}$ , og vinkelen mellom den brutte strålen og normalen brytningsvinkelen $\theta_{2}$ . Figuren under viser fronten i to stillinger. Ved tiden $t=0$ har frontens ene kant akkurat nådd grensen; en liten tid $t$ senere har også den andre kanten nådd den, et stykke $\ell$ lenger borte langs grenseflaten. I mellomtiden har den siste kanten gått strekningen $v_{1}t$ i det øvre mediet, mens den første har gått strekningen $v_{2}t$ inn i det nedre. Strekningene står vinkelrett på hver sin frontstilling, så det oppstår to rettvinklede trekanter som deler grensestykket $\ell$ som hypotenus – og fordi vinkelen mellom en front og grenseflaten er lik vinkelen mellom strålen og normalen (de to parene står parvis vinkelrett på hverandre), er trekantenes vinkler nettopp $\theta_{1}$ og $\theta_{2}$ . Les av figuren at $\sin\theta_{1}=v_{1}t/\ell$ og $\sin\theta_{2}=v_{2}t/\ell$ ; overbevis deg om begge.

Figur 9.8: De to rettvinklede trekantene deler grensestykket

\ell

som hypotenus.

Deler vi den ene likningen på den andre, faller $t$ og $\ell$ bort:

\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{c/n_{1}}{c/n_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}.

Ganger vi opp, står Snells lov – også kalt brytningsloven – igjen:

Loven forteller straks hvilken vei strålen svinger. Går lyset inn i et tettere medium ( $n_{2}>n_{1}$ ), må $\sin\theta_{2}<\sin\theta_{1}$ , så $\theta_{2}<\theta_{1}$ : strålen bryter mot normalen. Går lyset fra tettere mot tynnere ( $n_{2}<n_{1}$ ), bryter det fra normalen. Og loven er symmetrisk: bytter vi om de to sidene, står den uendret, så en stråle som følger en bane den ene veien, følger nøyaktig samme bane den motsatte veien. Merk at Snells lov handler om vinkler fra normalen – ikke om objekt- eller bildeavstander – så bokens fortegnskonvensjon spiller ingen rolle her; den melder seg først når vi regner avbildning – første gang ved den tilsynelatende dybden senere i seksjonen.

Figur 9.9: En stråle som går fra luft inn i glass, bryter mot normalen.

Eksempel 9.3.1

En lysstråle går fra luft ned i vann ( $n=1.333$ ) og treffer vannflaten med en innfallsvinkel på $30°$ , målt fra normalen. Finn brytningsvinkelen i vannet.

Løsning: Vi setter inn i Snells lov med $n_{1}=1.00$ for luft og $n_{2}=1.333$ for vann, og løser for $\theta_{2}$ med $\arcsin$ fra kapittelet om trigonometri og geometri:

	$\displaystyle\sin\theta_{2}$	$=n1n2sinθ1=1.001.333sin30°≈0.3751$
	$\displaystyle\theta_{2}$	$=arcsin(0.3751)≈22.0°.$

Brytningsvinkelen er mindre enn innfallsvinkelen – strålen bryter mot normalen, slik den skal når den går inn i et tettere medium.

Eksempel 9.3.2

En stråle går fra luft inn i et kroneglass ( $n=1.523$ ) med innfallsvinkel $45°$ .

a)

Finn brytningsvinkelen i glasset.
b)

En annen stråle går motsatt vei – fra glasset ut i luft – og treffer grensen innenfra med samme vinkel som svaret i a). Med hvilken vinkel forlater den glasset?

Løsning: Vi bruker Snells lov begge veier og utnytter at den er symmetrisk. For a) går lyset inn i det tettere glasset:

	$\displaystyle\sin\theta_{2}$	$=1.001.523sin45°≈0.4643$
	$\displaystyle\theta_{2}$	$=arcsin(0.4643)≈27.7°.$

For b) snur vi mediene: $n_{1}=1.523$ i glasset, $n_{2}=1.00$ i luft, og innfallsvinkelen er $27.7°$ :

sinθ2=1.5231.00sin27.7°≈0.708,θ2=arcsin(0.708)≈45.0°.

Strålen forlater glasset med $45°$ – nøyaktig innfallsvinkelen fra a). Det er reversibiliteten i praksis: banen mellom to medier er den samme uansett hvilken vei lyset går, og på vei ut i det tynnere mediet bryter strålen fra normalen.

Totalrefleksjon og kritisk vinkel

Se en gang til på strålen som går fra et tettere medium ut i et tynnere. Da bryter den fra normalen, altså $\theta_{2}>\theta_{1}$ : den brutte strålen ligger flatere enn den innfallende. Øker vi innfallsvinkelen, øker brytningsvinkelen raskere, og på et tidspunkt når den brutte strålen $90°$ – den skraper langs grenseflaten. Innfallsvinkelen der dette skjer, kaller vi den kritiske vinkelen $\theta_{c}$ . Setter vi $θ2=90°$ i Snells lov, og bruker $sin90°=1$ , får vi

n1sinθc=n2sin90°=n2,altsåsinθc=n2n1.

Fordi $\sin\theta_{c}=n_{2}/n_{1}$ må være mindre enn 1, finnes en kritisk vinkel bare når $n_{2}<n_{1}$ – det vil si når lyset forsøker å gå fra tettere mot tynnere. For innfallsvinkler større enn $\theta_{c}$ ber Snells lov om et $\sin\theta_{2}>1$ , som ingen vinkel har. Da finnes ingen brutt stråle: alt lyset kastes tilbake inn i det tette mediet. Det kaller vi totalrefleksjon, og den er akkurat det ordet lover – tapsfri, til forskjell fra en vanlig speilflate, som alltid slipper litt lys igjennom.

Figur 9.10: Over den kritiske vinkelen finnes ingen brutt stråle.

Totalrefleksjon er ikke en kuriositet, men bæreren av flere instrumenter. I en optisk fiber – lyslederen i et endoskop eller i belysningen på mange øyeinstrumenter – holdes lyset fanget i en tynn kjerne av tett materiale: hver gang det treffer kjernens vegg, er innfallsvinkelen større enn den kritiske, så alt reflekteres og lyset føres tapsfritt gjennom fiberen selv rundt svinger. Den kliniske hovedbruken i optometrien løser derimot et problem totalrefleksjonen skaper, som gonioskopieksemplet lenger ned i seksjonen viser.

Eksempel 9.3.3

Lys forsøker å gå fra kroneglass ( $n=1.523$ ) ut i luft.

a)

Regn den kritiske vinkelen for glass–luft-grensen.
b)

En stråle treffer grensen innenfra med $40°$ , en annen med $45°$ . Avgjør for hver om den slipper ut eller totalreflekteres.

Løsning: Grensen går fra tettere ( $n_{1}=1.523$ ) mot tynnere ( $n_{2}=1.00$ ), så en kritisk vinkel finnes. For a):

sinθc=n2n1=1.001.523≈0.6566,θc=arcsin(0.6566)≈41.0°.

For b) sammenligner vi hver innfallsvinkel med $θc≈41.0°$ . Strålen på $40°$ ligger under den kritiske vinkelen og slipper ut; Snells lov gir da $sinθ2=1.523sin40°≈0.979$ , altså $θ2≈78°$ – den forlater glasset nær langs flaten. Strålen på $45°$ ligger over den kritiske vinkelen: $1.523sin45°≈1.077>1$ har ingen løsning, så den totalreflekteres. $θc≈41.0°$ ; $40°$ slipper ut ( $θ2≈78°$ ), $45°$ totalreflekteres. Bare fem grader skiller de to strålene, men de får helt ulik skjebne – det er den skarpe terskelen ved $\theta_{c}$ som gjør totalrefleksjon så nyttig.

Eksempel 9.3.4

Kammervinkelen – det trange rommet mellom regnbuehinnen og hornhinnen der kammervannet dreneres – kan ikke ses direkte utenfra, selv om hornhinnen er gjennomsiktig. Klinikeren gjør den synlig med gonioskopi: en goniolinse legges mot hornhinnen. Regn den kritiske vinkelen for en hornhinne–luft-grense med $n=1.376$ , og forklar ut fra tallet både hvorfor kammervinkelen er skjult, og hvorfor goniolinsen løser det.

Løsning: Grensen går fra hornhinnevev ( $n_{1}=1.376$ ) mot luft ( $n_{2}=1.00$ ):

sinθc=1.001.376≈0.7267,θc=arcsin(0.7267)≈46.6°.

Lys fra kammervinkelen treffer den fremre hornhinne–luft-grensen svært skrått, med innfallsvinkler over $46.6°$ . Det er større enn den kritiske vinkelen, så lyset totalreflekteres tilbake inn i øyet og når aldri undersøkerens øye – vinkelen ligger i praksis skjult bak en innvendig speilflate. Goniolinsen legges mot hornhinnen med en koblingsvæske og erstatter dermed hornhinne–luft-grensen med en grense mot linsematerialet [93]. Har materialet ikke lavere brytningsindeks enn hornhinnen, finnes det ingen kritisk vinkel ved den nye grensen: totalrefleksjonen er borte, og strålene fra kammervinkelen slipper inn i linsen. Derfra leder et speil i linsen dem ut gjennom linsens framflate, som de treffer nær vinkelrett [93]. Figuren viser prinsippet.

Figur 9.11: Goniolinsen fjerner hornhinne–luft-grensen, og lyset fra kammervinkelen slipper ut.

Brytning i praksis

To vanlige følger av brytning fortjener et blikk, og en tredje kobler tilbake til prismet fra kapittelet om vektorer.

Tilsynelatende dybde

Et objekt under vann ser grunnere ut enn det er. Lyset fra objektet bryter fra normalen når det går ut i luft, og øyet – som følger strålene rett bakover – oppfatter objektet der bakoverforlengelsene møtes, nærmere overflaten enn objektet faktisk ligger. For stråler nær normalen, altså i paraksial tilnærming (nær aksen, som pilhøydeformelen i kapittelet om funksjoner og grafer), gir en gjennomregning at den tilsynelatende dybden er

d^{\prime}=d\,\frac{n_{2}}{n_{1}},

der $n_{1}$ er mediet objektet ligger i, og $n_{2}$ mediet observatøren er i. Skrår du blikket, blir bildet både forskjøvet og forvrengt; formelen gjelder bare nær normalen.

Figur 9.12: Bakoverforlengelsene møtes grunnere enn objektet ligger.

Eksempel 9.3.5

En liten gjenstand ligger $40\text{\,}\mathrm{cm}$ under den rolige overflaten i et basseng. Sett ovenfra, nær loddlinjen, hvor dyp ser gjenstanden ut? Vannet har $n=1.333$ .

Løsning: Objektet ligger i vann og observeres fra luft, så $n_{1}=1.333$ og $n_{2}=1.00$ , og vi bruker den paraksiale tilnærmingen:

d^{\prime}=d\,\frac{n_{2}}{n_{1}}=$40\text{\,}\mathrm{cm}$\cdot\frac{1.00}{1.333}\approx\underline{\underline{$30\text{\,}\mathrm{cm}$}}.

Vi kan kontrollere fortegnet mot bokens konvensjon. Ved en plan flate er objektet reelt, så objektavstanden er $s=$-0.40\text{\,}\mathrm{m}$$ , og en plan flate gir bildeavstanden $s^{\prime}=(n_{2}/n_{1})\,s=(1.00/1.333)($-0.40\text{\,}\mathrm{m}$)=$-0.30\text{\,}\mathrm{m}$$ . Negativt fortegn plasserer bildet på samme side som objektet – et virtuelt bilde – og $\left|s^{\prime}\right|<\left|s\right|$ bekrefter at det ligger grunnere, akkurat som formelen sier. Samme effekt gjør at forkammeret ser grunnere ut enn det er når du betrakter det gjennom hornhinnen: strukturene bak en brytende flate løftes tilsynelatende mot betrakteren.

Planparallell plate

En plate med to plane, parallelle flater – en glassrute, et objektglass – bryter strålen ved inngangen og igjen ved utgangen. De to flatene er parallelle, så den andre brytningen opphever nøyaktig den første vinkelendringen: strålen kommer ut parallell med den den gikk inn som. Retningen er altså uendret, men strålen er forskjøvet sideveis, og forskyvningen vokser med platetykkelsen og med innfallsvinkelen. Til forskjell fra prismet under gir platen ingen netto avbøyning.

Det tynne prismet

I kapittelet om vektorer avbøyde et prisme lyset mot basis, og i kapittelet om trigonometri og geometri knyttet vi avbøyningen til prismedioptrien. Nå kan vi utlede selve avbøyningen fra Snells lov. Et prisme er en glasskile med en liten brytende vinkel $\alpha$ i apeks. Strålen bryter ved begge flatene, og for et tynt prisme – liten $\alpha$ og en stråle nær normalen – er alle vinklene små. Da holder småvinkeltilnærmingen fra kapittelet om trigonometri og geometri, $\sin\theta\approx\theta$ med $\theta$ i radianer, så Snells lov ved hver flate blir tilnærmet $n_{1}\theta_{1}=n_{2}\theta_{2}$ . Regner vi bidraget fra begge flatene sammen, med luft på begge sider og brytningsindeks $n$ i glasset, faller apeksvinkelen ut som felles faktor, og den samlede avbøyningsvinkelen $\delta$ blir

\delta\approx(n-1)\,\alpha.

Vi skriver avbøyningen $\delta$ her fordi bokstaven $v$ i dette kapittelet betegner lysfarten; det er samme avbøyningsvinkel som i kapittelet om trigonometri og geometri het $v$ . Legg merke til hva formelen sier: for et tynt prisme er avbøyningen den samme uansett innfallsvinkel, bestemt bare av materialet og apeksvinkelen.

Eksempel 9.3.6

Et tynt prisme av glass med $n=1.50$ har apeksvinkel $α=6°$ .

a)

Finn avbøyningsvinkelen $\delta$ .
b)

Regn om til prismedioptrier med broen $P=100\tan\delta$ fra kapittelet om trigonometri og geometri.
c)

Hvor god er tynn-prisme-tilnærmingen? Den eksakte avbøyningen for dette prismet ved symmetrisk strålegang (minimumsavbøyningen) er $3.005°$ .

Løsning: Vi bruker tynn-prisme-formelen, deretter broen til prismedioptrien, og sammenligner til slutt med den eksakte verdien. For a):

δ≈(n−1)α=(1.50−1)⋅6°=3.0°.

For b) setter vi $δ=3.0°$ inn i broen:

P=100tan3.0°≈5.24Δ.

For c): tynn-prisme-formelen ga $3.0°$ , den eksakte regningen ved symmetrisk strålegang $3.005°$ – et avvik på under to promille. Eksakt varierer avbøyningen dessuten litt med innfallsvinkelen – ved normalt innfall på første flate er den $3.021°$ – men for et tynt prisme forblir hele variasjonen ubetydelig. For små apeksvinkler er tilnærmingen altså utmerket, og et prisme på nær $5\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ kan trygt regnes med den enkle formelen $\delta\approx(n-1)\alpha$ .

Figur 9.13: Avbøyningen

\delta

måles mellom innfallsstrålens forlengelse og den brutte strålen.

Oppgaver

Oppgave 9.3.1

En lysstråle treffer en plan glassflate ( $n=1.50$ ) fra luft med en innfallsvinkel på $30°$ , målt fra normalen. Finn brytningsvinkelen inne i glasset.

Løsningsforslag

Oppgave 9.3.1: Vi setter inn i Snells lov med $n_{1}=1.00$ for luft og $n_{2}=1.50$ for glasset, og løser for $\theta_{2}$ med $\arcsin$ :

sinθ2=n1n2sinθ1=1.001.50sin30°≈0.3333,θ2=arcsin(0.3333)≈19.5°.

Kontroll: $1.50sin19.5°≈0.500=1.00sin30°$ . Brytningsvinkelen er mindre enn innfallsvinkelen – strålen bryter mot normalen, slik den skal inn i det tettere glasset.

Oppgave 9.3.2

Lys går fra luft ned i vann ( $n=1.333$ ).

a)

Finn brytningsvinkelen når innfallsvinkelen er $45°$ .
b)

En dykker ser oppover mot en stråle som treffer vannflaten nedenfra med $30°$ mot normalen. Med hvilken vinkel forlater strålen vannet, og bryter den mot eller fra normalen?

Løsningsforslag

Oppgave 9.3.2: Snells lov brukes begge veier.

a)

Lyset går fra luft ( $n_{1}=1.00$ ) inn i vann ( $n_{2}=1.333$ ):

$sinθ2=1.001.333sin45°≈0.5305,θ2=arcsin(0.5305)≈32.0°.$
b)

Nå snus mediene: $n_{1}=1.333$ i vannet, $n_{2}=1.00$ i lufta, og innfallsvinkelen er $30°$ :

$sinθ2=1.3331.00sin30°≈0.6665,θ2=arcsin(0.6665)≈41.8°.$

Strålen forlater vannet med $41.8°>30°$ – den bryter fra normalen, slik den skal på vei fra tettere mot tynnere medium.

Oppgave 9.3.3

Lys forsøker å gå fra vann ( $n=1.333$ ) ut i luft.

a)

Regn den kritiske vinkelen for vann–luft-grensen.
b)

En stråle treffer grensen innenfra med $40°$ , en annen med $50°$ . Avgjør for hver om den slipper ut i lufta eller totalreflekteres.

Løsningsforslag

Oppgave 9.3.3: Grensen går fra tettere ( $n_{1}=1.333$ ) mot tynnere ( $n_{2}=1.00$ ), så en kritisk vinkel finnes.

a)

$sinθc=n2n1=1.001.333≈0.7502,θc=arcsin(0.7502)≈48.6°.$
b)

Vi sammenligner hver innfallsvinkel med $θc≈48.6°$ . Strålen på $40°$ ligger under den kritiske vinkelen og slipper ut; Snells lov gir $sinθ2=1.333sin40°≈0.857$ , altså $θ2≈59.0°$ . Strålen på $50°$ ligger over den kritiske vinkelen: $1.333sin50°≈1.021>1$ har ingen løsning, så den totalreflekteres. $40°$ slipper ut ( $θ2≈59.0°$ ), $50°$ totalreflekteres.

Oppgave 9.3.4

En medstudent hevder: «En glassrute avbøyer lyset akkurat som et tynt prisme, så det du ser gjennom vinduet, står skjevt.»

a)

Er påstanden riktig? Bruk det du vet om brytning ved to parallelle flater til å begrunne svaret.
b)

Hva er den faktiske optiske virkningen av en tykk glassrute på strålen, og hvordan skiller den seg fra prismets?

Løsningsforslag

Oppgave 9.3.4:

a)

Påstanden er gal – en glassrute har to plane, parallelle flater: strålen bryter mot normalen ved inngangen og like mye fra normalen ved utgangen, så den andre brytningen opphever nøyaktig den første vinkelendringen. Strålen kommer ut parallell med den den gikk inn som – retningen er uendret, og det du ser gjennom vinduet, står ikke skjevt.
b)

Rutens faktiske virkning er en sideveis parallellforskyvning av strålen, som vokser med platetykkelsen og med innfallsvinkelen – men ingen netto avbøyning. Prismet har derimot flater som ikke er parallelle (apeksvinkelen $\alpha$ ), så de to brytningene opphever ikke hverandre: strålen får en varig retningsendring $\delta\approx(n-1)\alpha$ mot basis. Forskjellen er altså forskyvning uten retningsendring (platen) mot retningsendring (prismet).

Oppgave 9.3.5

En optiker sier: «For glass med $n=1.50$ gir hver grad apeksvinkel omtrent en halv prismedioptri.»

a)

Bruk tynn-prisme-formelen $\delta\approx(n-1)\alpha$ til å vise at et prisme med apeksvinkel $8°$ avbøyer lyset om lag $4°$ .
b)

Regn om avbøyningen til prismedioptrier med $P=100\tan\delta$ , og vurder om tommelfingerregelen holder. Hva er det egentlig regelen beskriver – avbøyningen i grader eller prismevirkningen i prismedioptrier?
c)

Lag din egen oppgave der en optometrist trenger en gitt prismevirkning i prismedioptrier og skal finne nødvendig apeksvinkel. Oppgi fasit, og kontroller den.

Løsningsforslag

Oppgave 9.3.5:

a)

Tynn-prisme-formelen gir

$δ≈(n−1)α=(1.50−1)⋅8°=4.0°,$

altså om lag $4°$ – en halv grad avbøyning per grad apeksvinkel.
b)

Broen til prismedioptrien gir

$P=100tan4.0°≈7.0Δ.$

Tommelfingerregelen predikerer $0.5\cdot 8=$4\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$$ – langt under de $7.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ prismet faktisk gir, så i prismedioptrier holder regelen ikke. Det regelen egentlig beskriver, er avbøyningen i grader: for $n=1.50$ er $\delta\approx 0.5\alpha$ , en halv grad per grad apeksvinkel. Siden $1\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ svarer til en avbøyning på bare omtrent $0.57°$ , blir prismevirkningen i prismedioptrier nesten dobbelt så stor som gradetallet.
c)

Åpen deloppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: studentens fasit skal tilfredsstille $\alpha=\delta/(n-1)$ med $\delta$ hentet fra $P=100\tan\delta$ , og kontrollen skal vise at innsetting av $\alpha$ tilbake gir den oppgitte prismevirkningen.

Alle løsningsforslag til kapittel 9