Linser og linsesystemer

Vi begynner med den enkleste krumme flaten: et kuleflateutsnitt med krumningsradius $r$ som skiller to medier med brytningsindeks $n_1$ og $n_2$. Etter bokens konvensjon måles $r$ fra flatens toppunkt – punktet der flaten krysser den optiske aksen – positiv i lysets retning: en flate som buler mot lyset og har krumningssenteret $C$ bak seg, har $r>0$.

La et objektpunkt $O$ ligge på aksen, la en stråle fra $O$ treffe flaten i høyden $y$ over aksen, og la den brutte strålen krysse aksen i $I$. Objektavstanden $s$ er negativ etter konvensjonen, så den fysiske avstanden fra flaten til objektet er $-s$.

Normalen til en kuleflate går alltid gjennom krumningssenteret, så innfallsvinkelen ${\theta }_1$ og brytningsvinkelen ${\theta }_2$ måles mot linjen fra treffpunktet gjennom $C$. Vi holder oss til stråler nær aksen med små vinkler – den paraksiale tilnærmingen, som du møtte ved den tilsynelatende dybden i forrige seksjon og som pilhøydeformelen i kapittelet om funksjoner og grafer: matematisk er den nettopp småvinkeltilnærmingen $\sin \theta \approx \theta \approx \tan \theta$ fra kapittelet om trigonometri og geometri. Da kan hver vinkel i figuren skrives som en høyde delt på en avstand:

$$u=\frac{y}{-s},\phi =\frac{y}{r},u^{\prime }=\frac{y}{s^{\prime }}.$$

Vinkelen ${\theta }_1$ er ytre vinkel i trekanten med hjørner i $O$, treffpunktet og $C$, så ${\theta }_1=u+\phi$; på samme måte er $\phi$ ytre vinkel i trekanten mot $I$, så $\phi ={\theta }_2+u^{\prime }$, altså ${\theta }_2=\phi -u^{\prime }$. Overbevis deg om begge med figuren. Snells lov i småvinkelform, $n_1{\theta }_1=n_2{\theta }_2$, gir da

	$n_1\left({\displaystyle \frac{y}{-s}}+{\displaystyle \frac{y}{r}}\right)$	$=n_2\left({\displaystyle \frac{y}{r}}-{\displaystyle \frac{y}{s^{\prime }}}\right)$
	$-{\displaystyle \frac{n_1}{s}}+{\displaystyle \frac{n_1}{r}}$	$={\displaystyle \frac{n_2}{r}}-{\displaystyle \frac{n_2}{s^{\prime }}}$
	${\displaystyle \frac{n_2}{s^{\prime }}}$	$={\displaystyle \frac{n_1}{s}}+{\displaystyle \frac{n_2-n_1}{r}}.$

I andre linje forkortet vi bort høyden $y$, og det er verdt å stoppe ved: resultatet er uavhengig av hvor på flaten strålen traff. Alle paraksiale stråler fra samme objektpunkt samles i samme bildepunkt – det er derfor flaten avbilder punkt til punkt, og derfor $I$ fortjener navnet bilde.

Resultatet kalles flateformelen, og den er vergensformelen i forkledning. Kall $P=\frac{n_2-n_1}{r}$ flatestyrken – husk fra kapittelet om algebra at nettopp uttrykket $\frac{n_2-n_1}{r}$ ble oppgitt som styrken til en brytende flate, i dioptri når $r$ er i meter. Innfør så redusert vergens: vergensen til lys som går i et medium med brytningsindeks $n$, er

$$V=\frac{n}{s},$$

altså mediets indeks delt på avstanden til buntens sentrum. Navnet kommer av at $n/s=1/(s/n)$: den reduserte vergensen er den omvendte av den reduserte avstanden $s/n$. I luft er $n=1$, og definisjonen faller tilbake til $V=1/s$ fra kapittelet om algebra. Med $V=n_1/s$ for lyset inn og $V^{\prime }=n_2/s^{\prime }$ for lyset ut sier flateformelen rett og slett

$$V^{\prime }=V+P$$

– vergensformelen gjelder ordrett også ved en flate mellom to medier, bare med redusert vergens.

Én ærlighet skylder vi tilnærmingen. Regner man eksakt med Snells lov, uten småvinkeltilnærmingen, samles ikke alle strålene nøyaktig i samme punkt: for flaten i eksemplet nedenfor (glass, $r=10\mathrm{cm}$, objekt $60\mathrm{cm}$ foran) krysser en stråle som treffer $5\mathrm{mm}$ over aksen, aksen vel $0.7\mathrm{mm}$ foran det paraksiale bildepunktet – men en stråle $20\mathrm{mm}$ over treffer over en centimeter for kort. Randstråler fokuserer kortere enn paraksiale, og den feilen er en av aberrasjonene du møtte kvalitativt i kapittelet om bølger; den kalles sfærisk aberrasjon, og kapitlets siste seksjon tar for seg den og de andre aberrasjonene i sin helhet. I paraksialregimet, som bærer resten av kapittelet, er den neglisjerbar.

Kontroller gjerne selv at hornhinnens bakre flate, som skiller hornhinnevev ($n_1=1.376$) fra kammervann ($n_2=1.336$) med $r=+6.8\mathrm{mm}$ [8], får flatestyrken $P\approx -5.9\mathrm{D}$: radien er fortsatt positiv, men indekssprangets fortegn er snudd, og flaten virker svakt spredende. Summen av de to flatene er $48.8-5.9\approx 43\mathrm{D}$ – nettopp hornhinnestyrken $K=43\mathrm{D}$ som øyemodellen i kapittelet om algebra brukte [8]. Tallet du den gang fikk oppgitt, står nå på egne ben.

Flateformelen innfrir også et løfte om øyet. Husk fra kapittelet om algebra at skarphetskravet for et fjernt objekt ble oppgitt som $P=\frac{n^{\prime }}{L}$ – øyets totalstyrke må være mediets indeks delt på netthinneavstanden, ikke $1/L$ – «her tar vi kravet som gitt». Nå tar begrunnelsen tre linjer. Vi regner som i algebrakapittelet hele øyets styrke $P$ samlet i ett plan, med medium $n^{\prime }$ bak. Et fjernt objekt sender parallelt lys, $V=0$, så lyset forlater planet med $V^{\prime }=P$. Bak planet går lyset i mediet, så bildet ligger der den reduserte vergensen peker: $s^{\prime }=n^{\prime }/V^{\prime }=n^{\prime }/P$. Skarpt på netthinnen krever $s^{\prime }=L$, altså

$$P=\frac{n^{\prime }}{L}.$$

Med $n^{\prime }=1.336$ og $L=0.024\mathrm{m}$ gir det $P\approx 55.7\mathrm{D}$ – tallet fra algebrakapittelets øyemodell, nå utledet i stedet for postulert.

En linse er to brytende flater etter hverandre: lyset går fra luft inn i linsematerialet gjennom flate 1, og ut i luft igjen gjennom flate 2. Med brytningsindeks $n$ i glasset og luft på begge sider har flatene styrkene

$$P_1=\frac{n-1}{r_1},P_2=\frac{1-n}{r_2},$$

begge direkte fra flatestyrken i forrige underemne. Nå kjeder vi vergensene. Lys med redusert vergens $V$ treffer flate 1 og forlater den med $V+P_1$. Så langt er alt eksakt; tilnærmingen kommer nå: i tynnlinse-tilnærmingen neglisjerer vi linsens tykkelse, slik at vergensen ikke rekker å endre seg på veien mellom flatene. Da treffer lyset flate 2 med samme reduserte vergens som det forlot flate 1 med, og ut av linsen kommer

$$V^{\prime }=V+P_1+P_2.$$

Den tynne linsen virker altså som én flate med styrken

$$P=P_1+P_2,$$

og setter vi inn flatestyrkene, står linsemakerformelen fra kapittelet om algebra der:

$$P=\frac{n-1}{r_1}+\frac{1-n}{r_2}=(n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).$$

Kontroller fortegnene mot konvensjonen, med $n=1.5$: en bikonveks linse med $r_1=+0.10\mathrm{m}$ og $r_2=-0.10\mathrm{m}$ (krumningssentrene på hver sin side, som i viktig-boksen i algebrakapittelet) får $P=0.5(10+10)\mathrm{D}=10.0\mathrm{D}$; en bikonkav med radiene byttet om får $-10.0\mathrm{D}$; og en menisk – brilleglassformen, buet samme vei på begge sider – med $r_1=+0.10\mathrm{m}$ og $r_2=+0.20\mathrm{m}$ får $P=0.5(10-5)\mathrm{D}=2.5\mathrm{D}$. Bikonvekst gir positiv styrke, akkurat som algebrakapittelet lovet. En linse med positiv styrke gjør vergensen mer positiv og samler lyset – en samlelinse, som du møtte i første seksjon; en linse med negativ styrke sprer det og kalles en spredelinse.

I luft er de reduserte vergensene vanlige vergenser, $V=1/s$ og $V^{\prime }=1/s^{\prime }$, og husk fra kapittelet om algebra at styrken er den omvendte av brennvidden, $P=1/f$. Da er $V^{\prime }=V+P$ det samme som

$$\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}$$

– linseformelen, nå utledet fra Snells lov. Navnet brennvidde får samtidig sin begrunnelse: parallelt lys inn betyr $V=0$, så $V^{\prime }=P$ og $s^{\prime }=1/P=f$. Parallelt lys samles i avstanden $f$ bak linsen – nettopp slik brennpunktet ble beskrevet i kapittelet om vektorer.

Påstanden i boksen fortjener bevis, så la oss se den samme likningen håndtere fem situasjoner. Tabellen viser en samlelinse med $P=5.00\mathrm{D}$ (altså $f=0.20\mathrm{m}$) og et reelt objekt i fem avstander; regn gjerne én av linjene etter selv.

Les tabellen nedenfra og opp én gang til. Står objektet innenfor brennvidden (), er divergensen inn større enn linsens styrke, $V^{\prime }$ blir negativ, og bildet blir virtuelt – likningen sa fra selv, gjennom fortegnet. Står objektet nøyaktig i brennpunktet ($s=-f$), blir $V^{\prime }=0$ og bildet havner i det uendelige. Ingen av tilfellene krevde en egen formel eller en egen huskeregel; det er dét konvensjonen kjøper oss.

Objekter er mer enn punkter på aksen, og vi vil vite hvor stort og hvilken vei bildet blir. Til det trenger vi to navngitte punkter og tre stråler.

Det bakre brennpunktet $F^{\prime }$ er punktet parallelt innfallende lys samles i, i avstanden $f$ bak linsen – det er brennpunktet fra kapittelet om vektorer. Det fremre brennpunktet $F$ er motstykket: står et objektpunkt i $F$, i avstanden $f$ foran linsen, forlater lyset linsen parallelt (sett $s=-f$ i linseformelen, og $V^{\prime }=0$). For en spredelinse () bytter punktene side: parallelt lys spres som fra et punkt foran linsen, så $F^{\prime }$ ligger foran og $F$ bak. Planet gjennom et brennpunkt, vinkelrett på den optiske aksen, kalles det tilhørende brennplanet – et parallelt knippe som kommer inn på skrå, samles i et punkt i det bakre brennplanet utenfor aksen. Vi bruker $F$ og $F^{\prime }$ som punktnavn i figurene, men skriver «brennpunktet» i prosaen – symbolet $F$ er ellers opptatt av kraften fra mekanikken og glasstyrken i Prentice-sammenheng.

Tre stråler fra et objektpunkt utenfor aksen er så lette å tegne at de kalles hovedstrålene:

1. 1.

   Parallellstrålen går inn parallelt med aksen og brytes gjennom det bakre brennpunktet – den er selve definisjonen av $F^{\prime }$.

2. 2.

   Senterstrålen går ubrutt gjennom linsens optiske senter. Husk fra kapittelet om vektorer at det optiske senteret er punktet der lyset går uavbøyd; grunnen ser du nå: ved senteret er de to flatene lokalt parallelle, altså en planparallell plate fra forrige seksjon, og i tynnlinse-tilnærmingen er platens sideforskyvning null.

3. 3.

   Brennpunktstrålen går gjennom det fremre brennpunktet og forlater linsen parallelt med aksen – parallellstrålen baklengs, med reversibiliteten fra Snells lov.

To av strålene bestemmer bildepunktet; den tredje er gratis kontroll. Tegn gjerne diagrammet selv på ruteark og mål etter.

Senterstrålen gir oss forstørrelsen nesten gratis. Sett objekttoppen i høyden $h$ over aksen ved avstanden $s$, og bildetoppen i høyden $h^{\prime }$ ved $s^{\prime }$. Begge ligger på senterstrålen – en rett linje gjennom linsens senter – så de to trekantene på hver side av linsen har samme forhold mellom høyde og grunnlinje: $h/s=h^{\prime }/s^{\prime }$. Forholdet

$$m=\frac{h^{\prime }}{h}=\frac{s^{\prime }}{s}$$

kalles den laterale forstørrelsen; symbolet $m$ er her forstørrelse, ikke masse, slik kapittelingressen varslet. Fortegnene tolker seg selv, når du husker at $h$ og $h^{\prime }$ regnes med fortegn (positiv høyde over aksen). Et reelt objekt () med reelt bilde ($s^{\prime }>0$) gir : bildet er omvendt – opp er blitt ned, slik figuren over viser. Er bildet virtuelt (), blir $m>0$: bildet er rettvendt. Og størrelsen sier resten: $\left|m\right|>1$ er forstørret, forminsket. På vergensform er $m=V/V^{\prime }$ – overbevis deg om at det er samme brøk som $s^{\prime }/s$ i luft.

Systematikken for en samlelinse med reelt objekt er verdt en liten tabell; sammenlign den gjerne linje for linje med talltabellen i forrige underemne.

En spredelinse trenger ingen tabell: av et reelt objekt gir den alltid et virtuelt, rettvendt og forminsket bilde, slik eksemplet i forrige underemne viste (; kontroller at $m=V/V^{\prime }=2/7$ der). Den siste linjen i tabellen – objektet innenfor brennvidden – er derimot verdt et eget eksempel, for det er slik du bruker en lupe.

Virkelige optiske systemer – et øye med briller foran, et keratometer, et mikroskop – har flere linser etter hverandre med luft imellom. Prinsippet for å regne på dem er kort: bildet fra én linse er objektet for den neste. Du kjører linseformelen gjennom første linse, måler mellombildets avstand fra neste linse – med fortegn, fra den nye linsen – og kjører formelen igjen. Forstørrelsene ganges sammen, $m=m_1\cdot m_2$, siden hver linse forstørrer det forrige bildet.

Den stegvise regningen har en snarvei som er verdt å utlede, for den bærer to kliniske standardverktøy. Spørsmålet er: hvis lyset har vergensen $V_1^{\prime }$ i ett plan, hvilken vergens $V_2$ har det i et plan avstanden $d$ lenger fram, i lysets retning? Å svare på det kalles å forplante vergensen over avstanden $d$. Vergensen $V_1^{\prime }$ svarer til et samlingspunkt (eller et virtuelt utgangspunkt) i avstanden $1/V_1^{\prime }$ fra det første planet. Fra det andre planet er avstanden til samme punkt $d$ kortere, altså $1/V_1^{\prime }-d$, og vergensen der er den omvendte av avstanden:

$$V_2=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{V_1^{\prime }}}-d}=\frac{V_1^{\prime }}{1-d{V}_1^{\prime }}.$$

Den siste formen får du ved å gange teller og nevner med $V_1^{\prime }$; gjelder regningen inne i et medium med indeks $n$, brukes den reduserte avstanden $d/n$ i stedet for $d$.

Kontroller gjerne formelen mot to-linse-eksemplet: lyset forlot $L_1$ med $V_1^{\prime }=2.50\mathrm{D}$, og

$$V_2=\frac{2.50}{1-0.60\cdot 2.50}\mathrm{D}=\frac{2.50}{-0.50}\mathrm{D}=-5.00\mathrm{D}$$

– nøyaktig vergensen vi fant stegvis ved $L_2$. Konvergerende lys som har passert sitt samlingspunkt, divergerer igjen; formelen holdt rede på det selv, gjennom fortegnet på nevneren.

To spesialtilfeller av forplantningen er klinikk i ren form. Det første er $d=0$: to tynne linser i kontakt. Da rekker vergensen ikke å endre seg mellom dem, og styrkene adderes, $P=P_1+P_2$ – regelen fra kapittelet om algebra, som nå er ferdig begrunnet. Det er denne additiviteten prøvebrillen – innfatningen med utskiftbare, løse prøveglass som brukes under synsundersøkelsen – hviler på: setter du et glass på $2.00\mathrm{D}$ og et på $0.75\mathrm{D}$ i samme holder foran øyet, virker de som ett glass på $2.75\mathrm{D}$.

Det andre spesialtilfellet er å flytte en korreksjon langs aksen, og det innfrir seksjonens siste løfte. Husk fra kapittelet om algebra at den effektive styrken ved vertex-avstand ble oppgitt som $P_{\text{eff}}=\frac{P}{1-dP}$, der $d$ er vertex-avstanden – avstanden fra hornhinnens toppunkt til brilleglassets bakflate. Refraksjonen tas vanligvis på en vertex-avstand mellom $12\mathrm{mm}$ og $14\mathrm{mm}$ [94, s. 27]. Nå er formelen tre linjer unna. Et brilleglass med styrke $P$ retter blikket mot et fjernt objekt: parallelt lys inn, $V=0$, så lyset forlater glasset med vergensen $P$. Ved hornhinnen, avstanden $d$ lenger fram i lysets retning, har vergensen forplantet seg til

$$P_{\text{eff}}=\frac{P}{1-dP}.$$

En kontaktlinse ligger i hornhinneplanet og skal gi lyset nøyaktig samme vergens der – altså er $P_{\text{eff}}$ styrken kontaktlinsen må ha. Merk retningen: formelen flytter styrken med lysretningen, fra brilleplan til hornhinne, med $d>0$. Skal du motsatt vei – fra kontaktlinsestyrke tilbake til brilleplanet – løser du samme likning baklengs, som gir $P=\frac{P_{\text{eff}}}{1+d{P}_{\text{eff}}}$; å gjette fortegn i nevneren er en klassisk feilkilde, så utled heller enn å huske.

Når betyr dette noe i praksis? Avviket mellom styrkene er

$$P_{\text{eff}}-P=\frac{P}{1-dP}-P=\frac{d{P}^2}{1-dP}\approx d{P}^2$$

når $dP$ er liten – avviket vokser altså kvadratisk med styrken. Med $d=12\mathrm{mm}$ gir det omkring $0.05\mathrm{D}$ ved $\pm 2\mathrm{D}$, omkring $0.2\mathrm{D}$ ved $\pm 4\mathrm{D}$ og $0.4$–$0.5\mathrm{D}$ ved $\pm 6\mathrm{D}$. Husk fra første seksjon at det vanlige kliniske styrketrinnet er $0.25\mathrm{D}$: avviket passerer ett trinn omkring $\pm 4$ til $5\mathrm{D}$, og der begynner vertex-avstanden å bety noe klinisk – raskt mer for høyere styrker. Britisk dispenseringspraksis legger grensen ved $\pm 5.00\mathrm{D}$: over den styrken måles vertex-avstanden og føres opp sammen med styrken, slik at glasset kan lages for det planet refraksjonen gjelder i [95].