Refleksjon og planspeil

I forrige kapittel så du at to ting kan skje når en bølge treffer grensen mot et nytt medium: den kan kastes tilbake, og den kan fortsette inn i det nye mediet med endret retning. Med strålemodellen på plass behandler vi nå de to hver for seg – refleksjonen i denne seksjonen, brytningen i neste. Underveis møter du et skille som bærer resten av kapittelet: forskjellen på reelle og virtuelle bilder.

Refleksjonsloven

En stråle som treffer en blank flate, kalles innfallsstrålen. Normalen – også kalt innfallsloddet – er linjen som står vinkelrett på flaten i treffpunktet. Innfallsvinkelen $\theta_{i}$ er vinkelen mellom innfallsstrålen og normalen, og refleksjonsvinkelen $\theta_{r}$ er vinkelen mellom den reflekterte strålen og normalen. Refleksjonsloven sier at de to er like,

\theta_{r}=\theta_{i},

og at den reflekterte strålen ligger i samme plan som innfallsstrålen og normalen (innfallsplanet). Merk at begge vinklene måles fra normalen, aldri fra selve flaten – å måle fra flaten er en av de vanligste feilene i optikkregning.

Figur 9.3: Innfallsvinkelen

\theta_{i}

og refleksjonsvinkelen

\theta_{r}

ved et plant speil.

Refleksjonsloven gjelder alltid – men resultatet avhenger av flaten. En flate reflekterer speilende (spekulært) når ujevnhetene i den er små sammenlignet med bølgelengden: alle normalene peker samme vei, en parallell bunt forblir parallell, og du ser et speilbilde. En ru flate – papir, vegg, hud – reflekterer diffust: loven gjelder fortsatt lokalt i hvert punkt, men normalene spriker, og lyset spres i alle retninger. Det er den diffuse refleksjonen som gjør verden synlig fra alle kanter: hvert punkt på en belyst, matt flate sender ut en divergerende bunt – nettopp punktkildene fra forrige seksjon.

Figur 9.4: Refleksjonsloven gjelder i begge tilfeller; det er normalenes retning som skiller dem.

Eksempel 9.2.1

En lysstråle treffer et lite speil med innfallsvinkel $25°$ . Speilet dreies så en vinkel $α=10°$ om treffpunktet, mens strålen inn står fast.

a)

Hva er den nye innfallsvinkelen?
b)

Hvor stor vinkel har den reflekterte strålen dreid?

Løsning: Vi bruker refleksjonsloven to ganger – før og etter dreiningen – og holder rede på at normalen følger speilet. For a): når speilet dreier $10°$ , dreier normalen $10°$ med det, mens innfallsstrålen står fast. Vinkelen mellom dem øker derfor med $10°$ :

θi=25°+10°=35°.

For b): vinkelen mellom innfallsstrålen og den reflekterte strålen er $\theta_{i}+\theta_{r}=2\theta_{i}$ . Den vokser fra $2⋅25°=50°$ til $2⋅35°=70°$ , så den reflekterte strålen har dreid

70°−50°=20°=2α.

Et speil som vipper vinkelen $\alpha$ , styrer altså strålen dobbelt så langt – prinsippet bak de dreibare speilene som avsøker øyet med en lysstråle i skannende øyeinstrumenter.

Figur 9.5: Speilets utgangsstilling og de tilhørende strålene i svart, stillingen etter dreiningen i grått.

Planspeilet og det virtuelle bildet

Hva ser du egentlig når du ser deg i speilet? La oss følge strålene fra ett punkt på et objekt foran et planspeil – et speil med plan flate. Figuren under viser to av strålene. Etter refleksjonen divergerer de fortsatt, men forlenger vi dem bakover – stiplet i figuren – møtes forlengelsene i ett punkt bak speilet. Refleksjonsloven gir like vinkler mot speilflaten på begge sider av hvert treffpunkt; overbevis deg med figuren om at trekantene foran og bak speilet da er kongruente, slik at punktet forlengelsene møtes i, ligger nøyaktig like langt bak speilet som objektpunktet er foran. Og siden argumentet ikke brukte noe spesielt ved strålene vi valgte, går alle de reflekterte strålenes forlengelser gjennom det samme punktet.

Figur 9.6: Ikke noe lys når fram til bildepunktet bak speilet – bare strålenes forlengelser møtes der.

Punktet bak speilet er et bilde av objektpunktet – men av et annet slag enn de bildene en skjerm kan vise, og skillet er så viktig at det fortjener en egen boks.

Planspeilets bilde er altså virtuelt, og det ligger like langt bak speilet som objektet er foran. Fordi hvert objektpunkt avbildes i uendret høyde, er bildet også like stort som objektet og rettvendt. I tillegg er det sidevendt: teksten på en T-skjorte leses baklengs i speilet. Strengt tatt er det dybderetningen speilet vender – det som peker mot speilet på objektet, peker mot speilet på bildet – og «venstre–høyre-byttet» er vår tolkning av dette dybdevendte bildet.

Vergensregningen fra forrige seksjon fungerer også for speil, med én presisering: refleksjonen snur lysretningen, og etter refleksjonen regner vi derfor avstander positive i den nye, reflekterte lysretningen. Det er fortsatt bokens konvensjon – positivt i lysets retning – bare anvendt på den retningen lyset faktisk har. Et planspeil endrer ikke krumningen til bølgefronten, for flaten er flat; det har derfor styrken $P=0$ , og vergensformelen $V^{\prime}=V+P$ fra kapittelet om algebra gir $V^{\prime}=V$ . Sfæriske speil, som krummer fronten og har styrke, får sin egen seksjon senere i kapittelet.

Eksempel 9.2.2

Et lite objekt står $50\text{\,}\mathrm{cm}$ foran et planspeil. Hvor ligger bildet, og er det reelt eller virtuelt? Svar først geometrisk med refleksjonsloven, og kontroller deretter svaret med vergensregning.

Løsning: Geometrisk vet vi fra kongruensargumentet over at bildet ligger like langt bak speilet som objektet er foran: $50\text{\,}\mathrm{cm}$ bak, og virtuelt, siden bare forlengelsene møtes der.

Med vergensregning: objektet er reelt, så $s=$-0.50\text{\,}\mathrm{m}$$ , og vergensen ved speilet er

V=\frac{1}{s}=\frac{1}{$-0.50\text{\,}\mathrm{m}$}=$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$.

Planspeilet har $P=0$ , så $V^{\prime}=V+P=$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$$ : lyset divergerer like sterkt etter refleksjonen. Etter refleksjonen regnes avstander positive i den reflekterte lysretningen, og bildeavstanden blir

s^{\prime}=\frac{1}{V^{\prime}}=\frac{1}{$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$}=$-0.50\text{\,}\mathrm{m}$.

Negativ bildeavstand betyr mot den reflekterte lysretningen – altså bak speilet: bildet er virtuelt, $50\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilflaten. Bildet ligger $50\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilet og er virtuelt. De to fremgangsmåtene gir samme svar – geometrien og vergensregningen er to språk for samme fysikk.

Synsprøverommet

Synsstyrke på avstand måles med tavla noen meter fra øyet: $4\text{\,}\mathrm{m}$ , $5\text{\,}\mathrm{m}$ og $6\text{\,}\mathrm{m}$ er alle i bruk, og speilsystemer er godtatt [7, avsn. VIII.2 og VIII.4, s. 11]. Denne boken regner med $6\text{\,}\mathrm{m}$ . Ingen av avstandene er optisk uendelig i streng forstand, men restvergensen ved $6\text{\,}\mathrm{m}$ er $0.167\text{\,}\mathrm{D}$ , og et så fint trinn finnes ikke i prøveglassettene [7, avsn. VIII.3, s. 11] – derfor behandles avstanden klinisk som uendelig, slik forrige seksjon regnet ut. Mange undersøkelsesrom er kortere enn seks meter, og løsningen er et planspeil: speilet henger på veggen foran pasienten, synstavla henger over eller bak pasientens hode, og pasienten ser tavlas virtuelle bilde i speilet. Synsavstanden er da lysveien fra tavla via speilet til øyet – eller, helt ekvivalent, avstanden fra øyet til tavlas bilde bak speilet. Og fordi planspeilet sidevender bildet, trykkes tavla speilvendt, slik at bokstavene står rett vei for pasienten.

Eksempel 9.2.3

Et synsprøverom er bare $3.4\text{\,}\mathrm{m}$ langt. Speilet henger på veggen foran pasienten, og en speilvendt synstavle henger på veggen bak pasientens hode, $3.4\text{\,}\mathrm{m}$ fra speilet. Pasientens øye er $2.6\text{\,}\mathrm{m}$ fra speilet. Vis at pasienten likevel ser tavla på synsprøveavstanden $6.0\text{\,}\mathrm{m}$ , og avgjør om avstanden fortjener merkelappen «optisk uendelig».

Løsning: Dette er planspeilsituasjonen fra forrige underemne: tavla er objektet, og pasienten ser dens virtuelle bilde. Bildet ligger like langt bak speilet som tavla er foran, altså $3.4\text{\,}\mathrm{m}$ bak speilveggen. Avstanden fra øyet til bildet er dermed

$2.6\text{\,}\mathrm{m}$+$3.4\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$6.0\text{\,}\mathrm{m}$}},

det samme som lysveien tavle–speil–øye. Vergensen ved øyet er

V=\frac{1}{$-6.0\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$-0.17\text{\,}\mathrm{D}$}},

som er mindre enn det vanlige kliniske styrketrinnet på $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ – avstanden er klinisk ekvivalent med uendelig, akkurat som i et fullangt rom. Speilvendingen av tavla opphever planspeilets sidevending, så pasienten leser bokstavene rett vei.

Figur 9.7: Synsavstanden er lysveien tavle–speil–øye, like lang som avstanden fra øyet til tavlas bilde.

Oppgaver

Oppgave 9.2.1

En lysstråle treffer et planspeil slik at den danner vinkelen $35°$ med selve speilflaten.

a)

Hva er innfallsvinkelen?
b)

Hva er refleksjonsvinkelen?
c)

Hva er vinkelen mellom den innfallende og den reflekterte strålen?

Løsningsforslag

Oppgave 9.2.1: Vinklene i refleksjonsloven måles fra normalen, ikke fra flaten – oppgaven oppgir vinkelen mot selve speilflaten.

a)

Normalen står vinkelrett på speilflaten, så innfallsvinkelen er

$θi=90°−35°=55°.$
b)

Refleksjonsloven gir $θr=θi=55°$ .
c)

Vinkelen mellom den innfallende og den reflekterte strålen er

$θi+θr=2⋅55°=110°.$

Kontroll fra flatesiden: strålene danner $35°$ med speilflaten på hver sin side, og $180°−2⋅35°=110°$ .

Oppgave 9.2.2

Et objekt står $40\text{\,}\mathrm{cm}$ foran et planspeil. Bruk vergensregning:

a)

Finn vergensen til lyset ved speilet.
b)

Planspeilet har styrken $P=0$ . Finn vergensen etter refleksjonen.
c)

Hvor ligger bildet, og er det reelt eller virtuelt?

Løsningsforslag

Oppgave 9.2.2: Som i eksemplet med planspeilet: objektet er reelt, så $s=$-0.40\text{\,}\mathrm{m}$$ .

a)

Vergensen ved speilet er

$V=\frac{1}{s}=\frac{1}{$-0.40\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$}}.$
b)

Vergensformelen gir $V^{\prime}=V+P=$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$+0=\underline{\underline{$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$}}$ – lyset divergerer like sterkt etter refleksjonen.
c)

Etter refleksjonen regnes avstander positive i den reflekterte lysretningen, og

$s^{\prime}=\frac{1}{V^{\prime}}=\frac{1}{$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$}=$-0.40\text{\,}\mathrm{m}$.$

Negativ bildeavstand betyr mot den reflekterte lysretningen, altså bak speilet. Bildet ligger $40\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilet og er virtuelt. Dette stemmer med kongruensargumentet: bildet ligger like langt bak speilet som objektet er foran.

Oppgave 9.2.3

Du står med øynene $40\text{\,}\mathrm{cm}$ fra baderomsspeilet og ser på ditt eget høyre øye.

a)

Hvor langt fra øyet ditt ligger speilbildet av øyet?
b)

Hvilken vergens har lyset fra bildet når det når øyet ditt?
c)

Husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at akkommodasjonsbehovet er $1/d$ for en synsavstand $d$ . Sammenlign akkommodasjonsbehovet når du ser på speilbildet av øyet, med behovet når du ser på en støvflekk på selve speilflaten – og forklar hvorfor speilbildet ditt ikke ligger «på speilet».

Løsningsforslag

Oppgave 9.2.3:

a)

Speilbildet av øyet ligger like langt bak speilet som øyet er foran, altså $40\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilflaten. Avstanden fra øyet til bildet er dermed

$$40\text{\,}\mathrm{cm}$+$40\text{\,}\mathrm{cm}$=\underline{\underline{$80\text{\,}\mathrm{cm}$}}.$
b)

Lyset kommer divergerende fra det virtuelle bildet $0.80\text{\,}\mathrm{m}$ unna, så vergensen ved øyet er

$V=\frac{1}{$-0.80\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-1.25\text{\,}\mathrm{D}$}}.$
c)

Akkommodasjonsbehovet er $1/d$ : for speilbildet $1/$0.80\text{\,}\mathrm{m}$=$1.25\text{\,}\mathrm{D}$$ , for støvflekken på speilflaten $1/$0.40\text{\,}\mathrm{m}$=$2.50\text{\,}\mathrm{D}$$ – $1.25\text{\,}\mathrm{D}$ for speilbildet mot $2.50\text{\,}\mathrm{D}$ for støvflekken. Øyet må altså stille inn på to forskjellige avstander for de to: speilbildet ligger der de reflekterte strålenes forlengelser møtes, $80\text{\,}\mathrm{cm}$ unna, ikke i speilplanet – derfor ligger speilbildet ditt ikke «på speilet», selv om det er der du retter blikket.

Oppgave 9.2.4

En medstudent hevder: «Jeg ser ikke hele meg selv i speilet mitt, men det ordner seg hvis jeg rygger lenger bak.» Vurder påstanden: bruk refleksjonsloven til å vise at det minste planspeilet du kan se hele deg selv i, har høyde lik halve kroppshøyden din – uansett hvor langt fra speilet du står – og finn minstehøyden for en person på $1.80\text{\,}\mathrm{m}$ . Tegn gjerne strålene fra isse og føtter til øyet.

Løsningsforslag

Oppgave 9.2.4: La øyet ligge i høyden $h_{\text{\o}}$ over gulvet, issen i høyden $h$ , og la avstanden til speilet være $L$ – vilkårlig. Føttene og øyet står begge avstanden $L$ fra speilplanet. Strålen fra fotpunktet som når øyet etter refleksjon, treffer speilet i et punkt $P$ ; refleksjonsloven gir like vinkler mot normalen, og siden de horisontale avstandene på begge sider av $P$ er like ( $L$ og $L$ ), er også høydeforskjellene like: $P$ ligger midt mellom fot- og øyehøyde, i høyden $h_{\text{\o}}/2$ . Tilsvarende treffer strålen fra issen speilet i høyden $(h+h_{\text{\o}})/2$ . Speilet må dekke akkurat stykket mellom disse to punktene, så minstehøyden er

\frac{h+h_{\text{\o}}}{2}-\frac{h_{\text{\o}}}{2}=\frac{h}{2},

halve kroppshøyden – og $L$ falt bort underveis, så resultatet er uavhengig av hvor langt fra speilet du står. Kontroll med det virtuelle bildet: hele kroppen avbildes i full høyde $L$ bak speilet, og speilplanet ligger nøyaktig midtveis mellom øyet og bildet; formlike trekanter med forholdet $1:2$ gir da at «vinduet» i speilplanet trenger halv høyde. For en person på $1.80\text{\,}\mathrm{m}$ er minstehøyden

\frac{$1.80\text{\,}\mathrm{m}$}{2}=\underline{\underline{$0.90\text{\,}\mathrm{m}$}}.

Påstanden er altså gal: å rygge hjelper ikke, for minstehøyden er den samme uansett avstand. Ser medstudenten ikke hele seg selv, er speilet enten for lite eller henger feil – overkanten skal ligge midt mellom isse- og øyehøyde.

Oppgave 9.2.5

Du skal innrede et synsprøverom i et lokale som er bare $4.2\text{\,}\mathrm{m}$ langt. Design oppsettet: plasser pasientstol, speil og speilvendt tavle slik at synsavstanden blir $6.0\text{\,}\mathrm{m}$ . Tegn strålegangen, angi hvor tavlas virtuelle bilde ligger, og begrunn med vergensregning hvorfor $6.0\text{\,}\mathrm{m}$ regnes som tilnærmet uendelig i synsprøven.

Løsningsforslag

Oppgave 9.2.5: Kall øye–speil-avstanden $a$ og tavle–speil-avstanden $b$ . Pasienten ser tavlas virtuelle bilde, som ligger like langt bak speilet som tavla er foran, så synsavstanden er $a+b$ , og kravet er $a+b=$6.0\text{\,}\mathrm{m}$$ med $b\leq$4.2\text{\,}\mathrm{m}$$ og pasienten mellom speilet og tavleveggen. Et naturlig valg: speilet på den ene endeveggen, den speilvendte tavla på motsatt vegg over pasientens hode ( $b=$4.2\text{\,}\mathrm{m}$$ ), og pasientstolen slik at øyet er

a=$6.0\text{\,}\mathrm{m}$-$4.2\text{\,}\mathrm{m}$=$1.8\text{\,}\mathrm{m}$

fra speilet. Tavlas virtuelle bilde ligger da $4.2\text{\,}\mathrm{m}$ bak speilveggen, og avstanden fra øyet til bildet er $$1.8\text{\,}\mathrm{m}$+$4.2\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$6.0\text{\,}\mathrm{m}$}}$ – det samme som lysveien tavle–speil–øye. Strålegangen tegnes som i figuren i brødteksten: fra tavla skrått fram til speilet, tilbake til øyet, med de reflekterte strålenes forlengelser stiplet bakover til bildet. Vergensen ved øyet er

V=\frac{1}{$-6.0\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$-0.17\text{\,}\mathrm{D}$}},

mindre enn det vanlige kliniske styrketrinnet på $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ – avstanden er derfor klinisk ekvivalent med uendelig, og speilvendingen av tavla opphever planspeilets sidevending slik at bokstavene står rett vei.

Alle løsningsforslag til kapittel 9