Sfæriske speil

Husk fra seksjonen om refleksjon og planspeil at et krumt speil kan det planspeilet ikke kan: endre bølgefrontens krumning, og dermed ha styrke. Denne seksjonen innfrir det løftet. Regneapparatet er allerede bygget – refleksjonsloven, vergensformelen og forstørrelsen fra seksjonen om linser – og det eneste genuint nye er ett minustegn og hvor det kommer fra. Til slutt får speilregningen sin kliniske utbetaling: keratometeret, instrumentet som måler hornhinnens krumning, gjør ikke annet enn å lese av et speilbilde.

Konkave og konvekse speil

Et sfærisk speil er et utsnitt av en kuleflate med speilende overflate. Vender den hule siden mot lyset, er speilet konkavt; buler flaten mot lyset, er det konvekst. Som for den brytende flaten beskrives speilet av toppunktet – punktet der flaten krysser den optiske aksen – og krumningssenteret $C$ , sentrum i kula flaten er skåret ut av. Krumningsradien $r$ måles etter bokens konvensjon fra toppunktet, positiv i det innkommende lysets retning. For et konkavt speil ligger $C$ foran speilet, på samme side som lyset kommer fra, så $r<0$ ; for et konvekst speil ligger $C$ bak, så $r>0$ .

La en stråle parallelt med aksen treffe et konkavt speil i høyden $y$ over aksen. Normalen i treffpunktet går gjennom krumningssenteret – det gjelder enhver kuleflate, som i utledningen av flateformelen – så innfallsvinkelen $\theta$ er vinkelen mellom strålen og linjen ned mot $C$ . Men den samme vinkelen $\theta$ dukker opp ved $C$ , mellom normalen og aksen, siden innfallsstrålen og aksen er parallelle. Refleksjonsloven legger den reflekterte strålen vinkelen $\theta$ på den andre siden av normalen, og strålen krysser aksen i et punkt vi kaller speilets brennpunkt. Trekanten med hjørner i treffpunktet, $C$ og brennpunktet har dermed to like vinkler og er likebeint, og for stråler nær aksen – den paraksiale tilnærmingen, som ellers i kapittelet – ligger treffpunktet så nær toppunktet at de to like beina begge er tilnærmet halve krumningsradien. Overbevis deg med figuren under om at brennpunktet da havner midt mellom krumningssenteret og speilet: brennvidden til et sfærisk speil er halve krumningsradien. For stråler lenger fra aksen svikter tilnærmingen på samme måte som ved den brytende flaten – randstråler krysser aksen for tidlig, sfærisk aberrasjon igjen. Et konvekst speil sprer i stedet det parallelle lyset, og de reflekterte strålene spriker som fra et punkt bak speilet: et virtuelt brennpunkt, spredelinsens motstykke blant speilene.

Figur 9.19: Brennpunktet ligger midt mellom speilet og krumningssenteret – reelt foran det konkave speilet, virtuelt bak det konvekse.

Eksempel 9.5.1

Et konkavt speil har krumningssenteret $50\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilflaten. Hvor langt foran speilet ligger brennpunktet for stråler nær aksen?

Løsning: Paraksialt er brennvidden halve krumningsradien:

\frac{$50\text{\,}\mathrm{cm}$}{2}=\underline{\underline{$25\text{\,}\mathrm{cm}$}}.

Brennpunktet ligger $25\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilet, midt mellom speilflaten og krumningssenteret – men bare for stråler nær aksen; et vidåpent speil samler randstrålene kortere.

Som for linsen finnes det hovedstråler som er lette å tegne – de samme tre ideene, oversatt til refleksjon:

1.

Parallellstrålen går inn parallelt med aksen og reflekteres gjennom brennpunktet (for et konvekst speil: som om den kom fra det virtuelle brennpunktet bak).
2.

Sentrumsstrålen går gjennom krumningssenteret, treffer speilet langs normalen og reflekteres rett tilbake i seg selv.
3.

Toppunktstrålen treffer speilet i toppunktet, der aksen selv er normal, og reflekteres symmetrisk om aksen.

To av strålene bestemmer bildepunktet; den tredje er gratis kontroll. Tallene i figuren er de samme som i det første eksemplet i neste underemne – mål gjerne etter når du har regnet det.

Figur 9.20: De tre hovedstrålene for et konkavt speil med objektet utenfor krumningssenteret: bildet blir reelt, omvendt og forminsket, mellom brennpunktet og

C

Speilformelen

Nå gjør vi bildekonstruksjonen til regning, med samme teknikk som ga flateformelen. La et objektpunkt $O$ ligge på aksen foran et konkavt speil, la en stråle fra $O$ treffe speilet i høyden $y$ , og la den reflekterte strålen krysse aksen i bildepunktet $I$ .

Figur 9.21: Situasjonen med vinklene overdrevet; normalen i treffpunktet går som før gjennom

C

I paraksial tilnærming er hver vinkel en høyde delt på en avstand, som i utledningen av flateformelen:

u=\frac{y}{-s},\qquad\varphi=\frac{y}{-r},\qquad u^{\prime}=\frac{y}{s^{\prime}},

alle positive slik figuren er tegnet – objektet står foran ( $s<0$ ), krumningssenteret ligger foran ( $r<0$ ), og bildeavstanden $s^{\prime}$ måles positiv i den reflekterte lysretningen, etter regelen fra planspeilseksjonen. Innfallsvinkelen er vinkelen mellom strålen inn og normalen, $\theta=\varphi-u$ , og refleksjonsloven legger den reflekterte strålen like langt på den andre siden av normalen, så dens vinkel med aksen er $u^{\prime}=\varphi+\theta=2\varphi-u$ . Innsatt:

	$\displaystyle\frac{y}{s^{\prime}}$	$\displaystyle=\frac{2y}{-r}-\frac{y}{-s}$
	$\displaystyle\frac{1}{s^{\prime}}$	$\displaystyle=\frac{1}{s}-\frac{2}{r}.$

Høyden $y$ falt bort igjen: alle paraksiale stråler fra $O$ samles i samme bildepunkt, og speilet avbilder punkt til punkt akkurat som den brytende flaten. Og med $V=1/s$ og $V^{\prime}=1/s^{\prime}$ er resultatet vergensformelen enda en gang.

Viktig

Speilformelen på vergensform. Et sfærisk speil følger samme vergensformel som linsen,

V^{\prime}=V+P,\qquad\text{med speilstyrken}\qquad P=-\frac{2}{r},

med to presiseringer som begge følger av at refleksjonen snur lysretningen:

•

Krumningsradien $r$ måles som ellers positiv i det innkommende lysets retning. Et konkavt speil har krumningssenteret foran og $r<0$ , altså $P>0$ : samlende. Et konvekst speil har $r>0$ og $P<0$ : spredende.
•

Avstander etter refleksjonen regnes positive i den reflekterte lysretningen. Et reelt bilde har dermed $s^{\prime}>0$ og ligger foran speilet, på samme fysiske side som objektet; et virtuelt bilde har $s^{\prime}<0$ og ligger bak speilet.

Minustegnet i $P=-2/r$ er prisen for retningssnuingen. Til gjengjeld gjelder alt det andre uendret: forstørrelsen er $m=s^{\prime}/s=V/V^{\prime}$ og brennvidden $f=1/P$ , nøyaktig som for linsen.

Brennvidden bekrefter underemnet over: $f=1/P=-r/2$ , halve krumningsradien, med fortegnsbytte fordi $f$ måles i den reflekterte retningen mens $r$ måles i den innkommende. Et konkavt speil ( $r<0$ ) får $f>0$ – et reelt brennpunkt foran speilet – mens et konvekst speil får $f<0$ , det virtuelle brennpunktet bak. Forstørrelsen $m=s^{\prime}/s$ følger av toppunktstrålen på samme måte som senterstrålen ga den for linsen: strålen danner like vinkler med aksen før og etter refleksjonen, så objekttrekanten og bildetrekanten ved toppunktet har samme forhold mellom høyde og grunnlinje, og fortegnstolkningen fra linseseksjonen gjelder uendret. Kontroller gjerne planspeilgrensen: lar du $r$ vokse mot uendelig, flater speilet ut, $P\to 0$ , og formelen gir $s^{\prime}=s$ og $m=+1$ – bildet like langt bak speilet som objektet er foran ( $s^{\prime}<0$ ), like stort og rettvendt, nøyaktig planspeilresultatet fra tidligere i kapittelet.

Eksempel 9.5.2

Et konkavt speil har krumningssenteret $20\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilflaten, og et objekt står $30\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilet. Hvor dannes bildet, og hvordan ser det ut?

Løsning: Vi finner speilstyrken, kjører vergensformelen og tolker fortegnene. Krumningssenteret ligger foran speilet, mot det innkommende lyset, så $r=$-0.20\text{\,}\mathrm{m}$$ :

	$\displaystyle P$	$\displaystyle=-\frac{2}{r}=-\frac{2}{$-0.20\text{\,}\mathrm{m}$}=$10.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad f=\frac{1}{P}=$0.10\text{\,}\mathrm{m}$$
	$\displaystyle V$	$\displaystyle=\frac{1}{s}=\frac{1}{$-0.30\text{\,}\mathrm{m}$}\approx$-3.33\text{\,}\mathrm{D}$$
	$\displaystyle V^{\prime}$	$\displaystyle=V+P\approx-3.33+10.0=$6.67\text{\,}\mathrm{D}$$
	$\displaystyle s^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{1}{V^{\prime}}\approx\underline{\underline{$0.15\text{\,}\mathrm{m}$}}$

Forstørrelsen blir

m=\frac{s^{\prime}}{s}=\frac{$0.15\text{\,}\mathrm{m}$}{$-0.30\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{-0.5}}.

Bildet er reelt ( $s^{\prime}>0$ ) og ligger $15\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilet – på samme side som objektet, siden positivt nå betyr den reflekterte retningen – omvendt ( $m<0$ ) og halvparten så stort. Det er nøyaktig situasjonen i figur 9.20: objektet utenfor krumningssenteret, bildet mellom brennpunktet og krumningssenteret.

Eksempel 9.5.3

Samme formel, to nye situasjoner:

a)

Objektet fra forrige eksempel flyttes inn til $5.0\text{\,}\mathrm{cm}$ foran det samme konkave speilet ( $P=$10.0\text{\,}\mathrm{D}$$ ). Hvor er bildet nå?
b)

Et konvekst speil har krumningssenteret $20\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilflaten, og objektet står $30\text{\,}\mathrm{cm}$ foran. Hvor er bildet?

Løsning: Samme vergensformel begge steder; det er fortegnene som forteller historien. For a) står objektet innenfor brennvidden $f=$10\text{\,}\mathrm{cm}$$ :

V=\frac{1}{$-0.050\text{\,}\mathrm{m}$}=$-20.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad V^{\prime}=-20.0+10.0=$-10.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad s^{\prime}=\underline{\underline{$-0.10\text{\,}\mathrm{m}$}},

og $m=s^{\prime}/s=(-0.10)/(-0.050)=\underline{\underline{+2.0}}$ . Divergensen inn er større enn styrken, så lyset forlater speilet fortsatt divergerende: bildet er virtuelt ( $s^{\prime}<0$ ), ligger $10\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilet, og er rettvendt og dobbelt så stort. Det er sminkespeilet: et konkavt speil med ansiktet innenfor brennvidden gir et forstørret, rettvendt bilde å arbeide med.

For b) ligger krumningssenteret bak speilet, i lysets retning, så $r=$0.20\text{\,}\mathrm{m}$$ og $P=-2/r=$-10.0\text{\,}\mathrm{D}$$ :

V\approx$-3.33\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad V^{\prime}\approx-3.33-10.0=$-13.3\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad s^{\prime}\approx\underline{\underline{$-0.075\text{\,}\mathrm{m}$}},

og $m=s^{\prime}/s\approx(-0.075)/(-0.30)=\underline{\underline{+0.25}}$ . Bildet er virtuelt, $7.5\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilet, rettvendt og en firedel så stort. Det er sikkerhetsspeilet i butikkhjørnet: et konvekst speil gir alltid et forminsket, rettvendt oversiktsbilde – og nettopp forminskingen er poenget, for et lite bilde av en stor scene betyr stort synsfelt. Samme speil i a) som i det forrige eksemplet, samme formel i alle tre tilfellene – bare fortegnene ut skiller reelt fra virtuelt, omvendt fra rettvendt.

Figur 9.22: Konvekst speil med objektet foran, med hovedstrålene nummerert 1–3.

Strålediagrammet viser det konvekse speilet fra eksemplets del b): parallellstrålen reflekteres som fra det virtuelle brennpunktet, sentrumsstrålen mot $C$ vender tilbake i seg selv, og toppunktstrålen speiles om aksen. Ingen av de reflekterte strålene møtes – men bakoverforlengelsene (stiplet) møtes bak speilet, i toppen av det virtuelle, rettvendte, forminskede bildet.

Legg til slutt merke til hva speilformelen ikke inneholder: noen brytningsindeks. Linsens styrke kommer fra brytning og arver linsemakerformelens $(n-1)$ ; speilets avbildning kommer fra refleksjon alene, så brennvidden $f=-r/2$ og bildeplasseringene er de samme for alle bølgelengder – og upåvirket av hvilket medium som fyller rommet foran speilet. Én bokføringsdetalj hører med: står speilet i et medium med indeks $n$ og du regner med redusert vergens $V=n/s$ , skalerer begge vergensene med $n$ , og speilstyrken skrives $P=-2n/r$ – geometrien og bildeposisjonene er de samme. Det er grunnen til at store teleskoper bygges rundt speil i stedet for linser – og til at speilbildet fra en flate kan brukes til å måle flatens form uten å vite noe om materialet bak, som nå skal vise seg klinisk.

Keratometri – hornhinnen som speil

Husk fra kapittelet om bølger at en gjennomsiktig grenseflate både slipper lys gjennom og kaster noe tilbake. Øyets brytende flater er ikke noe unntak: hver av dem virker som et svakt, krumt speil, og speilbildene de danner av en lyskilde foran øyet, kalles Purkinje-bildene I–IV [96]. Bilde I kommer fra hornhinnens fremre flate – strengt tatt fra den blanke tårefilmen som kler den – og er det klareste, for indeksspranget er desidert størst der: flaten reflekterer omkring to prosent av lyset, og det er glansen du ser i et fotografi av et øye. Bilde II, fra hornhinnens bakflate, og bilde III, fra øyelinsens fremflate, er svake – de indre flatene har små indekssprang og kaster tilbake noen hundredeler av en prosent. Bilde IV, fra øyelinsens bakflate, skiller seg ut: den flaten vender sin hule side mot lyset og virker som et konkavt speil, så Purkinje-bilde IV er omvendt. Og fordi øyelinsens form endrer seg når øyet akkommoderer, flytter speilbildene fra linseflatene seg – det utnyttes i forskning som måler akkommodasjon ved å følge Purkinje-bildene [96].

Klinisk er det Purkinje-bilde I som bærer et helt instrument. Hornhinnens fremflate buler mot lyset: den er et lite konvekst speil, og fra forrige underemne vet du da alt om bildet den danner – virtuelt, rettvendt og kraftig forminsket, like bak flaten. Størrelsen på det bildet avhenger av krumningsradien, og det er nøkkelen: keratometeret holder et opplyst objekt med kjent størrelse – en mire, et fransk lånord som brukes uoversatt også på norsk – i kjent avstand foran øyet, måler hvor stort speilbildet av miren er, og regner ut radien. La miren ha høyde $h$ i avstanden $d$ foran hornhinnen, altså $s=-d$ . Avstanden er stor mot speilets brennvidde ( $d\gg\left|f\right|$ ), så bildet ligger tett ved brennplanet, $s^{\prime}\approx f=-r/2$ , og forstørrelsen blir

m=\frac{s^{\prime}}{s}\approx\frac{f}{s}=\frac{-r/2}{-d}=\frac{r}{2d},

som med $m=h^{\prime}/h$ løst for radien gir

r\approx 2d\,\frac{h^{\prime}}{h}.

Målt bildestørrelse, kjent mire, kjent avstand – ut kommer hornhinnens krumningsradius. Formelen er prinsippet, ikke instrumentet: et virkelig keratometer kalibreres med en instrumentkonstant i stedet for den enkle faktoren $2d$ , og fordi øyet aldri står helt stille, måles $h^{\prime}$ ikke med linjal, men med et prismepar som legger to kopier av bildet kant i kant – dobling rammes ikke av at begge kopiene rykker i takt.

Figur 9.23: Keratometeret leser av størrelsen på hornhinnens speilbilde av miren.

Eksempel 9.5.4

En hornhinne har fremre krumningsradius $7.8\text{\,}\mathrm{mm}$ – nær den skjematiske verdien fra seksjonen om linser. Et keratometer lyser mot den med en mire med høyde $40\text{\,}\mathrm{mm}$ i avstanden $100\text{\,}\mathrm{mm}$ .

a)

Finn hornhinnespeilets styrke og brennvidde.
b)

Hvor dannes speilbildet av miren, og hvor stort blir det?
c)

Keratometeret oppgir ikke radien selv, men K-verdien $K=\frac{n_{k}-1}{r}$ med den keratometriske brytningsindeksen $n_{k}=1.3375$ [97]. Hvilken K-verdi svarer radien til?

Løsning: Hornhinnens fremflate buler mot lyset, så den er et konvekst speil med krumningssenteret bak flaten: $r=$0.0078\text{\,}\mathrm{m}$$ . For a):

P=-\frac{2}{r}=-\frac{2}{$0.0078\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$-256\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad f=-\frac{r}{2}=\underline{\underline{$-3.9\text{\,}\mathrm{mm}$}}.

Tallverdien er enorm mot alt annet i kapittelet – en krumningsradius på under en centimeter gir et voldsomt sterkt speil – og det virtuelle brennpunktet ligger bare $3.9\text{\,}\mathrm{mm}$ bak flaten. For b) står miren i $s=$-0.100\text{\,}\mathrm{m}$$ :

V=$-10.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad V^{\prime}=-10.0-256.4=$-266.4\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad s^{\prime}=\frac{1}{V^{\prime}}\approx\underline{\underline{$-3.75\text{\,}\mathrm{mm}$}},

og forstørrelsen er $m=V/V^{\prime}=(-10.0)/(-266.4)\approx+0.0375$ . Bildet er virtuelt og ligger $3.75\text{\,}\mathrm{mm}$ bak flaten – tett ved brennplanet, som antatt i utledningen over – rettvendt og nesten $27$ ganger forminsket: miren på $40\text{\,}\mathrm{mm}$ avbildes som

h^{\prime}=m\cdot h\approx 0.0375\cdot$40\text{\,}\mathrm{mm}$=\underline{\underline{$1.5\text{\,}\mathrm{mm}$}}.

For c):

K=\frac{n_{k}-1}{r}=\frac{0.3375}{$0.0078\text{\,}\mathrm{m}$}\approx\underline{\underline{$43.3\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Husk fra kapittelet om algebra at keratometri måler $K_{1}$ og $K_{2}$ i de to hovedmeridianene og oppgir gjennomsnittet $K$ – det er nøyaktig dette tallet, og nå vet du hvor det kommer fra: et speilbilde. Legg merke til at $n_{k}=1.3375$ ikke er hornhinnens virkelige brytningsindeks $1.376$ . Med den virkelige indeksen ville fremflaten alene fått $(0.376)/($0.0078\text{\,}\mathrm{m}$)\approx$48.2\text{\,}\mathrm{D}$$ – men keratometeret ser bare fremflaten, mens K-verdien skal representere hele hornhinnen, og bakflaten trekker fra omkring $5\text{\,}\mathrm{D}$ til $6\text{\,}\mathrm{D}$ , slik du regnet i seksjonen om linser. Selve tallet skriver seg fra 1800-tallet og ble fastsatt slik at en hornhinneradius på $7.5\text{\,}\mathrm{mm}$ svarer til hornhinnestyrken $45\text{\,}\mathrm{D}$ [97] – regn etter: $0.3375/$0.0075\text{\,}\mathrm{m}$=$45\text{\,}\mathrm{D}$$ .

Oppgaver

Oppgave 9.5.1

Et konkavt speil har krumningssenteret $40\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilflaten, og et objekt står $100\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilet.

a)

Angi fortegnet på krumningsradien etter bokens konvensjon, og finn speilets styrke og brennvidde.
b)

Finn bildeavstanden $s^{\prime}$ og forstørrelsen $m$ .
c)

Er bildet reelt eller virtuelt, rettvendt eller omvendt, forstørret eller forminsket?

Løsningsforslag

Oppgave 9.5.1: Konkavt speil med objektet utenfor krumningssenteret – samme situasjon som i seksjonens andre eksempel.

a)

Krumningssenteret ligger foran speilet, mot det innkommende lyset, så $r=$-0.40\text{\,}\mathrm{m}$$ . Styrken og brennvidden blir

$P=-\frac{2}{r}=-\frac{2}{$-0.40\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$5.0\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad f=\frac{1}{P}=\underline{\underline{$0.20\text{\,}\mathrm{m}$}}.$
b)

Med $s=$-1.00\text{\,}\mathrm{m}$$ gir vergensformelen

$V=\frac{1}{s}=$-1.00\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad V^{\prime}=V+P=-1.00+5.0=$4.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad s^{\prime}=\frac{1}{V^{\prime}}=\underline{\underline{$0.25\text{\,}\mathrm{m}$}},$

og forstørrelsen er $m=V/V^{\prime}=(-1.00)/4.0=\underline{\underline{-0.25}}$ . Kontroll: $m=s^{\prime}/s=0.25/(-1.00)=-0.25$ .
c)

Bildet er reelt ( $s^{\prime}>0$ ) og ligger $25\text{\,}\mathrm{cm}$ foran speilet, mellom brennpunktet og krumningssenteret; $m<0$ og $\left|m\right|<1$ . Reelt, omvendt og forminsket til en firedel.

Oppgave 9.5.2

Et konvekst sikkerhetsspeil har krumningssenteret $2.0\text{\,}\mathrm{m}$ bak speilflaten. En person står $1.0\text{\,}\mathrm{m}$ foran speilet.

a)

Finn speilets styrke og bildeavstanden.
b)

Hvor stor er personen i speilbildet i forhold til i virkeligheten, og hvilken vei vender bildet?
c)

Kan et konvekst speil noen gang vise et forstørret bilde av et reelt objekt, uansett avstand? Begrunn med fortegnene i $V^{\prime}=V+P$ og $m=V/V^{\prime}$ .

Løsningsforslag

Oppgave 9.5.2: Konvekst speil: krumningssenteret ligger bak flaten, i lysets retning, så $r=$2.0\text{\,}\mathrm{m}$$ .

a)

Styrken er

$P=-\frac{2}{r}=-\frac{2}{$2.0\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$-1.0\text{\,}\mathrm{D}$}},$

og med $s=$-1.0\text{\,}\mathrm{m}$$ :

$V=$-1.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad V^{\prime}=-1.0-1.0=$-2.0\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad s^{\prime}=\frac{1}{V^{\prime}}=\underline{\underline{$-0.50\text{\,}\mathrm{m}$}}.$

Bildet ligger $0.50\text{\,}\mathrm{m}$ bak speilet.
b)

$m=V/V^{\prime}=(-1.0)/(-2.0)=\underline{\underline{+0.50}}$ : bildet er rettvendt og halvparten så stort som personen. Kontroll: $m=s^{\prime}/s=(-0.50)/(-1.0)=+0.50$ .
c)

Et reelt objekt står foran speilet, så $s<0$ og $V<0$ ; et konvekst speil har $P<0$ . Da er $V^{\prime}=V+P$ mer negativ enn $V$ , altså $\left|V^{\prime}\right|>\left|V\right|$ , og

$m=\frac{V}{V^{\prime}}=\frac{\left|V\right|}{\left|V^{\prime}\right|}\in(0,1).$

Nei – bildet er alltid virtuelt, rettvendt og forminsket, uansett avstand.

Oppgave 9.5.3

Du holder et sminkespeil $10\text{\,}\mathrm{cm}$ fra ansiktet og ser et rettvendt bilde av ansiktet som er tre ganger så stort.

a)

Er speilet konkavt eller konvekst? Begrunn før du regner.
b)

Finn speilets styrke og krumningsradius.
c)

Hvor ligger bildet, og er det reelt eller virtuelt?

Løsningsforslag

Oppgave 9.5.3: Invers oppgave: forstørrelsen og objektavstanden er kjent, speilet skal finnes.

a)

Et rettvendt og forstørret bilde utelukker planspeilet ( $m=+1$ ) og det konvekse speilet, som alltid forminsker (oppgave 9.5.2c). Speilet må være konkavt, med ansiktet innenfor brennvidden – sminkespeilsituasjonen fra seksjonens tredje eksempel.
b)

Rettvendt og tre ganger så stort betyr $m=+3$ . Med $s=$-0.10\text{\,}\mathrm{m}$$ er $V=1/s=$-10.0\text{\,}\mathrm{D}$$ , og $m=V/V^{\prime}$ gir

$V^{\prime}=\frac{V}{m}=\frac{$-10.0\text{\,}\mathrm{D}$}{3}\approx$-3.33\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad P=V^{\prime}-V=-\frac{10.0}{3}+10.0\approx\underline{\underline{$6.67\text{\,}\mathrm{D}$}},$

og krumningsradien følger av $P=-2/r$ :

$r=-\frac{2}{P}=\underline{\underline{$-0.30\text{\,}\mathrm{m}$}}.$

Kontroll: $f=1/P=$0.15\text{\,}\mathrm{m}$$ , så ansiktet i $10\text{\,}\mathrm{cm}$ står innenfor brennvidden, som a) krever; og fortegnet $r<0$ bekrefter konkavt speil.
c)

$s^{\prime}=1/V^{\prime}=$-0.30\text{\,}\mathrm{m}$$ : bildet er virtuelt og ligger $30\text{\,}\mathrm{cm}$ bak speilet. Kontroll: $m=s^{\prime}/s=(-0.30)/(-0.10)=+3$ , som oppgitt.

Oppgave 9.5.4

Et keratometer bruker en mire med høyde $64\text{\,}\mathrm{mm}$ i avstanden $100\text{\,}\mathrm{mm}$ fra hornhinnen, og speilbildet av miren måles til $2.40\text{\,}\mathrm{mm}$ .

a)

Bruk sammenhengen $r\approx 2d\,\frac{h^{\prime}}{h}$ til å finne hornhinnens krumningsradius.
b)

Finn K-verdien med den keratometriske indeksen $n_{k}=1.3375$ .
c)

Radien og K-verdien du nå har regnet ut, er nettopp det tallparet den keratometriske indeksen ble fastsatt etter. Forklar med egne ord hvorfor keratometre bruker $n_{k}=1.3375$ og ikke hornhinnens virkelige brytningsindeks $1.376$ – og hva som ville skjedd med K-verdiene om noen «rettet feilen».

Løsningsforslag

Oppgave 9.5.4: Keratometerregningen fra seksjonen, kjørt baklengs: fra målt bildestørrelse til radius og K-verdi.

a)

Med $h=$64\text{\,}\mathrm{mm}$$ , $h^{\prime}=$2.40\text{\,}\mathrm{mm}$$ og $d=$100\text{\,}\mathrm{mm}$$ :

$r\approx 2d\,\frac{h^{\prime}}{h}=2\cdot$100\text{\,}\mathrm{mm}$\cdot\frac{$2.40\text{\,}\mathrm{mm}$}{$64\text{\,}\mathrm{mm}$}=\underline{\underline{$7.5\text{\,}\mathrm{mm}$}},$

positiv fordi hornhinnens fremflate er et konvekst speil med krumningssenteret bak flaten. Kontroll: $m\approx r/2d=7.5/200=0.0375$ og $0.0375\cdot$64\text{\,}\mathrm{mm}$=$2.40\text{\,}\mathrm{mm}$$ , den målte bildestørrelsen.
b)

$K=\frac{n_{k}-1}{r}=\frac{0.3375}{$0.0075\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$45.0\text{\,}\mathrm{D}$}}.$

Det er nettopp kalibreringsparet fra seksjonens siste eksempel: radien $7.5\text{\,}\mathrm{mm}$ svarer per definisjon til $45\text{\,}\mathrm{D}$ .
c)

Keratometeret ser bare speilbildet fra fremflaten, men K-verdien skal representere hele hornhinnens styrke. Med den virkelige indeksen ville fremflaten alene gitt $0.376/$0.0075\text{\,}\mathrm{m}$\approx$50.1\text{\,}\mathrm{D}$$ – men bakflaten trekker fra omkring $5\text{\,}\mathrm{D}$ til $6\text{\,}\mathrm{D}$ , og den fiktive indeksen $n_{k}=1.3375$ baker den korreksjonen inn i én formel. Ville noen «rettet feilen» og brukt $1.376$ , ville alle K-verdier hoppet omkring $5\text{\,}\mathrm{D}$ opp, sluttet å representere hornhinnens samlede styrke, og brutt med all klinisk kalibrering og alle normverdier som er bygget på $n_{k}$ .

Oppgave 9.5.5

En medstudent hevder: «Speil og linser er egentlig det samme – bytt ut linsemakerformelen med $P=-2/r$ , så gjelder $V^{\prime}=V+P$ uendret.»

a)

Forklar hva som er riktig i påstanden.
b)

Forklar det ene man må være ekstra nøye med for speil, som ikke gjelder for en tynn linse – og hvorfor akkurat det gir minustegnet i $P=-2/r$ .
c)

Konstruer din egen speiloppgave – velg speiltype, krumningsradius og objektavstand – som gir et reelt og forstørret bilde, og vis med regning at den gjør det. Hvor må objektet stå i forhold til brennpunktet og krumningssenteret?

Løsningsforslag

Oppgave 9.5.5:

a)

Riktig er at hele regneapparatet er felles: vergensformelen $V^{\prime}=V+P$ , forstørrelsen $m=s^{\prime}/s=V/V^{\prime}$ og brennvidden $f=1/P$ gjelder uendret for speil – det eneste som byttes ut, er hvordan styrken beregnes. I tillegg mangler speilstyrken enhver brytningsindeks: avbildningen kommer fra refleksjon alene og er den samme for alle bølgelengder.
b)

Det ene man må være ekstra nøye med, er at refleksjonen snur lysretningen: avstander etter refleksjonen regnes positive i den reflekterte retningen, så et reelt bilde ( $s^{\prime}>0$ ) ligger foran speilet, på samme fysiske side som objektet. Det er nettopp denne retningssnuingen som gir minustegnet i $P=-2/r$ (og i $f=-r/2$ ): radien $r$ måles i den innkommende retningen, mens brennvidden og bildeavstandene måles i den reflekterte. For en tynn linse fortsetter lyset samme vei, og ingen slik snuing trengs.
c)

Konstruksjonen er åpen – mange valg av radius og objektavstand er gyldige. Vurderingsmoment: en godkjent besvarelse bruker et konkavt speil med objektet mellom brennpunktet og krumningssenteret, og regningen skal gi $s^{\prime}>0$ (reelt, foran speilet) og $\left|m\right|>1$ med $m<0$ (forstørret og omvendt) – for objektet utenfor $C$ blir bildet forminsket, innenfor $F$ blir det virtuelt, og et konvekst speil forstørrer aldri (oppgave 9.5.2c). Svaret på plasseringsspørsmålet er altså: objektet må stå mellom $F$ og $C$ .

Alle løsningsforslag til kapittel 9