Optiske instrumenter

Hvor stort noe ser ut, bestemmes ikke av objektets størrelse alene, men av synsvinkelen – husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at et objekt med høyde $h$ i avstanden $d$ spenner ut vinkelen gitt ved $\tan v=h/d$ ved øyet, og at netthinnebildets størrelse følger synsvinkelen. Lysfarten opptrer ikke i denne seksjonen, så her er $v$ trygt synsvinkelen igjen, slik sammenhengen tilsier.

Uten hjelpemidler har du bare én måte å gjøre synsvinkelen større på: å gå nærmere. Men nærpunktet setter grensen for hvor nær øyet kan fokusere, og som sammenligningsgrunnlag brukes referanseavstanden $D_{\text{ref}}=0.25\mathrm{m}$ fra kapittelet om algebra – avstanden for tydelig nærsyn, satt til 25 cm per konvensjon [5, oppslagsord «magnification, apparent»]. Der spenner objektet ut synsvinkelen

$$v_0\approx \frac{h}{D_{\text{ref}}},$$

der vi brukte småvinkeltilnærmingen $\tan v\approx v$ fra kapittelet om trigonometri og geometri – synsvinkler er små vinkler.

Lupen omgår nærpunktet med et enkelt grep: sett objektet i lupens fremre brennplan, $s=-f$. Vergensregningen forteller hva som skjer:

$$V=\frac{1}{s}=-\frac{1}{f}=-P,V^{\prime }=V+P=0.$$

Lyset forlater lupen parallelt – bildet ligger i det uendelige. For øyet bak lupen er det en gave: husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at akkommodasjonsbehovet er $1/d$, og for et bilde uendelig langt borte er det null. Øyet får se et stort bilde helt avslappet. Hvor stort? Hvert utgående knippe er parallelt, og retningen bestemmes av senterstrålen: fra objekttoppen i høyden $h$ går den ubrutt gjennom lupens senter, med vinkelen

$$v\approx \frac{h}{f}$$

mot aksen – småvinkeltilnærmingen igjen. Øyet ser altså objektet under synsvinkelen $h/f$ i stedet for $h/D_{\text{ref}}$, og forholdet mellom de to er forstørrelsen. Figuren viser begge situasjonene; overbevis deg om at senterstrålen i det nederste panelet virkelig har vinkelen $h/f$ mot aksen.

Lupen kan også brukes med akkommodasjon. Hold øyet inntil lupen og flytt objektet litt innenfor brennplanet, slik at det virtuelle bildet havner nettopp i referanseavstanden, $s^{\prime }=-D_{\text{ref}}$. Da står bildet i samme avstand som referanseobjektet vi sammenligner med, og vinkelforstørrelsen er rett og slett den laterale forstørrelsen, $M=m$ – det ene spesialtilfellet fra boksen. Linseformelen gir $m$ på to linjer: fra $\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}$ er $\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{\prime }}-\frac{1}{f}$, så

$$m=\frac{s^{\prime }}{s}=s^{\prime }\left(\frac{1}{s^{\prime }}-\frac{1}{f}\right)=1-\frac{s^{\prime }}{f}=1+\frac{D_{\text{ref}}}{f}.$$

Fortegnet stemmer: $m>0$, et rettvendt, virtuelt bilde, akkurat som lupesituasjonen i seksjonen om linser. Husk fra kapittelet om algebra at begge formlene stod i en oppgave der, med hver sin antakelse om bildet – nå ser du hvor «$1+$» kommer fra. Én og samme lupe har altså to ærlige forstørrelsestall: en $10\mathrm{D}$-lupe gir $2.5$ ganger med avslappet øye og $1+2.5=3.5$ ganger med bildet i referanseavstanden. Ingen selvmotsigelse – bare to ulike brukssituasjoner, og en forstørrelsesangivelse er meningsløs uten antakelsen bak.

I svaksynsoptikken, der luper er dagligdagse hjelpemidler, angis en lupe derfor helst ved styrken i dioptrier. Broen til forstørrelsen er kort: siden $D_{\text{ref}}=0.25\mathrm{m}=\frac{1}{4}\mathrm{m}$, er

$$M=P\cdot D_{\text{ref}}=\frac{P}{4}$$

– firedelsregelen, som vi kaller den her: styrken delt på fire gir forstørrelsen, og baklengs gir merket forstørrelse styrken $P=4M$. Navnet er bokens eget; regelen selv er standard i svaksynsoptikken og skrives der bare $M=P/4$ [98]. En lupe merket «$6\times$» har da styrken $P=24\mathrm{D}$ [98] – men merket hviler på en antakelse om bruken, og er det satt etter nærpunktvarianten $M=P/4+1$ i stedet, svarer samme merketall til $20\mathrm{D}$. Styrken i dioptrier er den pålitelige spesifikasjonen; forstørrelsestallet er en tolkning av den.

Hvor mye forstørrelse trenger så en pasient? Et klinisk startpunkt er forholdet mellom visusnivåene: skal en pasient med visus $6/60$ lese tekst på $6/12$-nivå, må synsvinkelen økes omkring $M=60/12=5$ ganger for at detaljene skal nå over pasientens oppløsningsgrense [99]. Anslaget er en startverdi å prøve seg fram fra, ikke en endelig forskrivning [99]. Hvor stor margin pasienten trenger ut over terskelen – og hvordan den henger sammen med leseaddisjonen – hører til kapittelet om optiske hjelpemidler. Og styrke har en pris: objektet skal stå i brennplanet, så arbeidsavstanden er brennvidden – og sterke luper har korte brennvidder, som neste eksempel viser.

Lupen hjelper bare når objektet kan flyttes til brennplanet. Tavla i klasserommet, TV-en tvers over stua og skiltet på andre siden av gaten står der de står – lyset derfra kommer tilnærmet parallelt, og skal synsvinkelen økes, må det et annet instrument til: teleskopet.

Den keplerske utgaven – det keplerske teleskopet, med to samlelinser – bygger direkte på det du alt kan. Den første linsen, objektivet, samler hvert parallelle knippe fra det fjerne objektet i sitt bakre brennplan: der står et reelt, omvendt mellombilde, som i seksjonen om linser. Den andre linsen, okularet, brukes som lupe på mellombildet: den stilles slik at dens fremre brennplan faller sammen med objektivets bakre. Da forlater lyset okularet parallelt, og øyet ser bildet avslappet, akkurat som med lupen. Avstanden mellom linsene er dermed

$$d=f_{\text{obj}}+f_{\text{ok}},$$

og systemet har en bemerkelsesverdig egenskap: parallelt lys inn gir parallelt lys ut. Et slikt system kalles afokalt – det har ingen samlet styrke og endrer ikke vergensen ($V=0$ inn, $V^{\prime }=0$ ut); alt det gjør, er å endre retningen på knippene, og det er nettopp det synsvinkelen handler om.

Forstørrelsen leser vi ut av figuren. Et knippe fra kanten av det fjerne objektet kommer inn med vinkelen $u$ mot aksen. Senterstrålen gjennom objektivet går ubrutt og krysser det felles brennplanet i høyden $h=f_{\text{obj}}\cdot u$ – småvinkeltilnærmingen som ellers i kapittelet. Fra det punktet forlater lyset okularet som et parallelt knippe, og retningen gis av senterstrålen gjennom okularets senter: vinkelen blir $u^{\prime }=h/f_{\text{ok}}$. Forholdet er vinkelforstørrelsen:

$$M=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{f_{\text{obj}}\cdot u/f_{\text{ok}}}{u}=\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{ok}}}=\frac{P_{\text{ok}}}{P_{\text{obj}}}.$$

Langt objektiv og kort okular gir stor forstørrelse – eller på styrkeform: svakt objektiv og sterkt okular. Følg så knippet gjennom figuren én gang til: det kommer inn på skrå nedover og forlater okularet på skrå oppover. Mellombildet er omvendt, og okularet snur det ikke tilbake – det keplerske teleskopet viser verden opp ned. For stjernehimmelen spiller det ingen rolle; foran et øye i hverdagen må bildet reises av prismer eller speil inne i kikkerten.

Det finnes en eldre og enklere måte å reise bildet på: det galileiske teleskopet bytter okularet ut med en spredelinse, . Vilkåret er det samme – okularets fremre brennplan skal falle sammen med objektivets bakre – men for en spredelinse ligger det fremre brennpunktet bak linsen, slik du så i seksjonen om linser. Okularet må derfor stå foran objektivets brennplan og fange det konvergerende lyset før det rekker å samles: mellombildet blir aldri dannet, men punktet strålene var på vei mot, ligger nøyaktig i okularets fremre brennplan, og lyset forlater okularet parallelt. Avstanden er fortsatt $d=f_{\text{obj}}+f_{\text{ok}}$ – nå med negativ $f_{\text{ok}}$, så tuben blir kortere enn objektivets brennvidde – og forstørrelsen er samme brøk regnet med tallverdier, $M=f_{\text{obj}}/\left|f_{\text{ok}}\right|=\left|P_{\text{ok}}\right|/P_{\text{obj}}$. Følg knippet i figuren: det forlater okularet på skrå nedover, samme side av aksen som det kom inn – bildet er rettvendt, uten prismer. Prisen er et smalere synsfelt enn i et keplersk teleskop med samme forstørrelse.

Begge designene lever i beste velgående i optometrien, som kikkertbriller: små teleskoper montert på en brilleinnfatning, et etablert svaksynshjelpemiddel for avstandsoppgaver – tavle, TV, teater. De leveres i forstørrelser fra $1.5\times$ til $8\times$ [98]. De svakeste er som regel galileiske: lettere og billigere, korte nok til å sitte i et brilleglass, og med rettvendt bilde uten ekstra prismer [98, 100]. Ved høyere forstørrelse velges keplerske design, som gir større synsfelt og bedre bildekvalitet, men som trenger et bildereisende prisme og dermed blir lengre og tyngre [100]. I en bioptisk montering sitter det lille teleskopet øverst i bæreglasset: pasienten ser vanlig gjennom glasset og senker haken for å sikte gjennom teleskopet når noe skal forstørres.

Instrumentene du kommer til å bruke hver dag i undersøkelsesrommet, er bygget av nøyaktig de delene dette kapittelet har utledet. Tre av dem fortjener et første, kvalitativt blikk allerede nå.

Retinoskopet sender en smal lysstripe inn i pasientens pupill og vipper den fram og tilbake. Lyset som vender tilbake fra netthinnen, fyller pupillen med en rødlig refleks, og når stripen sveipes, vandrer refleksen – med bevegelsen eller mot den, avhengig av vergensen på lyset som forlater pasientens øye. Undersøkeren legger prøveglass foran øyet til refleksen slutter å vandre; da ligger pasientens fjernpunkt – punktet øyet avbilder skarpt på netthinnen uten å akkommodere – nettopp i undersøkerens pupilleplan, og etter en korreksjon for arbeidsavstanden er brytningsfeilen bestemt. Alt sammen er vergensregning med formlene fra dette kapittelet; den fulle behandlingen kommer i kapittelet om refraksjonsmetoder.

Det direkte oftalmoskopet lar undersøkeren se pasientens netthinne gjennom pupillen, og forstørrelsen kommer gratis fra firedelsregelen: pasientens eget øye virker som lupe på sin egen netthinne. Med en samlet øyestyrke på omkring $60\mathrm{D}$ – den klassiske skjematiske verdien; énplansmodellen i seksjonen om linser ga $55.7\mathrm{D}$, samme størrelsesorden – gir firedelsregelen $M\approx 60/4=15$: undersøkeren ser netthinnen omkring femten ganger forstørret. Forstørrelsen varierer med brytningsfeilen: hos en nærsynt pasient ser undersøkeren netthinnen mer forstørret, hos en langsynt mindre.

Spaltelampen er undersøkelsesrommets arbeidshest: et sammensatt mikroskop – et objektiv danner et reelt, forstørret mellombilde, og et okular brukes som lupe på det, samme totrinnsidé som det keplerske teleskopet, bare med objektet centimeter unna – montert sammen med en belysningsarm som kan vinkles fritt og snevres til en smal lysspalte, slik at lyssnittet skjærer et optisk tverrsnitt gjennom hornhinne, forkammer og linse. Disse instrumentene får sin ordentlige behandling i senere kapitler; poenget her er at du allerede eier språket de er bygget i.