Kapittel 7 · Mekanikk og bevegelse · 7.4

Rotasjonsbevegelse

Så langt har hver bevegelse i dette kapittelet vært en forflytning langs en linje. Men mye i naturen roterer: et hjul, en sentrifuge, en platespiller – og øyeeplet ditt, som ikke flytter seg gjennom rommet, men dreier om sitt eget sentrum hver gang blikket skifter. Den gode nyheten er at du ikke trenger å begynne på nytt. Rotasjon beskrives med de samme kalkulusgrepene som lineær bevegelse, ledd for ledd: en vinkel spiller posisjonens rolle, dens deriverte er en vinkelfart, og dennes deriverte igjen er en vinkelakselerasjon. Denne seksjonen bygger den parallellen, og lander på synsfagets reneste eksempel på rotasjon: sakkaden, det raske blikkskiftet du allerede møtte i seksjon 1 – nå med de rette størrelsene for å regne på det.

Vinkelposisjon, vinkelfart og vinkelakselerasjon

Tenk deg et punkt på en roterende skive. For å si hvor det er, oppgir vi ikke en lengde, men en vinkelposisjon $\theta$ – vinkelen fra en valgt startretning, målt mot klokka slik konvensjonen fra vektorkapittelet sier. Vi måler den i radianer, vinkelmålet fra kapittelet om trigonometri, der $2\pi\ \text{rad}$ er én hel omdreining. Radianen er det naturlige valget her, av samme grunn som den var det for buelengden: den kobler vinkelen direkte til strekningen langs sirkelen, slik vi straks skal se.

Roterer skiva, endrer vinkelposisjonen seg med tiden, $\theta(t)$ . Hvor fort den dreier, er endringsraten til vinkelen – vinkelfarten $\omega$ (den greske bokstaven omega). Akkurat som den momentane hastigheten var den deriverte av posisjonen, er vinkelfarten den deriverte av vinkelposisjonen:

\omega=\frac{d\theta}{dt}.

Enheten leser du av brøken: radianer delt på sekunder, altså $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ . Endrer vinkelfarten seg i sin tur, har vi en vinkelakselerasjon $\alpha$ (alfa), den deriverte av vinkelfarten – rotasjonens motstykke til akselerasjonen:

\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}},

målt i $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ .

Legg merke til hvor nøyaktig dette speiler den lineære bevegelsen fra seksjon 1. Hver størrelse der har et motstykke i rotasjonen, og de henger sammen på nøyaktig samme måte – ved derivasjon. Denne parallellen er verdt å sette opp side ved side, for den lar deg overføre alt du allerede kan om rett bevegelse til det som roterer:

Størrelse	Lineær bevegelse	Rotasjon
posisjon	$s$ ( $\mathrm{m}$ )	$\theta$ ( $\mathrm{rad}$ )
fart	$v=\dfrac{ds}{dt}$ ( $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ )	$\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$ ( $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ )
akselerasjon	$a=\dfrac{dv}{dt}$ ( $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ )	$\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}$ ( $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ )

Denne tabellen får to rader til før seksjonen er over, når vi møter rotasjonens motstykker til masse og kraft.

Vinkelfart og vanlig fart er ikke det samme, men de er knyttet sammen. Et punkt i avstand $r$ fra rotasjonsaksen beveger seg langs en sirkelbue mens skiva dreier, og buelengden er $s=r\theta$ – nøyaktig formelen radianen ga deg i trigonometrikapittelet. Deriverer vi begge sider med hensyn på tid (radien $r$ er fast), får vi punktets banefart langs sirkelen:

v=\frac{ds}{dt}=r\,\frac{d\theta}{dt}=r\omega.

Enheten stemmer: radianen er dimensjonsløs (en buelengde delt på en radius), så $\mathrm{m}$ ganger $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ blir $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ , en fart som forventet. Sammenhengen $v=r\omega$ har en umiddelbar konsekvens: to punkter på samme skive har samme vinkelfart $\omega$ , men ulik banefart, fordi $v$ vokser med avstanden $r$ fra aksen. Ytterkanten av en platespiller farer raskere gjennom lufta enn et punkt nær midten, selv om hele plata dreier ett omløp på samme tid.

Figur 7.6: Et punkt i avstand

r

fra aksen dreier vinkelen

\theta

; banefarten

v=r\omega

peker tangentielt, vinkelrett på radien.

Eksempel 7.4.1

En skive dreier seg jevnt og roterer $6.0\text{\,}\mathrm{rad}$ på $0.50\text{\,}\mathrm{s}$ . Hva er vinkelfarten $\omega$ , og hvor mange radianer dreier den seg på $2.0\text{\,}\mathrm{s}$ ?

Løsning: Vinkelfarten er vinkelendringen delt på tiden – samme brøk som gjennomsnittsfart, med en vinkel i telleren.

\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{6.0}{0.50}\ $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$12\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

Siden farten er jevn, er vinkelen som funksjon av tid $\theta=\omega t$ , og på $2.0\text{\,}\mathrm{s}$ blir det

\theta=\omega t=12\cdot 2.0\ $\mathrm{rad}$=\underline{\underline{$24\text{\,}\mathrm{rad}$}}.

Det er nær fire hele omdreininger, siden én omdreining er $2\pi\approx$6.28\text{\,}\mathrm{rad}$$ .

Frekvens og periode

For roterende og gjentakende bevegelse er det ofte mer naturlig å telle omdreininger enn radianer. Antallet omdreininger – eller mer generelt svingninger – per sekund kaller vi frekvensen $f$ . Enheten er én per sekund, som har fått sitt eget navn, hertz ( $\mathrm{Hz}$ ):

$1\text{\,}\mathrm{Hz}$=$1\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$.

En motor på $50\text{\,}\mathrm{Hz}$ fullfører altså femti omdreininger i sekundet. Tiden én omdreining tar, er perioden $T$ , og den er ganske enkelt den omvendte av frekvensen:

T=\frac{1}{f}.

Går noe rundt femti ganger i sekundet, tar hver runde en femtidels sekund, $T=$1\text{\,}\mathrm{s}$/50=$20\text{\,}\mathrm{ms}$$ .

Frekvensen henger sammen med vinkelfarten, for én omdreining er $2\pi$ radianer. Dreier skiva $f$ omdreininger i sekundet, sveiper den $2\pi f$ radianer i sekundet, altså

\omega=2\pi f.

Med $f=$50\text{\,}\mathrm{Hz}$$ blir $\omega=2\pi\cdot 50\approx$314\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . De tre størrelsene $\omega$ , $f$ og $T$ beskriver den samme rotasjonen på tre måter, og du veksler fritt mellom dem.

Disse tre størrelsene er ikke bare nyttige for rotasjon – de er selve språket for alt som svinger regelmessig. I neste kapittel, om bølger og oscillasjoner, beskriver nøyaktig $\omega$ , $f$ og $T$ en pendel som gynger og en fjær som dirrer: hvor mange svingninger per sekund, hvor lang tid hver tar, og hvor raskt fasen skrider fram. Rotasjonen her er den enkleste inngangen til dem.

Sentripetalakselerasjon

Et punkt som går i sirkel med konstant banefart, har likevel en akselerasjon. Det høres selvmotsigende ut – farten endrer seg jo ikke – men retningen gjør det hele tiden, og en endring i hastighetens retning er også en akselerasjon. Denne akselerasjonen peker inn mot sentrum av sirkelen og kalles sentripetalakselerasjonen (av latin for «sentrumssøkende»). Størrelsen er

a=\frac{v^{2}}{r}=\omega^{2}r,

der de to formene er den samme, som du ser ved å sette inn $v=r\omega$ : da blir $v^{2}/r=(r\omega)^{2}/r=\omega^{2}r$ . Etter Newtons andre lov krever en slik akselerasjon en kraft, $F=ma$ , rettet innover mot sentrum – det er den kraften som holder punktet i sirkelbanen i stedet for å la det fortsette rett fram slik treghetsloven ellers ville krevd. Snoren i en slynge, friksjonen mot veibanen i en sving, tyngdekraften på en satellitt: alle leverer den innoverrettede kraften.

Figur 7.7: Banefarten

v

peker tangentielt, mens sentripetalakselerasjonen

a

peker inn mot sentrum – vinkelrett på farten.

Eksempel 7.4.2

Et punkt ligger $8.0\text{\,}\mathrm{cm}$ fra rotasjonsaksen på en skive som roterer med $\omega=$12\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ . (a) Hvor stor er banefarten $v$ til punktet? (b) Hvor stor er sentripetalakselerasjonen $a$ ?

Løsning: Banefarten er $v=r\omega$ , og sentripetalakselerasjonen $a=\omega^{2}r$ ; vi regner i meter, så $r=$0.080\text{\,}\mathrm{m}$$ .

v=r\omega=0.080\cdot 12\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$0.96\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

Sentripetalakselerasjonen er

a=\omega^{2}r=12^{2}\cdot 0.080\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=144\cdot 0.080\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$\approx\underline{\underline{$11.5\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}}.

En kryssjekk med den andre formen bekrefter svaret: $v^{2}/r=0.96^{2}/0.080=0.9216/0.080=$11.52\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ , det samme – som det må være, siden de to formene er den samme akselerasjonen. Legg merke til at $a$ her er drøyt én $g$ : allerede en beskjeden rotasjon gir merkbar sentripetalakselerasjon.

Dreiemoment og treghetsmoment

Newtons andre lov, $F=ma$ , sier hva som skal til for å endre en lineær bevegelse. Rotasjon har sin egen versjon – med to nye størrelser som er rotasjonens motstykker til kraft og masse.

Det som endrer en rotasjon, er ikke kraften alene, men kraften ganger armen den virker med. Du vet det fra erfaring: en dør er tyngre å svinge om du dytter nær hengslene enn ute ved kanten, selv med samme kraft. Denne dreiende virkningen kaller vi dreiemomentet $\tau$ (den greske bokstaven tau, et nytt symbol her). Virker kraften $F$ vinkelrett på en arm av lengde $r$ fra aksen, er dreiemomentet

\tau=rF,

målt i $\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$ . Står kraften i en vinkel til armen, er det bare den vinkelrette komponenten som dreier; da blir $\tau=rF\sin\theta$ , størst når kraften står vinkelrett på armen ( $θ=90°$ ) og null når den peker rett langs den.

Figur 7.8: Vinkelen

\theta

måles mellom armen

r

og kraften

F

Rotasjonens motstykke til massen er treghetsmomentet $I$ : målet på hvor sterkt en gjenstand motsetter seg å bli vinkelakselerert, slik massen målte motstanden mot lineær akselerasjon. Det avhenger ikke bare av hvor mye masse gjenstanden har, men av hvor langt fra aksen massen sitter – masse langt ute er tyngre å få i sving. Enheten er derfor $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$ . For en massiv kule som roterer om en akse gjennom sentrum er treghetsmomentet

I=\tfrac{2}{5}mr^{2}.

Vi oppgir denne formelen uten å utlede den: utledningen krever at man summerer massebidraget fra hvert punkt i kula veid med kvadratet av avstanden til aksen, et volumintegral av et slag denne boken ikke tar. Formen er verdt å merke seg likevel – treghetsmomentet vokser som $r^{2}$ , nettopp fordi det er avstanden fra aksen, ikke bare massen, som teller.

Med disse to størrelsene får rotasjonen sin egen andre lov, en eksakt parallell til $F=ma$ :

\tau=I\alpha.

Et dreiemoment gir en vinkelakselerasjon, omvendt proporsjonal med treghetsmomentet – akkurat som en kraft gir en akselerasjon omvendt proporsjonal med massen. Enhetene bekrefter parallellen: $I\alpha$ har enheten $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$ ganger $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ , som er $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ , og det er $\mathrm{m}$ ganger $\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=$\mathrm{N}$ , altså $\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$ – et dreiemoment. Nå kan vi fullføre parallelltabellen fra starten av seksjonen med de to siste radene:

Størrelse	Lineær bevegelse	Rotasjon
«masse»	$m$ ( $\mathrm{kg}$ )	$I$ ( $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$ )
«kraft»	$F$ ( $\mathrm{N}$ )	$\tau$ ( $\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$ )

Her møter vi symbolkollisjonen fra kapittelets første boks igjen: $F$ er en kraft i newton, ikke glasstyrken i dioptri fra Prentice’ regel i vektorkapittelet. Nå kan vi bruke hele dette maskineriet på synsfagets fremste eksempel på rotasjon.

Sakkaden som rotasjon

I seksjon 1 møtte du sakkaden – det raske blikkskiftet – og vi bemerket at den strengt tatt er en rotasjon, ikke en forflytning. Nå har du størrelsene til å behandle den ordentlig. Under en sakkade dreier øyeeplet om sitt eget sentrum: en vinkelbevegelse med en vinkelposisjon, en vinkelfart og en vinkelakselerasjon, akkurat de størrelsene denne seksjonen har bygget opp.

Sakkader følger et velkjent mønster kalt hovedsekvensen: jo større blikkskiftet er, desto høyere blir toppvinkelfarten og desto lengre varer det [68]. En typisk lesesakkade på et par grader varer omkring $30\text{\,}\mathrm{ms}$ [69, s. 373], mens en $10°$ -sakkade varer omkring $50\text{\,}\mathrm{ms}$ og når omkring $410 °/s$ [50]. For store blikkskift flater sammenhengen ut: toppfarten stiger stadig mindre for hver grad amplituden vokser, og for blikkskift fra $40°$ og opp metter den på et nivå rundt $500 °/s$ [70] – hvor metningen ligger, varierer noe med måleteknikken. En enkel og lærerik modell av tidsforløpet er å tenke seg vinkelfarten som en trekant: den stiger jevnt fra null til en topp midtveis og faller symmetrisk tilbake til null. Da kobler kalkulusen fra forrige kapittel rett inn – for arealet under en fart–tid-graf er den tilbakelagte «strekningen», her den samlede vinkelen sakkaden dreier, altså amplituden. Arealet av en trekant med høyde $\omega_{\text{topp}}$ og grunnlinje $t$ er $\tfrac{1}{2}\omega_{\text{topp}}\,t$ , så amplituden $A$ er

A=\tfrac{1}{2}\,\omega_{\text{topp}}\,t,

og av dette leser du toppvinkelfarten $\omega_{\text{topp}}=2A/t$ direkte, mens gjennomsnittsfarten er $\omega_{\text{middel}}=A/t$ .

Figur 7.9: Trekantmodellen for sakkadens vinkelfart: arealet under grafen er amplituden

A

, så toppen ligger dobbelt så høyt som gjennomsnittet.

Eksempel 7.4.3

Et øye utfører en sakkade med amplitude $10°$ på $50\text{\,}\mathrm{ms}$ . Modellér vinkelfart–tid-forløpet som en trekant, slik at farten stiger jevnt til en topp og faller symmetrisk tilbake. (a) Finn den gjennomsnittlige vinkelfarten. (b) Bruk at amplituden er arealet under fart–tid-grafen til å finne toppvinkelfarten, og gjør den om til $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ . (c) Er det rimelig at et ekte øye når en enda høyere topp enn trekantmodellen gir?

Løsning: Vi regner i grader per sekund, med amplituden $A=10°$ og varigheten $t=$0.050\text{\,}\mathrm{s}$$ . Gjennomsnittsfarten er amplituden delt på tiden:

ωmiddel=At=10°0.050 s=200 °/s.

Toppfarten leser vi av trekantarealet, $A=\tfrac{1}{2}\omega_{\text{topp}}\,t$ , løst for toppen:

ωtopp=2At=2⋅10°0.050 s=400 °/s.

Omregnet til radianer, med $180°=πrad$ :

\omega_{\text{topp}}=400\cdot\frac{\pi}{180}\ $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$\approx\underline{\underline{$7.0\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

For (c): nei – og trekantmodellen er bedre enn den ser ut. Ekte sakkadeprofiler er klokkeformede, ikke skarpe trekanter, men for sakkader opp mot $10°$ er profilen nesten symmetrisk, og siden varigheten måles fra nullfart til nullfart, blir arealet under den ekte kurven nesten det samme som trekantens. Målinger på normale sakkader gir rundt $410 °/s$ for en $10°$ -sakkade på omtrent $50\text{\,}\mathrm{ms}$ [50] – praktisk talt det trekantmodellen ga deg – og regner du forholdet $\omega_{\text{topp}}\,t/A$ ut av slike måletall, får du rundt $2$ , akkurat det modellen forutsier. Modellen fanger dermed både størrelsesordenen og det vesentlige: at toppen ligger godt over gjennomsnittet, akkurat som seksjon 1 argumenterte for. For de aller største blikkskiftene blir fartsprofilen tydelig skjev [70], og da treffer trekanten dårligere.

Eksempel 7.4.4

Vi tar sakkaden fra forrige eksempel ett skritt videre og spør hvilke krefter den krever. Modellér øyet som en massiv kule med masse $m=$7\text{\,}\mathrm{g}$$ [71] og radius $r=$12\text{\,}\mathrm{mm}$$ , halve aksiallengden. (a) Regn ut treghetsmomentet $I=\tfrac{2}{5}mr^{2}$ . (b) Toppvinkelfarten ( $\approx$7.0\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ ) nås på omtrent halve varigheten, $25\text{\,}\mathrm{ms}$ ; anslå vinkelakselerasjonen $\alpha$ og dreiemomentet $\tau=I\alpha$ som skal til for å gi øyet denne treghetsakselerasjonen. (c) Hvis en øyemuskel virker vinkelrett på øyeeplet med en arm lik øyeradien, hvor stor kraft svarer $\tau$ til? (d) Kan øyets rotasjonstreghet alene forklare hvor kraftig musklene faktisk må dra?

Løsning: Vi bruker treghetsmomentet for en kule, rotasjonens andre lov $\tau=I\alpha$ , og til slutt $F=\tau/r$ .

For (a), med $m=$0.0070\text{\,}\mathrm{kg}$$ og $r=$0.012\text{\,}\mathrm{m}$$ :

I=\tfrac{2}{5}mr^{2}=0.4\cdot 0.0070\cdot(0.012)^{2}\ $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$\approx\underline{\underline{$4.0\text{\times}{10}^{-7}\text{\,}\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}}.

En fornuftssjekk mot geometrien fra kapitlene om trigonometri og kalkulus: en kule med $r=$12\text{\,}\mathrm{mm}$$ har volum $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\approx$7.2\text{\,}{\mathrm{cm}}^{3}$$ , som ved en tetthet nær vannets ( $\approx$1\text{\,}\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$$ ) gir en masse på om lag $7.2\text{\,}\mathrm{g}$ – i fin overensstemmelse med de $7\text{\,}\mathrm{g}$ vi startet med. For (b) er vinkelakselerasjonen fartsendringen delt på tiden, og dreiemomentet følger av $\tau=I\alpha$ :

\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{7.0}{0.025}\ $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=$280\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$,

\tau=I\alpha=$4.0\text{\times}{10}^{-7}$\cdot 280\ $\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$\approx\underline{\underline{$1.1\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$}}.

For (c) er kraften dreiemomentet delt på armen:

F=\frac{\tau}{r}=\frac{$1.1\text{\times}{10}^{-4}$}{0.012}\ $\mathrm{N}$\approx$9.2\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{N}$=\underline{\underline{$9.2\text{\,}\mathrm{mN}$}}.

Det er om lag tyngden av ett gram. For (d): nei. Denne kraften er så liten at øyets rotasjonstreghet nesten ikke er det musklene kjemper mot. Den virkelige muskelkraften går i all hovedsak med til å overvinne den seige, fjærlignende viskoelastiske motstanden fra øyemusklene og vevet i øyehulen – ikke til å vinkelakselerere selve øyeeplet [72]. Modellen «stiv kule uten friksjon» treffer altså kinematikken – vinkelfart og akselerasjon – men bommer på kreftene. Det er verdt å ta med seg: en fysikkmodell kan være helt riktig for én størrelse og likevel gi et misvisende bilde av en annen.

Ved siden av sakkaden gjør øyet også andre rotasjoner du vil møte igjen klinisk. Glatt følgebevegelse er den rolige dreiningen øyet gjør når det følger et objekt i bevegelse, med langt lavere vinkelfart enn sakkaden. Den vestibulo-okulære refleksen dreier øynene motsatt vei av hodet, slik at blikket holdes stødig når du beveger deg. Begge er rotasjoner om øyets sentrum, beskrevet med de samme størrelsene $\theta$ , $\omega$ og $\alpha$ ; sakkaden er bare den som lar seg tallfeste renest.

Oppgaver

Oppgave 7.4.1

En vifte roterer med $1200$ omdreininger per minutt.

a)

Finn omdreiningsfrekvensen $f$ i hertz.
b)

Finn perioden $T$ .
c)

Finn vinkelfarten $\omega$ i $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ .

Løsningsforslag

Oppgave 7.4.1: Viften gjør $1200$ omdreininger per minutt, altså per $60\text{\,}\mathrm{s}$ .

a)

Frekvensen er antall omdreininger per sekund: $f=$1200$/$60\text{\,}\mathrm{s}$=\underline{\underline{$20\text{\,}\mathrm{Hz}$}}$ .
b)

Perioden er den omvendte av frekvensen: $T=1/f=1/$20\text{\,}\mathrm{Hz}$=\underline{\underline{$0.050\text{\,}\mathrm{s}$}}$ – hver omdreining tar $50\text{\,}\mathrm{ms}$ .
c)

Én omdreining er $2\pi$ radianer, så $\omega=2\pi f=2\pi\cdot 20\ $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$\approx\underline{\underline{$126\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$ . Kontroll: $1200$ omdreininger er $1200\cdot 2\pi\approx$7540\text{\,}\mathrm{rad}$$ på $60\text{\,}\mathrm{s}$ , og $7540/60\approx$126\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ – samme svar.

Oppgave 7.4.2

En skive roterer med $\omega=$15\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ .

a)

Finn banefarten $v$ til et punkt $5.0\text{\,}\mathrm{cm}$ fra aksen.
b)

Finn sentripetalakselerasjonen $a$ i samme punkt.
c)

Et annet punkt ligger dobbelt så langt ute, $10\text{\,}\mathrm{cm}$ fra aksen. Hvor mange ganger så stor er banefarten der, og hvor mange ganger så stor er sentripetalakselerasjonen? Begrunn ut fra formlene.

Løsningsforslag

Oppgave 7.4.2: Vi regner i meter, så $r=$0.050\text{\,}\mathrm{m}$$ .

a)

Banefarten er $v=r\omega=0.050\cdot 15\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$0.75\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$ .
b)

Sentripetalakselerasjonen er $a=\omega^{2}r=15^{2}\cdot 0.050\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=11.25\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$\approx\underline{\underline{$11\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}}$ . Kryssjekk med den andre formen: $v^{2}/r=0.75^{2}/0.050=$11.25\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ , det samme – som det må være.
c)

Hele skiva har samme vinkelfart $\omega$ , og både $v=r\omega$ og $a=\omega^{2}r$ er proporsjonale med $r$ . Dobles avstanden fra aksen, dobles derfor begge: banefarten blir dobbelt så stor ( $v=$1.5\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$$ ) og sentripetalakselerasjonen dobbelt så stor ( $a=$22.5\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ ).

Oppgave 7.4.3

En hurtig sakkade har amplitude $20°$ og varer $60\text{\,}\mathrm{ms}$ . Modellér vinkelfart–tid-forløpet som en trekant.

a)

Finn den gjennomsnittlige vinkelfarten i grader per sekund.
b)

Bruk at amplituden er arealet under fart–tid-grafen til å finne toppvinkelfarten, og gjør den om til $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ .
c)

Sammenlign toppfarten din med en $10°$ -sakkade på $50\text{\,}\mathrm{ms}$ (toppfart $400 °/s$ ). Stemmer det med hovedsekvensen, at en større sakkade har høyere toppfart?

Løsningsforslag

Oppgave 7.4.3: Amplituden er $A=20°$ og varigheten $t=$0.060\text{\,}\mathrm{s}$$ .

a)

Gjennomsnittsfarten er amplituden delt på tiden: $ωmiddel=A/t=20°/0.060 s≈333 °/s$ .
b)

Amplituden er arealet under trekanten, $A=\tfrac{1}{2}\omega_{\text{topp}}\,t$ , så $ωtopp=2A/t=2⋅20°/0.060 s≈667 °/s$ – dobbelt så høyt som gjennomsnittet, slik trekantmodellen krever. Omregnet med $180°=πrad$ : $\omega_{\text{topp}}=667\cdot\dfrac{\pi}{180}\ $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$\approx\underline{\underline{$11.6\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$ .
c)

Ja. Toppfarten $667 °/s$ ligger godt over de $400 °/s$ en $10°$ -sakkade når, og varigheten er også lengre ( $60\text{\,}\mathrm{ms}$ mot $50\text{\,}\mathrm{ms}$ ) – begge deler nøyaktig det hovedsekvensen sier: større amplitude gir høyere toppfart og lengre varighet.

Oppgave 7.4.4

Bygg videre på den store sakkaden fra forrige oppgave (amplitude $20°$ , toppvinkelfart om lag $11.6\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ ), og modellér øyet som en massiv kule med masse $7\text{\,}\mathrm{g}$ og radius $12\text{\,}\mathrm{mm}$ .

a)

Regn ut treghetsmomentet $I=\tfrac{2}{5}mr^{2}$ .
b)

Anta at toppvinkelfarten nås på omtrent halve varigheten, altså på $30\text{\,}\mathrm{ms}$ . Anslå vinkelakselerasjonen $\alpha$ og dreiemomentet $\tau=I\alpha$ som skal til.
c)

Hvis en øyemuskel virker vinkelrett med en arm lik øyeradien, hvor stor tangentiell kraft svarer $\tau$ til?
d)

Sammenlign dreiemomentet ditt med de $1.1\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$ eksemplet fant for en $10°$ -sakkade. Kan øyets rotasjonstreghet alene forklare hvor kraftig musklene faktisk må dra? Hva mangler i «stiv kule»-modellen?

Løsningsforslag

Oppgave 7.4.4: Vi bruker $m=$0.0070\text{\,}\mathrm{kg}$$ og $r=$0.012\text{\,}\mathrm{m}$$ , og går veien treghetsmoment $\to$ rotasjonens andre lov $\tau=I\alpha$ $\to$ kraft $F=\tau/r$ .

a)

$I=\tfrac{2}{5}mr^{2}=0.4\cdot 0.0070\cdot(0.012)^{2}\ $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$\approx\underline{\underline{$4.0\text{\times}{10}^{-7}\text{\,}\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}}$ – samme øye som i eksempelet, og derfor samme treghetsmoment.
b)

Vinkelakselerasjonen er fartsendringen delt på tiden: $\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}=\dfrac{11.6}{0.030}\ $\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$\approx\underline{\underline{$3.9\text{\times}{10}^{2}\text{\,}\mathrm{rad}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}}$ , og dreiemomentet $\tau=I\alpha=$4.0\text{\times}{10}^{-7}$\cdot 387\ $\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$\approx\underline{\underline{$1.5\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$}}$ .
c)

$F=\dfrac{\tau}{r}=\dfrac{$1.5\text{\times}{10}^{-4}$}{0.012}\ $\mathrm{N}$\approx$1.3\text{\times}{10}^{-2}\text{\,}\mathrm{N}$=\underline{\underline{$13\text{\,}\mathrm{mN}$}}$ . Kontroll uten mellomresultatene: $F=\tfrac{2}{5}mr\alpha=0.4\cdot 0.0070\cdot 0.012\cdot 387\ $\mathrm{N}$\approx$0.013\text{\,}\mathrm{N}$$ – samme svar.
d)

Dreiemomentet er bare om lag $1.4$ ganger eksemplets $1.1\text{\times}{10}^{-4}\text{\,}\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$ , enda amplituden er doblet, og kraften – om lag tyngden av $1.3\text{\,}\mathrm{g}$ – er fortsatt ørliten. Nei: øyets rotasjonstreghet alene kan ikke forklare hvor kraftig musklene må dra. «Stiv kule uten friksjon»-modellen mangler den seige, fjærlignende viskoelastiske motstanden fra øyemusklene og vevet i øyehulen, som er det muskelkraften i hovedsak går med til å overvinne. Modellen treffer kinematikken, men bommer på kreftene – akkurat som seksjonens siste eksempel konkluderte.

Alle løsningsforslag til kapittel 7