Kapittel 7 · Mekanikk og bevegelse · 7.3

Arbeid, energi og effekt

Forrige seksjon knyttet kraft til akselerasjon. Men en kraft som virker langs en strekning gjør noe mer: den overfører energi til gjenstanden – den kan sette den i bevegelse, løfte den, eller lagre en evne til bevegelse. Energi kan skifte form, men går aldri tapt – et av fysikkens mest bærende prinsipper. De tre størrelsene arbeid, energi og effekt fanger dette regnskapet, og de hviler alle på integralet fra forrige kapittel, for arbeid er nettopp et areal under en kraftkurve. Anvendelsen vi lander på, er øyevern: hvor mye energi et prosjektil bærer, og hva som skal til for å stanse det uten skade.

Arbeid

Når du dytter en gjenstand med en kraft $F$ og den flytter seg en strekning $s$ i kraftens retning, sier vi at kraften gjør et arbeid på gjenstanden. For en konstant kraft langs bevegelsen er arbeidet rett og slett kraft ganger strekning:

W=F\cdot s.

Symbolet $W$ er nytt her; det står for arbeid, som kapittelets første viktig-boks varslet. Enheten følger av definisjonen – en kraft i newton ganget med en strekning i meter – og har fått sitt eget navn, joule ( $\mathrm{J}$ ):

$1\text{\,}\mathrm{J}$=$1\text{\,}\mathrm{N}$\cdot$1\text{\,}\mathrm{m}$=$1\text{\,}\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$.

Leser du newton som $\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ fra forrige seksjon, ser du hva en joule er i grunnenheter:

$1\text{\,}\mathrm{J}$=$1\text{\,}\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$\cdot$\mathrm{m}$=$1\text{\,}\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$.

Den formen kommer vi til å kjenne igjen straks – det er den samme enheten kinetisk energi bærer.

Kraften er ikke alltid konstant. Trykker du sammen en fjær, øker kraften jo lenger inn du presser; da duger ikke $W=F\cdot s$ med én fast $F$ . Her kommer integralet fra forrige kapittel inn. Husk at et bestemt integral er arealet under en graf. Tegner vi kraften $F$ langs den loddrette aksen og posisjonen $s$ langs den vannrette – en $F$ – $s$ -graf – er arbeidet arealet under kurven:

W=\int F\,ds.

For en konstant kraft er grafen en vannrett linje, og arealet under den er et rektangel med høyde $F$ og bredde $s$ – altså $W=F\cdot s$ . Formelen for konstant kraft er ikke noe annet enn det enkleste spesialtilfellet av integralet, akkurat som forflytningen var arealet under $v$ – $t$ -grafen i seksjon 1.

Figur 7.5: Arbeidet er arealet under

F

–

s

-grafen: et rektangel når kraften er konstant, arealet under kurven når den varierer.

Én ting til: bare den delen av kraften som peker langs bevegelsen gjør arbeid. Drar du en slede med et tau som danner en vinkel $\theta$ med bakken, er det bare kraftkomponenten langs bakken som trekker sleden framover; den loddrette komponenten løfter bare litt i tauet og bidrar ikke til forflytningen. Fra trigonometrien er den vannrette komponenten $F\cos\theta$ , så arbeidet blir

W=F\,s\cos\theta.

Vi projiserer altså kraften ned på bevegelsesretningen og beholder bare komponenten langs den – den samme komponent-tankegangen du brukte på vektorer i vektorkapittelet. Med $\theta=0$ (kraft rett langs bevegelsen) er $\cos\theta=1$ , og vi er tilbake ved $W=F\cdot s$ .

Eksempel 7.3.1

En kran løfter en betongblokk med masse $m=$200\text{\,}\mathrm{kg}$$ rett opp en høyde $h=$4.0\text{\,}\mathrm{m}$$ . Hvor stort arbeid gjør kranen mot tyngdekraften? Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

Løsning: Kranen må trekke oppover med en kraft lik tyngden $G=mg$ for å løfte blokken i jevn fart, og denne kraften virker langs hele løftet, så arbeidet er kraft ganger strekning.

W=G\cdot h=mgh=200\cdot 9.81\cdot 4.0\ $\mathrm{J}$\approx\underline{\underline{$7848\text{\,}\mathrm{J}$}}.

Det er nær $7.85\text{\,}\mathrm{kJ}$ . Merk at $F$ her er tyngden i newton, ikke en glasstyrke i dioptri; enheten $\mathrm{N}\text{\,}\mathrm{m}$ bekrefter at svaret er et arbeid i joule.

Energi

Arbeidet en kraft gjør, forsvinner ikke – det lagres som energi i gjenstanden. Energi er evnen til å gjøre arbeid, og den finnes i mange former; her trenger vi to.

Den første er kinetisk energi – bevegelsesenergi, energien en gjenstand har i kraft av farten sin. For en gjenstand med masse $m$ og fart $v$ er den

E_{k}=\tfrac{1}{2}mv^{2}.

At uttrykket har nettopp denne formen, kan du overbevise deg om ved å regne arbeidet som skal til for å bringe en gjenstand fra ro opp i farten $v$ med en konstant kraft. Den tidløse likningen fra seksjon 1 gir $v^{2}=2a\,\Delta s$ når startfarten er null, altså $a\,\Delta s=\tfrac{1}{2}v^{2}$ . Arbeidet er $W=F\,\Delta s=ma\,\Delta s=m\cdot\tfrac{1}{2}v^{2}=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ – akkurat den kinetiske energien. Enheten stemmer også: $\mathrm{kg}$ ganger ${\mathrm{m}}^{2}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ er $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ , som vi nettopp så er joule.

Regnestykket over sier noe mer generelt. Arbeidet den samlede kraften gjør på en gjenstand, er lik endringen i dens kinetiske energi – arbeid–energi-setningen:

W_{\text{netto}}=\Delta E_{k}=\tfrac{1}{2}mv^{2}-\tfrac{1}{2}mv_{0}^{2}.

Gjør du positivt nettoarbeid på en gjenstand, øker farten; gjør friksjon negativt arbeid, avtar den. Dette er ofte en snarvei forbi bevegelseslikningene: kjenner du kreftene og strekningen, får du sluttfarten direkte uten å regne deg gjennom tid og akselerasjon.

Den andre formen er potensiell energi – lagret energi i kraft av posisjon. Løfter du en gjenstand med masse $m$ en høyde $h$ , gjør du et arbeid $m g h$ mot tyngden, og den energien lagres: slipper du gjenstanden, gir tyngdekraften den tilbake som bevegelse. Tyngdens potensielle energi er derfor

E_{p}=mgh,

regnet fra et valgt nullnivå. Enheten er igjen joule: $\mathrm{kg}$ ganger $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ ganger $\mathrm{m}$ er $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ .

Når bare tyngdekraften gjør arbeid – ingen friksjon, ingen luftmotstand – kan energien skifte mellom disse to formene, men summen holder seg konstant. En gjenstand som faller, veksler potensiell energi inn i kinetisk; en pendel som svinger opp, veksler den andre veien. Denne energibevaringen lar oss finne en sluttfart uten å kjenne kreftene i detalj, som neste eksempel viser.

Eksempel 7.3.2

En liten kule slippes fra ro og glir friksjonsfritt ned fra en høyde $h=$1.25\text{\,}\mathrm{m}$$ over det laveste punktet på banen. Hvor stor fart har den i bunnen? Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

Løsning: Ingen friksjon virker, så energien er bevart: den potensielle energien i toppen går fullstendig over til kinetisk energi i bunnen. Vi setter de to formene like store, $E_{p}=E_{k}$ :

mgh=\tfrac{1}{2}mv^{2}.

Massen står i begge ledd og forkortes bort – sluttfarten avhenger ikke av hvor tung kula er. Løser vi for farten:

v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 1.25}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$\approx\underline{\underline{$4.95\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

At massen faller ut, er verdt å merke seg: en tung og en lett kule sluppet fra samme høyde treffer bunnen med samme fart, av samme grunn som alle gjenstander faller like fort. Legg også merke til at $\sqrt{2gh}$ er nøyaktig farten et fritt fall fra høyden $h$ ville gitt – energibetraktningen bryr seg om høydeforskjellen, ikke om veien dit.

Eksempel 7.3.3

En kloss med masse $m=$1.0\text{\,}\mathrm{kg}$$ ligger i ro på et friksjonsfritt bord. En konstant vannrett kraft på $6.0\text{\,}\mathrm{N}$ virker på den langs bordet over en strekning på $3.0\text{\,}\mathrm{m}$ . Hvilken fart har klossen fått?

Løsning: Du kunne funnet akselerasjonen med $F=ma$ , så farten med bevegelseslikningene – men arbeid–energi-setningen gir svaret på ett skritt, siden all den kinetiske energien kommer fra arbeidet kraften gjør. Arbeidet er kraft ganger strekning (kraften er langs bevegelsen):

W=F\cdot s=6.0\cdot 3.0\ $\mathrm{J}$=$18\text{\,}\mathrm{J}$.

Klossen starter fra ro, så hele dette arbeidet blir kinetisk energi, $W=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ . Løst for farten:

v=\sqrt{\frac{2W}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 18}{1.0}}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\sqrt{36}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$6.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

Poenget her er valget av metode: når du kjenner kraft og strekning, men ikke bryr deg om tiden, er energibetraktningen den korteste veien – den hopper rett over akselerasjonen og bevegelseslikningene fra seksjon 1.

Effekt

To kraner kan løfte den samme blokken like høyt og dermed gjøre det samme arbeidet – men den ene kan bruke ett sekund og den andre et helt minutt. Forskjellen er effekt: hvor raskt arbeidet gjøres, altså arbeid per tid.

P=\frac{W}{t}.

Gjøres arbeidet ujevnt, er dette gjennomsnittseffekten; den momentane effekten er den deriverte $P=\frac{dW}{dt}$ , arbeidsraten i øyeblikket – samme derivasjonstankegang som knyttet fart til posisjon.

Enheten er watt ( $\mathrm{W}$ ), og den følger av definisjonen – arbeid i joule delt på tid i sekunder:

$1\text{\,}\mathrm{W}$=$1\text{\,}\mathrm{J}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$.

En lyspære på $60\text{\,}\mathrm{W}$ bruker altså $60\text{\,}\mathrm{J}$ energi hvert sekund. I grunnenheter er $\mathrm{W}$ lik $\mathrm{kg}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-3}$ – du kan lese det av $\mathrm{J}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ ved å sette inn joule fra tidligere.

Eksempel 7.3.4

En liten heis løfter en person med masse $m=$70\text{\,}\mathrm{kg}$$ en høyde $h=$3.0\text{\,}\mathrm{m}$$ på $t=$6.0\text{\,}\mathrm{s}$$ . (a) Hvor stort arbeid gjør heisen mot tyngdekraften? (b) Hvilken effekt svarer dette til? Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

Løsning: Arbeidet mot tyngden er $W=mgh$ , og effekten er dette arbeidet delt på tiden. For (a):

W=mgh=70\cdot 9.81\cdot 3.0\ $\mathrm{J}$\approx\underline{\underline{$2060\text{\,}\mathrm{J}$}},

altså vel $2\text{\,}\mathrm{kJ}$ . For (b) deler vi på tiden:

P=\frac{W}{t}=\frac{2060}{6.0}\ $\mathrm{W}$\approx\underline{\underline{$343\text{\,}\mathrm{W}$}}.

Et par hundre watt er i størrelsesorden med en liten elektrisk motor – rimelig for en beskjeden heis. Og merk igjen: de $343\text{\,}\mathrm{W}$ er en effekt, ikke en styrke i dioptri.

Anvendelse: energi og øyevern

Nå har vi verktøyet til å forstå hvorfor øyevern virker – og hvor grensen for beskyttelsen går. Et prosjektil som treffer øyet – en ball, en airsoftkule, en metallsplint – bærer kinetisk energi $\tfrac{1}{2}mv^{2}$ . Skal det stanses uten skade, må hele denne energien tas opp som arbeid et annet sted enn i øyevevet. Det er nettopp det et par vernebriller gjør: linsen stopper prosjektilet over en kort bremsestrekning $s$ , og den gjennomsnittlige kraften som trengs, følger av arbeid–energi-setningen. Kraften ganget med bremsestrekningen er lik den kinetiske energien som skal tas opp, $F\cdot s=E_{k}$ , så

F=\frac{E_{k}}{s}.

Her ligger hele ideen bak vern: jo lengre bremsestrekning, jo mindre kraft. En stiv flate som stopper kula på en brøkdels millimeter påfører en enorm kraft; en linse som gir litt etter og forlenger bremseveien, senker kraften tilsvarende.

Denne fysikken er kalibrert inn i standardene for vernebriller. Den amerikanske standarden ANSI/ISEA Z87.1 tester briller ved å skyte en stålkule med diameter $6.35\text{\,}\mathrm{mm}$ og masse $1.04\text{\,}\mathrm{g}$ mot linsen i $45.7\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ [58], hvilket svarer til en kinetisk energi

E_{k}=\tfrac{1}{2}mv^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 0.00104\cdot 45.7^{2}\ $\mathrm{J}$\approx$1.1\text{\,}\mathrm{J}$.

Den europeiske standarden EN 166 lander på omtrent samme sted med andre tall: laveste nivå for vern mot høyhastighetspartikler skyter en stålkule på minst $0.86\text{\,}\mathrm{g}$ i $45\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ [59, punkt 7.2.2, tab. 7, s. 14], altså minst $0.87\text{\,}\mathrm{J}$ . Tettsittende vernebriller og ansiktsskjermer testes langt hardere: i Z87.1 med $76.2\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ for tettsittende vernebriller og $91.4\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ for ansiktsskjermer [58]. Brilletypen ligger på det laveste testnivået i begge standardene: i Z87.1 deler brillene det laveste nivået med sveiseskjermer, og i EN 166 er de to høyere nivåene – $120\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ og $190\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ – ikke tillatt for briller [58, 59]. EN 166:2001 er ikke lenger den standarden EU viser til: revisjonen av den ga EN ISO 16321-1:2022 for øye- og ansiktsvern til yrkesbruk, og henvisningen til EN 166:2001 er trukket tilbake fra EU-tidende med virkning fra 11. november 2025 [60, vedlegg I post 164 og vedlegg II post 2]. Tallene over er EN 166s, ikke den nye standardens.

Den ene joulen er ikke et tilfeldig tall. En airsoftkule på $0.20\text{\,}\mathrm{g}$ som forlater løpet i $100\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ bærer praktisk talt den samme energien – en standard-testkule og den grensen flere land setter for airsoft og liknende innretninger faller sammen på om lag $1\text{\,}\mathrm{J}$ [61, 62]. Grensene er forbundsregler fra Norges Airsoftforbund, og de er oppgitt i munningsenergi, ikke i fart [63]. Våpenforskriften fører airsoftvåpen blant skytevåpnene som er fritatt fra kravet om tillatelse, og setter ingen energigrense for dem; våpenloven setter heller ingen [64, 65]. Den laveste klassen, J-1, tillater opptil $1.2\text{\,}\mathrm{J}$ med ubegrenset skuddtakt og uten krav til sikkerhetsavstand. Klassene over hever taket, og de fleste av dem strammer samtidig inn på skuddtakt og avstand: $1.5\text{\,}\mathrm{J}$ halvautomatisk med $10\text{\,}\mathrm{m}$ sikkerhetsavstand, $2\text{\,}\mathrm{J}$ halvautomatisk med $20\text{\,}\mathrm{m}$ , $3\text{\,}\mathrm{J}$ manuelt ladet med $30\text{\,}\mathrm{m}$ , og en egen klasse på $2\text{\,}\mathrm{J}$ med ubegrenset skuddtakt og $20\text{\,}\mathrm{m}$ som til gjengjeld bare tillates fra en fast eller kjøretøymontert stilling. Øverst ligger en klasse på $3.9\text{\,}\mathrm{J}$ , manuelt ladet, med $40\text{\,}\mathrm{m}$ sikkerhetsavstand; den kan ikke brukes alene, men krever en makker som bekrefter at avstanden holdes før hvert skudd. For spill som foregår utelukkende innendørs, er grensen $0.9\text{\,}\mathrm{J}$ .

Sammenlign dette med testnivåene. Innendørsgrensen er den eneste som ligger innenfor det brillene er prøvd for – og bare så vidt: $0.9\text{\,}\mathrm{J}$ ligger under Z87.1s $1.1\text{\,}\mathrm{J}$ , men faktisk litt over EN 166s $0.87\text{\,}\mathrm{J}$ . Utendørs ligger samtlige klasser over begge testene: allerede den laveste tillater $1.2\text{\,}\mathrm{J}$ , og den øverste over tre ganger så mye. En linse som består brilletesten, er altså prøvd i området $0.87\text{\,}\mathrm{J}$ til $1.1\text{\,}\mathrm{J}$ , og ingen av utendørsklassene ligger innenfor det [63]. Utendørs hviler vernet derfor like mye på sikkerhetsavstanden og på begrensningene i skuddtakt og stilling som på selve linsen.

Men tallene tvinger også fram en grense, som det siste eksempelet får deg til å regne på.

Eksempel 7.3.5

Squash og badminton hører til idrettene med høy risiko for alvorlig øyeskade: både ballen og fjærballen er små og kommer i stor fart, og fjærballen er liten nok til å treffe øyeeplet direkte inne i øyehulen [66]. En squashball har masse om lag $24\text{\,}\mathrm{g}$ [67]; anta at en hardt slått ball holder $40\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ . (a) Regn ut den kinetiske energien til en slik squashball. (b) Sammenlign med en airsoftkule på $0.20\text{\,}\mathrm{g}$ i $100\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ . (c) Anta at et par vernebriller stanser airsoftkula over en bremsestrekning på $5\text{\,}\mathrm{mm}$ , og anslå den gjennomsnittlige kraften på linsen. (d) Vurder påstanden «sportsbriller absorberer all støtenergi» i lys av tallene.

Løsning: Vi bruker $E_{k}=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ for energiene og $F=E_{k}/s$ for kraften over bremsestrekningen.

For (a), med $m=$0.024\text{\,}\mathrm{kg}$$ :

E_{k}=\tfrac{1}{2}\cdot 0.024\cdot 40^{2}\ $\mathrm{J}$\approx\underline{\underline{$19\text{\,}\mathrm{J}$}}.

For (b), airsoftkula med $m=$0.000\,20\text{\,}\mathrm{kg}$$ :

E_{k}=\tfrac{1}{2}\cdot 0.00020\cdot 100^{2}\ $\mathrm{J}$=\underline{\underline{$1.0\text{\,}\mathrm{J}$}},

praktisk talt energien standardtestene for briller er dimensjonert for. Squashballen bærer altså nær tjue ganger så mye energi som airsoftkula. For (c):

F=\frac{E_{k}}{s}=\frac{$1.0\text{\,}\mathrm{J}$}{$0.005\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$200\text{\,}\mathrm{N}$}}.

Kortere bremsestrekning ville gitt større kraft: stanset over $1\text{\,}\mathrm{mm}$ i stedet, ble kraften fem ganger så stor. Det er derfor en linse som gir etter og forlenger bremseveien beskytter bedre enn en helt stiv flate.

For (d): tallene tåler ikke påstanden om at brillene «absorberer all støtenergi». De er prøvd for et støt på om lag $1\text{\,}\mathrm{J}$ – en airsoftkule, en liten splint – som en punktlast på linsen. Men squashballens $19\text{\,}\mathrm{J}$ ligger en hel størrelsesorden over det linsen punkttestes for. Mot en slik ball verner sportsbriller først og fremst ved å dekke øyehulen og avbøye eller fordele støtet, ikke ved å suge opp all energien i selve linsen. De fjerner ikke risikoen; de reduserer den kraftig. Fysikken forteller deg like tydelig hva vernet klarer som hva det ikke klarer, og en optometrist som anbefaler øyevern bør kjenne begge deler.

Energi- og effektbegrepene vender tilbake i neste kapittel om bølger og oscillasjoner, der en pendel eller en fjær hele tiden veksler mellom kinetisk og potensiell energi – den energibevaringen du så over, satt i regelmessig bevegelse. Og i kapittelets siste seksjon får selve bevegelseslæren sine roterende motstykker: rotasjon møter sine egne versjoner av fart, masse og kraft.

Oppgaver

Oppgave 7.3.1

Du skyver en bok med en konstant vannrett kraft på $15\text{\,}\mathrm{N}$ i kraftens retning, en strekning på $2.0\text{\,}\mathrm{m}$ bortover bordet. Hvor stort arbeid gjør du på boken? Oppgi svaret i joule.

Løsningsforslag

Oppgave 7.3.1: Kraften er konstant og virker langs bevegelsen, så arbeidet er kraft ganger strekning:

W=F\cdot s=15\cdot 2.0\ $\mathrm{J}$=\underline{\underline{$30\text{\,}\mathrm{J}$}}.

Oppgave 7.3.2

Du drar en slede med et tau som danner en vinkel på $30°$ med bakken. Tauet strammer med en kraft på $50\text{\,}\mathrm{N}$ , og sleden flyttes $10\text{\,}\mathrm{m}$ vannrett. Hvor stort arbeid gjør tauet på sleden? Husk at bare kraftkomponenten langs bevegelsen bidrar.

Løsningsforslag

Oppgave 7.3.2: Bare komponenten langs bakken gjør arbeid, så vi bruker $W=F\,s\cos\theta$ med $θ=30°$ :

W=50⋅10⋅cos30°J=500⋅32J=2503J≈433 J.

Den loddrette komponenten på $50sin30°=25 N$ løfter bare i tauet og bidrar ikke til arbeidet.

Oppgave 7.3.3

En kloss med masse $2.0\text{\,}\mathrm{kg}$ ligger i ro på et friksjonsfritt bord. En konstant kraft på $9.0\text{\,}\mathrm{N}$ virker på den langs bordet over en strekning på $4.0\text{\,}\mathrm{m}$ .

a)

Hvor stort arbeid gjør kraften på klossen?
b)

Bruk arbeid–energi-setningen til å finne farten klossen har fått.
c)

Forklar med én setning hvorfor denne metoden er raskere enn å gå veien om akselerasjon og bevegelseslikninger.

Løsningsforslag

Oppgave 7.3.3:

a)

Kraften er konstant og langs bevegelsen:

$W=F\cdot s=9.0\cdot 4.0\ $\mathrm{J}$=\underline{\underline{$36\text{\,}\mathrm{J}$}}.$
b)

Klossen starter fra ro, så hele arbeidet blir kinetisk energi, $W=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ . Løst for farten:

$v=\sqrt{\frac{2W}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 36}{2.0}}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\sqrt{36}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$6.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.$

(Kontroll via bevegelseslikningene: $a=F/m=$4.5\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ gir $v^{2}=2a\,\Delta s=36$ , altså samme svar.)
c)

Arbeid–energi-setningen gir farten direkte fra kraft og strekning, uten å regne ut akselerasjonen og tiden underveis – ett steg i stedet for to.

Oppgave 7.3.4

En liten heis løfter en person med masse $70\text{\,}\mathrm{kg}$ en høyde på $3.0\text{\,}\mathrm{m}$ på $6.0\text{\,}\mathrm{s}$ . Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

a)

Hvor stort arbeid gjør heisen mot tyngdekraften?
b)

Hvilken effekt, i watt, svarer dette til?
c)

En medstudent skriver svaret i (b) som et tall i dioptri. Forklar kort hvorfor det er feil enhet.

Løsningsforslag

Oppgave 7.3.4:

a)

Arbeidet mot tyngden er

$W=mgh=70\cdot 9.81\cdot 3.0\ $\mathrm{J}$\approx\underline{\underline{$2060\text{\,}\mathrm{J}$}}.$
b)

Effekten er arbeidet delt på tiden:

$P=\frac{W}{t}=\frac{2060}{6.0}\ $\mathrm{W}$\approx\underline{\underline{$343\text{\,}\mathrm{W}$}}.$
c)

Symbolet $P$ betegner her en effekt – arbeid per tid, målt i watt ( $\mathrm{J}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ ). Dioptri er enheten for linsestyrke, den resiproke brennvidden i ${\mathrm{m}}^{-1}$ , og er en helt annen størrelse; de to deler bare symbolet, ikke betydningen.

Oppgave 7.3.5

En liten metallsplint fra sliping, med masse $0.10\text{\,}\mathrm{g}$ , treffer et par vernebriller i $140\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ .

a)

Regn ut splintens kinetiske energi.
b)

Sammenlign med en paintballkule på $3.0\text{\,}\mathrm{g}$ i $90\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ ved å regne dens kinetiske energi.
c)

Anta at brillelinsen stanser metallsplinten over en bremsestrekning på $4\text{\,}\mathrm{mm}$ , og anslå den gjennomsnittlige kraften på linsen.
d)

Vurder påstanden «sportsbriller absorberer all støtenergi» i lys av tallene dine. Hva verner slike briller egentlig mot, og hvor slutter den beskyttelsen?

Løsningsforslag

Oppgave 7.3.5: Vi bruker $E_{k}=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ for energiene og $F=E_{k}/s$ for kraften over bremsestrekningen.

a)

Med $m=$0.000\,10\text{\,}\mathrm{kg}$$ :

$E_{k}=\tfrac{1}{2}\cdot 0.00010\cdot 140^{2}\ $\mathrm{J}$=\underline{\underline{$0.98\text{\,}\mathrm{J}$}}.$

Det er praktisk talt den ene joulen standardtestene for briller er dimensjonert for.
b)

Paintballkula, med $m=$0.0030\text{\,}\mathrm{kg}$$ :

$E_{k}=\tfrac{1}{2}\cdot 0.0030\cdot 90^{2}\ $\mathrm{J}$\approx\underline{\underline{$12\text{\,}\mathrm{J}$}},$

omtrent tolv ganger så mye som splinten.
c)

Med $s=$0.004\text{\,}\mathrm{m}$$ :

$F=\frac{E_{k}}{s}=\frac{$0.98\text{\,}\mathrm{J}$}{$0.004\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{$245\text{\,}\mathrm{N}$}}.$
d)

Tallene tåler ikke påstanden. Linsen er prøvd som punktlast i området rundt $1\text{\,}\mathrm{J}$ – splintens $0.98\text{\,}\mathrm{J}$ ligger akkurat innenfor, og der absorberer linsen reelt støtenergien over bremsestrekningen. Paintballkulas om lag $12\text{\,}\mathrm{J}$ ligger en størrelsesorden over; mot slike prosjektiler verner brillene først og fremst ved å dekke øyehulen og avbøye eller fordele støtet, ikke ved å suge opp all energien i linsen. Beskyttelsen slutter altså der støtenergien vokser forbi det linsen punkttestes for – brillene reduserer risikoen kraftig, men fjerner den ikke.

Alle løsningsforslag til kapittel 7