Brytningsfeil: myopi, hyperopi, astigmatisme

Husk fra seksjonen om øyet som optisk system at et emmetropt øye tilfredsstiller

$$P=\frac{n^{\prime }}{L},$$

der $P$ er øyets samlede styrke, $n^{\prime }$ indeksen i mediet bak og $L$ netthinneavstanden. Emmetropi er en match mellom disse: parallelt lys ender nøyaktig på netthinnen. Ametropi er det motsatte – styrke og lengde er ikke avstemt, så det avslappede øyet fokuserer parallelt lys enten foran netthinnen (for mye styrke for lengden: myopi, nærsynthet) eller bak den (for lite: hyperopi, langsynthet).

Det samme misforholdet kan oppstå på to rene måter, og det er verdt å skille dem. Ved aksial ametropi er styrken normal, men aksiallengden feil: et for langt øye blir myopt, et for kort hyperopt. Ved refraktiv ametropi er aksiallengden normal, men den samlede styrken feil: en for sterk hornhinne eller linse gir myopi, en for svak gir hyperopi. De fleste virkelige øyne blander de to, men det er aksiallengden som bærer mesteparten av variasjonen: i en tysk befolkningsstudie av 5123 voksne mellom 40 og 80 år forklarte aksiallengden alene om lag $54\mathrm{\%}$ av variansen i sfærisk ekvivalent, mens hornhinnestyrken forklarte bare $1\mathrm{\%}$ [154].

Hvor følsomt øyet er for aksiallengden, leser vi rett av $P=n^{\prime }/L$. Hold styrken $P$ fast – øyet vokser, men optikken er den samme – og spør hvor mye netthinnen «trenger» at styrken endrer seg når $L$ endres. Det er en derivert: skriver vi den nødvendige styrken som funksjon av lengden, $P(L)=n^{\prime }{L}^{-1}$, gir kapittelet om kalkulus

$$\frac{dP}{dL}=-\frac{n^{\prime }}{L^2}.$$

Med det reduserte øyets tall ($n^{\prime }=\frac{4}{3}$, $L=22.22\mathrm{mm}$) blir størrelsen

$$\left|\frac{dP}{dL}\right|=\frac{4/3}{{(\mathrm{0.022\hspace{0.17em}22}\mathrm{m})}^2}\approx 2700\mathrm{D}/\mathrm{m}=2.7\mathrm{D}/\mathrm{mm}.$$

Et øye som er én millimeter for langt, har altså om lag $2.7\mathrm{D}$ for mye styrke for sin lengde – det vil si $2.7\mathrm{D}$ myopi. Raten er ingen konstant: regner du i stedet med et fysiologisk $24\mathrm{mm}$-øye, faller den til rundt $2.3\mathrm{D}/\mathrm{mm}$, fordi $1/L^2$-leddet avtar når øyet blir lengre. Den ærlige verdien er derfor et intervall, $2.3$–$2.7\mathrm{D}$ per millimeter, med $2.7\mathrm{D}/\mathrm{mm}$ som den utledede raten ved emmetropi. I klinisk litteratur møter du regelen ofte avrundet til om lag $3\mathrm{D}$ per millimeter – der gjerne oppgitt som hypermetropi ved et for kort øye, som er samme størrelse sett fra den andre siden [89]. Legg samtidig merke til hva utledningen forutsetter: at styrken $P$ står fast mens bare lengden endres. Virkelige øyne oppfyller ikke det – i en befolkningsstudie samvarierte både hornhinnestyrken og linsestyrken negativt med aksiallengden, og brytningsfeilen lot seg først forklare godt da alle tre komponentene ble regnet med [155]. Raten gjelder altså et tenkt øye der bare lengden varierer, ikke en vilkårlig pasient.

Nøkkelen til å beskrive en brytningsfeil kvantitativt er fjernpunktet (punctum remotum). Husk fra seksjonen om akkommodasjon at fjernpunktet er det objektpunktet som avbildes skarpt på netthinnen uten akkommodasjon – netthinnens konjugerte punkt for det avslappede øyet, samme punkt retinoskopet i kapittelet om geometrisk optikk lette etter. For en emmetrop ligger det uendelig langt unna: bare parallelt lys ender på netthinnen. Brytningsfeilen flytter det inn til en endelig avstand, og hvor det havner, forteller alt om feilen.

Den okulære refraksjonen $K$ er øyets brytningsfeil målt ved hornhinnen, i dioptri: den vergensen lyset må ha ved hornhinnen for å ende skarpt på netthinnen. Fjernpunktet er da rett og slett det punktet lys med denne vergensen ser ut til å komme fra, i avstanden

$$k=\frac{1}{K}$$

fra hornhinnen. Fortegnet på $K$ avgjør hvilken side det ligger på:

• •

  Myopi (): øyet er for sterkt, så bare lys som allerede divergerer – kommer fra et reelt punkt på endelig avstand foran øyet – ender på netthinnen. Fjernpunktet er reelt og ligger foran øyet. Jo sterkere myopi, jo nærmere: $-1\mathrm{D}$ gir $100\mathrm{cm}$, $-2\mathrm{D}$ gir $50\mathrm{cm}$, $-4\mathrm{D}$ gir $25\mathrm{cm}$, $-10\mathrm{D}$ gir bare $10\mathrm{cm}$.

• •

  Emmetropi ($K=0$): fjernpunktet i det uendelige.

• •

  Hyperopi ($K>0$): øyet er for svakt, så det ville trengt lys som allerede konvergerer for å nå netthinnen. Ikke noe reelt objekt sender konvergerende lys, så fjernpunktet er virtuelt og ligger bak øyet. En hyperopi på $2\mathrm{D}$ gir et fjernpunkt $50\mathrm{cm}$ bak hornhinnen.

Et korreksjonsglass gjør et ametropt øye emmetropt på ett enkelt vilkår: glassets bakre brennpunkt skal ligge nøyaktig i øyets fjernpunkt. Da omdanner glasset parallelt lys fra det uendelige til lys som ser ut til å komme fra fjernpunktet – og fjernpunktslys er per definisjon det avslappede øyet fokuserer skarpt på netthinnen. Fortegnslogikken følger direkte fra hvor fjernpunktet lå:

• •

  Myopi har fjernpunktet reelt og på endelig avstand foran øyet. Glasset må ta parallelt lys og få det til å divergere som fra dette punktet – det krever en spredende minus-linse.

• •

  Hyperopi har fjernpunktet virtuelt bak øyet. Glasset må få parallelt lys til å begynne å konvergere mot et punkt bak øyet – det krever en samlende pluss-linse.

Men «styrken» er ikke ett tall. Den okulære refraksjonen $K$ er referert til hornhinneplanet; et brilleglass står vertex-avstanden $d$ foran hornhinnen – en produsentanvisning for enstyrkeglass anbefaler om lag $13\mathrm{mm}$ som referanseposisjon når glasset ikke bestilles med individuelle parametre [156, avsn. 1.3] – og vi regner gjennomgående med $12\mathrm{mm}$ i eksemplene. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at en styrke som flyttes avstanden $d$ med lysretningen, endrer seg etter

$$P_{\text{eff}}=\frac{P}{1-dP}.$$

Brilleglasset sender lys mot øyet med sin vergens; ved hornhinnen, $d$ lenger fram, er vergensen $P_{\text{eff}}$ – nettopp den okulære refraksjonen eller kontaktlinsestyrken. Fordi $P_{\text{eff}}-P\approx d{P}^2$ vokser kvadratisk, betyr forskjellen lite for svake glass, men passerer det kliniske trinnet $0.25\mathrm{D}$ omkring $\pm 4$ til $5\mathrm{D}$ og blir markant for sterke.

Hva ser et ametropt øye egentlig? Når lyset fra et objektpunkt ikke samles på netthinnen, men foran eller bak, treffer netthinnen ikke et punkt, men en liten opplyst skive – pupillens skyggebilde. Denne skiven kalles uskarphetssirkelen (blur circle), og størrelsen på den er hele grunnen til at et ukorrigert øye ser slørete.

Vi kan anslå den med samme geometri kapittelet om bølgeoptikk brukte på det stenopeiske hullet. En defokus $\mathrm{\Delta }$ (i dioptri) som slipper gjennom en pupille med diameter $D$, brer bildet over en vinkelmessig uskarphet

$${\theta }_{\text{geo}}\approx D\mathrm{\Delta },$$

og fordi denne uskarpheten er en synsvinkel, gjør netthinneskalaen $s=16.7\mathrm{mm}\cdot \theta$ fra seksjonen om øyet som optisk system den om til skivens lineære diameter $b=D\mathrm{\Delta }\cdot 16.7\mathrm{mm}$. To trekk faller ut med en gang. For det første vokser uskarpheten med defokusen: jo større brytningsfeil, jo bredere skive. For det andre vokser den med pupillen – en liten pupille gir en liten skive. Det er nettopp derfor man ser skarpere når man myser, og det samme prinsippet som lå bak det stenopeiske hullet og bak presbyopens bedrede nærsyn i skarpt lys.

Et talleksempel setter størrelsen: en ukorrigert defokus på $2.0\mathrm{D}$ gjennom en pupille på $4\mathrm{mm}$ gir ${\theta }_{\text{geo}}\approx D\mathrm{\Delta }=0.004\mathrm{m}\cdot 2.0{\mathrm{m}}^{-1}=0.008$ radianer, altså nær $27$ bueminutter – rundt tretti ganger den finheten på ett bueminutt et normalt øye så vidt skiller. På netthinnen, via netthinneskalaen, blir skiven $b=16.7\mathrm{mm}\cdot 0.008\approx 134\mathrm{\mu }\mathrm{m}$ bred og dekker mange titalls tapper i fovea; det er derfor selv en moderat, ukorrigert brytningsfeil visker ut finstrukturen fullstendig.

Til nå har vi tenkt oss øyet rotasjonssymmetrisk: én styrke, likt i alle retninger. Ved astigmatisme er det ikke lenger sant. Da er øyets fremste brytende flate – oftest hornhinnen – torisk: den krummer ulikt i to vinkelrette retninger, som utsiden av et rugbyball-segment snarere enn en kuleflate. De to retningene med størst og minst krumning kalles hornhinnens hovedmeridianer, og fordi styrken følger krumningen ($P=(n_2-n_1)/r$), har den bratte meridianen mer styrke enn den flate.

Her er et skille du må holde skarpt. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk den skrå astigmatismen – de to fokallinjene en skrå strålebunt danner mot en helt sfærisk flate. Den er en ren geometrisk aberrasjon: den rammer skrå bunter og forsvinner for stråler rett langs aksen. Den regelmessige (regulære) astigmatismen vi nå snakker om, er noe annet: den skyldes at krumningen faktisk er retningsavhengig, og den finnes derfor selv for stråler rett langs aksen. De to bærer samme navn og gir samme slags to-linjers uskarphet, men har helt ulik årsak – den ene er glassets bruksgeometri, den andre en fast egenskap ved øyets form.

Retningen til en meridian oppgis på akseskalaen $0$–$180\mathrm{°}$ fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer: målt mot klokka fra vannrett, og bare en halv omdreining, fordi en akse er en linje uten pekeretning. Mellom øynene speiles aksen som $\text{akse}\to 180-\text{akse}$.

Hva gjør en torisk flate med lyset fra ett punkt? Fordi de to hovedmeridianene har ulik styrke, fokuserer de i ulik avstand, og bunten samles aldri i ett punkt. I stedet danner den to adskilte fokallinjer, én for hver meridian, i rett vinkel på hverandre. Den sterke meridianen fokuserer først og gir en fokallinje på tvers av seg selv; et stykke lenger bak gir den svake meridianen den andre. Hele strålefiguren mellom og rundt de to linjene kalles Sturms konoide, og tverrsnittet endrer seg jevnt langs den: fra en linje, gjennom en ellipse, til en sirkel, videre til en ellipse dreid en kvart omdreining, og til slutt den andre linjen.

Sirkelen på midten er den minste forvirringssirkelen (circle of least confusion) – det stedet der den utsmurte figuren er minst og «rundest», og det nærmeste en torisk flate kommer et skarpt punkt. Et poeng her er lett å ta feil av: den ligger ikke geometrisk midt mellom fokallinjene i lengde, men i den dioptriske midten – der vergensen er middelverdien av de to meridianstyrkene. Denne middelverdien, $(P_1+P_2)/2$, er nettopp det man kaller den sfæriske ekvivalenten: den ene sfæriske styrken som legger den skarpe sonen i forvirringssirkelen. (Her bruker vi den bare til å stedfeste forvirringssirkelen; dens rolle som korreksjonsverktøy hører til kapittelet om optiske hjelpemidler.)

Hvor de to fokallinjene ligger i forhold til netthinnen, gir astigmatismens type. Ligger begge foran netthinnen, er den sammensatt myop; ligger begge bak, sammensatt hyperop. Ligger den ene på netthinnen og den andre foran eller bak, er den enkel myop eller hyperop. Og straddler netthinnen linjene – den ene foran, den andre bak – er astigmatismen blandet. Hvilken type man har, avgjør ikke hvordan den korrigeres i prinsippet, men den er nyttig klinisk stenografi.

Orienteringen har også et eget navnesett, styrt av hvor den bratte meridianen står. Står den bratteste meridianen nær vertikal ($90\mathrm{°}$), er astigmatismen med regelen (with-the-rule) – den formen som dominerer hos yngre voksne, med høyest andel i tidlig voksen alder [157]. Står den nær vannrett ($180\mathrm{°}$), er den mot regelen (against-the-rule); med alderen dreier aksen gradvis over, slik at astigmatisme mot regelen blir stadig hyppigere hos eldre [158]. Ligger hovedmeridianene nær $45\mathrm{°}$ eller $135\mathrm{°}$, kaller vi den skrå.

Til slutt et skille som avgjør om et vanlig glass i det hele tatt kan rette feilen. Alt over gjelder regulær astigmatisme, der de to hovedmeridianene er veldefinerte og tilnærmet vinkelrette; da lar feilen seg korrigere med et sfæro-sylindrisk glass. Ved irregulær astigmatisme – ved keratokonus, arr eller en ujevn tåreoverflate – er meridianene verken ortogonale eller entydige, og et vanlig glass når ikke fram; slike tilfeller hører til de videre kliniske emnene.