Øyet som optisk system

Lyset som når netthinnen, har passert fire brytende flater og tre gjennomsiktige medier. Utenfra og inn møter det først tårefilmen og hornhinnen (cornea), den klare fremre kuppelen; så forkammeret fylt med kammervann; deretter pupillen, åpningen i iris som slipper lyset videre; så øyelinsen (lens), opphengt i tynne tråder (sonulafibre) fra den ringformede ciliærmuskelen; og til slutt det store glasslegemet (corpus vitreum) før lyset treffer netthinnen (retina) som kler øyets bakvegg. Netthinnen har to steder verdt å navngi allerede nå: fovea, en liten grop i den gule flekken der synet er skarpest, og papillen (synsnervehodet), der synsnerven forlater øyet og det ikke finnes sanseceller – øyets blindflekk. Ytterst ligger den seige, hvite senehinnen (sklera) med den blodrike årehinnen (choroidea) innenfor. Figuren viser et vannrett snitt gjennom høyre øye, med lyset inn fra venstre som ellers i optikkapitlene.

En stråle brytes bare der brytningsindeksen endrer seg, og styrken av brytningen er flatestyrken $P=\frac{n_2-n_1}{r}$ fra kapittelet om geometrisk optikk: den vokser med spranget i indeks, ikke med hvor stor eller synlig flaten er. Det ene faktum avgjør hele styrkefordelingen i øyet.

Det aller største indekshoppet i systemet ligger helt fremst, fra luft ($n=1.000$) inn i øyets vev. Her spiller tårefilmen en stille, men avgjørende rolle: den er et tynt, vått lag som dekker hornhinnen, med praktisk talt samme brytningsindeks som kammervannet bak – tåren er målt til $n=1.337$ i tårer fra 40 friske forsøkspersoner [125], mens kammervannet står med $1.336$ i Gullstrands tabeller [8]. Fordi tårefilmen fyller ut alle de mikroskopiske ujevnhetene i hornhinnens overflate, blir øyets fremste brytende flate optisk glatt, og selve brytningen skjer effektivt allerede ved grensen luft/tåre. Det er derfor et tørt eller ujevnt tårelag gir slørete syn: den fremste flaten, der mest av brytningen skjer, mister sin jevnhet. Anatomien i tårefilmen – at den har et ytre oljelag, et midtre vandig lag og et indre slimlag – hører til de kliniske fagene; her er poenget bare at det er tåre-og-hornhinne-overgangen, med sitt store indekssprang, som gjør grovarbeidet.

Bak dette store spranget følger tre langt mindre. Hornhinnens bakflate skiller vev ($n=1.376$) fra kammervann ($n=1.336$) – et lite fall i indeks – og øyelinsen ligger nedsenket i vandige medier med indeks $1.336$ på begge sider, mens linsesubstansen ved flatene har $1.386$ og indeksen i linsens sentrum når opp mot $1.406$; verdiene er Gullstrands, for det eksakte skjematiske øyet med avslappet akkommodasjon [8]. Alle disse indre flatene har små indekssprang, og bryter derfor svakt, mens den fremre hornhinneflaten med sitt sprang fra $1.000$ til $1.376$ bryter kraftig. Regnestykket ble påbegynt i kapittelet om geometrisk optikk: hornhinnens fremflate gir $P\approx 48.8\mathrm{D}$ og bakflaten $P\approx -5.9\mathrm{D}$. Nå kan vi ta hele hornhinnen som den tykke linsen den er.

Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at vergensen forplanter seg over en avstand $d$ i et medium med indeks $n$ etter den reduserte avstanden $d/n$. Kjeder vi de to hornhinneflatene på den måten – lys inn, brutt av flate 1, forplantet gjennom vevet, brutt av flate 2 – får to flater med styrkene $P_1$ og $P_2$ i avstanden $d$ den sammensatte styrken

$$P=P_1+P_2-\frac{d}{n}{P}_1{P}_2.$$

Det siste leddet er tykkelseskorreksjonen: for en uendelig tynn flate ($d\to 0$) faller det bort, og styrkene adderes rett som for tynne linser i kontakt.

Setter vi hornhinne og øyelinse sammen på samme vis, med Gullstrands målte krumninger og indekser og den reduserte avstanden mellom dem, faller Gullstrands skjematiske øye ut: en fullstendig regnemodell for det avslappede øyet med en samlet styrke på om lag $58.6\mathrm{D}$ [8]. I den fordeler styrken seg som hornhinne $\approx 43\mathrm{D}$ og øyelinse $\approx 19\mathrm{D}$ (linsen målt in situ, nedsenket i sine vandige medier) [8]. Legg merke til hvor skjevt: hornhinnen står for nær tre firedeler av øyets styrke. Det er ikke fordi den er stor eller sterkt buet, men fordi det største indekshoppet sitter der. Øyelinsen er tykk og krum, men ligger i medier som nesten har dens egen indeks, så flatene der bryter svakt. Linsens verdi ligger et annet sted enn i styrke – den er den justerbare komponenten, og det ser vi nærmere på i neste seksjon.

Gullstrands øye er nøyaktig, men tungt å regne på: seks flater, tre medier, to linsedeler. Til de fleste overslag holder en enklere modell, det reduserte øyet (Emsley-øyet). Her erstatter vi hele øyets optikk med én brytende flate som skiller luft fra ett indre medium, og vi krever bare to ting av modellen: at den samlede styrken er $P=60\mathrm{D}$, og at det indre mediet er vann med brytningsindeks $n=\frac{4}{3}$ (eksakt; tabellverdien er $1.3333$) [147, tab. 36-13, s. 30]. Alt annet ved øyet følger av disse to tallene alene – det er nettopp derfor modellen er nyttig.

Flatens krumningsradius får vi ved å løse flatestyrken $P=\frac{n-1}{r}$ for $r$:

$$r=\frac{n-1}{P}=\frac{\frac{4}{3}-1}{60\mathrm{D}}=\frac{1/3}{60{\mathrm{m}}^{-1}}=5.56\mathrm{mm}.$$

Hvor lang må modellen være for å være emmetrop – se skarpt på et fjernt objekt uten å akkommodere? Parallelt lys ($V=0$) forlater flaten med redusert vergens $V^{\prime }=P$, og bildet dannes der den reduserte avstanden peker, $L=n^{\prime }/P$:

$$L=\frac{n^{\prime }}{P}=\frac{4/3}{60\mathrm{D}}=22.22\mathrm{mm}.$$

Dette er den reduserte lengden – fra den ene brytende flaten til netthinnen. Den er kortere enn øyets virkelige aksiallengde, $\text{AL}\approx 24\mathrm{mm}$, og kortere skal den være: den ene flaten representerer planet øyets samlede optikk «virker fra» – øyets hovedplan – og det ligger et stykke inne i øyet, ikke ved hornhinnens forkant. De $24\mathrm{mm}$ er et avrundet tall: i en befolkningsbasert studie av voksne mellom 40 og 80 år lå snittet like under, på $23.7\mathrm{mm}$ [40]. Hvor langt inne det planet ligger, leser vi av Gullstrands fulle øye nedenfor: der står det bakre hovedpunktet $1.602\mathrm{mm}$ bak hornhinnens framflate [8, s. 351–352]. Legger vi de vel $1.6\mathrm{mm}$ til den reduserte lengden, $22.22+1.6\approx 23.8\mathrm{mm}$, er vi tilbake ved de kjente $24\mathrm{mm}$. De to lengdene beskriver samme øye, målt fra to ulike startpunkter.

Figuren under samler det reduserte øyet: den ene flaten, knutepunktet i krumningssenteret, og en hovedstråle fra et objektpunkt siktet gjennom knutepunktet, som treffer netthinnen uavbøyd.

Det reduserte øyet har bare ett hovedpunkt og ett knutepunkt, fordi det består av én flate. Et virkelig øye er et tykt system, og et tykt system beskrives fullstendig av seks punkter på aksen, kalt kardinalpunktene: to brennpunkter ($F$ foran, $F^{\prime }$ bak), to hovedpunkter ($H$, $H^{\prime }$) og to knutepunkter ($N$, $N^{\prime }$). Hovedpunktene er de planene der systemets samlede brytning kan tenkes samlet – måler du objekt- og bildeavstand fra dem, gjelder linseformelen uendret. Brennpunktene er der parallelt lys samles (bakre) eller må komme fra (fremre). Og knutepunktene er de to punktene med samme vinkelegenskap som før: en stråle rettet mot $N$ forlater systemet fra $N^{\prime }$ i uendret retning.

For en tynn linse i luft faller alle disse sammen i linsens sentrum, og for en tykk linse i luft ligger $N$ og $H$ likevel oppå hverandre. I øyet gjør de det ikke, og grunnen er verdt å forstå, for den er selve grunnen til at øyet trenger et eget knutepunkt. Forskyvningen mellom hovedpunkt og knutepunkt er

$$HN=f+f^{\prime },$$

summen av fremre og bakre brennvidde. Når mediet foran og bak systemet er det samme – luft på begge sider av en vanlig linse – er $f^{\prime }=-f$, summen er null, og $N$ faller sammen med $H$. Øyet har luft foran, men et vandig medium ($n^{\prime }\approx 1.336$) bak, så bildesiden er ikke lik objektsiden: $f^{\prime }$ er ikke lik $-f$, summen blir forskjellig fra null, og knutepunktene skyves bakover, dypt inn mot øyelinsens bakflate. I Gullstrands fulle øye med avslappet akkommodasjon ligger hovedpunktene om lag $1.5\mathrm{mm}$ bak hornhinnens framflate ($1.35\mathrm{mm}$ og $1.60\mathrm{mm}$), og brennviddene er $f=-17.06\mathrm{mm}$ og $f^{\prime }=22.79\mathrm{mm}$ [8, s. 351–352]. Knutepunktene ligger nettopp $f+f^{\prime }\approx 5.73\mathrm{mm}$ lenger inne, ved $7.1\mathrm{mm}$ og $7.3\mathrm{mm}$ [147]. Det er altså det ulike mediet foran og bak øyet som skiller knutepunktet fra hovedpunktet.

Knutepunktets uavbøyde stråle gir oss et rett svar på hvor stort et objekt avbildes på netthinnen. Fordi hovedstrålen gjennom $N$ ikke skifter retning, spenner bildet den samme vinkelen sett fra knutepunktet som objektet spenner sett utenfra. Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at en liten synsvinkel $\theta$ i radianer og buen $s$ den spenner i avstanden $r$, henger sammen som $s=r\theta$. Med knutepunktet som toppunkt og netthinnen i avstanden $16.7\mathrm{mm}$ bak blir netthinnebildets størrelse

$$s=16.7\mathrm{mm}\cdot \theta ,$$

akkurat den relasjonen kapittelet om bølgeoptikk brukte til å regne netthinnebilder. Én grad er $\frac{\pi }{180}\approx 0.0175$ radianer, så én grad synsvinkel spenner

$$s=16.7\mathrm{mm}\cdot 0.0175\approx 0.29\mathrm{mm}$$

på netthinnen – en enkel omregningsfaktor på om lag $0.29\mathrm{mm}$ per grad som er verdt å huske.

Iris slipper bare lys gjennom pupillen, og pupillen er derfor øyets aperturblender – den avgjør hvor bred en lysbunt fra hvert objektpunkt som får være med til netthinnen. Men diameteren du måler når du ser på et øye utenfra, er ikke selve irisåpningen: du ser den gjennom hornhinnen og kammervannet, som forstørrer den litt. Bildet av pupillen slik det ser ut forfra, gjennom hornhinnen, kalles inngangspupillen. Pupillen ligger an mot øyelinsens framflate, $3.6\mathrm{mm}$ inne i øyet i Gullstrands modell [8], og hornhinnens $43.05\mathrm{D}$ avbilder den til en inngangspupille om lag $3.05\mathrm{mm}$ bak hornhinnens forkant, om lag $13\mathrm{\%}$ større enn den fysiske åpningen – overbevis deg om det med $V^{\prime }=V+P$ og $m=V/V^{\prime }$ fra kapittelet om linser og linsesystemer. Bildet av pupillen sett bakfra, gjennom øyelinsen, kalles utgangspupillen.

Skillet er ikke pedantisk. Da kapittelet om bølgeoptikk fant øyets diffraksjonsgrense med Airy-skiven, var diameteren $D$ i formelen $\theta \approx 1.22\lambda /D$ nettopp inngangspupillens diameter – den åpningen den innkommende bølgefronten faktisk ser – ikke den anatomiske irisåpningen. Forskjellen på vel en tidel er ikke dramatisk, men den er systematisk, og det er inngangspupillen som er den optisk riktige størrelsen.

Øyet har ikke bare én akse. Den optiske aksen er linjen som passer best gjennom krumningssentrene til alle de brytende flatene – systemets egen symmetrilinje. Men det stedet du ser med, fovea, ligger ikke der den optiske aksen treffer netthinnen; fovea sitter et lite stykke mot tinningsiden (temporalt). Linjen fra det du fikserer, gjennom knutepunktet og videre til fovea, kalles synsaksen, og fordi fovea ligger temporalt, peker synsaksen litt nasalt for den optiske aksen. Vinkelen mellom dem, målt ved knutepunktet, kalles vinkel $\alpha$ og er typisk om lag $5\mathrm{°}$, med stor variasjon fra person til person [148]. En beslektet vinkel – mellom pupilleaksen og synsaksen – kalles vinkel $\kappa$ [149], og den er også på noen få grader: gruppegjennomsnittene i samme materiale lå mellom $2.1\mathrm{°}$ og $3.3\mathrm{°}$ [148]. Den peker samme vei som $\alpha$: klinisk regnes $\kappa$ som positiv når hornhinnerefleksen ligger nasalt for pupillesenteret, og normalt ligger den nettopp nasalt [149]. For denne bokens overslag er skillet mellom aksene lite nok til å neglisjeres, men det forklarer hvorfor et øye kan se rett på deg samtidig som lysrefleksen fra hornhinnen sitter litt ved siden av pupillesenteret.

Et øye ser skarpt på et fjernt objekt uten å akkommodere dersom parallelt lys fokuseres nøyaktig på netthinnen. Kapittelet om geometrisk optikk viste at det krever

$$P=\frac{n^{\prime }}{L},$$

med $n^{\prime }$ mediets indeks bak og $L$ netthinneavstanden. Et øye som oppfyller kravet, kalles emmetropt: dets brytende styrke og dets lengde er avstemt mot hverandre. For det reduserte øyet er kravet oppfylt eksakt: $P=n^{\prime }/L$ gir nettopp de $60\mathrm{D}$ modellen ble bygget på. I Gullstrands fulle øye er den bildesidige brennvidden, målt fra det bakre hovedpunktet, $f^{\prime }=22.785\mathrm{mm}$, så det bakre brennpunktet ligger $1.602+22.785\approx 24.39\mathrm{mm}$ bak hornhinnens framflate [8, s. 352]. Netthinnen ligger ikke der: Gullstrand setter fovea $24.0\mathrm{mm}$ bak framflaten [8].¹¹ 1 Det er nettopp den typiske aksiallengden boken bruker ellers – her faller modellverdien og tommelfingerverdien sammen. De $0.39\mathrm{mm}$ som skiller de to, er ingen avrunding, og du kan regne ut hva de betyr. Netthinneavstanden målt fra hovedpunktet er $L=24.0-1.602\approx 22.4\mathrm{mm}$, og et emmetropt øye med den lengden måtte hatt styrken

$$\frac{n^{\prime }}{L}=\frac{1.336}{0.0224\mathrm{m}}\approx 59.6\mathrm{D},$$

mens modellen faktisk har $F=58.636\mathrm{D}$ – om lag én dioptri mindre. Gullstrands avslappede øye er altså ikke eksakt emmetropt, men omtrent én dioptri hyperopt: det parallelle lyset samles en knapp halv millimeter bak fovea, og modellen treffer emmetropi først med en liten grad av akkommodasjon. Avviket er ikke en skjønnhetsfeil, men tilsiktet: Gullstrand skriver selv at den eksakte modellen i passiv tilstand har én dioptri hyperopi langs aksen nettopp for at den – med aberrasjonens virkning regnet med – skal representere et virkelig, normalt emmetropt øye [150, s. 391]. Den samme korreksjonen kunne han ikke føre inn i den akkommoderte modellen, for hvor stor aberrasjonen er under akkommodasjon, var ikke kjent. Emmetropi er altså ikke ett bestemt tallpar, men en match: mange kombinasjoner av styrke og lengde kan alle gi et skarpt fjernbilde, så lenge de tilfredsstiller $P=n^{\prime }/L$.

Legg merke til hva emmetropi ikke sier noe om: nærsyn. Kravet gjelder parallelt lys fra det uendelig fjerne; å se skarpt på noe nært krever i tillegg at øyet kan øke sin styrke, som er akkommodasjonen i neste seksjon. Og selve kravet hviler på den paraksiale tilnærmingen fra kapittelet om geometrisk optikk – at alle strålene holder seg nær aksen. Bryter en av forutsetningene sammen – er styrke og lengde ikke avstemt – er øyet ikke lenger emmetropt, men har en brytningsfeil. Nettopp det bruddet på $P=n^{\prime }/L$ er utgangspunktet for seksjonen om myopi, hyperopi og astigmatisme.