Kapittel 11 · Radiometri og fotometri · 11.5

Lysmåling og anvendelser i optometri

De fire foregående seksjonene bygde et helt system av lysstørrelser, knyttet det energetiske og det visuelle settet sammen med et integral, og fant lovene for hvordan lys sendes ut og faller inn. Nå snur vi spørsmålet: hvordan måler du disse størrelsene, og hvor dukker de opp i en optometrisk hverdag? Denne seksjonen tar for seg de to fotometrene du finner på en klinikk, øyets eget mål for retinal belysning – trolandet – måten kontrast tallfestes på i en synsprøve, og lysskalaene i perimetrien og på synstavlen. Hvert av disse hviler på noe kapittelet allerede har bygget; her ser du delene virke sammen.

Fotometrene: luxmeter og luminansmeter

To instrumenter dekker de to lysmålingene en fagperson oftest trenger, og de svarer på to forskjellige spørsmål.

Et luxmeter måler belysningsstyrken $E_{v}$ i lux – hvor mye lys som faller inn på en flate, for eksempel på en pult eller en synstavle. To trekk ved oppbygningen er verdt å kjenne, for hvert av dem løser et problem seksjonene foran pekte på. Det første er en cosinuskorrigert diffusor: en matt, gjennomskinnelig hette over detektoren, formet slik at en stråle som treffer skrått under vinkelen $\theta$ , teller nøyaktig med vekten $\cos\theta$ – akkurat cosinus-innfallsloven $E_{v}=(I_{v}/r^{2})\cos\theta$ fra seksjonen om lambertske flater. Uten den ville skrått lys blitt talt feil, og detektoren summerer bidrag fra hele halvkula på $2\pi$ steradianer over seg, hvert veid med sin cosinus. Det andre er et $V(\lambda)$ -filter som former detektorens spektrale følsomhet slik at den følger øyets kurve $V(\lambda)$ fra seksjonen om sammenhengen mellom radiometri og fotometri. Silisiumdetektoren under filteret svarer på mer enn øyet ser: databladet for en fotodiode laget blant annet for luxmetre oppgir området $320$ – $1100\text{\,}\mathrm{nm}$ med toppen ved $960\text{\,}\mathrm{nm}$ for en utgave uten slikt filter – ute i det nære infrarøde, der øyet ikke ser noe – og $560\text{\,}\mathrm{nm}$ for utgaven som har filteret i vinduet [142, s. 1]; filteret trekker altså responsen inn på den fotopiske kurven, slik at avlesningen blir fotometrisk (lux) og ikke radiometrisk ( $\mathrm{W}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ).

Et luminansmeter måler luminansen $L_{v}$ i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ – hvor lys en flate faktisk ser ut. Nøkkelen her er en avbildende optikk som skjærer ut et fast, avgrenset målefelt: instrumentet slipper bare inn lys fra en bestemt romvinkel $\Omega$ , og avlesningen gjelder nettopp den flaten målefeltet peker på. Retter du det mot en synstavle, rapporterer det luminansen til akkurat den flekken. Der luxmeteret integrerer over hele halvkula, velger luminansmeteret ut én retning og ett stykke flate.

Kort sagt: luxmeteret svarer på «hvor mye lys faller inn her?» ( $E_{v}$ , i lux), luminansmeteret på «hvor lys ser den flaten ut?» ( $L_{v}$ , i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ). Å velge riktig instrument for spørsmålet er en vurdering som går igjen i klinikken, og vi kommer tilbake til den i seksjonens siste oppgave.

Figur 11.7: Luxmeteret til venstre, luminansmeteret til høyre.

Troland: retinal belysning

Luminansen $L_{v}$ forteller hvor lys en flate er der ute i verden, men hvor mye lys som faktisk når netthinnen, avhenger også av hvor stor pupillen er – en vid pupille slipper inn mer. Målet som fanger begge deler, er trolandet (td), øyets mål for retinal belysning:

\text{td}=L_{v}\cdot A_{\text{pupill}},

der luminansen $L_{v}$ settes inn i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ og pupillearealet $A_{\text{pupill}}$ i ${\mathrm{mm}}^{2}$ . Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at en tilnærmet sirkulær pupille med diameter $d$ har areal $A_{\text{pupill}}=\frac{\pi}{4}d^{2}$ ; det er den varslede retinale belysningen som nå får sin enhet.

Fordi pupillearealet vokser med kvadratet av diameteren, slår en endring i pupillevidde kraftig ut: en dobling av diameteren firedobler arealet, og dermed også troland-tallet. Går pupillen fra $4\text{\,}\mathrm{mm}$ til $8\text{\,}\mathrm{mm}$ , firedobles den retinale belysningen ved uendret skjermluminans.

Ett forbehold hører med, og bare kvalitativt her. Stråler som passerer nær pupillekanten, treffer tappene mer på skrå og utnyttes dårligere enn stråler gjennom pupillesenteret – Stiles–Crawford-effekten. Det enkle troland-tallet forutsetter at virkningen vokser proporsjonalt med pupillearealet, og ved store pupiller overvurderer det derfor den effektive retinale belysningen for tappesynet noe [143]. Selve fotoreseptor- og adaptasjonsmekanikken bak dette hører til kapittelet om øyets fysikk og anatomi; her nevner vi bare at troland-tallet er en geometrisk øvre anslagsverdi, ikke en fullstendig beskrivelse av hva netthinnen får ut av lyset.

Eksempel 11.5.1

En pasient ser på en jevnt lysende skjerm med luminans $L_{v}=$100\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ gjennom en pupille med diameter $3\text{\,}\mathrm{mm}$ . Hvilken retinal belysning gir det, målt i troland?

Løsning: Regn først pupillearealet med $A_{\text{pupill}}=\frac{\pi}{4}d^{2}$ , og sett det så inn i $\text{td}=L_{v}\cdot A_{\text{pupill}}$ med $L_{v}$ i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ og $A_{\text{pupill}}$ i ${\mathrm{mm}}^{2}$ .

	$\displaystyle A_{\text{pupill}}$	$\displaystyle=\frac{\pi}{4}d^{2}=\frac{\pi}{4}($3\text{\,}\mathrm{mm}$)^{2}\approx$7.07\text{\,}{\mathrm{mm}}^{2}$$
	td	$\displaystyle=L_{v}\cdot A_{\text{pupill}}=100\cdot 7.07\approx\underline{\underline{$707\text{\,}\mathrm{td}$}}$

Troland-tallet samler begge ledd i én verdi: hvor lys skjermen er ( $L_{v}$ ) og hvor mye lys pupillen slipper inn ( $A_{\text{pupill}}$ ).

Kontrast tallfestet med luminans

I kapittelet om trigonometri og geometri møtte du sinusgitteret – et stripemønster med luminansprofilen $L(x)=L_{0}+a\sin(bx)$ – men kontrasten ble den gang bare beskrevet med ord. Nå har luminansen fått både tall og enhet, og vi kan tallfeste kontrasten. To definisjoner brukes, og valget mellom dem avgjøres av hva slags mønster du ser på.

Weber-kontrasten brukes når et lite mål ligger på en stor, jevn bakgrunn – en optotyp på en synstavle er det typiske tilfellet. Med målets luminans $L_{t}$ og bakgrunnens $L_{b}$ er den

C=\frac{L_{t}-L_{b}}{L_{b}}.

For en mørk optotyp på lys bakgrunn er $L_{t}<L_{b}$ , så $C$ blir negativ; fortegnet forteller at målet er mørkere enn bakgrunnen, og tallverdien $\left|C\right|$ angir kontraststyrken. En helt svart optotyp ( $L_{t}=0$ ) gir $C=-1$ , den sterkeste kontrasten en mørk-på-lys-tavle kan ha.

Michelson-kontrasten brukes for periodiske mønstre som gitre, der lyse og mørke striper er likeverdige og det ikke finnes noen egen bakgrunn. Med den høyeste og laveste luminansen i mønsteret, $L_{\text{max}}$ og $L_{\text{min}}$ , er den

C=\frac{L_{\text{max}}-L_{\text{min}}}{L_{\text{max}}+L_{\text{min}}}.

For sinusgitteret $L(x)=L_{0}+a\sin(bx)$ svinger luminansen mellom $L_{\text{max}}=L_{0}+a$ når $\sin(bx)=1$ og $L_{\text{min}}=L_{0}-a$ når $\sin(bx)=-1$ . Sett inn:

C=\frac{(L_{0}+a)-(L_{0}-a)}{(L_{0}+a)+(L_{0}-a)}=\frac{2a}{2L_{0}}=\frac{a}{L_{0}}.

Michelson-kontrasten til et sinusgitter er altså rett og slett amplituden delt på middelluminansen – nettopp $a/L_{0}$ . Det knytter kontrastbegrepet fra synsvitenskapen direkte til de to tallene som beskriver gitteret.

Hvor mye kontrast et øye trenger for å skille et mønster fra en jevn flate – kontrastterskelen, og hvordan den varierer med stripetettheten – er et eget tema som hører til en senere behandling av kontrastfølsomhet; her nøyer vi oss med å måle kontrasten selv.

Eksempel 11.5.2

En synstavle har bakgrunnsluminans $L_{b}=$120\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ , og de mørke optotypene måler $L_{t}=$18\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ . Regn ut Weber-kontrasten, og avgjør om tavlen tilfredsstiller kravet om at optotypens luminans skal være høyst $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av bakgrunnen.

Løsning: Weber-kontrasten er $C=(L_{t}-L_{b})/L_{b}$ ; kravet sammenlignes ved å regne ut hva $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av bakgrunnen utgjør.

C=\frac{L_{t}-L_{b}}{L_{b}}=\frac{18-120}{120}=\underline{\underline{-0.85}}

$15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av $120\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ er $18\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , og optotypen ligger akkurat på denne grensen. Tavlen tilfredsstiller kravet så vidt: kontrasten er $\left|C\right|=0.85$ , nøyaktig den nedre grensen for en standardtavle. Fortegnet minner om at optotypen er mørkere enn bakgrunnen.

Eksempel 11.5.3

Et sinusgitter vises på en skjerm med luminansprofil $L(x)=L_{0}+a\sin(bx)$ , der middelluminansen er $L_{0}=$50\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ og amplituden $a=$30\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ .

a)

Finn den høyeste og laveste luminansen i mønsteret.
b)

Regn ut Michelson-kontrasten, og bekreft at den er lik $a/L_{0}$ .

Løsning: Ytterverdiene finnes ved å sette $\sin(bx)=\pm 1$ ; Michelson-kontrasten følger så av definisjonen.

	$\displaystyle\text{a)}\quad L_{\text{max}}$	$\displaystyle=L_{0}+a=$80\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$,\quad L_{\text{min}}=L_{0}-a=$20\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$
	$\displaystyle\text{b)}\quad C$	$\displaystyle=\frac{L_{\text{max}}-L_{\text{min}}}{L_{\text{max}}+L_{\text{min}}}=\frac{80-20}{80+20}=\frac{60}{100}=\underline{\underline{0.60}}$

Samme svar kommer direkte av broen: $a/L_{0}=30/50=0.60$ . De to regnemåtene stemmer, som de må, og det er nettopp fordi $L_{\text{max}}+L_{\text{min}}=2L_{0}$ og $L_{\text{max}}-L_{\text{min}}=2a$ at Michelson-kontrasten kollapser til amplituden delt på middelluminansen.

Perimetriens fotometri

I perimetri kartlegges synsfeltet ved å vise lyspletter av ulik luminans mot en fast bakgrunn; den svakeste stimulusen pasienten oppfatter på hvert sted, måler følsomheten der. Skalaene på et perimeter bruker to konvensjoner det er verdt å kunne lese.

Den ene er en gammel luminansenhet, apostilben (asb), som fortsatt står på perimeterets skala. Én apostilb er per definisjon luminansen til en perfekt diffus, lambertsk flate med lyseksitans $M_{v}=$1\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ [5, oppslagsord «apostilb»]. Husk fra seksjonen om lambertske flater at $M_{v}=\pi L_{v}$ ; løser vi for luminansen, får en slik flate

L_{v}=\frac{M_{v}}{\pi}=\frac{1}{\pi}\approx$0.318\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$,

og det er nettopp $1\text{\,}\mathrm{asb}$ . Omregningen $1\text{\,}\mathrm{asb}$=\frac{1}{\pi}\,$\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ er altså ikke en vilkårlig faktor, men den samme $\pi$ -en som bandt eksitans og luminans i en lambertsk flate.

Den andre er en desibelskala for stimulusstyrken. På et Humphrey-perimeter (HFA II-i-serien) er bakgrunnen $31.5\text{\,}\mathrm{asb}$ (om lag $10\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ) og den sterkeste stimulusen $10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$ (om lag $3183\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ) [144]. Den eldre manuelle Goldmann-perimetrien deler apostilb-enheten og den samme bakgrunnen på $31.5\text{\,}\mathrm{asb}$ , men har en maksimalstimulus på $1000\text{\,}\mathrm{asb}$ – en tierpotens svakere – og graderer styrken med en filternotasjon: $4e$ er udempet lys, hvert tall nedover demper $5\text{\,}\mathrm{dB}$ og hver bokstav nedover $1\text{\,}\mathrm{dB}$ . Dempningen er målt fra instrumentets egne $1000\text{\,}\mathrm{asb}$ , så det samme desibeltallet betyr ikke det samme på de to instrumentene [43, kap. 6]. Stimulusstyrken oppgis i desibel, referert til den sterkeste stimulusen:

\text{dB}=10\log_{10}\!\left(\frac{L_{v,\text{max}}}{L_{v}}\right),

med $L_{v,\text{max}}=$10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$$ satt til $0\text{\,}\mathrm{dB}$ [145]. Dette er den samme $10\log_{10}$ -formen som lydintensitetsnivået $L=10\log_{10}(I/I_{0})$ i kapittelet om bølger, bare med maksimalstimulusen som referanse i stedet for en terskelintensitet. Legg merke til fortegnslogikken: fordi $L_{v}$ står i nevneren, gir en svakere stimulus et høyere desibeltall. Et høyt dB-tall betyr derfor at pasienten oppfatter en svak stimulus – altså god følsomhet på det stedet.

Eksempel 11.5.4

På et Humphrey-perimeter er bakgrunnsluminansen $31.5\text{\,}\mathrm{asb}$ og den sterkeste stimulusen $10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$ , definert som $0\text{\,}\mathrm{dB}$ . Under undersøkelsen presenteres en stimulus ved $20\text{\,}\mathrm{dB}$ .

a)

Regn bakgrunnen og maksimalstimulusen om til $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ (bruk $1\text{\,}\mathrm{asb}$=\frac{1}{\pi}\,$\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ).
b)

Hvilken luminans, i apostilb og i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , svarer $20\text{\,}\mathrm{dB}$ til?

Løsning: Apostilb regnes om med faktoren $1/\pi$ ; desibelverdien løses fra den apparatererte skalaen $\text{dB}=10\log_{10}(L_{v,\text{max}}/L_{v})$ , altså $L_{v}=L_{v,\text{max}}/10^{\text{dB}/10}$ .

	$\displaystyle\text{a)}\quad\text{bakgrunn:}\ \frac{31.5}{\pi}$	$\displaystyle\approx$10.0\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$,\qquad\text{maks:}\ \frac{10000}{\pi}\approx$3183\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$
	$\displaystyle\text{b)}\quad L_{v}$	$\displaystyle=\frac{$10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$}{10^{20/10}}=\frac{$10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$}{100}=$100\text{\,}\mathrm{asb}$\approx\underline{\underline{$31.8\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$

En $20\text{\,}\mathrm{dB}$ -stimulus er altså $100\text{\,}\mathrm{asb}$ , hundre ganger svakere enn maksimalstimulusen. Fordi skalaen er referert til det sterkeste lyset, betyr et høyere desibeltall en svakere stimulus: en pasient som ser en $20\text{\,}\mathrm{dB}$ -stimulus, oppfatter et svakere lys – og har bedre følsomhet på det stedet – enn en som bare ser $10\text{\,}\mathrm{dB}$ .

Kliniske lysnivåer

Til slutt noen nivåer en fagperson måler eller kontrollerer i praksis.

Synstavlens luminans er standardisert nettopp fordi målt synsstyrke avhenger av den. ISO 8596 krever at bakgrunnsluminansen i optotypenes nære omgivelse ligger i området $80$ – $320\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , og kravet gjelder alle presentasjonsformer – trykte, projiserte og elektronisk genererte tavler [4, punkt 4.6, s. 5]. Standarden anbefaler $200\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , midt i området, men tillater hele intervallet [4, punkt 4.6, NOTE 1, s. 5]. For kontrasten mellom optotyp og bakgrunn krever standarden at optotypens luminans er høyst $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av den omgivende bakgrunnen, målt i et mørklagt rom – det svarer til en Weber-kontrast på minst $0.85$ , som eksempelet over viste [4, punkt 4.6, s. 5].

Undersøkelsesrommets belysning måles med luxmeter, som belysningsstyrken $E_{v}$ i lux på arbeidsflaten. For mye strølys i rommet er ikke uskyldig: lys som spres inn over synstavlen, hever den mørke optotypens luminans $L_{t}$ og svekker dermed Weber-kontrasten, slik at en tavle som er innenfor kravet i mørke, kan falle utenfor i et for lyst rom.

Til sist et ord om blending. En sterk lyskilde i eller nær synsfeltet – en ublendet lampe, en refleks i en skjerm – virker som en forstyrrende luminans som legger seg over det pasienten skal se, og senker den oppfattede kontrasten. Selve mekanismen for hvordan blendingen virker inne i øyet hører til kapittelet om øyets fysikk og anatomi; her er poenget bare at blending er en luminans på linje med de andre i dette kapittelet, ikke noe vesensforskjellig.

Med det er kretsen sluttet: fra strålingens rene watt, gjennom øyets $V(\lambda)$ -veiing og lovene for hvordan lys sendes ut og faller inn, til de lysmålene en optometrist faktisk leser av – trolandet, tavleluminansen, kontrasten og desibelskalaen i synsfeltet.

Oppgaver

Oppgave 11.5.1

En pasient ser på en skjerm med luminans $L_{v}=$100\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ .

a)

Pupillediameteren er $4\text{\,}\mathrm{mm}$ . Regn ut den retinale belysningen i troland.
b)

I skumring utvider pupillen seg til $8\text{\,}\mathrm{mm}$ . Hva blir den retinale belysningen nå, og hvor mange ganger større er den enn i a)?

Løsningsforslag

Oppgave 11.5.1: Vi bruker $\text{td}=L_{v}\cdot A_{\text{pupill}}$ med $A_{\text{pupill}}=\frac{\pi}{4}d^{2}$ , $L_{v}$ i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ og arealet i ${\mathrm{mm}}^{2}$ .

a)

Pupillearealet er $A_{\text{pupill}}=\frac{\pi}{4}($4\text{\,}\mathrm{mm}$)^{2}\approx$12.57\text{\,}{\mathrm{mm}}^{2}$$ , så

$\text{td}=L_{v}\cdot A_{\text{pupill}}=100\cdot 12.57\approx\underline{\underline{$1257\text{\,}\mathrm{td}$}}.$
b)

Med $d=$8\text{\,}\mathrm{mm}$$ er $A_{\text{pupill}}=\frac{\pi}{4}($8\text{\,}\mathrm{mm}$)^{2}\approx$50.27\text{\,}{\mathrm{mm}}^{2}$$ , og

$\text{td}=100\cdot 50.27\approx\underline{\underline{$5027\text{\,}\mathrm{td}$}},$

altså $4$ ganger verdien i a). Faktoren kommer uten ny regning: diameteren dobles, og arealet – og dermed troland-tallet – vokser med kvadratet, $(8/4)^{2}=4$ .

Oppgave 11.5.2

En synstavle har bakgrunnsluminans $L_{b}=$200\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ , og de mørke optotypene måler $L_{t}=$25\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ .

a)

Regn ut Weber-kontrasten mellom optotyp og bakgrunn.
b)

ISO 8596 krever at optotypens luminans er høyst $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av bakgrunnen. Er tavlen innenfor kravet?

Løsningsforslag

Oppgave 11.5.2:

a)

$C=\frac{L_{t}-L_{b}}{L_{b}}=\frac{25-200}{200}=\underline{\underline{-0.875}}.$

Fortegnet forteller at optotypen er mørkere enn bakgrunnen.
b)

$15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av $200\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ er $30\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , og optotypens $L_{t}=$25\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ ligger under denne grensen. Tavlen er innenfor kravet. Det samme leses av kontrasten: $\left|C\right|=0.875\geq 0.85$ .

Oppgave 11.5.3

På et perimeter er maksimalstimulusen $10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$ ( $0\text{\,}\mathrm{dB}$ ). To steder i synsfeltet testes: sted A oppfatter en stimulus ned til $10\text{\,}\mathrm{dB}$ , sted B ned til $20\text{\,}\mathrm{dB}$ .

a)

Regn om terskelstimulusen på hvert sted til apostilb og til $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ .
b)

Hvilket sted har best følsomhet? Begrunn ut fra at skalaen er referert til den sterkeste stimulusen.
c)

Vis at forskjellen på $10\text{\,}\mathrm{dB}$ mellom de to svarer til en faktor $10$ i luminans – den samme $10\text{\,}\mathrm{dB}$ -per-tierpotens-sammenhengen som lydintensitetsnivået i kapittelet om bølger.

Løsningsforslag

Oppgave 11.5.3: Desibelskalaen $\text{dB}=10\log_{10}(L_{v,\text{max}}/L_{v})$ løses for luminansen, $L_{v}=L_{v,\text{max}}/10^{\text{dB}/10}$ , og apostilb regnes om med $1\text{\,}\mathrm{asb}$=\frac{1}{\pi}\,$\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ .

a)

Sted A: $L_{v}=$10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$/10^{10/10}=\underline{\underline{$1000\text{\,}\mathrm{asb}$\approx$318\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$ . Sted B: $L_{v}=$10\,000\text{\,}\mathrm{asb}$/10^{20/10}=\underline{\underline{$100\text{\,}\mathrm{asb}$\approx$31.8\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$ . (Kontroll: $10\log_{10}(10000/1000)=10$ og $10\log_{10}(10000/100)=20$ , som oppgitt.)
b)

Sted B. Skalaen er referert til den sterkeste stimulusen, så fordi $L_{v}$ står i nevneren, betyr et høyere desibeltall en svakere stimulus. Sted B oppfatter en stimulus på $100\text{\,}\mathrm{asb}$ – ti ganger svakere enn den svakeste sted A ser – og har derfor best følsomhet.
c)

Av skalaen er

$\text{dB}_{B}-\text{dB}_{A}=10\log_{10}\!\left(\frac{L_{v,\text{max}}}{L_{B}}\right)-10\log_{10}\!\left(\frac{L_{v,\text{max}}}{L_{A}}\right)=10\log_{10}\!\left(\frac{L_{A}}{L_{B}}\right),$

og med $\text{dB}_{B}-\text{dB}_{A}=$10\text{\,}\mathrm{dB}$$ gir det $L_{A}/L_{B}=10^{10/10}=10$ – som stemmer med a): $1000/100=10$ . Det er den samme $10\text{\,}\mathrm{dB}$ -per-tierpotens-sammenhengen som for lydintensitetsnivået $L=10\log_{10}(I/I_{0})$ i kapittelet om bølger; bare referansen er en annen.

Oppgave 11.5.4

Et sinusgitter på en skjerm har luminansprofil $L(x)=L_{0}+a\sin(bx)$ med middelluminans $L_{0}=$100\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ og amplitude $a=$40\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ .

a)

Finn den høyeste og laveste luminansen i mønsteret.
b)

Regn ut Michelson-kontrasten, og vis at den er lik $a/L_{0}$ .
c)

Forklar hvorfor Michelson-kontrasten, og ikke Weber-kontrasten, er det naturlige målet for et slikt gitter.

Løsningsforslag

Oppgave 11.5.4:

a)

Ytterverdiene nås når $\sin(bx)=\pm 1$ : $L_{\text{max}}=L_{0}+a=\underline{\underline{$140\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$ og $L_{\text{min}}=L_{0}-a=\underline{\underline{$60\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$ .
b)

$C=\frac{L_{\text{max}}-L_{\text{min}}}{L_{\text{max}}+L_{\text{min}}}=\frac{140-60}{140+60}=\frac{80}{200}=\underline{\underline{0.40}},$

og $a/L_{0}=40/100=0.40$ gir det samme. Det er ingen tilfeldighet: $L_{\text{max}}-L_{\text{min}}=2a$ og $L_{\text{max}}+L_{\text{min}}=2L_{0}$ , så brøken kollapser til $a/L_{0}$ for ethvert sinusgitter.
c)

I et gitter er lyse og mørke striper likeverdige – det finnes ingen stor, jevn bakgrunn som et lite mål ligger på, og dermed ingen naturlig $L_{b}$ å sette i nevneren i Weber-kontrasten. Michelson-kontrasten behandler $L_{\text{max}}$ og $L_{\text{min}}$ symmetrisk og bruker mønsterets egen middelluminans som referanse; den er derfor det naturlige målet for periodiske mønstre, mens Weber-kontrasten hører til situasjonen med ett mål mot én bakgrunn.

Oppgave 11.5.5

En kollega måler synstavlen sin med et luminansmeter og får bakgrunnsluminans $L_{b}=$55\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ ; de mørke optotypene måler $L_{t}=$9\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ .

a)

Ligger bakgrunnsluminansen innenfor ISO 8596-området ( $80$ – $320\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ )?
b)

Regn ut Weber-kontrasten, og avgjør om den tilfredsstiller kravet (optotypens luminans høyst $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av bakgrunnen, altså Weber-kontrast minst $0.85$ ).
c)

Forklar hvorfor det er et luminansmeter og ikke et luxmeter som er riktig instrument for å måle selve tavlen, med henvisning til hva hver av dem måler.
d)

Foreslå ett konkret tiltak som bringer oppsettet innenfor begge kravene, og konstruer et sett med tallverdier for bakgrunn og optotyp som du ved regning viser tilfredsstiller både luminansområdet og kontrastkravet.

Løsningsforslag

Oppgave 11.5.5:

a)

Nei: $L_{b}=$55\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ ligger under den nedre grensen på $80\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ .
b)

$C=\frac{L_{t}-L_{b}}{L_{b}}=\frac{9-55}{55}=-\frac{46}{55}\approx\underline{\underline{-0.84}},$

og $\left|C\right|\approx 0.84<0.85$ : kontrastkravet er ikke tilfredsstilt. Prosentgrensen gir samme konklusjon: $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av $55\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ er $8.25\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , og optotypens $9\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ligger over.
c)

Kravene gjelder tavlens luminans – hvor lys flaten ser ut. Luminansmeteret skjærer ut et fast målefelt og rapporterer nettopp $L_{v}$ i $\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ for den flekken det peker på, så bakgrunn og optotyp kan måles hver for seg. Luxmeteret måler i stedet belysningsstyrken $E_{v}$ i lux – hvor mye lys som faller inn på en flate, summert over hele halvkula – og sier ikke hvor lys tavlen selv ser ut. Det er riktig instrument for rombelysningen, men feil størrelse for tavlekravene.
d)

Flere tiltak og tallsett er gyldige; her er ett: skift ut den svake lyskilden i tavlens lyskasse, slik at bakgrunnsluminansen løftes inn i det påkrevde området. Med for eksempel $L_{b}=$240\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ og $L_{t}=$24\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ er bakgrunnen innenfor $80$ – $320\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ , optotypen utgjør $10\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av bakgrunnen (kravet er høyst $15\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ ), og Weber-kontrasten blir

$C=\frac{24-240}{240}=-0.90,\qquad\left|C\right|=0.90\geq 0.85.$

Begge kravene er dermed tilfredsstilt.

Alle løsningsforslag til kapittel 11