Refraksjonens oppgave: fjernpunkt, vergens og reseptnotasjon

Før noen målemetode innføres, er det verdt å samle maskineriet de alle deler. En refraksjon – objektiv eller subjektiv – svarer på ett spørsmål: hvilken vergens må lyset ha ved øyet for å ende skarpt på netthinnen når øyet er avslappet? Svaret tallfestes med den okulære refraksjonen, oppgis i en fast reseptnotasjon, og hviler på et par regnegrep du kommer til å bruke i hver eneste seksjon som følger. Denne seksjonen henter fram det felles verktøyet: hva målingen egentlig sikter mot, arbeidsavstanden lest som ren vergens, sfero-sylindrisk notasjon med sin fortegnskonvensjon, transposisjon mellom de to formene, den sfæriske ekvivalenten som ett samlende tall, og en peker til når brille- kontra øyeplan begynner å bety noe.

Hva en refraksjon måler

Husk fra kapittelet om øyets fysikk at øyets fjernpunkt (punctum remotum) er det objektpunktet som avbildes skarpt på netthinnen uten akkommodasjon – netthinnens konjugerte punkt for det avslappede øyet. Det er nøyaktig samme punkt retinoskopet i kapittelet om geometrisk optikk lette etter: undersøkeren la prøveglass foran øyet til refleksen sluttet å vandre, og da lå pasientens fjernpunkt i undersøkerens pupilleplan. Å bestemme en refraksjon er å finne dette punktet og oversette det til styrke.

Den størrelsen som tallfester feilen, er den okulære refraksjonen $K$ : øyets brytningsfeil målt ved hornhinnen, altså den vergensen lyset må ha ved hornhinnen for å ende skarpt på netthinnen. Fjernpunktet ligger da i avstanden

k=\frac{1}{K}

fra hornhinnen, og fortegnet på $K$ forteller hvilken side: myopi ( $K<0$ ) gir et reelt fjernpunkt på endelig avstand foran øyet, emmetropi ( $K=0$ ) gir fjernpunkt i det uendelige, og hyperopi ( $K>0$ ) gir et virtuelt fjernpunkt bak øyet. Alt dette utledet kapittelet om øyets fysikk; her tar vi det som gitt. Poenget for dette kapittelet er at hver metode som følger – retinoskopi, subjektiv forfining, autorefraktometri – er en egen vei til det samme tallet $K$ og dermed til det samme fjernpunktet.

Arbeidsavstanden som ren vergens

En undersøker sitter ikke uendelig langt unna pasienten. Retinoskopet holdes i en armlengdes avstand, en autorefraktor har en fast innebygd avstand, og en synstavle henger på veggen – alle på endelig hold. Det betyr at lyset systemet arbeider med, ikke har vergens null slik parallelt lys fra det uendelige har.

Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at vergensen til lys fra et punkt i avstanden $s$ er $V=1/s$ . Anvendt på undersøkerens avstand $d$ gir det arbeidsavstandsdioptrien

\frac{1}{d},

dioptritallet som svarer til å se fra avstanden $d$ i stedet for fra det uendelige. Her regnes $d$ som en positiv avstand: selve vergensen i det planet er $-1/d$ etter bokens fortegnskonvensjon (et reelt punkt foran øyet ligger i $s<0$ ), mens arbeidsavstandsdioptrien er tallverdien som trekkes fra – utledningen i retinoskopiseksjonen bruker den signerte formen $K_{\text{rest}}=-1/d$ . Dette er et rent geometrisk tall, ikke noe ved pasienten: det avhenger bare av hvor undersøkeren eller testen står. Tre avstander dukker opp så ofte i praksis at verdiene er verdt å kjenne igjen: $\tfrac{2}{3}\ $\mathrm{m}$=$66.67\text{\,}\mathrm{cm}$$ gir $1.50\text{\,}\mathrm{D}$ , $50\text{\,}\mathrm{cm}$ gir $2.00\text{\,}\mathrm{D}$ , og $40\text{\,}\mathrm{cm}$ gir $2.50\text{\,}\mathrm{D}$ .

Hvorfor dette betyr noe, ser du klarest i retinoskopien, som er neste seksjon. Der avleser undersøkeren en brutto styrke ved nøytralisering – verdien som legger pasientens fjernpunkt i undersøkerens plan. Fordi det planet ligger i avstanden $d$ , ikke i det uendelige, må arbeidsavstandsdioptrien trekkes fra for å få den netto okulære refraksjonen:

K=\text{brutto}-\frac{1}{d}.

Selve refleksbevegelsen kommer i neste seksjon; her holder det å ha $1/d$ som en ren vergens klar.

Eksempel 14.1.1

En undersøker arbeider fra tre ulike avstander til pasienten: $\tfrac{2}{3}\ $\mathrm{m}$$ , $50\text{\,}\mathrm{cm}$ og $40\text{\,}\mathrm{cm}$ . Regn ut arbeidsavstandsdioptrien for hver.

Løsning: Arbeidsavstandsdioptrien er den rene vergensen $1/d$ , med $d$ i meter:

	$\displaystyle\frac{1}{\tfrac{2}{3}\ $\mathrm{m}$}$	$\displaystyle=$1.50\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle\frac{1}{$0.50\text{\,}\mathrm{m}$}$	$\displaystyle=$2.00\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle\frac{1}{$0.40\text{\,}\mathrm{m}$}$	$\displaystyle=\underline{\underline{$2.50\text{\,}\mathrm{D}$}}.$

Jo nærmere undersøkeren sitter, jo større er tallet som må trekkes fra bruttoverdien – en kortere arbeidsavstand koster mer i vergens.

Sfero-sylindrisk reseptnotasjon

Et astigmatisk øye har ikke én brytningsfeil, men to – én i hver av de to hovedmeridianene. Resultatet skrives derfor ikke som ett tall, men på formen

S\,/\,C\times\text{akse},

der $S$ er den sfæriske komponenten, $C$ er sylinderstyrken, og aksen angir sylinderens retning. Tegnet $\times$ er her ikke en multiplikasjon, men et skilletegn som leses «akse»: det knytter sylinderstyrken til meridianen den virker i.

To konvensjoner er faste og gjelder hele boka. For det første skrives sylinderen alltid med minus-fortegn ( $C\leq 0$ ) – minus-sylinderkonvensjonen. Den samme brillen kan beskrives med enten en pluss- eller en minus-sylinder (vi ser hvordan straks), men denne boka velger konsekvent minus-formen, slik den er standard i klinisk optometri, og kapittelet om optiske hjelpemidler arver valget. For det andre oppgis aksen i hele grader fra 1 til 180. Husk fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer at astigmatismeaksen lever på en $0$ – $180°$ -skala, ikke rundt hele sirkelen: en akse er en linje uten pekeretning, så en dreining på $180°$ fører den tilbake til seg selv. Derfor finnes ingen akse $0°$ – den skrives $180°$ – og ingen akse over $180°$ . Aksen måles mot klokka fra det vannrette, slik at $90°$ er den loddrette meridianen.

Figur 14.1: Akseskalaen dekker bare en halv omdreining, fra 1 til

180°

, målt mot klokka fra det vannrette.

Skalaen er den samme for begge øyne, sett forfra av undersøkeren: det er skalaen som står på prøvebrillen og på foropteren (apparatet med innebygde linsehjul som prøveglassene stilles inn på under refraksjonen), og den som gir speilingen $\text{akse}\to 180-\text{akse}$ mellom de to øynene i kapittelet om vektorer og koordinatsystemer. En sylinderakse på $30°$ er linja gjennom sentrum tegnet over – og fordi en akse er $180°$ -periodisk, peker den samme linja både «opp mot høyre» og «ned mot venstre».

Transposisjon mellom plus- og minus-sylinder

At samme brille kan skrives på to former, er ikke en tvetydighet i optikken, men to måter å bokføre de samme to meridianene på. Å gå fra den ene til den andre kalles transposisjon, og det gjøres i tre steg:

1.

Ny sfære: legg gammel sylinder til gammel sfære (algebraisk, med fortegn): $S_{\text{ny}}=S+C$ .
2.

Ny sylinder: samme tallverdi, motsatt fortegn: $C_{\text{ny}}=-C$ .
3.

Ny akse: dreies $90°$ , holdt innenfor $1$ – $180$ : legg til $90°$ hvis aksen er $≤90°$ , trekk fra $90°$ hvis den er $>90°$ .

Det tredje steget er der $0$ – $180°$ -skalaen betaler seg: en dreining på $90°$ bytter de to hovedmeridianene om – den bratte blir den flate – og fordi aksen er $180°$ -periodisk, faller resultatet alltid tilbake i intervallet $1$ – $180$ .

Formen endres, men brillen er den samme optiske komponenten, og det finnes en enkel kontroll på det: den sfæriske ekvivalenten $\mathrm{SE}=S+C/2$ (neste underemne) er uendret av transposisjon. Regner du den ut før og etter og får to ulike tall, har du gjort en feil et sted.

Eksempel 14.1.2

Skriv om resepten $−2.00 D/−1.00 D×180°$ fra minus- til plus-sylinderform, og kontroller at den sfæriske ekvivalenten er uendret.

Løsning: De tre stegene, i rekkefølge:

	$\displaystyle S_{\text{ny}}$	$\displaystyle=-2.00+(-1.00)=$-3.00\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle C_{\text{ny}}$	$\displaystyle=-(-1.00)=$1.00\text{\,}\mathrm{D}$,$
	akse	$=180−90=90°(aksen>90°, så trekk fra).$

Plus-sylinderformen er altså $−3.00 D/1.00 D×90°$ . Kontroll med sfærisk ekvivalent:

\mathrm{SE}_{\text{f\o r}}=-2.00+\frac{-1.00}{2}=$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad\mathrm{SE}_{\text{etter}}=-3.00+\frac{+1.00}{2}=$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$.

De to formene har samme $\mathrm{SE}$ og beskriver samme brille – bare bokført fra hver sin meridian.

Sfærisk ekvivalent som målevariabel

Husk fra kapittelet om algebra at den sfæriske ekvivalenten er

\mathrm{SE}=S+\frac{C}{2}.

Regnerekkefølgen er bindende: bare halve sylinderen legges til sfæren, altså $S+C/2$ , aldri $(S+C)/2$ . Grunnen ligger i geometrien. De to hovedmeridianene har styrkene $S$ og $S+C$ ; middelet av dem er

\frac{S+(S+C)}{2}=S+\frac{C}{2},

nettopp $\mathrm{SE}$ . Husk fra kapittelet om øyets fysikk at denne middelvergensen er vergensen til den minste forvirringssirkelen i Sturms konoide – det ene sfæriske fokuset som legger den skarpeste sonen midt mellom de to fokallinjene. $\mathrm{SE}$ er derfor ikke et vilkårlig gjennomsnitt, men det sfæriske tallet som best sammenfatter et astigmatisk øye med én verdi.

I dette kapittelet spiller $\mathrm{SE}$ rollen som målevariabel og bokføringsstørrelse: ett tall som fanger den sfæriske plasseringen av refraksjonen, og som holdes fast mens astigmatismen forfines (du ser det i seksjonen om kryssylinder). Den er også et kontrollverktøy, slik transposisjonen viste. Merk at det å bruke $\mathrm{SE}$ som en faktisk korreksjon – å slipe ett sfærisk glass i stedet for et torisk – er en annen sak, med egne avveininger, og den hører til kapittelet om optiske hjelpemidler. Her er $\mathrm{SE}$ et mål, ikke et middel.

Eksempel 14.1.3

En pasient har resepten $−4.25 D/−1.50 D×175°$ . En medstudent regner $(S+C)/2$ og får et annet tall enn deg. Regn ut den sfæriske ekvivalenten korrekt, og forklar hvor medstudenten tar feil.

Løsning: Etter regnerekkefølgen utføres divisjonen før addisjonen:

\mathrm{SE}=S+\frac{C}{2}=-4.25+\frac{-1.50}{2}=-4.25+(-0.75)=\underline{\underline{$-5.00\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Medstudentens $(S+C)/2=(-4.25-1.50)/2=$-2.875\text{\,}\mathrm{D}$$ er et helt annet tall. Feilen er å legge hele sylinderen til sfæren før halveringen. Brøkstreken i $S+C/2$ er en usynlig parentes rundt $C$ alene: bare den ene meridianens ekstra styrke skal deles på to, fordi $\mathrm{SE}$ er middelet av de to meridianene $S$ og $S+C$ – ikke halvparten av summen deres pluss en ekstra sfære.

Når må jeg korrigere brille- mot øyeplan?

Den okulære refraksjonen $K$ er per definisjon referert til hornhinneplanet. Et brilleglass sitter derimot i en vertex-avstand $d$ foran hornhinnen, og lyset det sender inn, har en litt annen vergens når det når hornhinnen. Foropteren du refrakterer med, er bygd for én bestemt slik avstand: $13.75\text{\,}\mathrm{mm}$ fra hornhinnens apex til glassets bakflate er avstanden et brilleglass regnes båret i, og foropterens bakre linseflate skal stå nettopp der om avlesningen skal kunne brukes rett som brillestyrke [185, s. 17]. Når spiller den forskjellen en rolle for den målte refraksjonen?

Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at den effektive styrken ved vertex-avstand er $P_{\text{eff}}=P/(1-dP)$ , og at avviket vokser kvadratisk:

P_{\text{eff}}-P\approx dP^{2}

når $d P$ er liten. Med det runde tallet $d=$12\text{\,}\mathrm{mm}$$ gir det omkring $0.05\text{\,}\mathrm{D}$ ved $\pm$2\text{\,}\mathrm{D}$$ og $0.4$ – $0.5\text{\,}\mathrm{D}$ ved $\pm$6\text{\,}\mathrm{D}$$ . Husk at det vanlige kliniske styrketrinnet er $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ : setter du $dP^{2}=0.25$ , passerer avviket ett trinn ved $P=\sqrt{0.25/0.012}\approx$4.6\text{\,}\mathrm{D}$$ . Under omkring $\pm 4$ til $5\text{\,}\mathrm{D}$ drukner altså plassforskjellen i selve oppløsningen målingen arbeider med; over den begynner det å bety noe klinisk hvilket plan refraksjonen gjelder for. Dette er ingen ny utledning – bare en peker: når styrkene er lave, kan du bruke brille- og hornhinneplan om hverandre; når de blir høye, må du oppgi hvilket plan tallet hører til.

Eksempel 14.1.4

En kollega hevder at det er likegyldig om en refraksjon føres i brilleplanet eller i hornhinneplanet. Bruk $P_{\text{eff}}-P\approx dP^{2}$ med $d=$12\text{\,}\mathrm{mm}$$ til å anslå avviket ved $-2.00\text{\,}\mathrm{D}$ og ved $-6.00\text{\,}\mathrm{D}$ , finn styrken der avviket passerer ett trinn på $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ , og vurder påstanden.

Løsning: Avviket er tilnærmet $dP^{2}$ med $d=$0.012\text{\,}\mathrm{m}$$ :

	$\displaystyle P=$2\text{\,}\mathrm{D}$:\quad$	$\displaystyle 0.012\cdot 2^{2}=$0.048\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle P=$6\text{\,}\mathrm{D}$:\quad$	$\displaystyle 0.012\cdot 6^{2}=$0.43\text{\,}\mathrm{D}$.$

Ett $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ -trinn nås når $0.012\,P^{2}=0.25$ , altså ved

P=\sqrt{\frac{0.25}{0.012}}\approx\underline{\underline{$4.6\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Ved $2\text{\,}\mathrm{D}$ drukner avviket ( $0.05\text{\,}\mathrm{D}$ ) i trinnet, så der har kollegaen rett. Ved $6\text{\,}\mathrm{D}$ er avviket ( $0.43\text{\,}\mathrm{D}$ ) godt over ett trinn, og påstanden bryter sammen: for høyere styrker må du oppgi om refraksjonen gjelder brille- eller hornhinneplan. Påstanden er altså ikke feil, men gyldig bare i et lavstyrkeregime.

Oppgaver

Oppgave 14.1.1

Under en objektiv refraksjon nøytraliserer du refleksen med et brutto prøveglass på $2.00\text{\,}\mathrm{D}$ i én meridian, mens du sitter $50\text{\,}\mathrm{cm}$ fra pasienten.

a)

Hva er arbeidsavstandsdioptrien?
b)

Hva er den okulære refraksjonen $K$ i denne meridianen?

Løsningsforslag

Oppgave 14.1.1:

a)

Arbeidsavstandsdioptrien er den rene vergensen $1/d$ : $1/$0.50\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$2.00\text{\,}\mathrm{D}$}}$ .
b)

Netto okulær refraksjon: $K=\text{brutto}-1/d=+2.00-2.00=\underline{\underline{$0.00\text{\,}\mathrm{D}$}}$ – meridianen er emmetrop. Kontroll: med $K=0$ legger prøveglasset på $2.00\text{\,}\mathrm{D}$ nettopp fjernpunktet i $50\text{\,}\mathrm{cm}$ , undersøkerens avstand.

Oppgave 14.1.2

En resept er skrevet i minus-sylinderform som $−3.50 D/−0.75 D×90°$ . Skriv den om til plus-sylinderform, og kontroller svaret med den sfæriske ekvivalenten.

Løsningsforslag

Oppgave 14.1.2: Transposisjonens tre steg:

	$\displaystyle S_{\text{ny}}$	$\displaystyle=-3.50+(-0.75)=$-4.25\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle C_{\text{ny}}$	$\displaystyle=-(-0.75)=$0.75\text{\,}\mathrm{D}$,$
	akse	$=90+90=180°(aksen er≤90°, så legg til).$

Plus-sylinderformen er $−4.25 D/0.75 D×180°$ . Kontroll med sfærisk ekvivalent:

\mathrm{SE}_{\text{f\o r}}=-3.50+\frac{-0.75}{2}=$-3.875\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad\mathrm{SE}_{\text{etter}}=-4.25+\frac{+0.75}{2}=$-3.875\text{\,}\mathrm{D}$,

uendret av transposisjonen, slik den skal være.

Oppgave 14.1.3

En pasient har resepten $−1.00 D/−3.00 D×45°$ .

a)

Regn ut styrken i hver av de to hovedmeridianene, og deretter den sfæriske ekvivalenten som middelet av dem.
b)

Vis at samme tall følger av $\mathrm{SE}=S+C/2$ , og forklar hvorfor $(S+C)/2$ gir noe annet.
c)

Den mest myope meridianen har styrken $-4.00\text{\,}\mathrm{D}$ . Hvor langt foran hornhinnen ligger fjernpunktet for den meridianen?

Løsningsforslag

Oppgave 14.1.3:

a)

De to hovedmeridianene har styrkene $S=$-1.00\text{\,}\mathrm{D}$$ og $S+C=-1.00+(-3.00)=$-4.00\text{\,}\mathrm{D}$$ . Middelet er

$\frac{-1.00+(-4.00)}{2}=\underline{\underline{$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$}}.$
b)

Formelen gir samme tall: $\mathrm{SE}=S+C/2=-1.00+(-1.50)=$-2.50\text{\,}\mathrm{D}$$ . Derimot er $(S+C)/2=-4.00/2=$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$$ noe annet: der legges hele sylinderen til sfæren før halveringen, altså halvparten av den bratteste meridianen alene. Brøkstreken i $S+C/2$ er en usynlig parentes rundt $C$ – bare den ene meridianens ekstra styrke skal deles på to, fordi $\mathrm{SE}$ er middelet av meridianene $S$ og $S+C$ .
c)

Med $K=$-4.00\text{\,}\mathrm{D}$$ er fjernpunktavstanden $k=1/K=1/($-4.00\text{\,}\mathrm{D}$)=$-0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ : fjernpunktet ligger $\underline{\underline{$25\text{\,}\mathrm{cm}$}}$ foran hornhinnen – reelt, slik $K<0$ krever.

Oppgave 14.1.4

En kollega sier at hun aldri bryr seg om hvilket plan en refraksjon er ført i. Bruk $P_{\text{eff}}-P\approx dP^{2}$ med $d=$12\text{\,}\mathrm{mm}$$ til å begrunne når hun trygt kan la være, og når hun ikke kan. Ta stilling til om en fast regel («planet spiller ingen rolle») er forsvarlig, og angi omtrent hvor grensen går i dioptri.

Løsningsforslag

Oppgave 14.1.4: Avviket mellom brille- og hornhinneplan er tilnærmet $dP^{2}$ med $d=$0.012\text{\,}\mathrm{m}$$ . Ved $\pm$2\text{\,}\mathrm{D}$$ er det $0.012\cdot 2^{2}=$0.05\text{\,}\mathrm{D}$$ – langt under det vanlige kliniske styrketrinnet på $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ ; ved $\pm$6\text{\,}\mathrm{D}$$ er det $0.012\cdot 6^{2}=$0.43\text{\,}\mathrm{D}$$ – over ett trinn. Avviket passerer ett trinn når $0.012\,P^{2}=0.25$ , altså ved

P=\sqrt{\frac{0.25}{0.012}}\approx\underline{\underline{$4.6\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Under omkring $\pm 4$ til $5\text{\,}\mathrm{D}$ kan kollegaen trygt la være: planforskjellen drukner i måletrinnet. Over grensen kan hun ikke, for da flytter planvalget resultatet mer enn ett prøveglasstrinn. En fast regel «planet spiller ingen rolle» er derfor ikke forsvarlig – den er gyldig bare i lavstyrkeregimet, og ved høye styrker må planet oppgis.

Oppgave 14.1.5

Konstruer din egen pasient med astigmatisme slik at begge disse kravene er oppfylt samtidig: den sfæriske ekvivalenten er nøyaktig $-3.00\text{\,}\mathrm{D}$ , og fjernpunktet for den mest myope meridianen ligger $25\text{\,}\mathrm{cm}$ foran hornhinnen. Oppgi resepten i både minus- og plus-sylinderform, vis at de to formene har samme sfæriske ekvivalent, og angi fjernpunktavstanden $k=1/K$ for begge hovedmeridianer.

Løsningsforslag

Oppgave 14.1.5: De to kravene bestemmer styrkene entydig – bare aksen er et fritt valg. Fjernpunkt $25\text{\,}\mathrm{cm}$ foran hornhinnen gir $K=1/k=1/($-0.25\text{\,}\mathrm{m}$)=$-4.00\text{\,}\mathrm{D}$$ i den mest myope meridianen, som i minus-sylinderkonvensjonen er $S+C$ . Sammen med $\mathrm{SE}=S+C/2=$-3.00\text{\,}\mathrm{D}$$ gir differansen $C/2=-4.00-(-3.00)=$-1.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , altså $C=$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$$ og $S=$-2.00\text{\,}\mathrm{D}$$ . Med aksen valgt til $180°$ blir minus-formen $−2.00 D/−2.00 D×180°$ , og transposisjon ( $S_{\text{ny}}=-4.00$ , $C_{\text{ny}}=+2.00$ , akse $180−90=90°$ – aksen er $>90°$ , så trekk fra) gir plus-formen $−4.00 D/2.00 D×90°$ . Begge former har $\mathrm{SE}=-2.00+(-1.00)=-4.00+1.00=$-3.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , som krevd. Fjernpunktavstandene: meridianen på $-2.00\text{\,}\mathrm{D}$ har $k=1/(-2.00)=$-0.50\text{\,}\mathrm{m}$$ ( $50\text{\,}\mathrm{cm}$ foran hornhinnen), og meridianen på $-4.00\text{\,}\mathrm{D}$ har $k=$-0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ ( $25\text{\,}\mathrm{cm}$ foran hornhinnen).

Alle løsningsforslag til kapittel 14