Deskriptiv statistikk

Nesten alt som følger, bygger på å legge sammen mange tall, og for det trenger vi en kompakt skrivemåte. Den store greske bokstaven sigma, $\mathrm{\Sigma }$, brukes som et summetegn – en operator som sier «legg sammen». Skriver vi

leser vi det som «summen av $x_i$ når $i$ løper fra $1$ til $n$». Bokstaven $i$ under tegnet er indeksen (tellevariabelen); tallet $1$ er den nedre grensen og $n$ den øvre; og $x_i$ er leddet som legges til for hver verdi av $i$. Indeksen er bare et navn – ${\sum }_{j=1}^n{x}_j$ betyr nøyaktig det samme.

Et konkret tilfelle gjør notasjonen ufarlig. Fem trykkmålinger (mmHg) er $x_1=13$, $x_2=14$, $x_3=16$, $x_4=17$ og $x_5=20$. Da er

Tegnet gjør ikke noe mystisk; det er en instruks om å legge sammen, skrevet én gang i stedet for at alle leddene ramses opp.

To regneregler kommer vi til å bruke uten videre. En konstant faktor kan settes utenfor summen,

fordi $a{x}_1+a{x}_2+\mathrm{\cdots }=a(x_1+x_2+\mathrm{\cdots })$ er den distributive loven fra kapittelet om de vanlige regneoperasjonene. Og en sum av to ledd kan deles i to summer,

siden addisjonen kan omordnes fritt. Overbevis deg om begge ved å skrive ut noen få ledd.

Legg merke til at det er den store $\mathrm{\Sigma }$ som er summetegnet – en operator med indeks og grenser. Den lille $\sigma$, som dukker opp litt senere som populasjonens standardavvik, er noe helt annet; hold de to fra hverandre.

Et sentralmål er ett tall som skal representere «midten» av dataene. Det finnes flere, de er ikke like, og valget mellom dem er et av seksjonens hovedpoenger.

Det vanligste er gjennomsnittet (det aritmetiske middelet). For et utvalg på $n$ observasjoner $x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n$ skrives det $\overline{x}$ («x-strek») og er summen delt på antallet:

Gjennomsnittet har samme enhet som dataene. Denne regneoperasjonen har du gjort før: den gjennomsnittlige keratometriverdien $K=\frac{K_1+K_2}{2}$ fra kapittelet om regnerekkefølgen er nettopp et gjennomsnitt av to tall. Her formaliserer vi den som et sentralmål for vilkårlig mange tall.

Gjennomsnittet har en svakhet: det trekkes mot ekstreme verdier. Ett uvanlig høyt trykk i et ellers normalt materiale drar $\overline{x}$ oppover, selv om det ikke er representativt for den typiske pasienten. Her hjelper medianen: den midterste verdien når observasjonene sorteres i stigende rekkefølge. Er $n$ et oddetall, er medianen den midterste observasjonen; er $n$ et partall, er den gjennomsnittet av de to midterste. Medianen bryr seg bare om rekkefølgen, ikke om hvor ekstreme halene er, og er derfor robust mot uteliggere og skjevhet.

Et tredje mål, typetallet (modus), er den verdien som forekommer hyppigst. Det er det eneste sentralmålet som gir mening for rene kategoriske data – du kan snakke om den vanligste øyenfargen, men ikke om noen «gjennomsnittsfarge».

Et sentralmål alene sier ingenting om hvor mye dataene spriker. To klinikker kan ha samme gjennomsnittstrykk, den ene med tallene tett samlet og den andre med stor spredning – og den forskjellen er ofte det klinisk interessante.

Utgangspunktet er avviket $x_i-\overline{x}$: hvor langt hver observasjon ligger fra gjennomsnittet. Å summere avvikene direkte fører ingen vei, for de summerer alltid til null – de positive og negative opphever hverandre, og det er nettopp en egenskap ved gjennomsnittet. Vi kvadrerer derfor hvert avvik før vi summerer, slik at fortegnet forsvinner og store avvik veier tyngre. Størrelsen ${\sum }_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2$ kalles kvadratsummen.

Utvalgsvariansen er kvadratsummen delt på $n-1$:

At vi deler på $n-1$ og ikke på $n$, overrasker de fleste. Grunnen er at avvikene ikke er fritt varierende: siden de summerer til null, ligger det siste avviket fast så snart de $n-1$ første er kjent. Det er altså bare $n-1$ frihetsgrader (forkortet fg) i kvadratsummen, og å dele på antallet frihetsgrader gir et forventningsrett estimat – i snitt verken for stort eller for lite – av den sanne variansen i populasjonen. Delte vi på $n$, ville vi systematisk underestimere den. Denne justeringen kalles Bessels korreksjon.

Variansen har kvadrert enhet (${\mathrm{mmHg}}^2$), som er tungvint å tolke. Derfor tar vi kvadratroten og får utvalgsstandardavviket, forkortet SD (av engelsk standard deviation):

Standardavviket har igjen samme enhet som dataene og måler en typisk avstand fra gjennomsnittet. Én finesse følger med kvadratroten: det er $s^2$ som er forventningsrett for populasjonsvariansen, ikke $s$ for populasjonsstandardavviket – kvadratroten er ikke en lineær operasjon, så $s$ underestimerer så vidt. Skjevheten er liten og krymper raskt med $n$, og i praksis brukes $s$ uten korreksjon.

Standardavviket bygger på gjennomsnittet og arver dermed dets følsomhet for uteliggere. To robuste spredningsmål bygger i stedet på rekkefølgen. Variasjonsbredden (range) er ganske enkelt største minus minste verdi; den er lettfattelig, men svært følsom, siden den bruker bare de to mest ekstreme observasjonene. Kvartilene deler den sorterte rekka i fire like store deler: en fjerdedel av observasjonene ligger under den første kvartilen $Q_1$, halvparten under den andre $Q_2$ (som er nettopp medianen), og tre fjerdedeler under den tredje $Q_3$. Kvartilbredden (interkvartilbredden),

fanger spennet til de midtre $50\mathrm{\%}$ av dataene og er robust mot uteliggere på samme måte som medianen.

Forrige seksjon skilte utvalget (det du målte) fra populasjonen (det du vil uttale deg om). Nå som gjennomsnitt, varians og standardavvik er definert, kan vi feste hele symbolsettet. De to nivåene bruker ulike bokstaver og – for variansen – ulik nevner.

Gjennom resten av kapittelet vender vi tilbake til ett gjennomgående datasett fra en glaukomklinikk: 71 pasienter med primær åpenvinkelglaukom under trykksenkende behandling, ett høyre øye per pasient, publisert som åpne data sammen med en japansk studie av tonometre [181]. Hver pasient er registrert med alder, kjønn, sfærisk ekvivalent (SER), aksiallengde (AL), gjennomsnittlig keratometri ($K$, regnet fra hornhinnens krumningsradius $r$ i millimeter som $K=337.5/r$, altså med keratometerindeksen $n_k=1.3375$ fra kapittelet om geometrisk optikk), hornhinnens sentraltykkelse (CCT) og trykket målt med tre instrumenter på det samme øyet samme dag. Referansen er Goldmann-applanasjon (kolonnen IOP), som du kjenner fra kapittelet om mekanikk. Et berøringsfritt tonometer (NCT, av engelsk non-contact tonometer) flater hornhinnen med en kort luftstråle og leser trykket av hvor kraftig strålen må være for å flate den – uten kontakt med øyet og uten bedøvelse. Corvis ST er også berøringsfritt, men filmer hornhinnens deformasjon under luftstrålen med et høyhastighetskamera; det gir et ukorrigert trykk (kolonnen Corvis) og en biomekanisk korrigert verdi (bIOP), der programvaren har justert for hornhinnens tykkelse og dynamiske respons og for pasientens alder, og det måler CCT i samme omgang. Tabell 13.1 viser de tolv første pasientene; hele settet står som kjørbar R-kode i Tillegg A, slik at alt som regnes her, kan gjøres om igjen. Verdiene er målte, publiserte forskningsdata utgitt med åpen lisens (CC BY 4.0), ikke tall valgt for et pent regnestykke – og det forplikter: trykktallene er målt hos pasienter under trykksenkende behandling, så fordelingen viser et behandlet og kontrollert trykk, ikke trykkfordelingen i en ubehandlet befolkning. Det kommer vi tilbake til flere ganger. For denne seksjonen er det Goldmann-kolonnen (IOP) vi skal se nærmere på.

Før du regner ut et eneste sammendragstall, bør du se på fordelingen. Et bilde avslører form, skjevhet og uteliggere som et gjennomsnitt og et standardavvik alene skjuler. Tre figurtyper dekker de fleste behovene, og hvilken du velger, følger av spørsmålet du stiller.

Et histogram deler tallområdet i like brede intervaller og tegner en stolpe for hvor mange observasjoner som faller i hvert. Det viser fordelingens form – hvor tyngdepunktet ligger, og om den er symmetrisk eller har en hale til én side. Histogrammet av trykket i klinikkdatasettet har tyngdepunktet rundt $12$–$16$ $\mathrm{mmHg}$ og ingen hale å snakke om – fordelingen er om lag symmetrisk:

Et boksplott (etter Tukey) komprimerer fordelingen til fem tall. Boksen strekker seg fra $Q_1$ til $Q_3$, så bredden er kvartilbredden IQR, og en strek inni boksen markerer medianen. Fra boksen går «værhår» ut til den mest ekstreme observasjonen som fortsatt ligger innenfor $1.5\cdot \mathrm{IQR}$ fra nærmeste kvartil; observasjoner utenfor tegnes som enkeltpunkter og flagges som mulige uteliggere [182]. For trykket er $Q_1=12.0$, medianen $13.7$ og $Q_3=15.0\mathrm{mmHg}$, så $\mathrm{IQR}=3.0\mathrm{mmHg}$, og grensene for værhårene ligger ved $12.0-1.5\cdot 3.0=7.5$ og $15.0+1.5\cdot 3.0=19.5\mathrm{mmHg}$. Alle 71 avlesningene ligger innenfor (laveste $8.0$, høyeste $18.7\mathrm{mmHg}$), så ingen tegnes som uteligger:

Værhårene er omtrent like lange – $4.0\mathrm{mmHg}$ nedover og $3.7\mathrm{mmHg}$ oppover – og ingen avlesning faller utenfor, så boksplottet viser ingen skjevhet å snakke om. Det er langt fra alltid slik, og seksjonen kommer straks tilbake til hvordan et skjevt materiale ser ut og hva du gjør med det.

Den tredje figurtypen, spredningsdiagrammet, tegner ett punkt per enhet med den ene variabelen langs den vannrette og den andre langs den loddrette aksen, og brukes til å se om to kontinuerlige variabler henger sammen. Vi bruker det for fullt i seksjonen om korrelasjon og regresjon – på et annet datasett, biometridatasettet: 74 friske voksne fra en norsk studie, ett høyre øye per person, med refraksjon og aksiallengde [183], som innføres for fullt der; her plasserer vi figurtypen bare i oversikten. Grunnregelen er å se på dataene før du tester – tavlen nedenfor knytter de tre figurtypene til spørsmålet hver av dem svarer på.

I R gjøres dette med korte kommandoer. summary() gir de fem tallene i boksplottet pluss gjennomsnittet, mens hist() og boxplot() tegner figur 13.2 og 13.3.

Formen på en fordeling avgjør hvilket sentralmål som er ærligst. I en symmetrisk fordeling faller gjennomsnitt og median omtrent sammen. I en høyreskjev (positivt skjev) fordeling – med en hale av høye verdier – trekkes gjennomsnittet oppover av halen mens medianen står imot, så $\overline{x}>\text{median}$. I en venstreskjev fordeling er det motsatt, . En praktisk regel følger: ligger gjennomsnittet merkbart over medianen, mistenk en høyreskjev hale, og rapporter da median med kvartilbredde heller enn gjennomsnitt med standardavvik.

Trykket i klinikkdatasettet er ikke et slikt tilfelle, og det er lærerikt i seg selv. Gjennomsnittet er $\overline{x}=13.46\mathrm{mmHg}$ og medianen $13.70\mathrm{mmHg}$ – de faller nesten sammen, og 36 av de 71 pasientene ligger på eller over gjennomsnittet. Et tallmål på asymmetrien, utvalgsskjevheten $g_1$ (positiv ved en høyre hale, negativ ved en venstre), er her $g_1=-0.06$, nær null. Gjennomsnitt med standardavvik er da et ærlig sammendrag. Husk hvem tallene kommer fra: 71 pasienter med åpenvinkelglaukom under trykksenkende behandling [181]. Et behandlet og kontrollert trykk har ikke nødvendigvis den halen av høye verdier du kan vente i et ubehandlet materiale – de høye verdiene er nettopp dem behandlingen retter seg mot – så formen forteller like mye om kohorten som om trykk i sin alminnelighet.

Mange positive kliniske størrelser er høyreskjeve på nettopp denne måten. Et grep som ofte hjelper, er å log-transformere dataene – å erstatte hver verdi med tierlogaritmen sin. Husk fra kapittelet om eksponentialfunksjoner og logaritmer at logaritmen komprimerer store tall mer enn små; en hale av høye verdier trekkes derfor innover, og fordelingen blir mer symmetrisk. Det er den samme tierlogaritmen som ligger bak LogMAR-skalaen og optisk tetthet. Betrakt det høyreskjeve settet $\{2,3,3,4,5,7,10,18\}$: her er gjennomsnittet $6.5$ og medianen $4.5$, og utvalgsskjevheten er $g_1=1.39$. Tar vi tierlogaritmen av hver verdi, faller skjevheten til $g_1=0.50$ – fordelingen er blitt nesten symmetrisk, og gjennomsnitt og median har rykket sammen.