Statistikkens formål, grunnbegreper og data

Statistikk kan fortelle deg at to ting varierer sammen: at lengre øyne har en tendens til å være mer nærsynte, at tykkere hornhinner går sammen med høyere avlest trykk. Den kan tallfeste hvor sterk en slik sammenheng er og hvor godt den holder utenfor akkurat de øynene du målte. Det den ikke kan gjøre alene, er å fortelle deg hvorfor sammenhengen er der.

Dette er kapittelets viktigste enkeltpoeng, og det er verdt å slå fast med en gang: korrelasjon er ikke det samme som årsak. At to variabler følges ad, betyr ikke at den ene forårsaker den andre. En tredje, bakenforliggende variabel kan drive dem begge; retningen kan være motsatt av det du antar; eller sammenhengen kan være ren tilfeldighet i akkurat ditt utvalg. Vi kommer tilbake til denne tråden gjennom hele kapittelet, og den kritiske lesingen av forskning i den siste seksjonen bygger i stor grad på den. Foreløpig er det nok å bære med seg advarselen: en statistisk sammenheng er en observasjon, ikke en forklaring.

Statistikk trengs fordi kliniske data varierer. Uten variasjon ville faget vært overflødig.

Det er nyttig å skille to kilder til denne variasjonen. Den biologiske variasjonen er ekte forskjeller mellom enhetene: øyne er virkelig ulikt lange, trykk er virkelig ulike fra pasient til pasient. Den måletekniske variasjonen er usikkerheten i selve målingen: gjentar du den samme målingen på det samme øyet, får du ikke nøyaktig samme tall hver gang. Begge er reelle, og en stor del av dette kapittelet handler om å skille dem fra hverandre – den måletekniske delen får sin egen seksjon om måling og usikkerhet.

Skillet lar seg skjerpe med et begrepspar. Et deterministisk system gir nøyaktig samme resultat hver gang det gis samme utgangspunkt; et stokastisk system gir resultater som spriker, selv med tilsynelatende likt utgangspunkt. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at linseformelen $\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}$ gir én bestemt bildeavstand $s^{\prime }$ for en gitt objektavstand og brennvidde – regner du den ut ti ganger, får du det samme svaret ti ganger. Det er deterministisk. Måler du derimot trykket i det samme øyet ti ganger etter hverandre, får du ti tall som ligger nær hverandre, men ikke er identiske. Det er stokastisk. Nettopp fordi kliniske størrelser oppfører seg stokastisk, trenger vi et apparat for å beskrive og resonnere om det som varierer – og det apparatet er sannsynlighet og statistikk.

Fire begreper går igjen i alt som følger, og det lønner seg å ha dem klart fra hverandre.

En populasjon er hele mengden av enheter du vil uttale deg om – for eksempel alle nærsynte studenter, eller alle øyne som skal trykkmåles i en klinikk. Antallet enheter i populasjonen skrives $N$. Et utvalg er de enhetene du faktisk har observert – de du rakk å måle. Antallet i utvalget skrives $n$, og er nesten alltid mye mindre enn $N$. En enhet (eller analyseenhet) er det som måles: en pasient, et øye, en enkelt måling. Hva enheten er, må avgjøres bevisst – måler du begge øynene til hver pasient, er øyet og pasienten ikke det samme, og forskjellen får følger vi kommer tilbake til. En variabel er en egenskap som varierer mellom enhetene: trykket, alderen, kjønnet, synsstyrken.

Poenget med å måle et utvalg er nesten aldri utvalget i seg selv, men populasjonen bak. Du regner ut noen tall fra utvalget – gjennomsnittet $\overline{x}$, standardavviket $s$, størrelsen $n$ – og bruker dem til å slutte deg til de tilsvarende, ukjente tallene for hele populasjonen: gjennomsnittet $\mu$, standardavviket $\sigma$. Denne slutningen fra det målte til det du vil vite, kalles statistisk inferens, og er selve kjernen i faget. Tallene som beskriver et utvalg, kalles statistikker; de sanne tallene som beskriver populasjonen, kalles parametere. De formelle definisjonene av $\overline{x}$, $s$, $\mu$ og $\sigma$ kommer i neste seksjon; her holder det å se hvilken vei slutningen går.

Ikke alle variabler er av samme slag, og typen avgjør hva du har lov til å gjøre med tallene. Det grunnleggende skillet går mellom kvalitative og kvantitative variabler.

En kvalitativ (eller kategorisk) variabel plasserer enheten i en kategori uten at kategoriene er tall. Er kategoriene bare navn uten noen naturlig rekkefølge – kjønn, øye (høyre/venstre), kontaktlinsebruker (ja/nei) – kaller vi variabelen nominal. Har kategoriene en rangordning, men uten fast avstand mellom trinnene – tørrøyesymptomer gradert som ingen, milde eller alvorlige – kaller vi den ordinal. Du vet at «alvorlig» er verre enn «mild», men ikke at spranget mellom dem er like stort som mellom «ingen» og «mild».

En kvantitativ variabel er et tall det gir mening å regne med. Er den et telletall som bare kan ta atskilte verdier – antall bokstaver lest på synstavlen, antall øyne med et funn – er den diskret. Kan den i prinsippet ta en hvilken som helst verdi i et intervall – aksiallengde, trykk, hornhinnetykkelse, sfærisk ekvivalent – er den kontinuerlig. At et instrument bare viser to desimaler, gjør ikke størrelsen diskret; det er den underliggende størrelsen som teller.

Bak dette ligger en finere inndeling i fire målenivåer, tradisjonelt kalt nominal-, ordinal-, intervall- og forholdsnivå. De to første svarer til de kategoriske typene over. På intervallnivå er avstander meningsfulle, men nullpunktet er valgt, ikke absolutt – temperatur i celsius er det klassiske eksempelet: forskjellen mellom $20\mathrm{°C}$ og $30\mathrm{°C}$ er den samme som mellom $30\mathrm{°C}$ og $40\mathrm{°C}$, men $40\mathrm{°C}$ er ikke «dobbelt så varmt» som $20\mathrm{°C}$. På forholdsnivå finnes et ekte nullpunkt, slik at forholdstall gir mening: aksiallengde, trykk og de fleste fysiske størrelsene ligger her – et øye på $24\mathrm{mm}$ er virkelig dobbelt så langt som et tenkt øye på $12\mathrm{mm}$. Skillet mellom intervall og forhold er sjelden avgjørende i praksis; skillet mellom kategorisk, ordinal og kontinuerlig er det ofte, fordi det bestemmer hvilke sentralmål og hvilke analyser som er tillatt.

Synsstyrke er et lærerikt grensetilfelle som er verdt et eget avsnitt. Husk fra kapittelet om eksponentialfunksjoner og logaritmer at LogMAR-verdien er tierlogaritmen til den minste oppløsningsvinkelen. Målestandarden for synsstyrke anbefaler at optotypene lages i trinn med konstant forhold $1:{10}^{0.1}$ – altså nøyaktig $0.10$ LogMAR fra linje til linje – og at hver linje har minst fem optotyper [7, avsn. V.1 og VII.1]. Med fem bokstaver på linja blir hver enkelt bokstav verdt $0.10/5=0.02$ LogMAR. Det gjør LogMAR til en jevn, lineær skala der avstander er meningsfulle – i praksis en intervallskala. At skalaen også tar negative verdier, viser at nullpunktet er valgt ($6/6$), ikke absolutt. Snellen-brøkene ($6/6$, $6/12$, $6/60$) rangerer riktig – de forteller hvem som ser best – men de er ikke lineære i LogMAR, og på den tradisjonelle tavlen er linjetrinnene dessuten ujevne. Regn etter på linjerekken $6/5$, $6/6$, $6/9$, $6/12$, $6/18$, $6/24$, $6/36$, $6/60$: trinnet fra $6/a$ til $6/b$ er ${\log }_{10}(b/6)-{\log }_{10}(a/6)={\log }_{10}(b/a)$, så det minste trinnet er ${\log }_{10}(6/5)\approx 0.08$ LogMAR og det største ${\log }_{10}(60/36)\approx 0.22$ – nesten tre ganger så stort. Konsekvensen er konkret og viktig: du kan regne et meningsfullt gjennomsnitt av LogMAR-verdier, men ikke av Snellen-desimalvisus. Å gjøre det siste gir systematisk feil svar, som et eksempel nedenfor viser i tall.

En siste skjelning i denne seksjonen handler ikke om den enkelte variabelen, men om hvordan to sett med målinger henger sammen – og den avgjør senere hvilken analyse som er den rette.

Data er paret når to (eller flere) målinger naturlig hører sammen på den samme enheten. Høyre og venstre øye på samme pasient, trykket før og etter en behandling, den samme størrelsen målt med to instrumenter på det samme øyet, to gjentak av den samme målingen – alt dette er paret. Målingene kommer i sammenhørende par, og det ville være å kaste bort informasjon å behandle dem som om de var uavhengige.

Data er uparet når de kommer fra uavhengige grupper av ulike enheter. Trykket hos en gruppe nærsynte mot trykket hos en annen gruppe langsynte, hornhinnetykkelse hos kontaktlinsebrukere mot ikke-brukere – her er det ingen naturlig kobling mellom en bestemt enhet i den ene gruppen og en bestemt enhet i den andre. Om et datasett er paret eller uparet, er ikke en smakssak; det er en egenskap ved hvordan dataene ble til, og seksjonen om å velge analyse kommer til å bygge direkte på skillet.

Hvor mye du kan slutte fra et utvalg til en populasjon, avhenger av hvordan utvalget ble til. Et representativt utvalg – helst trukket tilfeldig fra populasjonen – gjør at det du finner, kan generaliseres. Et skjevt utvalg gjør at selv en aldri så nøyaktig analyse svarer på feil populasjon.

To begreper som seksjonen om kritisk lesing tar grundig for seg, er verdt å nevne allerede nå. Skjevhet (bias) er en systematisk feil i hvordan enhetene velges ut eller måles – ikke tilfeldig sprik, men en konsekvent forskyvning i én retning. Konfundering oppstår når en tredje variabel henger sammen med både det du tror er årsaken og det du måler som virkning, og dermed forvrenger sammenhengen mellom dem. Et klinisk eksempel du kjenner igjen: hornhinnetykkelsen påvirker hvor høyt trykk et applanasjonstonometer leser av. Er hornhinnen tykkere enn vanlig, leser det systematisk for høyt, og er den tynnere, for lavt; hornhinneødem – væskeansamling i hornhinnen – er unntaket, for det øker tykkelsen og gir likevel for lav avlesning [180, tab. II.1.2 og avsn. II.1.1.2]. Skal du sammenligne trykket mellom to grupper som også skiller seg i hornhinnetykkelse, er tykkelsen en konfunder du må ta høyde for. Grep som randomisering (tilfeldig fordeling) og blinding (at pasient eller undersøker ikke vet hvilken gruppe som er hvilken) finnes nettopp for å holde skjevhet og konfundering i sjakk. Vi lar det bli med forvarselet her; poenget er at spørsmålet «hvor kom dataene fra?» er like viktig som «hvilken test skal jeg bruke?».

Gjennom kapittelet vises analysene i R. En naturlig første kommando på et nytt datasett er str(), som lister hver variabel med typen sin: num for tall, chr for tekst (kategorisk) og Factor for en kategorisk variabel med eksplisitt oppramsede nivåer.