Sannsynlighetsfordelinger og normalfordelingen

En stokastisk variabel (eller tilfeldig variabel) er en tallverdi knyttet til utfallet av et tilfeldig forsøk. Vi skriver den med stor bokstav, oftest $X$, og en konkret observert verdi med liten, $x$. Antall øyne med et funn i en gruppe, det avleste trykket på neste pasient, aksiallengden til et tilfeldig trukket øye – alt dette er stokastiske variabler: før forsøket vet vi ikke hvilken verdi $X$ tar, bare hvor sannsynlige de ulike verdiene er. Dette er motstykket til de deterministiske størrelsene fra kapitlets første seksjon: linseformelen gir samme bildeavstand hver gang, mens en stokastisk variabel spriker.

Stokastiske variabler deler seg i to slag, akkurat som variabeltypene fra første seksjon. En diskret variabel teller og kan bare ta atskilte verdier – antall positive tester, antall fargesvake i en klasse, antall bokstaver lest. En kontinuerlig variabel måler og kan i prinsippet ta en hvilken som helst verdi i et intervall – trykk, aksiallengde, LogMAR-synsstyrke. Skillet er ikke pedantisk: det avgjør hvordan vi i det hele tatt kan feste sannsynlighet på variabelen.

For en diskret variabel er det enkelt. Hver mulige verdi $k$ har en punktsannsynlighet $P(X=k)$ – sjansen for akkurat den verdien. Tegner vi punktsannsynlighetene som et stolpediagram, får vi hele fordelingen, og fordi $X$ må ta en av verdiene, summerer stolpene til $1$:

For en kontinuerlig variabel bryter dette sammen. Fordi verdiene ligger tett i et helt intervall, er det uendelig mange av dem, og sannsynligheten for å treffe nøyaktig én bestemt verdi er null: $P(X=x)=0$ for ethvert enkeltpunkt. Et trykk er aldri eksakt $16\mathrm{mmHg}$ ut i det uendelige antall desimaler. Sannsynlighet gir bare mening for intervaller – «mellom $12$ og $20\mathrm{mmHg}$», «over $21\mathrm{mmHg}$». I stedet for punktsannsynligheter beskrives en kontinuerlig variabel av en tetthetsfunksjon $f(x)$, og sannsynligheten for et intervall er arealet under tetthetskurven over det intervallet:

Husk fra kapittelet om kalkulus at det bestemte integralet nettopp er arealet under kurven mellom $a$ og $b$. Her får det integralet en direkte statistisk mening: arealet under en tetthet er en sannsynlighet.

To krav gjør en funksjon til en gyldig tetthet, og begge speiler krav vi allerede kjenner for sannsynlighet. Tettheten kan aldri være negativ, $f(x)\ge 0$ overalt (en sannsynlighet kan ikke være under null); og det samlede arealet under hele kurven må være $1$ (variabelen tar med sikkerhet en verdi):

Før vi møter en tetthet uten enkel formel, er det verdt å se én der arealet kan regnes med ren geometri. Betrakt den enkle tettheten $f(x)=x/8$ for $0\le x\le 4$, og $f(x)=0$ ellers. Kurven er en rett linje fra $(0,0)$ opp til $(4,0.5)$:

Den viktigste diskrete fordelingen i klinikken teller hvor mange av $n$ som har en egenskap. Gjør du $n$ uavhengige forsøk som hvert lykkes med samme sannsynlighet $p$ – $n$ øyne som hvert med sannsynlighet $p$ har et funn, $n$ personer som hver med sannsynlighet $p$ er fargesvake – følger antallet suksesser $X$ en binomialfordeling, skrevet $X\sim \text{Bin}(n,p)$. Her er den lille $p$ en andel (suksessandelen), ikke en p-verdi; sammenhengen avgjør, som kapittelboksen varslet.

Punktsannsynligheten for nøyaktig $k$ suksesser er

der binomialkoeffisienten $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{k}\right)$ – «$n$ over $k$» – teller hvor mange måter $k$ suksesser kan fordele seg på $n$ forsøk, faktoren $p^k$ er sannsynligheten for at disse $k$ lykkes, og ${(1-p)}^{n-k}$ at de øvrige mislykkes. To størrelser oppsummerer fordelingen. Forventningen $E(X)$ – det gjennomsnittlige antallet suksesser i det lange løp – og variansen $\text{Var}(X)$ er

og standardavviket er $\sqrt{np(1-p)}$. Formlene oppgis her; forventningen er intuitiv (lykkes hvert forsøk med sannsynlighet $p$, blir det typisk $np$ av $n$), og variansuttrykket motiveres av at spredningen er størst når $p$ er nær $0.5$ og krymper mot begge ytterkantene.

Rød-grønn fargesynssvakhet forekommer hos om lag $8\mathrm{\%}$ av menn i europeiske materialer, og hos under $1\mathrm{\%}$ av kvinner [170, tab. 1.6, s. 30] – det samme tallet som kapittelet om øyets fysikk og anatomi regner på. Screener du en gruppe på $n=25$ menn, følger antallet fargesvake $X\sim \text{Bin}(25,0.08)$, med forventning $E(X)=25\cdot 0.08=2.0$. Stolpediagrammet under viser hele fordelingen – diskret, med atskilte stolper, i motsetning til den sammenhengende tetthetskurven vi straks møter:

Den klart viktigste kontinuerlige fordelingen er normalfordelingen, også kalt Gauss-fordelingen etter dens opphavsmann. Noen kliniske størrelser er selv tilnærmet normalfordelte – de europeiske glaukomretningslinjene oppgir hornhinnens sentraltykkelse målt med ultralyd som en normalfordeling med gjennomsnitt om lag $540\mathrm{\mu }\mathrm{m}$ og standardavvik om lag $30\mathrm{\mu }\mathrm{m}$ [180, avsn. II.1.1.2] – og nesten ethvert gjennomsnitt er det, uansett hvilken fordeling tallene kommer fra. Tettheten er den velkjente symmetriske klokkekurven, bestemt fullt ut av to tall: gjennomsnittet $\mu$, som ligger under toppen og fastsetter hvor kurven er sentrert, og standardavviket $\sigma$, som fastsetter hvor bred den er. Et større $\sigma$ gir en lavere, bredere klokke; et mindre $\sigma$ en høyere, smalere.

Vi oppgir tetthetens formel og utleder den ikke – utledningen hører ikke hjemme her, og selve funksjonsformen skal du ikke lære utenat:

Ett trekk ved kurven er verdt å nevne med det samme, for det får en praktisk følge. I motsetning til tettheten $x/8$ over, har denne funksjonen ingen elementær antiderivert – det finnes ingen lukket formel, bygget av de vanlige funksjonene, for arealet under den. Sannsynligheten ${\int }_a^{b}f(x)𝑑x$ finnes derfor ikke ved å regne ut et antiderivert uttrykk, slik kalkulus-kapittelet ellers lærte; den må slås opp i en tabell eller hentes fra programvare. Det er en ærlig begrensning, ikke en forglemmelse, og den forklarer hvorfor statistikk lener seg på tabeller og på R der andre emner klarer seg med en formel.

Selv om det eksakte arealet krever oppslag, kan mønsteret huskes med tre tall. Uansett hva $\mu$ og $\sigma$ er, ligger en fast andel av fordelingen innenfor et gitt antall standardavvik fra midten – 68–95–99.7-regelen:

• •

  om lag $68\mathrm{\%}$ ($0.6827$) ligger innenfor $\mu \pm 1\sigma$;

• •

  om lag $95\mathrm{\%}$ ($0.9545$) ligger innenfor $\mu \pm 2\sigma$;

• •

  om lag $99.7\mathrm{\%}$ ($0.9973$) ligger innenfor $\mu \pm 3\sigma$.

For grenser som ikke lander på et helt antall standardavvik, trenger vi tabellen – og for å slippe én tabell per tenkelig $\mu$ og $\sigma$, gjør vi et lite grep som slår alle normalfordelinger sammen til én. Vi teller hvor mange standardavvik en verdi $x$ ligger fra midten. Det tallet kalles en $z$-verdi (eller standardisert verdi):

En $z$ på $+2$ betyr «to standardavvik over gjennomsnittet», uansett hva størrelsen måler eller hvilke enheter den har. Denne operasjonen – standardisering – gjør en verdi enhetsløs og sammenlignbar på tvers av fordelinger.

Etter standardisering følger $z$ standardnormalfordelingen: normalfordelingen med $\mu =0$ og $\sigma =1$. Dens tetthet, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-z^2/2)$, har sin topp ved $z=0$ med verdien $\approx 0.399$, og alle sannsynligheter for en hvilken som helst normalfordeling kan leses av denne ene kurven når verdiene først er gjort om til $z$-verdier. Sannsynligheten $P(Z\le z)$ – arealet til venstre for $z$ – er tabellert (og er ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^z$ av standardtettheten). Fra den følger de øvrige med komplement- og differanseregning: $P(Z>z)=1-P(Z\le z)$, og $P(z_1\le Z\le z_2)=P(Z\le z_2)-P(Z\le z_1)$.

Noen $z$-verdier er verdt å feste, for de kommer igjen i seksjonen om konfidensintervall. De skjærer av en gitt sentral andel (like mye i hver hale):

• •

  $90\mathrm{\%}$ sentralt svarer til $z=1.645$;

• •

  $95\mathrm{\%}$ sentralt svarer til $z=1.960$;

• •

  $99\mathrm{\%}$ sentralt svarer til $z=2.576$.

Merk at det er $1.96$, ikke $2$, som gir nøyaktig $95\mathrm{\%}$: arealet innenfor $\pm 1.96$ er $0.9500$, mens innenfor $\pm 2$ er det $0.9545$ – nær hverandre, men ikke like, og tallet $1.96$ er det du vil se igjen i konfidensintervaller.

Til slutt det som gjør normalfordelingen så gjennomgripende. Trykket til enkeltøyne trenger slett ikke være normalfordelt – det behandlede trykket i klinikkdatasettet var om lag symmetrisk, men mange kliniske størrelser har en hale mot høyre, slik det tenkte åttepasientsettet i seksjonen om deskriptiv statistikk hadde. Men tar du gjennomsnittet av mange målinger, retter fordelingen seg ut. Sentralgrenseteoremet sier at gjennomsnittet $\overline{x}$ av $n$ uavhengige observasjoner er tilnærmet normalfordelt når $n$ er stort nok – uansett formen på fordelingen de trekkes fra – med senter i populasjonsgjennomsnittet $\mu$ og et standardavvik som krymper med $\sqrt{n}$. Dette er bemerkelsesverdig: skjevhet og pukler i enkeltdataene vaskes bort så snart vi midler, og klokkekurven dukker opp av seg selv.

Nettopp fordi gjennomsnittets fordeling er smalere enn enkeltverdienes, trenger vi et eget mål på hvor mye gjennomsnittet spriker. Husk fra seksjonen om måling og usikkerhet at dette er standardfeilen SEM, og at den avtar som $1/\sqrt{n}$:

Skillet er verdt å holde skarpt: standardavviket $s$ måler spredningen mellom enkeltindivider (hvor ulike to øyne er), mens SEM måler hvor presist gjennomsnittet anslår populasjonssnittet $\mu$. SEM er alltid mindre enn $s$, og fordi det er $\sqrt{n}$ som står i nevneren, må du firedoble antallet målinger for å halvere den. Denne standardfeilen er selve motoren i neste seksjon: den setter bredden på konfidensintervallet for $\mu$.

Teoremet lar seg ikke bevise her, men det lar seg se ved simulering. Trekker vi mange utvalg fra en sterkt høyreskjev fordeling, regner gjennomsnittet i hvert, og tegner et histogram av gjennomsnittene, blir det klokkeformet – og dets standardavvik nærmer seg den teoretiske SEM.