Eksponentialfunksjoner og logaritmer

En lineær funksjon endrer seg med et fast beløp for hvert skritt langs $x$ -aksen, og et polynom lar endringen vokse med argumentet. Men noen sammenhenger endrer seg ikke ved å legge til det samme – de endrer seg ved å gange med det samme. Slik oppfører lys seg når det passerer gjennom det ene filteret etter det andre, og slik er synstavlene bygd: hvert trinn er en fast faktor, ikke et fast tillegg. For å beskrive gjentatt multiplikasjon trenger vi eksponentialfunksjonen, og for å lese av skalaer bygd på faste faktorer trenger vi dens motstykke, logaritmen.

Eksponentialfunksjoner

En eksponentialfunksjon har formen

f(x)=a\cdot b^{x},\qquad a\neq 0,\quad b>0,\quad b\neq 1.

Her står argumentet $x$ i eksponenten – derav navnet – mens grunntallet $b$ er fast. Setter du inn $x=0$ , får du $f(0)=a\cdot b^{0}=a$ , siden $b^{0}=1$ (husk fra kapittelet om algebra at ethvert tall opphøyd i null er én). Derfor kaller vi $a$ for startverdien og $b$ for vekstfaktoren.

Det som skiller eksponentiell endring fra lineær, ser du når $x$ øker med én enhet:

f(x+1)=a\cdot b^{x+1}=a\cdot b^{x}\cdot b=b\cdot f(x).

Der en lineær funksjon legger til stigningstallet for hvert skritt, ganger en eksponentialfunksjon med vekstfaktoren. Er $b>1$ , blir funksjonsverdien større for hvert skritt, og vi har vekst; er $0<b<1$ , blir den mindre, og vi har avtak.

De to tilfellene henger tett sammen. Husk fra kapittelet om algebra at en negativ eksponent betyr den inverse: $b^{-x}=1/b^{x}$ . En avtakende funksjon med grunntall under én, for eksempel $b=\tfrac{1}{2}$ , kan derfor skrives med et grunntall over én og negativ eksponent:

\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{2^{x}}=2^{-x}.

Avtak med faktor $\tfrac{1}{2}$ er altså vekst med faktor $2$ speilvendt om $y$ -aksen.

Figur 3.7: Vekst og avtak er speilbilder om

y

-aksen, og begge kurvene går gjennom startverdien

a

Eksempel 3.3.1

En eksponentialfunksjon er gitt ved $f(x)=2^{x}$ . Regn ut $f(3)$ , $f(0)$ og $f(-2)$ .

Løsning: Vi setter hvert argument inn i eksponenten:

f(3)=2^{3}=\underline{\underline{8}},\qquad f(0)=2^{0}=\underline{\underline{1}}.

For det negative argumentet bruker vi at en negativ eksponent gir den inverse:

f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\underline{\underline{\tfrac{1}{4}}}.

Verdiene stemmer med vekstkurven i figuren: $1$ i punktet $x=0$ , større til høyre og mindre til venstre.

Tierlogaritmen

Eksponentialfunksjonen tar deg fra en eksponent $x$ til tallet $b^{x}$ . Ofte vil du den motsatte veien: du kjenner tallet og spør hvilken eksponent som skal til. Fordi tallsystemet vårt er bygd på tierpotenser, er grunntallet $10$ det viktigste.

Vi definerer tierlogaritmen $\log x$ som den eksponenten $10$ må opphøyes i for å gi $x$ :

y=\log x\quad\Longleftrightarrow\quad 10^{y}=x.

Logaritmen er altså motsatsen til $10^{x}$ : den ene gjør om det den andre gjør. Bare positive tall har en tierlogaritme, for $10^{y}$ er alltid positivt uansett hvilken eksponent $y$ du velger.

Rett fra definisjonen leser du av at

\log 10^{n}=n,

siden eksponenten $10$ må opphøyes i for å gi $10^{n}$ , nettopp er $n$ . Dermed er $\log 1=0$ , $\log 10=1$ , $\log 100=2$ og $\log 0.1=-1$ . Fordi $\log x$ er motsatsen til $10^{x}$ , er grafen speilingen av $y=10^{x}$ om linjen $y=x$ : der eksponentialkurven går gjennom $(0,1)$ , går logaritmekurven gjennom $(1,0)$ .

Figur 3.8: Logaritmekurven finnes bare for positive

x

og stuper nedover nær

y

-aksen.

De tre logaritmereglene følger direkte av potensreglene fra kapittelet om algebra. Skriv to positive tall som tierpotenser, $a=10^{p}$ og $b=10^{q}$ . Da er $a\cdot b=10^{p}\cdot 10^{q}=10^{p+q}$ , så eksponenten som gir produktet, er $p+q$ :

\log(a\cdot b)=\log a+\log b.

Multiplikasjon av tallene svarer altså til addisjon av logaritmene. På samme vis gir $a/b=10^{p-q}$ kvotientregelen, og $a^{n}=\left(10^{p}\right)^{n}=10^{np}$ gir potensregelen:

\log\frac{a}{b}=\log a-\log b,\qquad\log a^{n}=n\log a.

Overbevis deg om hver av dem ved å skrive tallene som tierpotenser og lese av eksponenten, slik vi gjorde for produktet.

Ett tall er verdt å huske: $\log 2\approx 0.30$ , fordi $10^{0.30}\approx 2$ . Med den ene verdien og reglene over kommer du langt uten kalkulator – for eksempel er $\log 5=\log\frac{10}{2}=1-\log 2\approx 0.70$ .

Eksempel 3.3.2

Skriv hvert uttrykk så enkelt som mulig, og bruk $\log 2\approx 0.30$ der du trenger det: (a) $\log 4+\log 250$ , (b) $\log 8$ , (c) $\log 5$ .

Løsning: Vi bruker produkt-, potens- og kvotientregelen etter tur. For (a) samler vi de to leddene med produktregelen:

\log 4+\log 250=\log(4\cdot 250)=\log 1000=\underline{\underline{3}}.

For (b) skriver vi $8=2^{3}$ og bruker potensregelen:

\log 8=\log 2^{3}=3\log 2\approx 3\cdot 0.30=\underline{\underline{0.90}}.

For (c) skriver vi $5=\frac{10}{2}$ og bruker kvotientregelen:

\log 5=\log\frac{10}{2}=\log 10-\log 2\approx 1-0.30=\underline{\underline{0.70}}.

Logaritmiske skalaer i synsvitenskapen

Synssystemet arbeider over svimlende store områder. Lyset fra middagssolen kan være opptil ti millioner ganger så intenst som måneskinn – sju tierpotenser. Synet håndterer hele spennet ved å tilpasse seg lysnivået det er i [14]. Skal du beskrive slike størrelser med tall som er til å leve med, er en vanlig lineær skala ubrukelig; en logaritmisk skala er svaret. På en logskala blir like faktorer til like steg: en tidobling av en størrelse flytter deg alltid ett hakk, enten du går fra $1$ til $10$ eller fra $1000$ til $10\,000$ . To slike skalaer møter du tidlig i klinikken.

LogMAR-skalaen

Husk fra kapittelet om algebra at hver linje på en LogMAR-tavle har bokstaver som er linjefaktoren $k=\sqrt[10]{10}\approx 1.26$ ganger så store som bokstavene på linjen under [7, avsn. V.1, s. 10]. Nå kan vi si hvor det tallet kommer fra. Grunnlaget er MAR (av engelsk minimum angle of resolution), den minste synsvinkelen – målt i bueminutter, der ett bueminutt er $1/60$ av en grad – som øyet klarer å skille to detaljer på. LogMAR-verdien er ganske enkelt tierlogaritmen av denne vinkelen:

\text{logMAR}=\log(\mathrm{MAR}).

Husk fra kapittelet om algebra at synsstyrke (visus) uttrykkes med brøker som $6/6$ og $6/12$ ; en slik visusbrøk kalles en Snellen-brøk. Deler du nevneren på telleren, får du nettopp MAR i bueminutter. Normalsynet $6/6$ svarer til $\mathrm{MAR}=1$ , altså $\text{logMAR}=\log 1=0$ [4]. Én linje ned tilsvarer å gange MAR med linjefaktoren $k$ , og produktregelen gir da

\log(k\cdot\mathrm{MAR})=\log k+\log\mathrm{MAR}.

Siden $\log k=\log 10^{0.1}=0.1$ , øker logMAR med nøyaktig $0.1$ per linje. Linjefaktoren $10^{0.1}$ er altså ikke annet enn faktoren som gir ett $0.1$ -steg på logskalaen.

Eksempel 3.3.3

Fyll ut logMAR-verdiene for synstavlens linjer $6/6$ , $6/12$ , $6/24$ og $6/60$ , og vis at hoppet i logMAR mellom to av målingene alltid er $0.1$ ganger antallet tavlelinjer mellom dem.

Løsning: For hver Snellen-brøk finner vi først $\mathrm{MAR}$ ved å dele nevner på teller, så tar vi logaritmen:

$\displaystyle 6/6:$	$\displaystyle\quad\mathrm{MAR}=1,$	$\displaystyle\text{logMAR}=\log 1=0,$
$\displaystyle 6/12:$	$\displaystyle\quad\mathrm{MAR}=2,$	$\displaystyle\text{logMAR}=\log 2\approx 0.30,$
$\displaystyle 6/24:$	$\displaystyle\quad\mathrm{MAR}=4,$	$\displaystyle\text{logMAR}=\log 4\approx 0.60,$
$\displaystyle 6/60:$	$\displaystyle\quad\mathrm{MAR}=10,$	$\displaystyle\text{logMAR}=\log 10=1.0.$

Les så av hoppene. Fra $6/6$ til $6/12$ dobles MAR, og logMAR øker med $\log 2\approx 0.30$ – tre linjer à $0.1$ ; det samme gjelder fra $6/12$ til $6/24$ . Fra $6/24$ til $6/60$ ganges MAR med $2.5$ , og hoppet er $\log 2.5=\log 10-\log 4\approx 1-0.60=0.40$ – fire linjer. Fra $6/6$ til $6/60$ er MAR i alt tidoblet, og logMAR har økt med nøyaktig $\underline{\underline{1.0}}$ – ti linjer à $0.1$ . At en dobling av MAR koster $0.30$ , er den samme halveringen av oppløsningen du møtte i kapittelet om algebra, nå avlest direkte på logskalaen.

Optisk tetthet

Den andre skalaen beskriver hvor mye lys et filter slipper igjennom. Transmisjonen $T$ er andelen lys som passerer, et tall mellom $0$ (helt tett) og $1$ (helt klart). Et filters optiske tetthet $\mathrm{OD}$ (av engelsk optical density) er den negative tierlogaritmen av transmisjonen:

\mathrm{OD}=-\log T,\qquad\text{og omvendt}\qquad T=10^{-\mathrm{OD}}.

Et filter som slipper igjennom en hundredel av lyset, har $T=0.01$ , altså $\mathrm{OD}=-\log 0.01=2$ . Fordelen med skalaen viser seg når du stabler filtre. Legger du to filtre etter hverandre, multipliseres transmisjonene – hvert filter slipper igjennom sin andel av det som kom fra det forrige – så $T_{\text{tot}}=T_{1}\cdot T_{2}$ . Produktregelen for logaritmer gjør da at tetthetene adderes:

\mathrm{OD}_{\text{tot}}=-\log(T_{1}\cdot T_{2})=-\log T_{1}-\log T_{2}=\mathrm{OD}_{1}+\mathrm{OD}_{2}.

Den kliniske regneregelen «legg sammen tetthetene» er altså logaritmens produktregel i praktisk drakt.

Eksempel 3.3.4

Foran et instrument stabler du to nedtoningsfiltre med optisk tetthet $\mathrm{OD}_{1}=1.5$ og $\mathrm{OD}_{2}=0.5$ . Hvor stor andel av lyset slipper igjennom stabelen samlet?

Løsning: Fristelsen er å legge sammen transmisjonene, men det er tetthetene som adderes når filtre stables, fordi transmisjonene multipliseres. Vi finner først den samlede tettheten:

\mathrm{OD}_{\text{tot}}=\mathrm{OD}_{1}+\mathrm{OD}_{2}=1.5+0.5=2.0.

Så dekoder vi tilbake til transmisjon med $T=10^{-\mathrm{OD}}$ :

T_{\text{tot}}=10^{-2.0}=0.01=\underline{\underline{$1\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}.

Bare én prosent av lyset kommer igjennom. Hadde du i stedet lagt sammen transmisjonene $10^{-1.5}+10^{-0.5}\approx 0.35$ , ville du bommet grovt – addisjon hører hjemme på tetthetsskalaen, ikke på transmisjonen.

Oppgaver

Oppgave 3.3.1

Regn ut uten kalkulator, med definisjonen av tierlogaritmen:

a)

$\log 1000$
b)

$\log 0.01$
c)

$\log 1$
d)

$10^{2}$
e)

$\log 10^{-4}$

Løsningsforslag

Oppgave 3.3.1: Alt følger av definisjonen $y=\log x\Longleftrightarrow 10^{y}=x$ , altså $\log 10^{n}=n$ .

a)

$\log 1000=\log 10^{3}=\underline{\underline{3}}$ .
b)

$\log 0.01=\log 10^{-2}=\underline{\underline{-2}}$ .
c)

$\log 1=\log 10^{0}=\underline{\underline{0}}$ .
d)

$10^{2}=\underline{\underline{100}}$ .
e)

$\log 10^{-4}=\underline{\underline{-4}}$ .

Oppgave 3.3.2

Bruk logaritmereglene til å skrive hvert uttrykk så enkelt som mulig. La $\log 2\approx 0.30$ der du trenger det.

a)

$\log 2+\log 50$
b)

$\log 20-\log 2$
c)

$\log 10^{3}+\log 100$
d)

$\log(2\cdot 10^{4})$

Løsningsforslag

Oppgave 3.3.2: Vi bruker produkt-, kvotient- og potensregelen, og $\log 2\approx 0.30$ der det trengs.

a)

$\log 2+\log 50=\log(2\cdot 50)=\log 100=\underline{\underline{2}}$ .
b)

$\log 20-\log 2=\log\frac{20}{2}=\log 10=\underline{\underline{1}}$ .
c)

$\log 10^{3}+\log 100=3+2=\underline{\underline{5}}$ .
d)

$\log(2\cdot 10^{4})=\log 2+\log 10^{4}\approx 0.30+4=\underline{\underline{4.30}}$ .

Oppgave 3.3.3

En pasient måles til visus $6/60$ før korreksjon og $6/12$ etterpå. Husk fra underemnet om LogMAR-skalaen at $\mathrm{MAR}$ er nevneren delt på telleren i Snellen-brøken, og at $\text{logMAR}=\log(\mathrm{MAR})$ .

a)

Finn $\mathrm{MAR}$ og logMAR for hver av de to målingene.
b)

Hvor mange logMAR-linjer à $0.1$ har pasienten forbedret seg?

Løsningsforslag

Oppgave 3.3.3:

a)

Nevner delt på teller gir MAR, og logMAR er tierlogaritmen av den. Før korreksjon: $\mathrm{MAR}=\frac{60}{6}=10$ , så $\text{logMAR}=\log 10=\underline{\underline{1.0}}$ . Etter korreksjon: $\mathrm{MAR}=\frac{12}{6}=2$ , så $\text{logMAR}=\log 2\approx\underline{\underline{0.30}}$ .
b)

Forbedringen er $1.0-0.30=0.70$ , altså $\frac{0.70}{0.1}=\underline{\underline{7}}$ linjer. Kontroll: MAR er redusert med faktoren $\frac{10}{2}=5$ , og $\log 5\approx 0.70$ – samme sju steg à $0.1$ .

Oppgave 3.3.4

På en klinikk stables to nedtoningsfiltre foran et instrument, ett med optisk tetthet $\mathrm{OD}=2.0$ og ett med $\mathrm{OD}=1.0$ . Husk at $\mathrm{OD}=-\log T$ , der $T$ er transmisjonen. En student regner samlet transmisjon som $T=10^{-2.0}+10^{-1.0}$ og får omtrent $0.11$ . Har hun rett? Forklar hva som er feil, og finn den riktige samlede transmisjonen.

Løsningsforslag

Oppgave 3.3.4: Nei. Når filtre stables, slipper hvert filter igjennom sin andel av det som kom fra det forrige, så transmisjonene multipliseres – de adderes ikke. Det er tetthetene som adderes:

\mathrm{OD}_{\text{tot}}=2.0+1.0=3.0,\qquad T_{\text{tot}}=10^{-3.0}=0.001=\underline{\underline{$0.1\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}.

Kontroll: $T_{1}\cdot T_{2}=10^{-2.0}\cdot 10^{-1.0}=0.01\cdot 0.1=0.001$ . Studentens $0.11$ er over hundre ganger for stort – addisjon hører hjemme på tetthetsskalaen, ikke på transmisjonen.

Oppgave 3.3.5

a)

To filtre med transmisjon $T_{1}$ og $T_{2}$ stables, slik at samlet transmisjon er produktet $T_{1}T_{2}$ . Bruk definisjonen $\mathrm{OD}=-\log T$ og produktregelen for logaritmer til å utlede at samlet tetthet blir $\mathrm{OD}_{1}+\mathrm{OD}_{2}$ .
b)

Lag så din egen kliniske oppgave – i logMAR eller i optisk tetthet – der en verdi på en logaritmisk skala må dekodes tilbake til en vanlig faktor, og skriv fasit til oppgaven din.

Løsningsforslag

Oppgave 3.3.5:

a)

Samlet transmisjon er $T_{1}T_{2}$ , så definisjonen $\mathrm{OD}=-\log T$ og produktregelen gir

$\mathrm{OD}_{\text{tot}}=-\log(T_{1}T_{2})=-(\log T_{1}+\log T_{2})=(-\log T_{1})+(-\log T_{2})=\mathrm{OD}_{1}+\mathrm{OD}_{2}.$

Samlet tetthet er altså summen av tetthetene, som skulle vises.
b)

Åpen deloppgave; ingen entydig fasit. Et vurderingsmoment: oppgaven skal faktisk kreve dekoding fra logskalaen tilbake til en faktor (via $10^{\text{verdi}}$ ), og fasiten skal stemme når den settes inn i oppgaven igjen.

Alle løsningsforslag til kapittel 3