Polynomfunksjoner

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje – men de færreste sammenhenger er rette. Overflaten til en kontaktlinse krummer, og lysmengden som slipper inn gjennom pupillen, vokser med kvadratet av pupillens diameter, fordi den følger arealet. I denne seksjonen utvider vi verktøykassen fra rette linjer til polynomfunksjonene, med andregradsfunksjonene og deres parabler i hovedrollen.

Polynomer og grad

Husk fra kapittelet om algebra at et algebraisk uttrykk består av ledd, og at koeffisienten er tallfaktoren i et ledd. Et polynom i $x$ er en sum av ledd der hvert ledd er en koeffisient ganger en potens av $x$ med hel, ikke-negativ eksponent. En polynomfunksjon er en funksjon der regelen er et polynom; den generelle formen er

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0},

der koeffisientene $a_{0},a_{1},\dots,a_{n}$ er konstanter og $a_{n}\neq 0$ . Den høyeste eksponenten $n$ kalles polynomets grad, og koeffisienten $a_{n}$ foran leddet av høyest grad kalles den ledende koeffisienten. Indeksene er bare merkelapper: $a_{2}$ er koeffisienten foran $x^{2}$ , uansett hvor i uttrykket leddet står.

To av gradene kjenner du allerede. En lineær funksjon $f(x)=ax+b$ er et polynom av grad $1$ med ledende koeffisient $a$ , og en konstant funksjon $f(x)=b$ – som gir samme verdi uansett argument – er et polynom av grad $0$ ; husk fra kapittelet om algebra at $x^{0}=1$ . Graden avhenger ikke av rekkefølgen leddene står i: $1-2x+\tfrac{1}{2}x^{3}$ har grad $3$ og ledende koeffisient $\tfrac{1}{2}$ .

Andregradsfunksjoner

Grad to gir den viktigste nykommeren. En andregradsfunksjon har formen

f(x)=ax^{2}+bx+c,\qquad a\neq 0,

der vi – som i abc-formelen – skriver koeffisientene $a$ , $b$ og $c$ i stedet for $a_{2}$ , $a_{1}$ og $a_{0}$ . Grafen kalles en parabel. Fortegnet til $a$ bestemmer hvilken vei den åpner: langt fra origo dominerer leddet $ax^{2}$ resten av uttrykket, og siden $x^{2}$ aldri er negativt, peker begge armene oppover når $a>0$ og nedover når $a<0$ .

Husk fra forrige seksjon at et nullpunkt er et argument som gjør funksjonsverdien null – et sted der grafen møter $x$ -aksen. For en andregradsfunksjon er nullpunktene løsningene av likningen $ax^{2}+bx+c=0$ ; husk fra kapittelet om algebra at abc-formelen gir dem,

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},

og at diskriminanten $b^{2}-4ac$ avgjør hvor mange løsninger som finnes. Grafisk blir de tre tilfellene tre ulike bilder: er diskriminanten positiv, krysser parabelen $x$ -aksen to steder; er den null, berører grafen aksen i nøyaktig ett punkt; er den negativ, holder grafen seg helt på én side av aksen.

Figur 3.3: Alle tre parablene åpner oppover; det er bare hvor høyt de ligger over

x

-aksen som skiller tilfellene.

Parabelen er symmetrisk. De to nullpunktene fra abc-formelen ligger like langt til hver sin side av $x=-\frac{b}{2a}$ , siden leddet $\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ trekkes fra og legges til det samme midtpunktet – overbevis deg om dette ved å regne ut gjennomsnittet av de to løsningene. Den loddrette linjen

x=-\frac{b}{2a}

kalles symmetrilinjen: speiler du grafen om den, faller den på seg selv. På symmetrilinjen ligger parabelens laveste eller høyeste punkt: bunnpunktet når $a>0$ , toppunktet når $a<0$ .

At dette gjelder også når parabelen ikke har nullpunkter, ser du ved å fullføre kvadratet – husk teknikken fra kapittelet om algebra:

f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}.

Gang ut høyresiden og overbevis deg om at den virkelig er $ax^{2}+bx+c$ . Kvadratet er aldri negativt og er null nøyaktig når $x=-\frac{b}{2a}$ ; er $a$ positiv, er $f$ derfor minst akkurat der, og er $a$ negativ, størst. Funksjonsverdien i topp- eller bunnpunktet finner du ved å sette $x=-\frac{b}{2a}$ inn i funksjonen.

Figur 3.4: Anatomien til parabelen

f(x)=x^{2}-4x+3

: to nullpunkter, symmetrilinje og bunnpunkt.

Eksempel 3.2.1

En andregradsfunksjon er gitt ved $f(x)=x^{2}-x-6$ . Finn nullpunktene til funksjonen.

Løsning: Nullpunktene er løsningene av $x^{2}-x-6=0$ , og dem finner vi med abc-formelen med $a=1$ , $b=-1$ og $c=-6$ :

	$\displaystyle x$	$\displaystyle=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2}$
		$\displaystyle=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm 5}{2},$

altså $x=\underline{\underline{3}}$ og $x=\underline{\underline{-2}}$ . Grafen krysser $x$ -aksen i disse to punktene.

Eksempel 3.2.2

Undersøk andregradsfunksjonen $f(x)=2x^{2}-4x-6$ : finn nullpunktene, symmetrilinjen og bunnpunktet, og avgjør hvilken vei parabelen åpner.

Løsning: Vi leser av $a=2$ , $b=-4$ og $c=-6$ , og går gjennom anatomien punkt for punkt. Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og har et bunnpunkt. Diskriminanten er $b^{2}-4ac=16+48=64>0$ , så det finnes to nullpunkter:

x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}=\frac{4\pm 8}{4},

altså $x=\underline{\underline{3}}$ og $x=\underline{\underline{-1}}$ . Symmetrilinjen ligger midt mellom dem,

x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{4}=1,

i samsvar med gjennomsnittet av $3$ og $-1$ . Funksjonsverdien der er $f(1)=2-4-6=-8$ , så bunnpunktet er $(1,-8)$ . Sammenlign gjerne med figur 3.4: samme anatomi, bare med andre tall – to nullpunkter symmetrisk om en loddrett linje gjennom bunnpunktet.

Pilhøyden til en linseflate

Andregradsfunksjoner dukker opp et sted du kanskje ikke venter dem: i selve formen på en kontaktlinse. Baksiden av en kontaktlinse er i den enkleste utførelsen en del av en kuleflate. Husk fra kapittelet om algebra at krumningsradien til en linseflate måles med fortegn – positiv i lysets retning – når den brukes i linsemakerformelen; her spør vi bare om flatens form, og lar derfor $r$ stå for lengden av radien, som et positivt tall. I kontaktlinsesammenheng kalles krumningsradien til linsens bakflate for basiskurven, og den oppgis i millimeter.

Hvor dyp er en slik flate? Figuren viser kuleflaten fra siden: den optiske aksen går gjennom kulesentrum, og $y$ er avstanden fra aksen ut til kanten av sonen vi ser på – halve sonens diameter. Pilhøyden $s$ (også kalt sagitta, latin for pil) er dybden av skålen over denne sonen: avstanden langs aksen fra planet gjennom sonekanten inn til selve flaten.

Figur 3.5: Kuleflaten sett fra siden: radien, korden og pilhøyden danner en rettvinklet trekant.

Trekanten i figuren er rettvinklet; katetene – de to sidene som møtes i den rette vinkelen – er $r-s$ og $y$ , og hypotenusen – den lengste siden, den som ligger motsatt den rette vinkelen – er $r$ . Pythagoras’ setning – kjent fra skolen; vi kommer grundig tilbake til den i kapittelet om trigonometri og geometri – gir da

(r-s)^{2}+y^{2}=r^{2}.

Ganger vi ut kvadratet med kvadratsetningene fra kapittelet om algebra og trekker $r^{2}$ fra begge sider, står vi igjen med

s^{2}-2rs+y^{2}=0.

Dette er en andregradslikning i $s$ , med $a=1$ , $b=-2r$ og $c=y^{2}$ , og abc-formelen gir

s=\frac{2r\pm\sqrt{4r^{2}-4y^{2}}}{2}=r\pm\sqrt{r^{2}-y^{2}}.

Plusstegnet svarer til å måle dybden tvers igjennom kulen til flatens bakre halvdel; den grunne skålen vi er ute etter, er minusløsningen:

s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}.

Formelen er eksakt, men det finnes en enklere form når sonen er smal. Skriv likningen $s^{2}-2rs+y^{2}=0$ om til $s(2r-s)=y^{2}$ , altså

s=\frac{y^{2}}{2r-s}.

For en grunn flate er $s$ liten i forhold til $r$ – i tallene nedenfor en knapp kvart millimeter mot flere millimeter – og da er $2r-s\approx 2r$ :

s\approx\frac{y^{2}}{2r}.

Dette kalles den paraksiale tilnærmingen; «paraksial» betyr nær aksen, og det er nettopp forutsetningen: formelen gjelder når $y$ er liten i forhold til $r$ . Som funksjon av $y$ er høyresiden nettopp et polynom: $s(y)=\frac{1}{2r}\,y^{2}$ er en andregradsfunksjon med $a=\frac{1}{2r}$ og $b=c=0$ – en parabel som åpner oppover, med bunnpunkt i origo. Den kvadratiske veksten har en håndfast tolkning: en dobbelt så bred sone gir en omtrent fire ganger så dyp flate.

Eksempel 3.2.3

Baksiden av en myk kontaktlinse modelleres som én kuleflate med basiskurve $r=$8.60\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , og den optiske sonen – den sentrale delen av linsen som gir den foreskrevne styrken – settes i modellen til diameter $4.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ . Bruk den paraksiale tilnærmingen til å anslå pilhøyden over den optiske sonen, og kontroller svaret mot den eksakte formelen.

Løsning: Høyden er halve sonediameteren, $y=$2.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , og den er liten i forhold til radien ( $y/r\approx 0.23$ ), så tilnærmingen bør treffe godt. Husk fra kapittelet om algebra at enhetene kan behandles algebraisk og følge med gjennom regningen:

	$\displaystyle s\approx\frac{y^{2}}{2r}$	$\displaystyle=\frac{(2.0\ \text{mm})^{2}}{2\cdot 8.60\ \text{mm}}$
		$\displaystyle=\frac{4.0\ \text{mm}^{2}}{17.2\ \text{mm}}\approx\underline{\underline{$0.233\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$

Den eksakte formelen gir

	$\displaystyle s$	$\displaystyle=8.60-\sqrt{8.60^{2}-2.0^{2}}$
		$\displaystyle=8.60-\sqrt{69.96}\approx$0.236\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$,$

så tilnærmingen bommer med snaut $1.5\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ – utmerket til formålet. Skålen er altså ikke engang en kvart millimeter dyp over den optiske sonen; og fordi dybden vokser kvadratisk, ville en dobbelt så bred sone gitt en omtrent fire ganger så dyp flate.

Polynomer av høyere grad

En tredjegradsfunksjon har formen $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ med $a\neq 0$ , og mønsteret fortsetter oppover i gradene. To enkle regler gir deg formen på grafen uten regning. For det første: et polynom av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter, og grafen har høyst $n-1$ topp- og bunnpunkter. For det andre: langt fra origo dominerer leddet av høyest grad. For parabelen betyr det at begge armene peker samme vei, siden $x^{2}$ er positivt på begge sider; for en tredjegradsfunksjon peker armene hver sin vei, siden $x^{3}$ skifter fortegn med $x$ – med $a>0$ kommer grafen opp fra nede til venstre og forsvinner opp mot høyre.

Figuren viser $f(x)=x^{3}-x$ , som du kan faktorisere med konjugatsetningen fra kapittelet om algebra: $x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)$ .

Figur 3.6: Grafen har tre nullpunkter og to steder der den snur – det meste grad

3

tillater.

Høyeregradspolynomene er ikke bare kuriosa. Når en linseflate ikke skal være perfekt kuleformet, beskriver designeren den gjerne ved å legge ledd av høyere grad til pilhøyden,

s(y)\approx\frac{y^{2}}{2r}+a_{4}y^{4}+a_{6}y^{6}+\dots,

altså et polynom i $y$ . Slike flater kalles asfæriske – ordet betyr nettopp «ikke kuleformet». Det er på denne formen moderne asfæriske brilleglass beskrives [12, s. 76–77], og slike flater møter du også i kontaktlinser [13, s. 91].

Oppgaver

Oppgave 3.2.1

Finn graden og den ledende koeffisienten til hvert av polynomene, og avgjør hvilken av funksjonene som er lineær:

a)

$p(x)=4x-7$
b)

$q(x)=3x^{2}-x+5$
c)

$u(x)=1-2x+\tfrac{1}{2}x^{3}$
d)

$v(x)=9$

Løsningsforslag

Oppgave 3.2.1: Graden er den høyeste eksponenten, og den ledende koeffisienten er koeffisienten foran leddet av høyest grad – uansett hvor i uttrykket leddet står.

a)

$p(x)=4x-7$ : grad $1$ , ledende koeffisient $4$ .
b)

$q(x)=3x^{2}-x+5$ : grad $2$ , ledende koeffisient $3$ .
c)

$u(x)=1-2x+\tfrac{1}{2}x^{3}$ : grad $3$ , ledende koeffisient $\tfrac{1}{2}$ .
d)

$v(x)=9$ : konstant funksjon, grad $0$ , ledende koeffisient $9$ .

En lineær funksjon er et polynom av grad $1$ , så det er $p$ som er lineær.

Oppgave 3.2.2

En andregradsfunksjon er gitt ved $f(x)=x^{2}-6x+5$ .

a)

Regn ut diskriminanten. Hva forteller den om antall nullpunkter?
b)

Finn nullpunktene, symmetrilinjen og bunnpunktet.
c)

Åpner parabelen oppover eller nedover? Begrunn ut fra fortegnet til $a$ .

Løsningsforslag

Oppgave 3.2.2: Vi leser av $a=1$ , $b=-6$ og $c=5$ .

a)

Diskriminanten er $b^{2}-4ac=36-20=\underline{\underline{16}}$ . Siden den er positiv, har funksjonen to nullpunkter.
b)

Abc-formelen gir

$x=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2},$

altså nullpunktene $x=\underline{\underline{5}}$ og $x=\underline{\underline{1}}$ . Symmetrilinjen er

$x=-\frac{b}{2a}=\underline{\underline{3}},$

i samsvar med gjennomsnittet av $5$ og $1$ . Funksjonsverdien der er $f(3)=9-18+5=-4$ , så bunnpunktet er $(3,-4)$ .
c)

Siden $a=1>0$ , dominerer leddet $x^{2}$ langt fra origo, og begge armene peker oppover: parabelen åpner oppover.

Oppgave 3.2.3

Tenk deg en stiv kontaktlinse med basiskurve $r=$7.80\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ ; den optiske sonen på baksiden har diameter $7.80\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ .

a)

Finn høyden $y$ , og regn ut den eksakte pilhøyden over den optiske sonen.
b)

Regn ut den paraksiale tilnærmingen og det prosentvise avviket fra den eksakte verdien.

Løsningsforslag

Oppgave 3.2.3:

a)

Høyden er halve sonediameteren, $y=\underline{\underline{$3.90\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}$ . Den eksakte formelen gir

$\displaystyle s$ $\displaystyle=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}=7.80-\sqrt{7.80^{2}-3.90^{2}}$

$\displaystyle=7.80-\sqrt{45.63}\approx\underline{\underline{$1.045\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$
b)

Den paraksiale tilnærmingen gir

$s\approx\frac{y^{2}}{2r}=\frac{15.21\ \text{mm}^{2}}{15.6\ \text{mm}}=\underline{\underline{$0.975\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},$

som ligger $1.045-0.975=$0.070\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ under den eksakte verdien – et avvik på

$\frac{0.070}{1.045}\approx\underline{\underline{$6.7\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}.$

Her er $y/r=0.5$ , langt fra « $y$ liten i forhold til $r$ », og tilnærmingen bommer synlig.

Oppgave 3.2.4

Baksiden av en myk kontaktlinse modelleres som én kuleflate med basiskurve $r=$8.40\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ ; den optiske sonen har diameter $4.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ og hele linsen $14.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ .

a)

Regn ut eksakt og paraksial pilhøyde både over den optiske sonen og over hele linsen.
b)

I hvilket tilfelle er tilnærmingen forsvarlig? Begrunn med tallene dine.
c)

Formuler en tommelfingerregel for hvor stort $y/r$ kan være før tilnærmingen bommer med mer enn noen få prosent.

Løsningsforslag

Oppgave 3.2.4:

a)

Over den optiske sonen er $y=$2.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ :

$\displaystyle s$ $\displaystyle=8.40-\sqrt{8.40^{2}-2.0^{2}}=8.40-\sqrt{66.56}\approx\underline{\underline{$0.242\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},$

$\displaystyle s$ $\displaystyle\approx\frac{y^{2}}{2r}=\frac{4.0\ \text{mm}^{2}}{16.8\ \text{mm}}\approx\underline{\underline{$0.238\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$

Over hele linsen er $y=$7.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ :

$\displaystyle s$ $\displaystyle=8.40-\sqrt{8.40^{2}-7.0^{2}}=8.40-\sqrt{21.56}\approx\underline{\underline{$3.76\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},$

$\displaystyle s$ $\displaystyle\approx\frac{49.0\ \text{mm}^{2}}{16.8\ \text{mm}}\approx\underline{\underline{$2.92\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$
b)

Over den optiske sonen er avviket $(0.242-0.238)/0.242\approx$1.4\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$$ – der er tilnærmingen forsvarlig. Over hele linsen er avviket $(3.76-2.92)/3.76\approx$22\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$$ – der ryker den. Forskjellen ligger i forutsetningen: $y/r\approx 0.24$ i det første tilfellet, men $y/r\approx 0.83$ i det andre, og da er $y$ ikke lenger liten i forhold til $r$ .
c)

Tallene her og i oppgave 3.2.3 gir tre punkter å støtte seg på: $y/r\approx 0.24$ gir $1.4\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ avvik, $y/r=0.5$ gir $6.7\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ , og $y/r\approx 0.83$ gir $22\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ . En rimelig tommelfingerregel er derfor: tilnærmingen holder avviket under noen få prosent så lenge $y/r$ er mindre enn omtrent en tredjedel.

Oppgave 3.2.5

Lag din egen andregradsfunksjon $f(x)=ax^{2}+bx+c$ som oppfyller alle tre kravene samtidig:

a)

parabelen åpner nedover,
b)

symmetrilinjen er $x=2$ ,
c)

grafen berører $x$ -aksen i nøyaktig ett punkt.

Skriv opp funksjonen din, vis at diskriminanten er null, og lag en skisse med toppunkt og symmetrilinje markert.

Løsningsforslag

Oppgave 3.2.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: enhver gyldig besvarelse kan skrives på formen $f(x)=a\left(x-2\right)^{2}$ med $a<0$ – sjekk at $a$ faktisk er negativ, at $-\frac{b}{2a}=2$ , og at utregningen av diskriminanten gir nøyaktig null.

Alle løsningsforslag til kapittel 3

	$\displaystyle s$	$\displaystyle=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}=7.80-\sqrt{7.80^{2}-3.90^{2}}$
		$\displaystyle=7.80-\sqrt{45.63}\approx\underline{\underline{$1.045\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$

	$\displaystyle s$	$\displaystyle=8.40-\sqrt{8.40^{2}-2.0^{2}}=8.40-\sqrt{66.56}\approx\underline{\underline{$0.242\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},$
	$\displaystyle s$	$\displaystyle\approx\frac{y^{2}}{2r}=\frac{4.0\ \text{mm}^{2}}{16.8\ \text{mm}}\approx\underline{\underline{$0.238\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$

	$\displaystyle s$	$\displaystyle=8.40-\sqrt{8.40^{2}-7.0^{2}}=8.40-\sqrt{21.56}\approx\underline{\underline{$3.76\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},$
	$\displaystyle s$	$\displaystyle\approx\frac{49.0\ \text{mm}^{2}}{16.8\ \text{mm}}\approx\underline{\underline{$2.92\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$