Funksjoner og grafer

Oppgave 3.1.1: Vi setter inn i $A(t)=18.5-0.30t$:

$$A(20)=18.5-6=12.5\mathrm{D},A(45)=18.5-13.5=5\mathrm{D},A(60)=18.5-18=0.5\mathrm{D}.$$

Nullpunktet er der $A(t)=0$:

$$18.5-0.30t=0⟹t=\frac{18.5}{0.30}\approx 61.7\text{år}.$$

Klinisk sier nullpunktet at modellen forventer akkommodasjonsevnen praktisk talt uttømt ved omtrent 62 års alder – presbyopien er da for lengst etablert, siden den til vanlig debuterer mellom 42 og 48 års alder.

Oppgave 3.1.2: Punktene er $(25,9)$ og $(45,3)$. Stigningstallet er endringen i amplitude delt på endringen i alder:

$$a=\frac{3-9}{45-25}=\frac{-6}{20}=-0.3.$$

Konstantleddet følger av å sette $(25,9)$ inn i $A(t)=-0.3t+b$:

$$9=-0.3\cdot 25+b=-7.5+b⟹b=16.5,$$

altså $A(t)=16.5-0.3t$; det andre punktet stemmer som kontroll, $A(45)=16.5-13.5=3$. For en $35$-åring:

$$A(35)=16.5-0.3\cdot 35=16.5-10.5=6\mathrm{D}.$$

Oppgave 3.1.3:

1. a)

   Avstandene i meter er $0.40$, $0.25$ og $0.20$, så

   $$A=\frac{1}{0.40}=2.5\mathrm{D},A=\frac{1}{0.25}=4\mathrm{D},A=\frac{1}{0.20}=5\mathrm{D}.$$

2. b)

   Behovet dobles: fra $2.5\mathrm{D}$ ved $40\mathrm{cm}$ til $5\mathrm{D}$ ved $20\mathrm{cm}$.

3. c)

   $A$ er omvendt proporsjonal med $d$: det er produktet $A\cdot d=1$ som er konstant, ikke forholdet $A/d$ – når avstanden halveres, dobles behovet, slik b) viste.

Oppgave 3.1.4: Kari har rett. Stigningstallet måler hvor mye funksjonsverdien endrer seg når argumentet øker med én enhet; her er argumentet alderen $t$ i år, så $a=-0.25$ betyr et fall på $0.25\mathrm{D}$ per år. Over ti år blir endringen

$$\mathrm{\Delta }A=-0.25\cdot 10=-2.5,$$

altså et fall på $2.5\mathrm{D}$ per tiår – ti ganger mer enn Ola påstår.

Oppgave 3.1.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et godt svar tolker alle tre størrelsene i den valgte konteksten med riktige enheter – stigningstallet $a$ som endring per enhet av $x$, konstantleddet $b$ som verdien når $x=0$, og nullpunktet $x=-b/a$ som der funksjonsverdien er brukt opp eller nådd null.

Oppgave 3.2.1: Graden er den høyeste eksponenten, og den ledende koeffisienten er koeffisienten foran leddet av høyest grad – uansett hvor i uttrykket leddet står.

1. a)

   $p(x)=4x-7$: grad $1$, ledende koeffisient $4$.

2. b)

   $q(x)=3x^2-x+5$: grad $2$, ledende koeffisient $3$.

3. c)

   $u(x)=1-2x+\frac{1}{2}{x}^3$: grad $3$, ledende koeffisient $\frac{1}{2}$.

4. d)

   $v(x)=9$: konstant funksjon, grad $0$, ledende koeffisient $9$.

En lineær funksjon er et polynom av grad $1$, så det er $p$ som er lineær.

Oppgave 3.2.2: Vi leser av $a=1$, $b=-6$ og $c=5$.

1. a)

   Diskriminanten er $b^2-4ac=36-20=16$. Siden den er positiv, har funksjonen to nullpunkter.

2. b)

   Abc-formelen gir

   $$x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2},$$

   altså nullpunktene $x=5$ og $x=1$. Symmetrilinjen er

   $$x=-\frac{b}{2a}=3,$$

   i samsvar med gjennomsnittet av $5$ og $1$. Funksjonsverdien der er $f(3)=9-18+5=-4$, så bunnpunktet er $(3,-4)$.

3. c)

   Siden $a=1>0$, dominerer leddet $x^2$ langt fra origo, og begge armene peker oppover: parabelen åpner oppover.

Oppgave 3.2.3:

1. a)

   Høyden er halve sonediameteren, $y=3.90\mathrm{mm}$. Den eksakte formelen gir

   	$s$	$=r-\sqrt{r^2-y^2}=7.80-\sqrt{{7.80}^2-{3.90}^2}$
   		$=7.80-\sqrt{45.63}\approx 1.045\mathrm{mm}.$

2. b)

   Den paraksiale tilnærmingen gir

   $$s\approx \frac{y^2}{2r}=\frac{15.21{\text{mm}}^2}{15.6\text{mm}}=0.975\mathrm{mm},$$

   som ligger $1.045-0.975=0.070\mathrm{mm}$ under den eksakte verdien – et avvik på

   $$\frac{0.070}{1.045}\approx 6.7\mathrm{\%}.$$

   Her er $y/r=0.5$, langt fra «$y$ liten i forhold til $r$», og tilnærmingen bommer synlig.

Oppgave 3.2.4:

1. a)

   Over den optiske sonen er $y=2.0\mathrm{mm}$:

   	$s$	$=8.40-\sqrt{{8.40}^2-{2.0}^2}=8.40-\sqrt{66.56}\approx 0.242\mathrm{mm},$
   	$s$	$\approx {\displaystyle \frac{y^2}{2r}}={\displaystyle \frac{4.0{\text{mm}}^2}{16.8\text{mm}}}\approx 0.238\mathrm{mm}.$

   Over hele linsen er $y=7.0\mathrm{mm}$:

   	$s$	$=8.40-\sqrt{{8.40}^2-{7.0}^2}=8.40-\sqrt{21.56}\approx 3.76\mathrm{mm},$
   	$s$	$\approx {\displaystyle \frac{49.0{\text{mm}}^2}{16.8\text{mm}}}\approx 2.92\mathrm{mm}.$

2. b)

   Over den optiske sonen er avviket $(0.242-0.238)/0.242\approx 1.4\mathrm{\%}$ – der er tilnærmingen forsvarlig. Over hele linsen er avviket $(3.76-2.92)/3.76\approx 22\mathrm{\%}$ – der ryker den. Forskjellen ligger i forutsetningen: $y/r\approx 0.24$ i det første tilfellet, men $y/r\approx 0.83$ i det andre, og da er $y$ ikke lenger liten i forhold til $r$.

3. c)

   Tallene her og i oppgave 3.2.3 gir tre punkter å støtte seg på: $y/r\approx 0.24$ gir $1.4\mathrm{\%}$ avvik, $y/r=0.5$ gir $6.7\mathrm{\%}$, og $y/r\approx 0.83$ gir $22\mathrm{\%}$. En rimelig tommelfingerregel er derfor: tilnærmingen holder avviket under noen få prosent så lenge $y/r$ er mindre enn omtrent en tredjedel.

Oppgave 3.2.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: enhver gyldig besvarelse kan skrives på formen $f(x)=a{\left(x-2\right)}^2$ med – sjekk at $a$ faktisk er negativ, at $-\frac{b}{2a}=2$, og at utregningen av diskriminanten gir nøyaktig null.

Oppgave 3.3.1: Alt følger av definisjonen $y=\log x⟺{10}^y=x$, altså $\log {10}^n=n$.

1. a)

   $\log 1000=\log {10}^3=3$.

2. b)

   $\log 0.01=\log {10}^{-2}=-2$.

3. c)

   $\log 1=\log {10}^0=0$.

4. d)

   ${10}^2=100$.

5. e)

   $\log {10}^{-4}=-4$.

Oppgave 3.3.2: Vi bruker produkt-, kvotient- og potensregelen, og $\log 2\approx 0.30$ der det trengs.

1. a)

   $\log 2+\log 50=\log (2\cdot 50)=\log 100=2$.

2. b)

   $\log 20-\log 2=\log \frac{20}{2}=\log 10=1$.

3. c)

   $\log {10}^3+\log 100=3+2=5$.

4. d)

   $\log (2\cdot {10}^4)=\log 2+\log {10}^4\approx 0.30+4=4.30$.

Oppgave 3.3.3:

1. a)

   Nevner delt på teller gir MAR, og logMAR er tierlogaritmen av den. Før korreksjon: $\mathrm{MAR}=\frac{60}{6}=10$, så $\text{logMAR}=\log 10=1.0$. Etter korreksjon: $\mathrm{MAR}=\frac{12}{6}=2$, så $\text{logMAR}=\log 2\approx 0.30$.

2. b)

   Forbedringen er $1.0-0.30=0.70$, altså $\frac{0.70}{0.1}=7$ linjer. Kontroll: MAR er redusert med faktoren $\frac{10}{2}=5$, og $\log 5\approx 0.70$ – samme sju steg à $0.1$.

Oppgave 3.3.4: Nei. Når filtre stables, slipper hvert filter igjennom sin andel av det som kom fra det forrige, så transmisjonene multipliseres – de adderes ikke. Det er tetthetene som adderes:

$${\mathrm{OD}}_{\text{tot}}=2.0+1.0=3.0,T_{\text{tot}}={10}^{-3.0}=0.001=0.1\mathrm{\%}.$$

Kontroll: $T_1\cdot T_2={10}^{-2.0}\cdot {10}^{-1.0}=0.01\cdot 0.1=0.001$. Studentens $0.11$ er over hundre ganger for stort – addisjon hører hjemme på tetthetsskalaen, ikke på transmisjonen.

Oppgave 3.3.5:

1. a)

   Samlet transmisjon er $T_1{T}_2$, så definisjonen $\mathrm{OD}=-\log T$ og produktregelen gir

   $${\mathrm{OD}}_{\text{tot}}=-\log (T_1{T}_2)=-(\log T_1+\log T_2)=(-\log T_1)+(-\log T_2)={\mathrm{OD}}_1+{\mathrm{OD}}_2.$$

   Samlet tetthet er altså summen av tetthetene, som skulle vises.

2. b)

   Åpen deloppgave; ingen entydig fasit. Et vurderingsmoment: oppgaven skal faktisk kreve dekoding fra logskalaen tilbake til en faktor (via ${10}^{\text{verdi}}$), og fasiten skal stemme når den settes inn i oppgaven igjen.