Kapittel 4 · Vektorer og koordinatsystemer · 4.1

Koordinatsystemer

Husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at et punkt i planet beskrives av et tallpar $(x,y)$ i et $x y$ -koordinatsystem, med origo der aksene krysser hverandre. Der brukte vi koordinatsystemet til å tegne grafer; i klinikken brukes det vel så mye til å angi posisjoner. Et kart fra hornhinnetopografi – en måling som kartlegger hornhinnens form punkt for punkt – er i bunn og grunn et koordinatsystem lagt over hornhinnen. Og når synsfeltet (den delen av omgivelsene du oppfatter mens blikket holdes i ro) måles med perimetri, testes lysfølsomheten i et rutenett av faste punkter, hvert med sin bestemte posisjon. Instrumentene rapporterer altså posisjon som tallpar. Da blir to spørsmål grunnleggende: hvor langt er det mellom to punkter, og hvor ligger punktet midt mellom dem?

Avstanden mellom to punkter

La $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$ være to punkter i planet. Går du fra det ene til det andre, flytter du deg $x_{2}-x_{1}$ i $x$ -retning og $y_{2}-y_{1}$ i $y$ -retning. Tegner du de to skrittene, slik figuren viser, oppstår en rettvinklet trekant: det vannrette og det loddrette skrittet er kateter som møtes i en rett vinkel, og linjestykket mellom punktene selv er hypotenusen.

Figur 4.1: De to skrittene og linjestykket

d

mellom punktene.

Husk fra pilhøyde-utledningen i kapittelet om funksjoner og grafer at Pythagoras’ setning knytter sidene i en rettvinklet trekant sammen: kvadratet på hypotenusen er summen av kvadratene på katetene. Kaller vi avstanden mellom punktene $d$ , gir setningen

d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2},

og dermed avstandsformelen

d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.

Rekkefølgen på punktene spiller ingen rolle: bytter du dem om, skifter begge differansene fortegn, og kvadreringen visker fortegnene ut. Ligger punktene på samme vannrette eller loddrette linje, er én av differansene null, og formelen faller sammen til en ren differanse – avstanden mellom $(2,5)$ og $(7,5)$ er bare $7-2=5$ .

Eksempel 4.1.1

Finn avstanden mellom punktene $(1,2)$ og $(4,6)$ .

Løsning: Vi bruker avstandsformelen, med differansene $x_{2}-x_{1}=4-1=3$ og $y_{2}-y_{1}=6-2=4$ :

d=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\underline{\underline{5}}.

En rask rimelighetssjekk: luftlinjen må være lengre enn den lengste kateten ( $4$ ) og kortere enn summen av katetene ( $3+4=7$ ), og $5$ ligger der det skal.

Midtpunktet

Like ofte som avstanden trenger du punktet midt mellom to andre. Midtpunktet $M$ av linjestykket fra $(x_{1},y_{1})$ til $(x_{2},y_{2})$ ligger halvveis i $x$ -retning og halvveis i $y$ -retning – og halvveis mellom to tall er gjennomsnittet av dem. Det gir midtpunktsformelen

M=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right).

Figur 4.2: Midtpunktet

M

ligger halvveis i hver retning – gjennomsnittet av endepunktenes koordinater.

Overbevis deg om at $M$ fortjener navnet: sett $M$ og hvert av endepunktene inn i avstandsformelen, og vis at de to avstandene blir like – begge er halvparten av avstanden mellom endepunktene.

Eksempel 4.1.2

En sirkel er tegnet slik at punktene $(-1,-4)$ og $(5,-4)$ er endepunktene til en diameter. Finn sirkelens sentrum og radius.

Løsning: Sentrum er midtpunktet av diameteren, og radien er halve diameterens lengde. Midtpunktsformelen gir

M=\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{-4+(-4)}{2}\right)=\underline{\underline{(2,-4)}}.

Endepunktene har samme $y$ -koordinat, så diameterens lengde er den rene differansen $5-(-1)=6$ ; avstandsformelen bekrefter det, siden $\sqrt{6^{2}+0^{2}}=6$ . Radien er dermed

r=\frac{6}{2}=\underline{\underline{3}}.

Koordinater i brilleplanet

Det mest håndfaste koordinatsystemet i optometrien ligger i brilleplanet – planet brilleglasset står i, i vertex-avstand foran øyet (husk fra kapittelet om algebra at vertex-avstanden er avstanden mellom brilleglasset og øyet). Når en brille skal tilpasses, må hvert glass sitte riktig i forhold til øyet bak, og «riktig» uttrykkes med koordinater og avstander.

Utgangspunktet er pupilleavstanden, forkortet PD (av engelsk pupillary distance): avstanden mellom de to pupillsentrene, målt i millimeter. Hos voksne ligger den typisk mellom $54$ og $73\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ , med et gjennomsnitt på om lag $62\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ for kvinner og $64\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ for menn [15, s. 148–149]. Fordi en halvering av PD ikke tar hensyn til en eventuell asymmetri hos pasienten, måles avstanden ofte monokulært i stedet, med ett tall per øye [16, s. 2]. Disse to målene kalles monokulære pupilleavstander, og vi regner hver av dem fra pupillsenteret til ansiktets midtlinje, slik at de to til sammen gir PD.

Innfatningen beskrives i det samme planet med boksmålsystemet (engelsk boxing system), målesystemet i ISO-standarden for brilleinnfatninger: hvert glass omsluttes av et tenkt rektangel – boksen – og frontens mål leses av de to boksene [17, punkt 3.1.1]. Standarden måler boksens bredde, boksens høyde og avstanden mellom de to boksene over broen [17, punkt 3.1.3, 3.1.4 og 3.1.6]; i bransjen skrives de tre målene $A$ , $B$ og DBL (av engelsk distance between lenses), og vi bruker dem videre. Boksens sentrum kalles bokssenteret (engelsk boxed centre) og er skjæringen mellom boksens vannrette og loddrette senterlinje [17, punkt 3.1.2]. Den vannrette av dem – den horisontale senterlinjen (engelsk horizontal centre line) – ligger midt mellom boksens to vannrette tangenter [17, punkt 3.2.1], og i en front med symmetriske glassformer går den gjennom begge bokssentrene.¹¹ 1 Norsk fagterminologi for disse størrelsene er ikke fastlagt; de norske formene her er bokens egne, og de engelske er tatt med slik at du kjenner størrelsene igjen i litteratur og bransjemateriell. Glassbredden $A$ og broen DBL stemples inn i innfatningen i millimeter – gjerne bak på broen eller på innsiden av en brillestang [12, s. 63] – og tallparet skrives gjerne med et firkanttegn mellom tallene: « $54\;\square\;16$ » betyr $A=$54\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ og $\mathrm{DBL}=$16\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ .

Figur 4.3: Boksmålene i brilleplanet, med origo midt på broen.

Legger du et koordinatsystem med origo midt på broen og $x$ -aksen langs den horisontale senterlinjen, slik figuren viser, ligger hvert bokssenter $\mathrm{DBL}/2+A/2$ fra origo – altså i punktene

\left(\pm\frac{A+\mathrm{DBL}}{2},\ 0\right).

Avstanden mellom bokssentrene er dermed $A+\mathrm{DBL}$ ; den kalles innfatningens senteravstand (engelsk frame centre distance, ofte forkortet CD).

Hvert brilleglass har et optisk senter – punktet der lyset går uavbøyd gjennom glasset. Som hovedregel skal det ligge rett foran det punktet øyet ser gjennom med blikket rett fram, i praksis rett foran pupillen, slik at brukeren ikke får en uønsket prismevirkning i den stillingen; er prisme foreskrevet, er det i stedet punktet som gir nettopp den foreskrevne prismevirkningen, som skal ligge der [12, s. 63]. Er innfatningens senteravstand større enn pasientens PD, må det optiske senteret i hvert glass flyttes innover fra bokssenteret; forskyvningen kalles desentrering. Et optisk senter som havner feil, gjør at glasset bøyer lyset litt av i en bestemt retning, som om et svakt prisme var lagt inn i det. Hvor stor denne prismevirkningen blir, regner vi på senere i kapittelet; her holder det å se at desentreringen kan leses rett ut av koordinatene.

Eksempel 4.1.3

Ved tilpasning av progressive glass (glass der styrken øker gradvis nedover mot lesefeltet) måler du posisjonen til pasientens pupillsentre i brilleplanet. Legg origo midt på broen, $x$ -aksen langs den horisontale senterlinjen med positiv retning mot pasientens venstre side, og anta at begge pupillsentrene ligger på senterlinjen. Målingen gir høyre pupillsenter i $(-33.0,\ 0)$ og venstre i $(30.0,\ 0)$ , med koordinater i millimeter. Finn pasientens PD, de to monokulære pupilleavstandene og midtpunktet mellom pupillsentrene. Hva forteller midtpunktet deg?

Løsning: PD er avstanden mellom pupillsentrene; begge ligger på senterlinjen, så avstanden er en ren differanse av $x$ -koordinater:

\mathrm{PD}=30.0-(-33.0)=\underline{\underline{$63.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},

godt innenfor det typiske voksenområdet. De monokulære pupilleavstandene er avstandene fra hvert pupillsenter til midtlinjen $x=0$ : $33.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ for høyre øye og $30.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ for venstre. Midtpunktsformelen gir

M=\left(\frac{-33.0+30.0}{2},\ 0\right)=\underline{\underline{(-1.5,\ 0)}}.

Totalen på $63.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ ser helt ordinær ut, men midtpunktet ligger $1.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ fra midtlinjen, mot pasientens høyre side: øynene sitter usymmetrisk i forhold til innfatningen. Derfor sentreres hvert glass mot sitt eget øye – det er de monokulære målene som styrer tilpasningen, ikke totalen.

Koordinater i rommet

Hornhinnen er ikke flat, og topografikartet fra innledningen av seksjonen lagrer derfor mer enn tallpar: over hvert punkt $(x,y)$ i planet registrerer instrumentet også en høyde. For å beskrive slike flater trenger vi et koordinatsystem for rommet.

Vi føyer en tredje akse til $x y$ -koordinatsystemet: $z$ -aksen, som står vinkelrett på begge de gamle aksene. Et punkt i rommet beskrives da av et talltrippel $(x,y,z)$ : først $x$ bortover, så $y$ innover, så $z$ oppover, slik figuren viser. En hornhinnetopograf lagrer hornhinneflaten nettopp slik: instrumentets egen akse er en av koordinataksene flaten beskrives i, hornhinnens toppunkt er punktet der et plan vinkelrett på denne aksen tangerer hornhinnen, og høyden over hvert punkt $(x,y)$ måles parallelt med aksen [18, punkt 3.6, 3.7 og 3.10.1]. Der legger instrumentet origo, og ett opptak gir tusenvis av slike punkter $(x,y,z)$ [19, s. 10, 20 og 46].

Figur 4.4: Avstanden fra origo til et punkt i rommet er Pythagoras brukt to ganger – først i gulvet, så opp.

Avstandsformelen følger med på kjøpet, ved å bruke Pythagoras to ganger. Se på punktet $(x,y,z)$ i figuren. I gulvet – planet der $z=0$ – gir den vanlige avstandsformelen diagonalen fra origo til $(x,y,0)$ lengden $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Denne gulvdiagonalen og den loddrette kanten $z$ danner en ny rettvinklet trekant, med avstanden $d$ fra origo til punktet som hypotenus, så

d^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Overbevis deg om at den nye trekanten faktisk er rettvinklet: $z$ -aksen står vinkelrett på hele $x y$ -planet, så den loddrette kanten står vinkelrett på gulvdiagonalen. Mønsteret er det samme som i planet – ett kvadrert sprang per retning – og for to vilkårlige punkter blir avstandsformelen i rommet

d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}.

Eksempel 4.1.4

Finn avstanden fra origo til punktet $(2,3,6)$ , og kontroller svaret ved å bruke Pythagoras to ganger, slik formelen ble utledet.

Løsning: Avstandsformelen i rommet gir direkte

d=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=\underline{\underline{7}}.

Kontrollen følger utledningen. Gulvdiagonalen fra origo til $(2,3,0)$ har lengden

\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13},

og den nye rettvinklede trekanten med gulvdiagonalen og den loddrette kanten $6$ som kateter gir

d=\sqrt{\left(\sqrt{13}\right)^{2}+6^{2}}=\sqrt{13+36}=\sqrt{49}=7.

De to veiene gir samme svar, slik de må: formelen i rommet er ikke noe nytt prinsipp, bare Pythagoras brukt to ganger.

Oppgaver

Oppgave 4.1.1

Regn ut avstanden mellom punktene i a)–c), og finn midtpunktet i d).

a)

$(0,0)$ og $(3,4)$
b)

$(-3,-1)$ og $(2,3)$
c)

$(2,5)$ og $(2,-3)$
d)

midtpunktet av linjestykket fra $(7,-2)$ til $(9,5)$

Løsningsforslag

Oppgave 4.1.1:

a)

Differansene er $3-0=3$ og $4-0=4$ , så avstandsformelen gir

$d=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=\underline{\underline{5}}.$
b)

Differansene er $2-(-3)=5$ og $3-(-1)=4$ :

$d=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}\approx\underline{\underline{6.4}}.$

Svaret er rimelig: luftlinjen må ligge mellom den lengste kateten $5$ og katetsummen $9$ .
c)

Punktene har samme $x$ -koordinat, så avstanden er den rene differansen $5-(-3)=\underline{\underline{8}}$ ; avstandsformelen bekrefter det, siden $\sqrt{0^{2}+8^{2}}=8$ .
d)

Midtpunktsformelen gir

$M=\left(\frac{7+9}{2},\ \frac{-2+5}{2}\right)=\underline{\underline{\left(8,\ \tfrac{3}{2}\right)}}.$

Kontroll: avstanden fra $M$ til hvert av endepunktene er $\sqrt{1^{2}+\left(\tfrac{7}{2}\right)^{2}}$ begge veier – $M$ ligger midt mellom dem.

Oppgave 4.1.2

Regn ut avstanden mellom punktene i rommet.

a)

$(0,0,0)$ og $(1,4,8)$
b)

$(2,-1,7)$ og $(1,-3,5)$

Løsningsforslag

Oppgave 4.1.2:

a)

Avstandsformelen i rommet gir

$d=\sqrt{1^{2}+4^{2}+8^{2}}=\sqrt{81}=\underline{\underline{9}}.$

Kontroll med Pythagoras to ganger: gulvdiagonalen er $\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}$ , og $\sqrt{17+8^{2}}=\sqrt{81}=9$ .
b)

Differansene er $2-1=1$ , $-1-(-3)=2$ og $7-5=2$ :

$d=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=\underline{\underline{3}}.$

Oppgave 4.1.3

En innfatning er stemplet $52\;\square\;18$ , og pasientens pupilleavstand er målt til $62\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ . Legg et koordinatsystem i brilleplanet med origo midt på broen og $x$ -aksen langs den horisontale senterlinjen, med koordinater i millimeter.

a)

Finn $x$ -koordinatene til de to bokssentrene, og vis at avstanden mellom dem er innfatningens senteravstand $A+\mathrm{DBL}=$70\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ .
b)

Pupillsentrene ligger symmetrisk om origo, på den horisontale senterlinjen. Finn $x$ -koordinatene deres.
c)

Hvor langt, og i hvilken retning, må det optiske senteret i hvert glass flyttes fra bokssenteret for å havne rett foran pupillen?

Løsningsforslag

Oppgave 4.1.3: Stemplingen gir $A=$52\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ og $\mathrm{DBL}=$18\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ .

a)

Hvert bokssenter ligger $\mathrm{DBL}/2+A/2=9+26=$35\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ fra origo, altså i

$x=\underline{\underline{\pm$35\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$

Avstanden mellom dem er differansen $35-(-35)=$70\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$=A+\mathrm{DBL}$ , som er innfatningens senteravstand.
b)

Pupillsentrene ligger symmetrisk om origo med innbyrdes avstand $\mathrm{PD}=$62\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , altså i

$x=\pm\frac{62}{2}=\underline{\underline{\pm$31\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.$
c)

Desentreringen er differansen mellom bokssenterets og pupillsenterets $x$ -koordinat: $35-31=$4\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ på hver side, og siden pupillsenteret ligger nærmere origo enn bokssenteret, flyttes det optiske senteret innover mot nesen:

$\underline{\underline{$4\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$\text{ innover for hvertglass}}}.$

Kontroll: $2\cdot 31+2\cdot 4=$70\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , som stemmer med senteravstanden fra a).

Oppgave 4.1.4

I et koordinatsystem der enheten langs begge akser er $1\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ , er to punkter markert: $P=(0,0)$ og $Q=(8,6)$ . En medstudent hevder at avstanden fra $P$ til $Q$ er $8+6=$14\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ , «fordi du går $8$ bortover og $6$ oppover». Har hun rett? Finn den faktiske avstanden, forklar hva medstudenten egentlig har regnet ut, og avgjør i hvilket spesialtilfelle metoden hennes gir riktig svar.

Løsningsforslag

Oppgave 4.1.4: Nei. Avstandsformelen gir

d=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=\underline{\underline{$10\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},

som stemmer med at luftlinjen må ligge mellom den lengste kateten ( $8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ ) og katetsummen ( $14\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ ). Medstudenten har regnet ut lengden av veien langs de to skrittene – summen av katetene i den rettvinklede trekanten fra figur 4.1 – ikke lengden av hypotenusen, og hypotenusen er alltid kortere enn katetsummen. Metoden hennes gir riktig svar bare i spesialtilfellet der punktene ligger på samme vannrette eller samme loddrette linje: da er én av differansene null, og avstanden er den gjenværende differansen alene.

Oppgave 4.1.5

a)

Finn to punkter som verken ligger på samme vannrette eller samme loddrette linje, men der avstanden mellom dem likevel er et helt tall. Forklar hvordan du valgte dem.
b)

Lag så din egen oppgave – gjerne med en måleramme fra klinikken, som punkter i brilleplanet eller på et topografikart – der både avstandsformelen og midtpunktsformelen trengs for å finne svaret, og skriv fasit til oppgaven din.

Løsningsforslag

Oppgave 4.1.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et vurderingsmoment: i a) må begge koordinatdifferansene være ulik null, og kvadratsummen deres et kvadrattall – for eksempel via en trippel som $3$ - $4$ - $5$ – og i b) må studentens fasit la seg etterprøve med avstands- og midtpunktsformelen på de oppgitte punktene.

Alle løsningsforslag til kapittel 4