Lineære funksjoner og proporsjonalitet

Den enkleste og mest brukte sammenhengen mellom to størrelser er den lineære: når den ene endrer seg med et fast beløp, endrer den andre seg med et fast beløp. Før vi kan beskrive den, trenger vi språket funksjoner uttrykkes i.

Koordinatsystemet og funksjonsbegrepet

For å tegne sammenhenger som bilder legger vi to tallinjer vinkelrett på hverandre. Den vannrette kaller vi $x$ -aksen og den loddrette $y$ -aksen; til sammen danner de et $x y$ -koordinatsystem. Punktet der aksene krysser hverandre, kaller vi origo; det svarer til tallet $0$ på begge akser. Ethvert punkt i planet beskrives av et tallpar $(x,y)$ : først hvor langt til høyre (eller venstre, hvis negativt) vi går langs $x$ -aksen, så hvor langt opp (eller ned). Du har allerede sett aksene i bruk: da vi ga likningssystemer en geometrisk tolkning i kapittelet om algebra, tegnet vi hver likning som en rett linje i et slikt koordinatsystem, og løsningen var punktet der linjene skar hverandre.

En funksjon er en regel som til hvert tall i en definisjonsmengde gir nøyaktig én verdi. Husk fra kapittelet om algebra at definisjonsmengden er de tallene vi lovlig kan sette inn; kravet «nøyaktig én verdi» er det som gjør en funksjon til noe mer enn en vilkårlig sammenheng – setter du inn samme tall to ganger, må du få samme svar begge ganger.

Vi skriver en funksjon som $f(x)$ , lest « $f$ av $x$ ». Her er $x$ tallet vi setter inn – argumentet – og $f(x)$ er tallet vi får ut – funksjonsverdien. Navnet $f$ er bare et merke; vi kunne like gjerne skrevet $g$ , $A$ eller $P$ , og velger ofte en bokstav som minner om hva funksjonen beskriver. Å regne ut $f$ for et bestemt argument, for eksempel $f(2)$ , betyr å sette dette tallet inn overalt der $x$ står i regelen.

Tegner vi alle punktene $(x,f(x))$ i koordinatsystemet, får vi grafen til funksjonen. Grafen er altså mengden av alle punkter der andrekoordinaten er funksjonsverdien av førstekoordinaten – et bilde av hele regelen på én gang.

Lineære funksjoner

En lineær funksjon har formen

f(x)=ax+b,

der $a$ og $b$ er konstanter. Grafen til en lineær funksjon er alltid en rett linje – derav navnet.

Tallet $a$ kalles stigningstallet. Det måler hvor mye funksjonsverdien endrer seg når argumentet øker med én enhet: øker du $x$ med $1$ , endrer $f(x)$ seg med $a$ . Er $a$ positiv, stiger linjen mot høyre; er $a$ negativ, faller den. Kjenner du to punkter på linjen, $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$ , finner du stigningstallet som forholdet mellom endringen i funksjonsverdi og endringen i argument:

a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.

Tallet $b$ kalles konstantleddet. Setter du inn $x=0$ , får du $f(0)=a\cdot 0+b=b$ , så $b$ er funksjonsverdien i origos $x$ -verdi – der grafen krysser $y$ -aksen.

Det $x$ som gjør at $f(x)=0$ , kaller vi nullpunktet; det er der grafen krysser $x$ -aksen. Å finne nullpunktet er å løse den lineære likningen $ax+b=0$ , akkurat den typen likning du løste i kapittelet om algebra:

ax+b=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{b}{a}.

Figur 3.1: De tre størrelsene som beskriver en lineær funksjon: konstantleddet

b

, stigningstallet

a

og nullpunktet.

Der stigningstallet er negativt, som i figuren, betyr det ene skrittet til høyre et fall på $|a|=-a$ nedover; det loddrette skrittet i figuren er derfor merket med tallverdien av stigningstallet.

Eksempel 3.1.1

En enkel klinisk tommelfingerregel anslår minste forventede akkommodasjonsamplitude (i dioptri) hos en person som

A(t)=15-0.25\,t,

der $t$ er alderen i år [10]. Husk fra kapittelet om algebra at akkommodasjonsamplituden er forskjellen mellom øyets sterkeste og svakeste innstilling; her møter du samme størrelse i en helt annen modell – som funksjon av alder alene. Hvor stor amplitude gir modellen for en $24$ -åring?

Løsning: Vi setter $t=24$ inn i regelen:

A(24)=15-0.25\cdot 24=15-6=\underline{\underline{$9\text{\,}\mathrm{D}$}}.

En typisk $24$ -åring har altså rikelig med akkommodasjon å ta av.

Eksempel 3.1.2

Hos to pasienter måler du akkommodasjonsamplituden: en $20$ -åring har $10\text{\,}\mathrm{D}$ og en $40$ -åring har $5\text{\,}\mathrm{D}$ . Anta at amplituden $A$ avhenger lineært av alderen $t$ . Finn stigningstallet og konstantleddet, skriv opp uttrykket $A(t)=at+b$ , og anslå amplituden til en $30$ -åring.

Løsning: Vi har to punkter, $(20,10)$ og $(40,5)$ . Stigningstallet er endringen i amplitude delt på endringen i alder:

a=\frac{5-10}{40-20}=\frac{-5}{20}=-0.25.

Konstantleddet finner vi ved å sette ett av punktene inn i $A(t)=-0.25\,t+b$ :

10=-0.25\cdot 20+b=-5+b\quad\Longrightarrow\quad b=15.

Altså er $A(t)=15-0.25\,t$ . For en $30$ -åring:

A(30)=15-0.25\cdot 30=15-7.5=\underline{\underline{$7.5\text{\,}\mathrm{D}$}}.

De to målingene gjenskaper nettopp tommelfingerregelen fra forrige eksempel.

Eksempel 3.1.3

Tolk hva hver del av modellen $A(t)=15-0.25\,t$ forteller klinisk: konstantleddet, stigningstallet og nullpunktet.

Løsning: Konstantleddet er $b=15$ : modellen ekstrapolerer til $15\text{\,}\mathrm{D}$ ved $t=0$ . Det er en teoretisk verdi – formelen er kalibrert på voksne, ikke på nyfødte – så den skal leses med forbehold, ikke som en målt spedbarnsamplitude. Stigningstallet er $a=-0.25$ : for hvert år som går, faller den forventede amplituden med $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ . Nullpunktet finner vi ved å løse $15-0.25\,t=0$ :

0.25\,t=15\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{15}{0.25}=\underline{\underline{60}}.

Ved en alder på 60 år gir modellen amplitude $0$ , og det treffer godt: ved den alderen er amplituden nede i om lag $0.5\text{\,}\mathrm{D}$ [5, oppslagsord «amplitude of accommodation»]. Den forventede akkommodasjonsevnen er da praktisk talt uttømt, og presbyopi – det aldersbetingede tapet av akkommodasjonsevne, som til vanlig debuterer mellom 42 og 48 års alder [5, oppslagsord «presbyopia»] – er for lengst etablert. Modellen er en lineær tilnærming, og den fanger hovedtrekket godt: objektivt målt faller amplituden nesten rettlinjet med alderen. Men den er nede i null alt rundt 50 til 55 år, mens linjen fortsetter nedover – og de subjektive målingene linjen hviler på, ligger systematisk over de objektive, fordi øyet tåler en smule uskarphet før noe ses som uskarpt; avviket er størst etter 45 til 50 år [11]. Formelen overvurderer derfor amplituden i ytterkantene.

Proporsjonalitet

Et viktig spesialtilfelle får vi når konstantleddet er null. Da er $y=ax$ , og vi sier at $y$ er proporsjonal med $x$ . Vi skriver gjerne

y=kx,

der konstanten $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten. Grafen er en rett linje gjennom origo: dobler du $x$ , dobler du $y$ . Forholdet $y/x=k$ er det samme uansett hvilket punkt du velger.

En beslektet, men vesensforskjellig sammenheng er omvendt proporsjonalitet:

y=\frac{k}{x}.

Her er det produktet $xy=k$ som er konstant, ikke forholdet: dobler du $x$ , halveres $y$ . Grafen er ikke en rett linje, men en kurve som kalles en hyperbel – den stuper bratt nær $y$ -aksen og flater ut mot $x$ -aksen uten noen gang å røre den.

Omvendt proporsjonalitet er ikke en kuriositet i optometrien; den styrer et av de mest sentrale forholdene i faget. Akkommodasjonsbehovet – hvor mye øyet må stille om for å se skarpt på en avstand $d$ , målt i meter – er

A=\frac{1}{d}.

Husk fra kapittelet om algebra at dioptrien er den inverse meteren, $1\text{\,}\mathrm{D}$=$1\text{\,}\mathrm{m}^{-1}$ ; derfor kommer $A$ ut i dioptri når $d$ er i meter, med proporsjonalitetskonstant $k=1$ .

Figur 3.2: Akkommodasjonsbehovet

A=1/d

: en hyperbel som stiger raskt når objektet nærmer seg øyet.

Eksempel 3.1.4

En $40$ -åring lurer på hvor nær hun kan holde en tekst og fortsatt se den skarpt. En vanlig klinisk modell for gjennomsnittlig forventet akkommodasjonsamplitude er $A(t)=18.5-0.30\,t$ (dioptri, alder i år) [10]. Bruk den til å anslå nærmeste avstand hun kan lese skarpt på.

Løsning: Først finner vi hvor mye akkommodasjon hun har tilgjengelig – en lineær funksjon av alderen:

A(40)=18.5-0.30\cdot 40=18.5-12=$6.5\text{\,}\mathrm{D}$.

For å se skarpt på en avstand $d$ må behovet $1/d$ ikke overstige denne amplituden. Nærmeste skarpe avstand er der behovet akkurat fyller amplituden:

\frac{1}{d}=6.5\quad\Longrightarrow\quad d=\frac{1}{6.5}\approx\underline{\underline{$0.15\text{\,}\mathrm{m}$}}.

Hun kan altså så vidt lese på omtrent $15\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ , men ikke nærmere. Problemet koblet to sammenhenger: en lineær modell for amplituden (linjen) og en omvendt proporsjonal modell for behovet (hyperbelen), satt lik hverandre.

Oppgaver

Oppgave 3.1.1

En vanlig klinisk modell anslår gjennomsnittlig forventet akkommodasjonsamplitude (i dioptri) hos en person som $A(t)=18.5-0.30\,t$ , der $t$ er alderen i år. Regn ut $A(20)$ , $A(45)$ og $A(60)$ , finn nullpunktet til modellen, og forklar med én setning hva nullpunktet forteller deg klinisk.

Løsningsforslag

Oppgave 3.1.1: Vi setter inn i $A(t)=18.5-0.30\,t$ :

A(20)=18.5-6=\underline{\underline{$12.5\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad A(45)=18.5-13.5=\underline{\underline{$5\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad A(60)=18.5-18=\underline{\underline{$0.5\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Nullpunktet er der $A(t)=0$ :

18.5-0.30\,t=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{18.5}{0.30}\approx\underline{\underline{61.7~{}\text{\r{a}r}}}.

Klinisk sier nullpunktet at modellen forventer akkommodasjonsevnen praktisk talt uttømt ved omtrent 62 års alder – presbyopien er da for lengst etablert, siden den til vanlig debuterer mellom 42 og 48 års alder.

Oppgave 3.1.2

Hos to pasienter måler du akkommodasjonsamplituden: en $25$ -åring har $9\text{\,}\mathrm{D}$ og en $45$ -åring har $3\text{\,}\mathrm{D}$ . Anta at amplituden $A$ avhenger lineært av alderen $t$ . Finn stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ , skriv opp uttrykket $A(t)=at+b$ , og bruk det til å anslå amplituden til en $35$ -åring.

Løsningsforslag

Oppgave 3.1.2: Punktene er $(25,9)$ og $(45,3)$ . Stigningstallet er endringen i amplitude delt på endringen i alder:

a=\frac{3-9}{45-25}=\frac{-6}{20}=\underline{\underline{-0.3}}.

Konstantleddet følger av å sette $(25,9)$ inn i $A(t)=-0.3\,t+b$ :

9=-0.3\cdot 25+b=-7.5+b\quad\Longrightarrow\quad b=\underline{\underline{16.5}},

altså $A(t)=16.5-0.3\,t$ ; det andre punktet stemmer som kontroll, $A(45)=16.5-13.5=3$ . For en $35$ -åring:

A(35)=16.5-0.3\cdot 35=16.5-10.5=\underline{\underline{$6\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Oppgave 3.1.3

Akkommodasjonsbehovet – hvor mye øyet må stille om for å se skarpt på en avstand $d$ i meter – er $A=\frac{1}{d}$ dioptri.

a)

Regn ut behovet når pasienten leser på $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ , på $25\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ og på $20\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ .
b)

Hva skjer med behovet når leseavstanden halveres fra $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ til $20\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ ?
c)

Er $A$ proporsjonal eller omvendt proporsjonal med $d$ ? Begrunn svaret.

Løsningsforslag

Oppgave 3.1.3:

a)

Avstandene i meter er $0.40$ , $0.25$ og $0.20$ , så

$A=\frac{1}{0.40}=\underline{\underline{$2.5\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad A=\frac{1}{0.25}=\underline{\underline{$4\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad A=\frac{1}{0.20}=\underline{\underline{$5\text{\,}\mathrm{D}$}}.$
b)

Behovet dobles: fra $2.5\text{\,}\mathrm{D}$ ved $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ til $5\text{\,}\mathrm{D}$ ved $20\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ .
c)

$A$ er omvendt proporsjonal med $d$ : det er produktet $A\cdot d=1$ som er konstant, ikke forholdet $A/d$ – når avstanden halveres, dobles behovet, slik b) viste.

Oppgave 3.1.4

To studenter diskuterer modellen $A(t)=15-0.25\,t$ for akkommodasjonsamplitude. Kari sier: «Stigningstallet $-0.25$ betyr at amplituden synker med $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ hvert år.» Ola sier: «Nei, den synker med $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ hvert tiår.» Hvem har rett? Forklar hva stigningstallet faktisk måler, og regn ut hvor mye amplituden synker over ti år for å avgjøre saken.

Løsningsforslag

Oppgave 3.1.4: Kari har rett. Stigningstallet måler hvor mye funksjonsverdien endrer seg når argumentet øker med én enhet; her er argumentet alderen $t$ i år, så $a=-0.25$ betyr et fall på $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ per år. Over ti år blir endringen

\Delta A=-0.25\cdot 10=-2.5,

altså et fall på $2.5\text{\,}\mathrm{D}$ per tiår – ti ganger mer enn Ola påstår.

Oppgave 3.1.5

Lag din egen kliniske eller hverdagslige oppgave som fører til en lineær funksjon $f(x)=ax+b$ , og som krever at leseren tolker både stigningstallet og de to skjæringspunktene med aksene – verdien når $x=0$ og nullpunktet der $f(x)=0$ . Løs din egen oppgave fullstendig, og forklar i klartekst hva $a$ , konstantleddet $b$ og nullpunktet betyr i konteksten du valgte.

Løsningsforslag

Oppgave 3.1.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et godt svar tolker alle tre størrelsene i den valgte konteksten med riktige enheter – stigningstallet $a$ som endring per enhet av $x$ , konstantleddet $b$ som verdien når $x=0$ , og nullpunktet $x=-b/a$ som der funksjonsverdien er brukt opp eller nådd null.

Alle løsningsforslag til kapittel 3