Kapittel 2 · Algebra · 2.9

Likningssystemer

Et likningssystem består av flere likninger som skal være oppfylt samtidig. Løsningen er verdier for alle variabler som tilfredsstiller samtlige likninger.

Lineære likningssystemer

Et lineært likningssystem med to ukjente har formen:

	$\displaystyle a_{1}x+b_{1}y$	$\displaystyle=c_{1}$
	$\displaystyle a_{2}x+b_{2}y$	$\displaystyle=c_{2}$

Innsettingsmetoden

Løs én likning for én variabel, og sett uttrykket inn i den andre likningen.

Eksempel 2.9.1

Løs systemet:

	$\displaystyle x+y$	$\displaystyle=10$
	$\displaystyle 2x-y$	$\displaystyle=5$

Løsning: Fra første likning: $y=10-x$ . Sett inn i andre likning:

	$\displaystyle 2x-(10-x)$	$\displaystyle=5$
	$\displaystyle 3x-10$	$\displaystyle=5$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle=5$

Dermed $y=10-5=5$ . Løsningen er $(x,y)=(5,5)$ .

Addisjonsmetoden

Multipliser likningene slik at én variabel elimineres når likningene adderes.

Eksempel 2.9.2

Løs systemet:

	$\displaystyle 3x+2y$	$\displaystyle=12$
	$\displaystyle x-2y$	$\displaystyle=4$

Løsning: Adder likningene direkte ( $y$ -leddene opphever hverandre):

4x=16\implies x=4

Sett inn i første likning: $12+2y=12\implies y=0$ . Løsningen er $(x,y)=(4,0)$ .

Geometrisk tolkning

Hver lineær likning i to variable representerer en rett linje i planet. Løsningen av systemet er skjæringspunktet mellom linjene:

•

Én løsning: Linjene skjærer hverandre i ett punkt.
•

Ingen løsning: Linjene er parallelle.
•

Uendelig mange løsninger: Linjene er sammenfallende.

Figur 2.1: De tre måtene to linjer i planet kan ligge på: antall skjæringspunkter er antall løsninger.

Eksempel 2.9.3

En kvittering fra en optikerbutikk viser at en synsundersøkelse og en linsetilpasning til sammen kostet $1450\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ , men bare totalsummen er spesifisert. Av prislisten på veggen framgår det at undersøkelsen koster $350\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ mer enn tilpasningen. Hva kostet hver av de to?

Løsning: La $u$ være prisen på undersøkelsen og $t$ prisen på tilpasningen:

	$\displaystyle u+t$	$\displaystyle=1450$
	$\displaystyle u-t$	$\displaystyle=350$

Adderer vi de to likningene, opphever $t$ -leddene hverandre:

2u=1800\implies u=\underline{\underline{$900\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$}}

Innsatt i den første likningen: $t=1450-900=\underline{\underline{$550\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$}}$ . Geometrisk er de to likningene to linjer i planet som skjærer hverandre i nøyaktig ett punkt, $(u,t)=(900,550)$ – derfor har systemet én entydig løsning.

Eksempel 2.9.4

En optometrist kjøper inn to typer kontaktlinser, type A og type B. Til sammen 50 par bestilles, og kostnaden ender på $12\,500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ . Type A koster $200\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ per par og type B koster $350\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ per par. Hvor mange par av hver type ble bestilt?

Løsning: La $x$ være antall par av type A og $y$ antall par av type B. Da har vi

	$\displaystyle x+y$	$\displaystyle=50$
	$\displaystyle 200x+350y$	$\displaystyle=12500$

Fra første likning: $y=50-x$ . Sett inn:

	$\displaystyle 200x+350(50-x)$	$\displaystyle=12500$
	$\displaystyle 200x+17500-350x$	$\displaystyle=12500$
	$\displaystyle-150x$	$\displaystyle=-5000$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle=\frac{5000}{150}\approx 33.3$

Siden $x$ må være et helt tall (man bestiller hele par), ser vi at det ikke finnes en heltallsløsning – enten er en av de oppgitte verdiene feil, eller så er det noen par av et tredje slag i bestillingen. Geometrisk er ikke linjene parallelle: de skjærer hverandre, men i punktet $x\approx 33.3$ – et fullt gyldig skjæringspunkt som bare ikke er et helt antall par, og det er derfor heltallskravet feiler. Algebraen har avdekket en inkonsistens i premisset. Hvis vi i stedet hadde fått oppgitt total kostnad $12\,250\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ , ville løsningen blitt $x=\underline{\underline{35}}$ og $y=\underline{\underline{15}}$ – som du oppfordres til å verifisere.

Oppgaver

Oppgave 2.9.1

Løs likningssystemene:

a)

$\begin{cases}x+3y=7\\ 2x-y=0\end{cases}$
b)

$\begin{cases}4x-2y=10\\ -2x+y=-5\end{cases}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.9.1:

a)

Fra den andre likningen er $y=2x$ . Innsatt i den første:

$x+3\cdot 2x=7\implies 7x=7\implies x=1,$

og dermed $y=2\cdot 1=2$ . Kontroll i begge likningene: $1+3\cdot 2=7$ og $2\cdot 1-2=0$ . Løsningen er $(x,y)=(1,2)$ .
b)

Multipliser den andre likningen med 2: $-4x+2y=-10$ . Addert til den første gir dette $0=0$ – likningene beskriver samme linje, altså er linjene sammenfallende. Systemet har uendelig mange løsninger: alle punkter på linjen $y=2x-5$ .

Oppgave 2.9.2

En optometrist kjøper inn to typer kontaktlinsevæske. Type A koster $80\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ per flaske og type B koster $120\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ per flaske. Optometristen kjøper totalt 10 flasker for $920\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ . Sett opp og løs et likningssystem for å finne antall flasker av hver type.

Løsningsforslag

Oppgave 2.9.2: La $a$ være antall flasker av type A og $b$ antall flasker av type B:

	$\displaystyle a+b$	$\displaystyle=10$
	$\displaystyle 80a+120b$	$\displaystyle=920$

Fra første likning: $a=10-b$ . Sett inn i andre likning:

80\left(10-b\right)+120b=920\implies 800+40b=920\implies b=3,

og dermed $a=10-3=7$ . Kontroll: $80\cdot 7+120\cdot 3=560+360=920$ . Optometristen kjøpte 7 flasker av type A og 3 flasker av type B.

Oppgave 2.9.3

Husk fra tidligere at sfærisk ekvivalent er definert som $\mathrm{SE}=S+C/2$ , der $S$ er den sfæriske komponenten og $C$ den sylindriske. Ved en bestemt klinisk justering endres begge komponentene, slik at også SE endres:

\Delta\mathrm{SE}=\Delta S+\tfrac{1}{2}\Delta C.

Hvis en justering gir $\Delta\mathrm{SE}=0$ og $\Delta C=$-0.50\text{\,}\mathrm{D}$$ , finn $\Delta S$ . Forklar hva resultatet sier om hvordan $S$ må endres når $C$ endres for at SE skal være uendret.

Løsningsforslag

Oppgave 2.9.3: Sett inn $\Delta\mathrm{SE}=0$ og $\Delta C=$-0.50\text{\,}\mathrm{D}$$ :

0=\Delta S+\tfrac{1}{2}\left(-0.50\right)\implies\Delta S=\underline{\underline{$0.25\text{\,}\mathrm{D}$}}

Generelt gir $\Delta\mathrm{SE}=0$ at $\Delta S=-\tfrac{1}{2}\Delta C$ : skal SE være uendret, må den sfæriske komponenten endres i motsatt retning av sylinderen, med halvparten av sylinderendringens størrelse. Her reduseres $C$ med $0.50\text{\,}\mathrm{D}$ , og $S$ må derfor økes med $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ .

Oppgave 2.9.4

Forklar geometrisk hvorfor systemet

\begin{cases}2x+4y=8\\ x+2y=5\end{cases}

ikke har noen løsning. Skissér gjerne de to linjene.

Løsningsforslag

Oppgave 2.9.4: Divideres den første likningen med 2, blir systemet

\begin{cases}x+2y=4\\ x+2y=5\end{cases}

Venstresidene er identiske, men høyresidene er ulike – ingen $(x,y)$ kan gi både 4 og 5. Skrevet på formen $y=-\tfrac{1}{2}x+2$ og $y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{2}$ har de to linjene samme stigningstall $-\tfrac{1}{2}$ , men ulike konstantledd: de er parallelle og ikke sammenfallende, og skjærer derfor aldri hverandre. Systemet har ingen løsning.

Oppgave 2.9.5

Skap en egen klinisk eller hverdagslig situasjon der to ukjente størrelser kan bestemmes fra to ulike opplysninger. Sett opp likningssystemet, løs det med både innsettings- og addisjonsmetoden, og kommenter hvilken metode du syntes var ryddigst for akkurat ditt system.

Løsningsforslag

Oppgave 2.9.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse gir to uavhengige opplysninger om de to ukjente (slik at linjene verken er parallelle eller sammenfallende), viser at begge metodene gir samme løsning, og begrunner metodevalget ut fra systemets form – for eksempel at innsetting er ryddigst når en variabel lett kan isoleres, og addisjon når koeffisientene ligger til rette for eliminasjon.

Alle løsningsforslag til kapittel 2