Kapittel 6 · Grunnleggende kalkulus · 6.5

Anvendelser i optometri

De fire foregående seksjonene bygde verktøyet: grenser, den deriverte, derivasjonsreglene og integralet. Denne seksjonen bruker det – ikke på oppdiktede tall, men på størrelser du alt har møtt: akkommodasjonsbehovet, refraksjonen i en journal og de to tilnærmingene som bærer geometrisk optikk. Ny teori kommer det ikke; her høster du det du har sådd.

Vergens og akkommodasjon som endringsrater

Husk vergensen $V=1/s$ fra kapittelet om rasjonale uttrykk og akkommodasjonsbehovet $A=1/d$ fra kapittelet om funksjoner og grafer: begge er den samme omvendte proporsjonaliteten, styrke i dioptrier mot avstand i meter. Og i seksjonen om den deriverte fant du raten deres:

\frac{dA}{dd}=-\frac{1}{d^{2}}.

Leibniz-formen er ikke tilfeldig valgt her – den bærer enheten. Måles $A$ i dioptrier og $d$ i meter, får $\frac{dA}{dd}$ enheten dioptri per meter, og fortegnet er alltid negativt: behovet synker når objektet flyttes utover. Men det interessante er ikke fortegnet, det er størrelsen, og hvordan den løper med kvadratet av avstanden.

Eksempel 6.5.1

En pasient holder et objekt $0.25\text{\,}\mathrm{m}$ fra øyet. Finn akkommodasjonsbehovet og den momentane endringsraten $\frac{dA}{dd}$ i dette punktet, med enhet.

Løsning: Vi setter $d=$0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ inn i $A=1/d$ og i den deriverte $\frac{dA}{dd}=-1/d^{2}$ :

A=\frac{1}{0.25}=$4\text{\,}\mathrm{D}$,\qquad\frac{dA}{dd}=-\frac{1}{0.25^{2}}=-\frac{1}{0.0625}=\underline{\underline{$-16\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}}}.

Tallet $-16$ leses som en helt lokal takst: akkurat ved $25\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ endrer behovet seg med om lag $16\text{\,}\mathrm{D}$ for hver meter du flytter objektet – eller, mer håndgripelig, $0.16\text{\,}\mathrm{D}$ for hver centimeter. Det er et bratt tall, og neste eksempel viser hvor mye brattere det er nær øyet enn langt unna.

Fordi $\frac{dA}{dd}=-1/d^{2}$ , faller ikke raten jevnt med avstanden – den faller med kvadratet. Det gir nærarbeidet dets særpreg: en centimeter flyttet nær øyet koster langt mer akkommodasjon enn den samme centimeteren langt borte. Forholdet mellom to rater er nettopp kvadratet av det omvendte avstandsforholdet,

\frac{dA/dd\text{ ved }d_{1}}{dA/dd\text{ ved }d_{2}}=\frac{-1/d_{1}^{2}}{-1/d_{2}^{2}}=\left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{2},

og med tall blir det slående.

Eksempel 6.5.2

Sammenlign hvor raskt akkommodasjonsbehovet endrer seg ved en leseavstand på $0.40\text{\,}\mathrm{m}$ og ved «optisk uendelig», $6\text{\,}\mathrm{m}$ . Hvor mange ganger mer koster én centimeter nærarbeid enn én centimeter på seks meter?

Løsning: Vi regner raten i begge punktene med $\frac{dA}{dd}=-1/d^{2}$ :

\text{ved }$0.40\text{\,}\mathrm{m}$:\ -\frac{1}{0.40^{2}}=$-6.25\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter},\qquad\text{ved }$6\text{\,}\mathrm{m}$:\ -\frac{1}{6^{2}}\approx$-0.0278\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}.

Forholdet mellom tallverdiene er

\frac{6.25}{0.0278}\approx 225=\left(\frac{6}{0.40}\right)^{2}=15^{2}=\underline{\underline{225}}.

Én centimeter nærmere «koster» altså rundt $225$ ganger mer akkommodasjon ved leseboken enn ved veggen seks meter unna. Det er derfor nærarbeid tretter så hardt på akkommodasjonssystemet: ikke fordi behovet i seg selv er så stort ved $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ ( $A=1/0.40=$2.5\text{\,}\mathrm{D}$$ ), men fordi det endrer seg så bratt at øyet må arbeide fint og presist for hver lille avstandsjustering.

Figur 6.11: Samme kurve, to tangenter: bratt ved leseavstand, nesten flat på to meter.

I praksis trenger du sjelden hele funksjonen – ofte holder det å vite raten i ett punkt og bruke den til å anslå en liten endring. Det er lineariseringen fra seksjonen om derivasjonsregler, brukt lokalt: flyttes objektet et lite stykke $\Delta d$ , endres behovet med om lag

\Delta A\approx\frac{dA}{dd}\cdot\Delta d.

Ved $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ betyr en centimeter nærmere ( $\Delta d=$-0.01\text{\,}\mathrm{m}$$ ) at $\Delta A\approx(-6.25)(-0.01)=$0.0625\text{\,}\mathrm{D}$$ – et anslag du kan kontrollere mot det eksakte $1/0.39-1/0.40\approx$0.0641\text{\,}\mathrm{D}$$ , som tangenten treffer på et par prosent. Oppgavene lar deg regne slike overslag selv.

Endringsrater i journalen

Den deriverte er ikke bare optikk; den er også journalen. En journal er tall festet til tidspunkter, og spørsmålet «hvor fort endrer dette seg?» er den deriverte kledd i klinisk språk. Det tydeligste eksempelet er myopiprogresjon: hos et barn som utvikler nærsynthet, kryper refraksjonen $R$ nedover fra kontroll til kontroll, og progresjonsraten $\frac{dR}{dt}$ – dioptri per år – er tallet klinikeren følger med på.

Her møter to begreper fra seksjonen om den deriverte hverandre i praksis. Journalen gir deg refraksjonen i noen få tidspunkter, aldri en glatt kurve, så alt du kan regne direkte er gjennomsnittsrater: sekantstigninger mellom to kontroller. Den momentane raten – hvor fort øyet endret seg akkurat nå – er tangenten, som du bare kan nærme deg ved å legge kontrollene tettere. Forskjellen er ikke akademisk: en gjennomsnittsrate over flere år kan skjule at progresjonen var rask i starten og har roet seg, eller omvendt.

Eksempel 6.5.3

For høyre øye står det i journalen: sfærisk ekvivalent $-1.00\text{\,}\mathrm{D}$ ved $8$ år, $-1.75\text{\,}\mathrm{D}$ ved $9$ år og $-2.50\text{\,}\mathrm{D}$ ved $11$ år. Husk fra kapittelet om regnerekkefølgen at sfærisk ekvivalent, $\mathrm{SE}=S+C/2$ , sammenfatter refraksjonen i ett tall. Finn gjennomsnittsraten over hele perioden og i hvert delintervall, og avgjør om progresjonen er jevn.

Løsning: Hver rate er en sekantstigning $\frac{R_{2}-R_{1}}{t_{2}-t_{1}}$ . Over hele perioden, fra $8$ til $11$ år:

\frac{-2.50-(-1.00)}{11-8}=\frac{-1.50}{3}=$-0.50\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}.

Delt på de to intervallene:

\frac{-1.75-(-1.00)}{9-8}=$-0.75\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r},\qquad\frac{-2.50-(-1.75)}{11-9}=\underline{\underline{$-0.375\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}}}.

Progresjonen er altså ikke jevn: det første året løp øyet med $-0.75\text{\,}\mathrm{D}$ per år, mens de to neste bare ga $-0.375\text{\,}\mathrm{D}$ per år – utviklingen bremser. Gjennomsnittet på $-0.50\text{\,}\mathrm{D}$ per år er et sant tall, men det er ingen av de to faktiske ratene; det ligger midt mellom en rask start og en roligere fortsettelse. Nettopp derfor skiller klinikeren sekant fra tangent: hadde du bare de to ytterpunktene, ville du ikke sett bremsingen i det hele tatt.

Progresjonsrater varierer mye fra barn til barn, men som du så i seksjonen om den deriverte, lå årsraten i metaanalysen på $-0.55\text{\,}\mathrm{D}$ og $-0.82\text{\,}\mathrm{D}$ i de to gruppene, med avtakende rate ved høyere startalder. To gruppegjennomsnitt er ikke et normalområde: de sier hva et gjennomsnittlig barn gjorde ved én bestemt startalder, ikke hvor grensen for «rask progresjon» går. Det europeiske materialet som kommer nærmest et normalområde, er aldersspesifikke vekstkurver for øyets lengde – aksiallengden, som kapittelet om øyets fysikk kommer tilbake til. De leses som høyde- og vektkurvene på helsestasjonen: kurven viser hvor ett enkelt barns øye ligger an mot jevnaldrende, og dermed om det vokser raskere enn forventet for alderen [46]. Sammenligningen er likevel verdt å gjøre: er $-0.375\text{\,}\mathrm{D}$ per år betryggende lavt, eller bare et gjennomsnitt som demper en brattere fase? Oppgavene ber deg gjøre den vurderingen.

Når tilnærmingene holder – og når de svikter

To ganger tidligere i boken erstattet vi en krum sammenheng med en enklere: småvinkeltilnærmingen $\sin v\approx v$ i trigonometrikapittelet og den paraksiale pilhøyden $s\approx\frac{y^{2}}{2r}$ i kapitlene om funksjoner og geometri. I seksjonen om derivasjonsregler så du at begge er samme sak – lineariseringer, den krumme kurven byttet mot sin tangent nær et punkt:

f(x)\approx f(a)+f^{\prime}(a)\,(x-a).

Det som gjenstår, er det praktiske spørsmålet enhver bruker må stille: hvor langt tør du stole på byttet? En tilnærming uten en anelse om feilen er en felle.

Nøkkelen er at feilen vokser forutsigbart – med kvadratet av hvor langt du er fra berøringspunktet. For småvinkelen styres feilen av vinkelen selv, for pilhøyden av forholdet $y/r$ . Regner du gjennom tallene, får du to tommelfingertabeller:

$\sin v\approx v$ : vinkel $v$	$5°$	$10°$	$14°$	$20°$
relativ feil	$0.13\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$	$0.51\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$	$1.0\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$	$2.1\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$

$s\approx\frac{y^{2}}{2r}$ : forhold $y/r$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.47$
relativ feil	$0.25\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$	$1.0\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$	$2.3\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$	$5.9\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$

Begge tilnærmingene holder seg innenfor rundt én prosent så lenge du blir i den venstre enden – vinkler opp mot ti–tolv grader, sonehøyder opp mot en femtedel av krumningsradien – og begge svikter på samme måte når du presser dem utover: feilen dobler og tredobler seg, fordi det neglisjerte leddet vokser kvadratisk. Figuren under viser mekanismen for småvinkelen.

Figur 6.12: Linjen

y=v

og kurven

\sin v

starter i lag i origo, men glir fra hverandre.

Eksempel 6.5.4

Du vil vite hvor langt de to tilnærmingene rekker med en feil på høyst om lag én prosent. For en kontaktlinseflate med basiskurve $r=$7.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ : hvor stor kan sonehøyden $y$ være før pilhøydeformelen $s\approx\frac{y^{2}}{2r}$ bommer med mer enn én prosent? Og hvilken vinkel svarer den samme grensen på én prosent til for $\sin v\approx v$ ? Forklar til slutt hva de to grensene har felles.

Løsning: Tabellene over gir svaret direkte, for feilen avhenger bare av $y/r$ og av vinkelen – ikke av $r$ eller av noen enhet. Pilhøydefeilen passerer én prosent rundt $y/r=0.20$ . Med $r=$7.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ betyr det

y\approx 0.20\cdot 7.8=\underline{\underline{$1.6\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.

Innenfor en sentral sone med radius om lag halvannen millimeter er den paraksiale formelen altså god til én prosent; utenfor bør du bruke det eksakte uttrykket $s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}$ eller legge til asfæriske ledd, slik kapittelet om funksjoner og grafer varslet. For småvinkelen leser tabellen av at én prosent nås ved om lag $14°$ : opp mot ti–tolv grader er $\sin v\approx v$ trygt, ved tjue grader bommer den med to prosent. Det de to grensene har felles, er hele poenget: begge er lineariseringer, tangenten satt inn for kurven, og begge er pålitelige akkurat så langt det kvadratiske leddet du kastet, ennå er lite. «Liten vinkel» og «lav sone» er to navn på den samme betingelsen – nær nok berøringspunktet til at tangenten duger.

Utsyn: integralene som kommer

Den deriverte følger deg videre i studiet, men det gjør integralet også, og to av de viktigste bruksområdene fortjener et forvarsel. Ingen detaljer her – bare bildet, så du kjenner det igjen når det kommer.

Det ene er fotometri, læren om lys slik øyet oppfatter det. En lyskilde sender ut stråling fordelt over mange bølgelengder, og øyet er ulikt følsomt for hver av dem – mest for grønt, mindre for rødt og blått. Den lysmengden øyet faktisk opplever, får du ved å veie strålingen i hver bølgelengde med øyets følsomhet der og summere over hele det synlige spekteret. En slik veid sum over en jevn skala er nettopp et bestemt integral – arealet under en kurve, akkurat som i forrige seksjon – og det er verktøyet fotometrikapittelet bygger på.

Det andre er statistikk. Når en måling som aksiallengde eller hornhinnestyrke varierer i en befolkning, beskrives spredningen med en fordelingskurve, og sannsynligheten for at en verdi havner i et gitt intervall er arealet under kurven over det intervallet. Sannsynlighet blir da et integral, og hele den statistiske kompetansen boken sikter mot – konfidensintervaller, sensitivitet, testtolkning – hviler på at areal under en tetthetskurve er sannsynlighet. Begge feltene er det bestemte integralet i arbeid; du har allerede sett maskineriet, og senere kapitler slår det på.

Oppgaver

Oppgave 6.5.1

Akkommodasjonsbehovet ved fikseringsavstanden $d$ (i meter) er $A=\dfrac{1}{d}$ dioptri.

a)

Skriv opp den deriverte $\dfrac{dA}{dd}$ som funksjon av $d$ .
b)

Regn ut $A$ og $\dfrac{dA}{dd}$ ved $d=$0.50\text{\,}\mathrm{m}$$ , og oppgi enheten på endringsraten.

Løsningsforslag

Oppgave 6.5.1:

a)

Potensregelen på $A=d^{-1}$ gir

$\frac{dA}{dd}=-d^{-2}=\underline{\underline{-\frac{1}{d^{2}}}}.$
b)

Ved $d=$0.50\text{\,}\mathrm{m}$$ :

$A=\frac{1}{0.50}=\underline{\underline{$2\text{\,}\mathrm{D}$}},\qquad\frac{dA}{dd}=-\frac{1}{0.50^{2}}=-\frac{1}{0.25}=\underline{\underline{$-4\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}}}.$

Enheten leses rett av Leibniz-brøken: $A$ i dioptrier delt på $d$ i meter gir dioptri per meter. Som kontroll: ved $0.25\text{\,}\mathrm{m}$ var raten $-16\text{\,}\mathrm{D}$ per meter, og en dobling av avstanden skal dempe raten med kvadratet, $-16/2^{2}=-4$ – det stemmer.

Oppgave 6.5.2

En pasient leser på $d=$0.40\text{\,}\mathrm{m}$$ . Bruk raten $\dfrac{dA}{dd}$ som lokal endringsrate til å anslå hvor mye akkommodasjonsbehovet øker når pasienten flytter boken én centimeter nærmere, fra $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ til $39\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ . Kontroller anslaget mot den eksakte endringen $A($0.39\text{\,}\mathrm{m}$)-A($0.40\text{\,}\mathrm{m}$)$ , og kommenter hvor godt tangenten treffer.

Løsningsforslag

Oppgave 6.5.2: Ved $d=$0.40\text{\,}\mathrm{m}$$ er raten

\frac{dA}{dd}=-\frac{1}{0.40^{2}}=$-6.25\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}.

Én centimeter nærmere betyr $\Delta d=$-0.01\text{\,}\mathrm{m}$$ , så lineariseringen gir

\Delta A\approx\frac{dA}{dd}\cdot\Delta d=(-6.25)\cdot(-0.01)=\underline{\underline{$0.0625\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Den eksakte endringen er

A($0.39\text{\,}\mathrm{m}$)-A($0.40\text{\,}\mathrm{m}$)=\frac{1}{0.39}-\frac{1}{0.40}\approx 2.5641-2.5=\underline{\underline{$0.0641\text{\,}\mathrm{D}$}}.

Tangenten bommer altså med om lag $0.0016\text{\,}\mathrm{D}$ – rundt $2.5\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ – og undervurderer litt fordi kurven $A=1/d$ krummer bort fra tangenten når du beveger deg fra berøringspunktet. For et overslag på én centimeter er det mer enn godt nok.

Oppgave 6.5.3

a)

Regn ut $\dfrac{dA}{dd}$ ved $d=$0.40\text{\,}\mathrm{m}$$ og ved $d=$2\text{\,}\mathrm{m}$$ .
b)

Hvor mange ganger raskere endrer akkommodasjonsbehovet seg per centimeter ved $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ enn ved $2\text{\,}\mathrm{m}$ ? Vis at forholdet er et kvadrat, og forklar med ett ord hvorfor nærarbeid koster så mye mer enn å se på noe to meter unna.

Løsningsforslag

Oppgave 6.5.3:

a)

Med $\frac{dA}{dd}=-1/d^{2}$ :

$\text{ved }$0.40\text{\,}\mathrm{m}$:\ -\frac{1}{0.40^{2}}=\underline{\underline{$-6.25\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}}},\qquad\text{ved }$2\text{\,}\mathrm{m}$:\ -\frac{1}{2^{2}}=\underline{\underline{$-0.25\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}}}.$
b)

Forholdet mellom tallverdiene er

$\frac{6.25}{0.25}=\underline{\underline{25}}=\left(\frac{2}{0.40}\right)^{2}=5^{2},$

så én centimeter koster $25$ ganger mer akkommodasjon ved $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ ( $0.0625\text{\,}\mathrm{D}$ per centimeter) enn ved $2\text{\,}\mathrm{m}$ ( $0.0025\text{\,}\mathrm{D}$ per centimeter). Forholdet er kvadratet av det omvendte avstandsforholdet, akkurat som i brødteksten. Ett ord: kvadratet – raten faller med kvadratet av avstanden, ikke med avstanden selv.

Oppgave 6.5.4

I journalen står sfærisk ekvivalent for høyre øye: $-1.25\text{\,}\mathrm{D}$ ved $10$ år, $-2.75\text{\,}\mathrm{D}$ ved $12$ år og $-3.25\text{\,}\mathrm{D}$ ved $13$ år.

a)

Finn gjennomsnittlig progresjonsrate over hele perioden fra $10$ til $13$ år.
b)

Finn gjennomsnittsraten i hvert av de to delintervallene. Er progresjonen jevn, eller endrer den seg?
c)

Hvordan ligger raten an mot de to gruppegjennomsnittene fra metaanalysen ( $-0.55\text{\,}\mathrm{D}$ og $-0.82\text{\,}\mathrm{D}$ per år)? Begrunn, og forklar hva gjennomsnittsraten over hele perioden kan skjule.

Løsningsforslag

Oppgave 6.5.4:

a)

Sekantstigningen over hele perioden er

$\frac{-3.25-(-1.25)}{13-10}=\frac{-2.00}{3}\approx\underline{\underline{$-0.67\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}}}.$
b)

I hvert delintervall:

$\frac{-2.75-(-1.25)}{12-10}=\frac{-1.50}{2}=\underline{\underline{$-0.75\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}}},\qquad\frac{-3.25-(-2.75)}{13-12}=\underline{\underline{$-0.50\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}}}.$

Progresjonen er ikke jevn: den løp med $-0.75\text{\,}\mathrm{D}$ per år fra $10$ til $12$ år og har bremset til $-0.50\text{\,}\mathrm{D}$ per år det siste året. (Kontroll: det tidsveide snittet $\frac{2\cdot(-0.75)+1\cdot(-0.50)}{3}=-0.67$ gjenskaper svaret i a).)
c)

To av de tre ratene faller mellom de to gruppegjennomsnittene $-0.55\text{\,}\mathrm{D}$ og $-0.82\text{\,}\mathrm{D}$ per år: gjennomsnittet på $-0.67\text{\,}\mathrm{D}$ per år midt imellom og den første fasen på $-0.75\text{\,}\mathrm{D}$ per år nærmere den bratte enden. Det siste året, $-0.50\text{\,}\mathrm{D}$ per år, ligger så vidt utenfor – nærmere null enn den roligste av de to gruppene. De to tallene er dessuten ikke et normalområde å ligge «innenfor»: de er gruppegjennomsnitt for to ulike opphavsgrupper ved startalder $9.3$ år, og metaanalysen sier selv at raten avtar med økende startalder. Barnet her er eldre enn det, så den sammenlignbare forventningen ligger nærmere null enn $-0.55\text{\,}\mathrm{D}$ per år – og da er $-0.67\text{\,}\mathrm{D}$ per år i overkant, ikke midt på treet. Og gjennomsnittsraten over hele perioden er en sekant, ikke en tangent: den skjuler at progresjonen hadde en brattere fase i starten og har roet seg. Hadde du bare hatt målingene ved $10$ og $13$ år, ville du ikke sett bremsingen i det hele tatt – derfor må vurderingen bygge på delintervallene, ikke bare på totalen.

Oppgave 6.5.5

Denne oppgaven samler kalkulusen fra hele kapittelet.

a)

Vis, ved å linearisere $\sqrt{r^{2}-y^{2}}$ om $y=0$ (eller ved førsteordens tilnærming av $\sqrt{1-u}$ ), at den eksakte pilhøyden $s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}$ går mot den paraksiale $s\approx\dfrac{y^{2}}{2r}$ for små $y/r$ .
b)

Vis på samme måte at $\sin v\approx v$ er lineariseringen av sinus om $v=0$ , og forklar hvorfor dette krever at $v$ måles i radianer.
c)

Skriv med egne ord hva de to tilnærmingene har felles – hvilken generell idé fra dette kapittelet er de begge tilfeller av – og angi for hver av dem én tommelfingerregel for hvor tilnærmingen slutter å være pålitelig.

Løsningsforslag

Oppgave 6.5.5:

a)

Skriv pilhøyden med den dimensjonsløse hjelpestørrelsen $u=\left(\frac{y}{r}\right)^{2}$ :

$s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}=r\left(1-\sqrt{1-u}\right).$

Linearisér $g(u)=\sqrt{1-u}$ om $u=0$ : kjerneregelen gir $g^{\prime}(u)=-\frac{1}{2\sqrt{1-u}}$ , så $g(0)=1$ og $g^{\prime}(0)=-\tfrac{1}{2}$ , og

$\sqrt{1-u}\approx 1-\frac{u}{2}.$

Innsatt:

$s\approx r\left(1-1+\frac{u}{2}\right)=\frac{r}{2}\left(\frac{y}{r}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{2r},$

som er den paraksiale formelen. Den er altså tangenttilnærmingen til rotuttrykket, gyldig når $u=(y/r)^{2}$ er liten.
b)

Lineariseringen av $f(v)=\sin v$ om $v=0$ bruker $f(0)=\sin 0=0$ og $f^{\prime}(v)=\cos v$ med $f^{\prime}(0)=\cos 0=1$ :

$\sin v\approx 0+1\cdot(v-0)=v.$

Radianer er ikke valgfritt: derivasjonsregelen $(\sin v)^{\prime}=\cos v$ – og dermed stigningen $1$ i origo – hviler på grensen $\lim_{v\to 0}\frac{\sin v}{v}=1$ , som bare gjelder med $v$ i radianer. Måles vinkelen i grader, blir stigningen $\pi/180$ , og tilnærmingen $\sin v\approx v$ bryter sammen.
c)

Begge er lineariseringer – den generelle ideen $f(x)\approx f(a)+f^{\prime}(a)\,(x-a)$ fra dette kapittelet, kurven byttet mot sin tangent nær berøringspunktet, med en feil som vokser kvadratisk med avstanden fra det. Tommelfingerregler fra seksjonens tabeller: $\sin v\approx v$ holder seg innenfor rundt én prosent for vinkler opp mot $10°$ – $14°$ , og pilhøydeformelen $s\approx\frac{y^{2}}{2r}$ innenfor rundt én prosent så lenge sonehøyden er høyst omtrent en femtedel av krumningsradien, $y/r\lesssim 0.20$ . Andre formuleringer med samme innhold er like gode.

Alle løsningsforslag til kapittel 6