Kapittel 7 · Mekanikk og bevegelse · 7.1

Posisjon, hastighet, akselerasjon

For å beskrive hvordan noe beveger seg, trenger du tre størrelser: hvor det er, hvor fort det flytter seg, og hvor fort farten selv endrer seg. Disse tre – posisjon, hastighet og akselerasjon – henger sammen ved derivasjon: hver er endringsraten til den foregående. Det er den samme derivasjonen du lærte i forrige kapittel, nå brukt på bevegelse i tid.

Posisjon og forflytning

Tenk deg en gjenstand som beveger seg langs en rett linje – en heis i sjakten, en ball som faller, en markør på en tallinje. For å si hvor den er, velger du et referansepunkt (et nullpunkt) og en positiv retning, og oppgir posisjonen $s$ som avstanden fra referansepunktet, med fortegn etter hvilken side den ligger på. Posisjonen måles i meter ( $\mathrm{m}$ ), grunnenheten for lengde fra kapittelet om tall, enheter og størrelser. Når gjenstanden beveger seg, endrer posisjonen seg med tiden, og vi skriver den som en funksjon $s(t)$ – posisjonen ved tidspunktet $t$ , målt i sekunder ( $\mathrm{s}$ ).

Beveger gjenstanden seg fra posisjon $s_{1}$ ved tiden $t_{1}$ til $s_{2}$ ved $t_{2}$ , kaller vi endringen i posisjon forflytningen

\Delta s=s_{2}-s_{1},

med $\Delta$ -notasjonen for en tilvekst fra forrige kapittel. Forflytningen har fortegn: den er positiv i den retningen du valgte som positiv, negativ motsatt vei. Den må ikke forveksles med tilbakelagt vei, som er den samlede lengden av strekningen gjenstanden faktisk beveget seg langs, uten hensyn til retning. Går du fem meter fram og tre tilbake, er forflytningen $2\text{\,}\mathrm{m}$ , men tilbakelagt vei er $8\text{\,}\mathrm{m}$ . For bevegelse som holder én retning er de like store; det er når retningen snur at de skiller lag.

En graf med posisjon $s$ langs den loddrette aksen og tid $t$ langs den vannrette – en $s$ – $t$ -graf – viser hele bevegelsesforløpet på én gang.

Figur 7.1: En

s

–

t

-graf for et helt bevegelsesforløp: gjenstanden beveger seg utover, står stille der grafen er vannrett, og vender så tilbake mot start.

Hastighet

Hvor fort beveger gjenstanden seg? Over et tidsintervall er svaret gjennomsnittsfarten: forflytningen delt på tiden den tok,

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_{2}-s_{1}}{t_{2}-t_{1}}.

Dette er nøyaktig gjennomsnittlig endringsrate fra forrige kapittel, og på $s$ – $t$ -grafen er det stigningstallet til sekanten mellom de to punktene – akkurat den sekanten du så på da den deriverte ble innført. Enheten er meter per sekund, $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ : en endring i meter delt på en endring i sekunder.

Gjennomsnittsfarten skjuler alt som skjer inni intervallet. For å få farten i et øyeblikk lar du intervallet krympe mot null – og da er du tilbake ved grensen som definerer den deriverte. Den momentane hastigheten er derfor den deriverte av posisjonen med hensyn på tid:

v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}=s^{\prime}(t).

På grafen er dette stigningstallet til tangenten i punktet. Leibniz-formen $\frac{ds}{dt}$ gjør enheten synlig: meter delt på sekunder, altså $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ , akkurat som gjennomsnittsfarten.

Et ord om fart kontra hastighet. På en rett linje med valgt positiv retning bærer $v$ et fortegn: positiv når gjenstanden beveger seg i positiv retning, negativ når den beveger seg tilbake. Med fortegn er $v$ en hastighet, en størrelse som har både tallverdi og retning – i én dimensjon fanget av fortegnet, i to eller tre dimensjoner en vektor slik du så i vektorkapittelet. Tallverdien alene, uten retning, kaller vi fart: $\left|v\right|$ , alltid positiv. Speedometeret i en bil viser fart; om du kjører forover eller i revers, er et spørsmål om hastighet.

Eksempel 7.1.1

På en joggetur beveger du deg langs en rett vei. Ved $t=$0\text{\,}\mathrm{s}$$ er du i posisjon $s=$0\text{\,}\mathrm{m}$$ , og ved $t=$100\text{\,}\mathrm{s}$$ er du i $s=$400\text{\,}\mathrm{m}$$ . Hva er gjennomsnittsfarten din over denne strekningen?

Løsning: Gjennomsnittsfart er forflytning delt på tid – stigningstallet til sekanten mellom de to punktene på $s$ – $t$ -grafen.

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{400-0}{100-0}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$4\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.

Fire meter i sekundet svarer omtrent til en rolig joggefart; svaret sier ingenting om du holdt den jevnt eller vekslet mellom å gå og løpe – bare snittet over hele turen.

Eksempel 7.1.2

En gjenstand beveger seg langs en akse slik at posisjonen (i meter) er gitt ved

s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t,

der $t$ er i sekunder. Finn et uttrykk for hastigheten $v(t)$ og for akselerasjonen, og bestem når gjenstanden står stille.

Løsning: Hastigheten er den deriverte av posisjonen; vi bruker potensregelen og sumregelen fra forrige kapittel ledd for ledd.

\displaystyle v(t)

\displaystyle=\frac{ds}{dt}=\underline{\underline{3t^{2}-12t+9}}.

Gjenstanden står stille der hastigheten er null. Vi setter $v(t)=0$ og forkorter felles faktor $3$ :

3t^{2}-12t+9=3(t^{2}-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0,

som gir $t=\underline{\underline{$1\text{\,}\mathrm{s}$}}$ og $t=\underline{\underline{$3\text{\,}\mathrm{s}$}}$ . Deriverer vi en gang til, får vi akselerasjonen $a(t)=\underline{\underline{6t-12}}$ (i $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ ), som vi kommer tilbake til straks. Gjenstanden beveger seg altså først utover, stopper og snur ved $t=$1\text{\,}\mathrm{s}$$ , og stopper igjen ved $t=$3\text{\,}\mathrm{s}$$ – fortegnet til $v$ skifter i begge punktene.

Akselerasjon

Farten er sjelden konstant. Endrer hastigheten seg, har vi en akselerasjon: endringsraten til hastigheten. På samme måte som hastigheten var den deriverte av posisjonen, er akselerasjonen den deriverte av hastigheten,

a(t)=\frac{dv}{dt}=v^{\prime}(t).

Og siden $v$ selv er den deriverte av $s$ , er akselerasjonen den andrederiverte av posisjonen:

a(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=s^{\prime\prime}(t).

Enheten leser du av Leibniz-formen: hastighet per tid, altså $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ delt på $\mathrm{s}$ , som er $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ – meter per sekund i annen.

Fortegnet til $a$ forteller ikke om gjenstanden går fort eller sakte, men om farten øker eller avtar i den positive retningen. Er $a$ og $v$ like fortegn, vokser tallverdien av hastigheten – gjenstanden setter opp farten. Er de motsatte, bremser den. En bil som kjører forover ( $v>0$ ) og bremser, har altså negativ akselerasjon; en bil som rygger stadig raskere ( $v<0$ ) har det også, selv om farten øker.

Den viktigste akselerasjonen i naturen er den et fritt fallende legeme får av tyngdekraften. Nær jordoverflaten faller alle gjenstander – ser vi bort fra luftmotstand – med den samme, konstante tyngdeakselerasjonen

g\approx$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$,

rettet nedover [47, vedlegg 1, 3. CGPM (1901), s. 143]. At tallet er uavhengig av massen – en fjær og en stein faller likt i vakuum [48] – er noe av det mest kontraintuitive i mekanikken, og vi kommer tilbake til hvorfor i seksjonen om Newtons lover.

Bevegelse med konstant akselerasjon

Fritt fall er ett tilfelle av noe mer generelt: bevegelse med konstant akselerasjon. Når $a$ ikke endrer seg med tiden, kan vi finne hastighet og posisjon ved å integrere – den motsatte veien av derivasjonen over, akkurat slik forrige kapittel bygde integralet som baklengs derivasjon. La akselerasjonen være den konstanten $a$ , og la gjenstanden ha hastighet $v_{0}$ og posisjon $s_{0}$ ved $t=0$ .

Hastigheten er antiderivert av akselerasjonen. Siden $a$ er konstant,

v(t)=\int a\,dt=at+C.

Integrasjonskonstanten $C$ bestemmes av starttilstanden: ved $t=0$ er $v=v_{0}$ , så $C=v_{0}$ , og

v(t)=v_{0}+at.

Posisjonen er i sin tur antiderivert av hastigheten:

s(t)=\int v\,dt=\int(v_{0}+at)\,dt=v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}+C.

Her gir starttilstanden $s=s_{0}$ ved $t=0$ at $C=s_{0}$ , altså

s(t)=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}.

Disse to – bevegelseslikningene for konstant akselerasjon – er ikke formler å pugge løsrevet; de er resultatet av å integrere en konstant akselerasjon to ganger, og du kan utlede dem på nytt når som helst.

Ofte vil du knytte hastighet til posisjon uten å gå veien om tiden. Løser du den første likningen for $t=(v-v_{0})/a$ og setter inn i den andre, faller tiden ut, og du står igjen med den tidløse likningen

v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,\Delta s,

der $\Delta s=s-s_{0}$ er forflytningen. Den er uvurderlig når du kjenner en fart og en strekning, men ikke tiden – som ved en bremselengde.

Det er en fin sammenheng mellom disse likningene og arealet under en graf. Husk fra forrige kapittel at et bestemt integral er et areal. Siden $s=\int v\,dt$ , er forflytningen mellom to tidspunkter arealet under $v$ – $t$ -grafen mellom dem. For konstant akselerasjon er $v$ – $t$ -grafen en rett linje, og arealet er lett å regne geometrisk – et rektangel pluss en trekant – uten å integrere formelt. Den geometrien er ryggraden i det neste eksempelet.

Eksempel 7.1.3

Figuren viser fart–tid-grafen til en heis. Fra $t=$0\text{\,}\mathrm{s}$$ til $t=$4\text{\,}\mathrm{s}$$ øker farten jevnt fra $0$ til $8\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; fra $t=$4\text{\,}\mathrm{s}$$ til $t=$10\text{\,}\mathrm{s}$$ holdes farten konstant på $8\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ .

Figur 7.2: Fart–tid-grafen til heisen; strekningen er arealet under grafen, her en trekant pluss et rektangel.

(a) Hva er akselerasjonen i det første tidsintervallet? (b) Hva er akselerasjonen i det andre? (c) Hvor langt kjører heisen til sammen i løpet av de $10\text{\,}\mathrm{s}$ ?

Løsning: Akselerasjon er stigningstallet til $v$ – $t$ -grafen, og tilbakelagt strekning er arealet under den. I det første intervallet stiger farten jevnt:

a_{1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{8-0}{4-0}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=\underline{\underline{$2\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}}.

I det andre intervallet er farten konstant, så hastigheten endrer seg ikke:

a_{2}=\underline{\underline{$0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}}.

Strekningen er arealet under grafen – en trekant fulgt av et rektangel:

\Delta s=\underbrace{\tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 8}_{\text{trekant}}+\underbrace{8\cdot(10-4)}_{\text{rektangel}}=16+48=\underline{\underline{$64\text{\,}\mathrm{m}$}}.

En fornuftssjekk: $64\text{\,}\mathrm{m}$ på $10\text{\,}\mathrm{s}$ gir en snittfart på $6.4\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ , som ligger passe mellom $0$ og toppfarten $8\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ – rimelig, siden heisen bruker de fire første sekundene på å komme opp i fart.

Eksempel 7.1.4

Når du flytter blikket mellom to objekter i rommet, gjør øyet ditt en sakkade – et raskt blikkskift – som her spenner om lag $10°$ og varer rundt $50\text{\,}\mathrm{ms}$ [50]. Dette er strengt tatt en rotasjon av øyeeplet, ikke en forflytning langs en rett linje, men tidsforløpet kan behandles med nøyaktig samme kalkulus som lineær bevegelse: en vinkel som funksjon av tid, med en vinkelfart som er dens deriverte. (a) Regn ut den gjennomsnittlige vinkelfarten i grader per sekund. (b) Målte toppvinkelfarter for en slik sakkade ligger rundt $400 °/s$ [50]. Forklar hvorfor toppfarten må ligge merkbart over gjennomsnittsfarten du fant. (c) Hvorfor er $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ en uegnet enhet her, og hva er den riktige?

Løsning: Gjennomsnittlig vinkelfart er vinkelendringen delt på tiden – samme brøk som gjennomsnittsfart, bare med vinkel i telleren.

ω¯=Δ(vinkel)Δt=10°0.050 s=200 °/s.

For (b): øyet starter i ro og ender i ro, så vinkelfarten bygges opp fra null, når en topp, og bremses ned igjen. En verdi som starter på null, stiger og faller tilbake til null, må ha et maksimum som overstiger sitt eget gjennomsnitt – ellers kunne den ikke også vært null i endene. Toppfarten ligger derfor merkbart over de $200 °/s$ , i tråd med de målte $400 °/s$ . For (c): sakkaden dreier øyeeplet om et fast punkt – den forflytter ikke øyet langs en linje, så $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ måler feil type bevegelse. Den riktige enheten er grader per sekund (eller radianer per sekund), en vinkelfart. Full behandling av rotasjon, med vinkelfarten $\omega$ , kommer i seksjonen om rotasjonsbevegelse; her er sakkaden et ærlig eksempel på at derivasjon og gjennomsnittsrate er de samme, enten størrelsen er en lengde eller en vinkel.

Oppgaver

Oppgave 7.1.1

Et objekt beveger seg langs en akse slik at posisjonen (i meter) er $s(t)=3t^{2}-2t+5$ , der $t$ er i sekunder.

a)

Finn et uttrykk for hastigheten $v(t)=\dfrac{ds}{dt}$ .
b)

Finn akselerasjonen $a(t)=\dfrac{dv}{dt}$ .
c)

Hva er hastigheten ved $t=$2\text{\,}\mathrm{s}$$ , og hva forteller fortegnet deg?

Løsningsforslag

Oppgave 7.1.1: Vi deriverer posisjonsfunksjonen ledd for ledd med potensregelen og sumregelen.

a)

Hastigheten er den deriverte av posisjonen:

$v(t)=\frac{ds}{dt}=\underline{\underline{6t-2}}$

(i $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ ).
b)

Akselerasjonen er den deriverte av hastigheten:

$a(t)=\frac{dv}{dt}=\underline{\underline{$6\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}},$

konstant – den samme ved alle tidspunkter.
c)

Innsetting gir $v(2)=6\cdot 2-2=\underline{\underline{$10\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$ . Fortegnet er positivt, så objektet beveger seg i den valgte positive retningen ved $t=$2\text{\,}\mathrm{s}$$ .

Oppgave 7.1.2

En ball slippes fra ro fra toppen av et høyt vindu. Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ og se bort fra luftmotstand.

a)

Hvor stor fart har ballen etter $2.0\text{\,}\mathrm{s}$ ?
b)

Hvor langt har den falt i løpet av disse $2.0\text{\,}\mathrm{s}$ ?
c)

Forklar hvorfor du kunne bruke bevegelseslikningene her uten å integrere på nytt.

Løsningsforslag

Oppgave 7.1.2: Ballen slippes fra ro, så $v_{0}=0$ , og akselerasjonen er konstant lik $g$ med nedover som positiv retning. Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon gjelder da direkte.

a)

Farten etter tiden $t$ :

$v=v_{0}+gt=0+9.81\cdot 2.0\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$\approx\underline{\underline{$19.6\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.$
b)

Fallstrekningen, med $s_{0}=0$ :

$\Delta s=v_{0}t+\tfrac{1}{2}gt^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 9.81\cdot(2.0)^{2}\ $\mathrm{m}$\approx\underline{\underline{$19.6\text{\,}\mathrm{m}$}}.$

En kontroll med den tidløse likningen gir det samme: $\Delta s=v^{2}/(2g)=19.62^{2}/(2\cdot 9.81)\ $\mathrm{m}$\approx$19.6\text{\,}\mathrm{m}$$ .
c)

Bevegelseslikningene ble utledet ved å integrere en konstant akselerasjon to ganger. I fritt fall uten luftmotstand er akselerasjonen nettopp konstant, $a=g$ , så integrasjonen er allerede gjort én gang for alle – det gjenstår bare å sette inn $v_{0}=0$ og $a=g$ .

Oppgave 7.1.3

En bil kjører i $90\text{\,}\mathrm{km}\text{\,}{\mathrm{h}}^{-1}$ når føreren bråbremser med en konstant retardasjon på $6.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ .

a)

Gjør om starthastigheten til $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ .
b)

Hvor lang er bremselengden fram til bilen står stille? Bruk den tidløse likningen $v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,\Delta s$ .
c)

En kollega hevder at dobbelt så høy fart gir dobbelt så lang bremselengde. Vurder påstanden ut fra den samme likningen.

Løsningsforslag

Oppgave 7.1.3: Vi velger kjøreretningen som positiv; retardasjonen gir da $a=$-6.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

a)

En kilometer er $1000\text{\,}\mathrm{m}$ og en time $3600\text{\,}\mathrm{s}$ , så vi deler på $3.6$ :

$v_{0}=\frac{90}{3.6}\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$=\underline{\underline{$25\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}.$
b)

Bilen står stille når $v=0$ . Den tidløse likningen gir

$0=v_{0}^{2}+2a\,\Delta s\quad\Longrightarrow\quad\Delta s=\frac{v_{0}^{2}}{2\cdot 6.0}=\frac{625}{12}\ $\mathrm{m}$\approx\underline{\underline{$52\text{\,}\mathrm{m}$}}.$

En kontroll via tiden gir det samme: bremsingen tar $t=v_{0}/6.0\approx$4.2\text{\,}\mathrm{s}$$ , og $\Delta s=v_{0}t-\tfrac{1}{2}\cdot 6.0\cdot t^{2}\approx$52\text{\,}\mathrm{m}$$ .
c)

Påstanden er gal. Av likningen er bremselengden $\Delta s=v_{0}^{2}/(2\cdot 6.0)$ – proporsjonal med kvadratet av starthastigheten. Dobbelt så høy fart gir derfor $2^{2}=4$ ganger så lang bremselengde, ikke dobbelt: $50\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$ gir $2500/12\ $\mathrm{m}$\approx$208\text{\,}\mathrm{m}$$ , fire ganger de $52\text{\,}\mathrm{m}$ .

Oppgave 7.1.4

En medstudent påstår: «Farten til et objekt er alltid størst der posisjonsgrafen $s(t)$ er høyest.»

a)

Er påstanden riktig? Begrunn ut fra sammenhengen mellom posisjon og hastighet.
b)

Hva er hastigheten i et punkt der $s(t)$ har et topp-punkt? Si med ett ord hva som gjelder for tangenten der.
c)

Skisser eller beskriv en $s$ – $t$ -graf som tydelig motbeviser påstanden.

Løsningsforslag

Oppgave 7.1.4:

a)

Nei. Hastigheten er den deriverte av posisjonen, $v=ds/dt$ – på $s$ – $t$ -grafen er det stigningstallet til tangenten, ikke høyden av grafen. Farten er størst der grafen er brattest, som slett ikke trenger å være der den er høyest.
b)

I et topp-punkt er hastigheten $v=\underline{\underline{$0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-1}$}}$ ; tangenten der er vannrett.
c)

Ett moteksempel blant mange: en $s$ – $t$ -graf som stiger bratt fra start, flater ut mot et høyeste platå og deretter synker – som heisgrafens slektning i figur 7.1. Der grafen er høyest, er den vannrett, så $v=0$ og gjenstanden står stille; farten er størst i den bratte starten, der grafen er lavere. Påstanden er dermed motbevist.

Alle løsningsforslag til kapittel 7