Kapittel 6 · Grunnleggende kalkulus · 6.3

Derivasjonsregler

Definisjonen virker, men den er et verksted med bare ett verktøy: hver ny funksjon krever sin egen grenseutregning. Denne seksjonen bygger et lite regelverk som gjør derivasjon til håndverk – først for potenser og polynomer, så for produkter, kvotienter og sammensatte funksjoner, og til slutt for sinus, cosinus og eksponentialfunksjonene. På veien får tallet $e$ endelig sin definisjon, og småvinkeltilnærmingen sin begrunnelse.

Grunnreglene

Forrige seksjon ga oss $(x^{2})^{\prime}=2x$ og $(1/x)^{\prime}=-1/x^{2}$ . La oss ta én til fra definisjonen, $f(x)=x^{3}$ , og se etter et mønster. Å gange ut $(x+h)^{3}=(x+h)(x+h)^{2}$ gir

(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},

så

\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2},

som går mot $3x^{2}$ når $h\to 0$ . Mønsteret trer fram: $(x^{2})^{\prime}=2x^{1}$ og $(x^{3})^{\prime}=3x^{2}$ – eksponenten hopper ned som faktor, og den nye eksponenten er én lavere. Selv $(1/x)^{\prime}=-1/x^{2}$ passer inn, for med negative eksponenter fra kapittelet om algebra er det utsagnet $(x^{-1})^{\prime}=-1\cdot x^{-2}$ . Dette er potensregelen:

(x^{n})^{\prime}=n\,x^{n-1},

og den gjelder for alle reelle eksponenter $n$ – også brøker og negative tall. For positive heltall følger den av samme utganging som ovenfor; det generelle beviset krever verktøy utenfor denne boken, så vi oppgir regelen og lar deg heller kontrollere den i bruk. For eksempel er $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , og regelen gir

(\sqrt{x}\,)^{\prime}=\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Tre små regler til, og polynomene er våre. En konstant funksjon $f(x)=c$ har vannrett graf og endrer seg ikke: den deriverte er $0$ . En konstant faktor blir med ut, $(c\cdot f)^{\prime}=c\cdot f^{\prime}$ (konstantfaktorregelen), og en sum deriveres ledd for ledd, $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$ (sumregelen). Den siste kan du overbevise deg om rett fra definisjonen: i differansen $f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)$ skiller leddene lag i én $f$ -differanse og én $g$ -differanse, som hver går mot sin deriverte.

Eksempel 6.3.1

Deriver $g(x)=3x^{4}-2x^{2}+7$ .

Løsning: Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen og konstantfaktorregelen:

g^{\prime}(x)=3\cdot 4x^{3}-2\cdot 2x+0=\underline{\underline{12x^{3}-4x}}.

Konstantleddet $7$ forsvinner: å løfte hele grafen sju enheter endrer ingen stigning.

To gamle kjenninger følger gratis. Først den lineære funksjonen: $(ax+b)^{\prime}=a$ . Den deriverte er stigningstallet, konstant i hvert punkt – nettopp derfor kunne forrige seksjon lese endringsraten til minimumsmodellen rett ut av stigningstallet. Så parabelen. Deriver den generelle andregradsfunksjonen $f(x)=ax^{2}+bx+c$ :

f^{\prime}(x)=2ax+b.

Tangenten er vannrett der $f^{\prime}(x)=0$ , altså i

2ax+b=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac{b}{2a}

– symmetrilinjen fra kapittelet om funksjoner og grafer, der topp- eller bunnpunktet ligger. Den gang ble formelen lest ut av parabelens symmetri; nå faller den ut av derivasjon: i bunnen av en dal og på toppen av en bakke er raten null, for der skifter grafen mellom å avta og å vokse.

Produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen

For produkter er fristelsen stor: kan $(f\cdot g)^{\prime}$ være $f^{\prime}\cdot g^{\prime}$ ? Nei – test på $x\cdot x$ : produktet er $x^{2}$ med derivert $2x$ , mens $f^{\prime}\cdot g^{\prime}=1\cdot 1=1$ . Den riktige regelen er produktregelen:

(f\cdot g)^{\prime}=f^{\prime}\cdot g+f\cdot g^{\prime}.

Utledningen er kort nok til å ta med. Trikset er å legge til og trekke fra $f(x+h)\,g(x)$ i telleren til sekantstigningen; da kan den deles i to gjenkjennelige brøker:

\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Når $h\to 0$ , går de to brøkene mot $g^{\prime}(x)$ og $f^{\prime}(x)$ , mens $f(x+h)$ går mot $f(x)$ – en deriverbar funksjon er kontinuerlig, så den grensen kan tas ved innsetting. Resultatet er $f^{\prime}g+fg^{\prime}$ .

Av produktregelen følger kvotientregelen:

\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^{2}}\qquad(g(x)\neq 0).

Overbevis deg om den selv: skriv $f=\frac{f}{g}\cdot g$ , deriver begge sider med produktregelen og løs for $\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}$ .

Den siste regelen håndterer sammensatte funksjoner – funksjon inni funksjon, som $(2x+1)^{3}$ : den indre funksjonen, også kalt kjernen, er $2x+1$ , og den ytre er «opphøy i tredje». Kjerneregelen sier at ratene ganges:

\left[f(g(x))\right]^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x).

Intuisjonen: endrer $y$ seg dobbelt så fort som $u$ , og $u$ tre ganger så fort som $x$ , endrer $y$ seg $2\cdot 3=6$ ganger så fort som $x$ . Merk at den ytre raten $f^{\prime}$ evalueres i kjernen $g(x)$ – det er der den ytre funksjonen faktisk arbeider.

Eksempel 6.3.2

Deriver $p(x)=x^{3}\sqrt{x}$ med produktregelen og $q(x)=(2x+1)^{3}$ med kjerneregelen, og kontroller begge svarene med en annen regel.

Løsning: For $p$ setter vi $f=x^{3}$ og $g=\sqrt{x}$ i produktregelen:

p^{\prime}(x)=3x^{2}\cdot\sqrt{x}+x^{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=3x^{5/2}+\tfrac{1}{2}\,x^{5/2}=\underline{\underline{\tfrac{7}{2}\,x^{5/2}}}.

Kontroll: $p(x)=x^{3}\cdot x^{1/2}=x^{7/2}$ , og potensregelen gir direkte $\tfrac{7}{2}x^{5/2}$ – samme svar. For $q$ er kjernen $u=2x+1$ med $u^{\prime}=2$ , og den ytre funksjonen $u^{3}$ har rate $3u^{2}$ :

q^{\prime}(x)=3(2x+1)^{2}\cdot 2=\underline{\underline{6(2x+1)^{2}}}.

Kontroll: gang ut $(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1$ og deriver ledd for ledd: $24x^{2}+24x+6=6(4x^{2}+4x+1)=6(2x+1)^{2}$ . To veier, samme svar begge steder – reglene er et sammenhengende system, ikke løsrevne oppskrifter.

De spesielle funksjonene

Reglene så langt flytter deriverte rundt; nå trenger vi de deriverte til byggeklossene selv: sinus, cosinus og eksponentialfunksjonene.

Sinus og cosinus

Sett $f(x)=\sin x$ inn i definisjonen og bruk sumformelen $\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ fra trigonometrikapittelet:

\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.

Den siste grensen er selveste $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ fra kapittelets første seksjon. Den første går mot null, som du kan tallfeste på samme måte: $h=0.1$ gir $-0.050$ , $h=0.01$ gir $-0.005$ , $h=0.001$ gir $-0.0005$ . Dermed overlever bare cosinusleddet:

(\sin x)^{\prime}=\cos x.

Helt tilsvarende – overbevis deg om det med sumformelen for $\cos(x+h)$ – er

(\cos x)^{\prime}=-\sin x.

Legg spesielt merke til punktet $x=0$ : der er den deriverte av sinus lik $\cos 0=1$ . Sinuskurven forlater origo med stigning nøyaktig $1$ , altså langs linjen $y=x$ – og det er kjernen i småvinkeltilnærmingen $\sin v\approx v$ fra trigonometrikapittelet. Den fulle begrunnelsen kommer i det siste underemnet.

Eksempel 6.3.3

Husk sinusgitteret fra trigonometrikapittelet: på tvers av stripene følger luminansen profilen $L(x)=L_{0}+a\sin(bx)$ , der $L_{0}$ er middelluminansen, $a$ dybden på vekslingen og $b$ stripetettheten. Deriver $L$ (regn $b x$ i radianer), og finn hvor i mønsteret lysstyrken endrer seg raskest – og hvor raskt.

Løsning: Vi bruker sumregelen, konstantfaktorregelen og kjerneregelen med kjerne $u=bx$ , $u^{\prime}=b$ :

L^{\prime}(x)=0+a\cos(bx)\cdot b=ab\cos(bx).

Cosinus ligger mellom $-1$ og $1$ , så raten er størst i tallverdi der $\cos(bx)=\pm 1$ – det vil si der $\sin(bx)=0$ , altså der profilen krysser middelnivået $L(x)=L_{0}$ . Den bratteste raten er

\left|L^{\prime}\right|=\underline{\underline{ab}}.

Midt mellom en lys og en mørk stripe endrer lyset seg altså raskest, mens det på topp og bunn – midt i stripene – ikke endrer seg i det hele tatt. Og produktet $a b$ sier at både dypere veksling (større $a$ ) og tettere striper (større $b$ ) gir brattere overganger.

Tallet $e$ og den naturlige logaritmen

Så eksponentialfunksjonene $f(x)=a^{x}$ fra kapittelet om funksjoner og grafer. Definisjonen og potensreglene fra kapittelet om algebra gir

\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}=\frac{a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}=a^{x}\cdot\frac{a^{h}-1}{h}.

Faktoren $a^{x}$ står urørt utenfor grensen; alt spennende ligger i tallet

k_{a}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h},

som bare avhenger av grunntallet – det er stigningstallet til $a^{x}$ i $x=0$ . Altså er $(a^{x})^{\prime}=k_{a}\cdot a^{x}$ : en eksponentialfunksjon har derivert proporsjonal med seg selv. Det er den presise utgaven av eksponentiell vekst – jo større verdien er, desto fortere vokser den.

Hva er så $k_{a}$ ? Regn selv etter med kalkulator:

$a$	$h=0.01$	$h=0.001$	$k_{a}\approx$
$2$	$0.6956$	$0.6934$	$0.693$
$2.7$	$0.9982$	$0.9937$	$0.993$
$2.72$	$1.0057$	$1.0011$	$1.001$
$3$	$1.1047$	$1.0992$	$1.099$

For $a=2$ er konstanten under $1$ , for $a=3$ over, og den vokser jevnt med grunntallet. Ett grunntall mellom $2.7$ og $2.72$ må derfor treffe nøyaktig $1$ – grunntallet der eksponentialfunksjonen er sin egen deriverte. Det tallet kalles tallet $e$ :

e\approx 2.71828,\qquad(e^{x})^{\prime}=e^{x}.

Som $\pi$ er $e$ irrasjonalt, og som $\pi$ dukker det opp overalt i matematikken; at $e^{x}$ vokser i nøyaktig samme takt som sin egen størrelse, gjør $e$ til kalkulusens naturlige grunntall.

Med $e$ på plass får logaritmen sin makker. Da logaritmen ble innført i kapittelet om funksjoner og grafer, valgte vi grunntall $10$ fordi tallsystemet er bygd på tierpotenser; den utsatte fortsettelsen kommer her. Den naturlige logaritmen $\ln x$ er logaritmen med grunntall $e$ :

y=\ln x\quad\Longleftrightarrow\quad e^{y}=x\qquad(x>0).

Alle logaritmereglene fra kapittelet om funksjoner og grafer – produkt-, kvotient- og potensregelen – gjelder ordrett for $\ln$ ; bare grunntallet er byttet. De to skalaene er dessuten proporsjonale, $\log x=\ln x/\ln 10\approx 0.434\ln x$ , så en logaritmisk skala som logMAR kunne like gjerne vært bygd på $\ln$ : valget av grunntall velger målestokk, ikke innhold. Tierlogaritmen er den kliniske avlesningens logaritme; $\ln$ er kalkulusens, og dens deriverte er påfallende enkel:

(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\qquad(x>0).

Vi oppgir den uten utledning, men du kan kontrollere den numerisk: $\frac{\ln 2.001-\ln 2}{0.001}\approx 0.4999\approx\tfrac{1}{2}$ . Logaritmens endringsrate er altså hyperbelen $1/x$ fra kapittelet om funksjoner og grafer – bratt for små $x$ , flatere og flatere utover: logaritmer vokser alltid, men stadig langsommere.

Og nå kan tabellen ovenfor avsløres. Skriv $a=e^{\ln a}$ (det er definisjonen av $\ln a$ ), slik at $a^{x}=e^{x\ln a}$ , og deriver med kjerneregelen – kjernen $x\ln a$ har derivert $\ln a$ :

(a^{x})^{\prime}=e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^{x}\ln a.

Konstanten $k_{a}$ er rett og slett $\ln a$ . Slå etter: $\ln 2\approx 0.693$ og $\ln 3\approx 1.099$ – nøyaktig tallene grenseregningen ga. Kjerneregelen, $e$ og $\ln$ låser seg sammen til ett system.

Linearisering

Zoom inn på en deriverbar graf i et punkt, og den blir rettere og rettere; til slutt er den ikke til å skille fra tangenten sin. Det gjør tangenten til mer enn en illustrasjon: nær punktet er den en fullgod erstatning for funksjonen. Tangenten i $x=a$ går gjennom $(a,f(a))$ med stigningstall $f^{\prime}(a)$ , så dens likning er $L(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$ . Tilnærmingen

f(x)\approx f(a)+f^{\prime}(a)\,(x-a)\qquad\text{for }x\text{ n\ae r }a

kalles lineariseringen av $f$ om $a$ . Den bytter en vilkårlig deriverbar funksjon mot en lineær – den enkleste funksjonstypen boken kjenner – og prisen er en feil som er liten nær $a$ og vokser utover, slik figuren viser.

Figur 6.5: Lineariseringen

L

berører

f

x=a

; avstanden mellom kurvene er feilen du betaler.

Lineariseringen innfrir løftet om småvinkeltilnærmingen. Linearisér $\sin v$ om $v=0$ , med radianer: $\sin 0=0$ , og den deriverte $\cos v$ har verdien $\cos 0=1$ der, så

\sin v\approx 0+1\cdot(v-0)=v.

For cosinus er $\cos 0=1$ og den deriverte $-\sin 0=0$ , så $\cos v\approx 1$ – vannrett tangent på kurvetoppen. Tallrekkene i trigonometrikapittelet var altså ingen tilfeldighet: $\sin v\approx v$ og $\cos v\approx 1$ er lineariseringene av sinus og cosinus om null, og «liten vinkel» betyr «nær nok null til at tangenten duger».

Eksempel 6.3.4

I kapittelet om funksjoner og grafer ble pilhøyden $s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}$ tilnærmet med den paraksiale formelen $s\approx\frac{y^{2}}{2r}$ , den gang begrunnet med at $2r-s\approx 2r$ for en grunn flate og deretter kontrollert numerisk. Vis at formelen er en linearisering, og tallfest avviket for en kontaktlinseflate med basiskurve $r=$7.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ ved sonehøyde $y=$3.0\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ .

Løsning: Først skriver vi om ved å faktorisere $r^{2}$ ut under roten:

s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}=r\left(1-\sqrt{1-u}\right),\qquad u=\left(\frac{y}{r}\right)^{2},

der $u$ er liten når $y$ er liten i forhold til $r$ – selve paraksialforutsetningen. Så lineariserer vi $g(u)=\sqrt{1-u}$ om $u=0$ . Kjerneregelen gir $g^{\prime}(u)=-\frac{1}{2\sqrt{1-u}}$ , så $g(0)=1$ og $g^{\prime}(0)=-\tfrac{1}{2}$ :

\sqrt{1-u}\approx 1-\frac{u}{2}.

Innsatt:

s\approx r\left(1-1+\frac{u}{2}\right)=r\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{y}{r}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{2r}.

Den paraksiale formelen er altså tangenttilnærmingen til rotuttrykket, gyldig av samme grunn som alle lineariseringer – og bare nær $u=0$ . Tallene setter forutsetningen på prøve: eksakt er

s=7.8-\sqrt{7.8^{2}-3.0^{2}}=7.8-\sqrt{51.84}=7.8-7.2=$0.600\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$,

mens lineariseringen gir $s\approx\frac{3.0^{2}}{2\cdot 7.8}\approx$0.577\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$$ . Avviket er

0.600-0.577\approx\underline{\underline{$0.023\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}},

snaut $4\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ . Her er $u=(3.0/7.8)^{2}\approx 0.15$ – ikke spesielt liten – og likevel treffer tangenten innenfor noen hundredels millimeter; halverer du $y$ , deles $u$ på fire, og feilen krymper enda fortere. Småvinkeltilnærmingen og pilhøydeformelen er dermed samme idé i to kostymer: en linearisering brukt der forutsetningen holder.

Til slutt, samlet på ett sted, byggeklossenes deriverte – vinkler i radianer:

$f(x)$	$x^{n}$	$\sin x$	$\cos x$	$e^{x}$	$a^{x}$	$\ln x$
$f^{\prime}(x)$	$n\,x^{n-1}$	$\cos x$	$-\sin x$	$e^{x}$	$a^{x}\ln a$	$1/x$

Sammen med sum-, konstantfaktor-, produkt-, kvotient- og kjerneregelen er dette alt du trenger for å derivere funksjonene i denne boken.

Oppgaver

Oppgave 6.3.1

Deriver hver funksjon. Skriv om til potensform der det trengs.

a)

$f(x)=x^{7}$
b)

$g(x)=2x^{3}-5x+4$
c)

$h(x)=\sqrt{x}$
d)

$p(x)=\dfrac{1}{x^{3}}$

Løsningsforslag

Oppgave 6.3.1:

a)

Potensregelen: $f^{\prime}(x)=\underline{\underline{7x^{6}}}$ .
b)

Ledd for ledd med potens- og konstantfaktorregelen: $g^{\prime}(x)=2\cdot 3x^{2}-5+0=\underline{\underline{6x^{2}-5}}$ .
c)

Skriv om til potensform, $h(x)=x^{1/2}$ : $h^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2}=\underline{\underline{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$ .
d)

Skriv om til potensform, $p(x)=x^{-3}$ : $p^{\prime}(x)=-3x^{-4}=\underline{\underline{-\dfrac{3}{x^{4}}}}$ .

Oppgave 6.3.2

Deriver hver funksjon, og oppgi hvilken regel du bruker.

a)

$f(x)=x\cos x$
b)

$g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$
c)

$h(x)=\sin(3x)$
d)

$k(x)=e^{2x}$

Løsningsforslag

Oppgave 6.3.2:

a)

Produktregelen med $f=x$ og $g=\cos x$ : $f^{\prime}(x)=1\cdot\cos x+x\cdot(-\sin x)=\underline{\underline{\cos x-x\sin x}}$ .
b)

Kvotientregelen: $g^{\prime}(x)=\dfrac{2x\cdot x-(x^{2}+1)\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=\underline{\underline{1-\dfrac{1}{x^{2}}}}$ . Kontroll: $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ gir det samme med potensregelen.
c)

Kjerneregelen med kjerne $u=3x$ , $u^{\prime}=3$ : $h^{\prime}(x)=\cos(3x)\cdot 3=\underline{\underline{3\cos(3x)}}$ .
d)

Kjerneregelen med kjerne $u=2x$ , $u^{\prime}=2$ : $k^{\prime}(x)=e^{2x}\cdot 2=\underline{\underline{2e^{2x}}}$ .

Oppgave 6.3.3

En parabel er gitt ved $f(x)=x^{2}-6x+11$ .

a)

Finn $f^{\prime}(x)$ og løs $f^{\prime}(x)=0$ .
b)

Regn ut funksjonsverdien i punktet, og avgjør ut fra fortegnet til $f^{\prime}$ på hver side om det er et toppunkt eller et bunnpunkt.
c)

Sammenlign førstekoordinaten med symmetrilinjen $x=-\frac{b}{2a}$ fra kapittelet om funksjoner og grafer.

Løsningsforslag

Oppgave 6.3.3:

a)

$f^{\prime}(x)=2x-6$ , og $2x-6=0$ gir $\underline{\underline{x=3}}$ .
b)

$f(3)=9-18+11=2$ . For $x<3$ er $f^{\prime}(x)<0$ og for $x>3$ er $f^{\prime}(x)>0$ : grafen avtar inn mot punktet og vokser ut fra det, så $\underline{\underline{(3,2)\ \text{er et bunnpunkt}}}$ .
c)

Symmetrilinjen er $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3$ – samme førstekoordinat. Formelen fra kapittelet om funksjoner og grafer er nettopp løsningen av $f^{\prime}(x)=0$ for den generelle andregradsfunksjonen.

Oppgave 6.3.4

Du vil anslå $\sqrt{26}$ uten kalkulator.

a)

Sett opp lineariseringen av $f(x)=\sqrt{x}$ om $a=25$ , og bruk den til å anslå $\sqrt{26}$ .
b)

Kalkulatoren gir $\sqrt{26}\approx 5.0990$ . Hvor stor er feilen, og hvorfor treffer tilnærmingen så godt akkurat her?

Løsningsforslag

Oppgave 6.3.4:

a)

Med $f(x)=\sqrt{x}$ er $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , så $f(25)=5$ og $f^{\prime}(25)=\dfrac{1}{10}$ . Lineariseringen om $a=25$ er

$L(x)=5+\frac{1}{10}(x-25),$

og $\sqrt{26}\approx L(26)=5+\dfrac{1}{10}=\underline{\underline{5.1}}$ .
b)

Feilen er $5.1-5.0990=\underline{\underline{0.0010}}$ . Tilnærmingen treffer så godt fordi $x=26$ ligger nær utviklingspunktet $a=25$ – avstanden er bare $1$ , liten i forhold til $25$ – og fordi rotkurven er slak der: den deriverte $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ endrer seg langsomt for store $x$ , så tangenten følger kurven tett.

Oppgave 6.3.5

Tallet $e$ er grunntallet der eksponentialfunksjonen er sin egen deriverte. Lag en egen numerisk undersøkelse som overbeviser en medstudent om at et slikt grunntall finnes og ligger mellom $2$ og $3$ : regn ut $\frac{a^{h}-1}{h}$ for et lite tall $h$ , for eksempel $h=0.01$ , med $a=2$ og $a=3$ ; forklar hva tallene måler geometrisk; og argumenter for at det finnes nøyaktig ett grunntall der verdien blir $1$ .

Løsningsforslag

Oppgave 6.3.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: undersøkelsen bør vise tall nær $\frac{2^{0.01}-1}{0.01}\approx 0.6956$ og $\frac{3^{0.01}-1}{0.01}\approx 1.1047$ , tolke brøken som stigningstallet til $a^{x}$ i $x=0$ , og begrunne entydigheten med at dette stigningstallet vokser jevnt med grunntallet – én verdi under $1$ og én over tvinger fram nøyaktig ett treff imellom.

Alle løsningsforslag til kapittel 6

Derivasjonsregler

Grunnreglene

Produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen

De spesielle funksjonene

Sinus og cosinus

Tallet e og den naturlige logaritmen

Linearisering

Oppgaver

Tallet $e$ og den naturlige logaritmen