Kapittel 6 · Grunnleggende kalkulus · 6.2

Den deriverte

Forrige seksjon spurte hva en funksjonsverdi nærmer seg; denne spør hvor fort den endrer seg. Kliniske tall står sjelden stille: akkommodasjonsamplituden faller med alderen, en brytningsfeil kan vokse gjennom skoleårene, og journalen skal fange begge deler. Den deriverte er matematikkens svar på «hvor fort?» – og svaret er, som varslet, en grense.

Endringsrate

Husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at stigningstallet til en rett linje er

a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}},

endringen i $y$ per enhet endring i $x$ . Samme kapittel brukte minimumsmodellen $A(t)=15-0.25\,t$ [10], der stigningstallet $-0.25$ sier at den minste forventede akkommodasjonsamplituden faller med en kvart dioptri per leveår. Et slikt tall kaller vi en endringsrate – og for en lineær funksjon er raten den samme uansett hvor på grafen du måler.

En krum graf har ingen slik felles rate, men vi kan alltid måle over et intervall. Den gjennomsnittlige endringsraten til $f$ fra $x_{1}$ til $x_{2}$ er

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}.

Geometrisk er dette et kjent tall: det er stigningstallet til sekanten, linjen gjennom de to punktene $(x_{1},f(x_{1}))$ og $(x_{2},f(x_{2}))$ på grafen. Gjennomsnittlig endringsrate er altså stigningstallsformelen ovenfor, anvendt på to punkter som ligger på en graf.

Eksempel 6.2.1

Bruk minimumsmodellen $A(t)=15-0.25\,t$ (dioptri, alder i år) til å finne den gjennomsnittlige endringsraten i akkommodasjonsamplitude mellom 20 og 40 år. Hva forteller fortegnet?

Løsning: Vi regner ut de to funksjonsverdiene og deler endringen på tidsrommet:

A(20)=15-5=10,\qquad A(40)=15-10=5,

\frac{A(40)-A(20)}{40-20}=\frac{5-10}{20}=\underline{\underline{$-0.25\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}}}.

Det negative fortegnet betyr at amplituden avtar med årene. Raten er nøyaktig stigningstallet $-0.25$ , og slik måtte det gå: modellen er lineær, så alle intervaller gir samme svar.

Fra sekant til tangent

For en krum graf er gjennomsnittet bare et gjennomsnitt. Se på $f(x)=x^{2}$ og fest det ene punktet i $(1,1)$ . Stadig kortere intervaller gir disse ratene:

intervall	$[1,\,2]$	$[1,\,1.5]$	$[1,\,1.1]$	$[1,\,1.01]$	$[1,\,1.001]$
rate	$3$	$2.5$	$2.1$	$2.01$	$2.001$

Ratene kryper mot $2$ – og det er ingen tilfeldighet, for du har regnet ut denne grensen før. Sekantstigningen fra $(1,1)$ til $(x_{2},x_{2}^{2})$ er

\frac{x_{2}^{2}-1}{x_{2}-1},

selveste hulleksempelet som åpnet kapittelet: brøken er udefinert i $x_{2}=1$ , siden to sammenfallende punkter ikke bestemmer noen linje, men grensen når $x_{2}\to 1$ er $2$ .

Linjen gjennom $(1,1)$ med dette grensestigningstallet kalles tangenten til grafen i punktet: linjen sekantene legger seg inntil når det andre punktet glir inn mot det første. Der sekanten skjærer grafen i to punkter, berører tangenten den i ett og følger kurvens retning akkurat der. Tangentens stigningstall kalles den momentane endringsraten – endringsraten i selve punktet.

Figur 6.4: Sekanter fra

(1,1)

til

(1.5,\ 2.25)

(2,\ 4)

, og tangenten i

(1,1)

Definisjonen av den deriverte

Det som fungerte i punktet $(1,1)$ , fungerer overalt. Fest punktet $x$ , og kall avstanden bort til det andre punktet $h$ , slik at sekanten går fra $(x,\ f(x))$ til $(x+h,\ f(x+h))$ . Sekantstigningen blir

\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

og tangentstigningen er grensen når $h$ går mot null.

Merk at $f^{\prime}$ selv er en funksjon: den svarer med tangentstigningen i hvert punkt du setter inn.

Eksempel 6.2.2

Bruk definisjonen til å derivere $f(x)=x^{2}$ , og kontroller svaret mot tabellen over sekantrater.

Løsning: Vi setter inn i definisjonen og bruker første kvadratsetning fra kapittelet om algebra:

	$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	$\displaystyle=\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$
		$\displaystyle=\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}$
		$\displaystyle=\frac{h(2x+h)}{h}=2x+h\quad\text{for }h\neq 0.$

Når $h\to 0$ , går $2x+h$ mot $2x$ , så

f^{\prime}(x)=\underline{\underline{2x}}.

Kontrollen stemmer: $f^{\prime}(1)=2$ , nettopp verdien sekantratene i tabellen krøp mot.

Den deriverte $f^{\prime}(x)=2x$ forteller mer enn tall: den er negativ for $x<0$ og positiv for $x>0$ – parabelen faller på vei inn mot bunnen og stiger etterpå. Mønsteret er helt generelt. Der $f^{\prime}(x)>0$ , er $f$ voksende; der $f^{\prime}(x)<0$ , er $f$ avtakende; og der $f^{\prime}(x)=0$ , er tangenten vannrett. Det siste tilfellet er mer enn et kuriosum: neste seksjon bruker det til å finne topp- og bunnpunkter.

Til slutt en skrivemåte du vil møte overalt der enheter spiller en rolle. Leibniz-notasjonen $\frac{df}{dx}$ betyr nøyaktig det samme som $f^{\prime}(x)$ og leses «den deriverte av $f$ med hensyn på $x$ ». Formen minner om opphavet: en endringsbrøk der intervallet har krympet inn i grensen. Styrken er at enhetene kan leses rett av brøken: måles $f$ i dioptrier og $x$ i år, får $\frac{df}{dx}$ enheten dioptri per år – som minimumsmodellens $\frac{dA}{dt}=$-0.25\text{\,}\mathrm{D}$$ per år.

Eksempel 6.2.3

Akkommodasjonsbehovet er $A=1/d$ dioptri når objektet står $d$ meter fra øyet (kapittelet om funksjoner og grafer). Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $\frac{dA}{dd}=-\frac{1}{d^{2}}$ , regn ut raten ved $d=$0.4\text{\,}\mathrm{m}$$ , og tolk fortegn og størrelse klinisk.

Løsning: Vi deriverer $f(d)=1/d$ fra definisjonen; differansen settes først på felles brøkstrek:

	$\displaystyle\frac{f(d+h)-f(d)}{h}$	$\displaystyle=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{d+h}-\frac{1}{d}\right)$
		$\displaystyle=\frac{1}{h}\cdot\frac{d-(d+h)}{d(d+h)}$
		$\displaystyle=\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{d(d+h)}=\frac{-1}{d(d+h)}.$

Når $h\to 0$ , går nevneren mot $d\cdot d$ , så

\frac{dA}{dd}=-\frac{1}{d^{2}}.

Ved $d=0.4$ er raten

-\frac{1}{0.4^{2}}=-\frac{1}{0.16}=\underline{\underline{$-6.25\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per meter}}}.

Fortegnet sier at behovet synker når objektet flyttes utover. Størrelsen sier hvor følsomt det er: ved leseavstanden $0.4\text{\,}\mathrm{m}$ svarer én centimeter til om lag $0.06\text{\,}\mathrm{D}$ , mens raten ved $d=$0.1\text{\,}\mathrm{m}$$ er $-1/0.1^{2}$ , altså $-100\text{\,}\mathrm{D}$ per meter – seksten ganger brattere. Det er hyperbelens bratte vegg fra forrige seksjon, nå med tall på: jo nærmere øyet, desto hardere straffes hver centimeter.

Oppgaver

Oppgave 6.2.1

La $f(x)=x^{3}$ .

a)

Regn ut den gjennomsnittlige endringsraten på intervallene $[1,\,2]$ , $[1,\,1.5]$ , $[1,\,1.1]$ og $[1,\,1.01]$ .
b)

Hvilken verdi ser ratene ut til å nærme seg?
c)

Hva heter linjen gjennom $(1,1)$ som har denne grenseverdien som stigningstall?

Løsningsforslag

Oppgave 6.2.1:

a)

Gjennomsnittlig endringsrate fra $x_{1}=1$ er $\frac{f(x_{2})-f(1)}{x_{2}-1}$ :

$\frac{2^{3}-1}{2-1}=7,\qquad\frac{1.5^{3}-1}{0.5}=\frac{2.375}{0.5}=4.75,$

$\frac{1.1^{3}-1}{0.1}=\frac{0.331}{0.1}=3.31,\qquad\frac{1.01^{3}-1}{0.01}=\frac{0.030301}{0.01}=3.0301.$

$\underline{\underline{7,\ 4.75,\ 3.31\ \text{og}\ 3.0301}}$
b)

Ratene kryper mot 3.
c)

Linjen gjennom $(1,1)$ med grenseverdien som stigningstall er tangenten til grafen i punktet.

Oppgave 6.2.2

La $f(x)=x^{2}+2x$ .

a)

Bruk definisjonen $f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ til å vise at $f^{\prime}(x)=2x+2$ . Vis hvert steg.
b)

I hvilket punkt er tangenten vannrett? Hva sier fortegnet til $f^{\prime}$ på hver side av punktet om grafen?

Løsningsforslag

Oppgave 6.2.2:

a)

Vi setter inn i definisjonen og bruker første kvadratsetning:

$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $\displaystyle=\frac{(x+h)^{2}+2(x+h)-(x^{2}+2x)}{h}$

$\displaystyle=\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h-x^{2}-2x}{h}$

$\displaystyle=\frac{h(2x+h+2)}{h}=2x+h+2\quad\text{for }h\neq 0.$

Når $h\to 0$ , går $2x+h+2$ mot $2x+2$ , så $f^{\prime}(x)=2x+2$ , som skulle vises.
b)

Tangenten er vannrett der $f^{\prime}(x)=0$ , altså $2x+2=0$ , som gir $x=-1$ og $f(-1)=1-2=-1$ : punktet er $\underline{\underline{(-1,\ -1)}}$ . For $x<-1$ er $f^{\prime}(x)<0$ , så grafen er avtakende; for $x>-1$ er $f^{\prime}(x)>0$ , så grafen er voksende – punktet er bunnen av parabelen.

Oppgave 6.2.3

Hos et barn med myopi (nærsynthet – øyet samler lyset foran netthinnen, og korreksjonen har minusstyrke) er refraksjonen – brytningsfeilen uttrykt som korreksjonsstyrken i dioptrier – $-1.00\text{\,}\mathrm{D}$ ved 8 år og $-2.50\text{\,}\mathrm{D}$ ved 11 år.

a)

Finn den gjennomsnittlige endringsraten i dioptri per år, og forklar hva fortegnet betyr.
b)

Anta at utviklingen fortsetter lineært med samme rate. Hvilken refraksjon venter du ved 14 år?

Løsningsforslag

Oppgave 6.2.3:

a)

Gjennomsnittlig endringsrate:

$\frac{-2.50-(-1.00)}{11-8}=\frac{-1.50}{3}=\underline{\underline{$-0.50\text{\,}\mathrm{D}$\ \text{per \r{a}r}}}.$

Det negative fortegnet betyr at refraksjonen blir mer negativ for hvert år – myopien øker.
b)

Tre år videre med samme rate:

$-2.50+3\cdot(-0.50)=\underline{\underline{$-4.00\text{\,}\mathrm{D}$}}.$

Oppgave 6.2.4

En kollega ser på tallene fra forrige oppgave og sier: «Omtrent en halv dioptri i året – helt vanlig for skolebarn.» En metaanalyse av barn i byer som brukte enkeltstyrkebriller (vanlige briller med samme styrke i hele glasset) anslo den årlige myopiprogresjonen ved gjennomsnittlig startalder $9.3$ år til $-0.55\text{\,}\mathrm{D}$ i grupper av overveiende europeisk opphav og $-0.82\text{\,}\mathrm{D}$ i grupper av asiatisk opphav; ratene avtok med økende startalder [45, s. 27].

a)

Vurder kollegaens påstand mot raten du regnet ut og mot de to gruppegjennomsnittene.
b)

Raten din er et gjennomsnitt over tre år. Nevn noe et slikt gjennomsnitt kan skjule, og forklar forskjellen på gjennomsnittlig og momentan endringsrate med dette eksempelet.

Løsningsforslag

Oppgave 6.2.4:

a)

Raten fra forrige oppgave er $-0.50\text{\,}\mathrm{D}$ per år, så «omtrent en halv dioptri i året» stemmer med utregningen. Tallet ligger like under det laveste av de to gruppegjennomsnittene metaanalysen oppgir ( $-0.55\text{\,}\mathrm{D}$ og $-0.82\text{\,}\mathrm{D}$ per år ved gjennomsnittlig startalder $9.3$ år). Kollegaens påstand er altså rimelig: progresjonen er ikke uvanlig rask for et skolebarn med enkeltstyrkebriller. Merk likevel hva sammenligningen er og ikke er: et gruppegjennomsnitt sier hva et gjennomsnittlig barn gjorde, ikke hvor grensen for «rask progresjon» går – det finnes ingen normtabell for dioptri per år å lese av slik man leser av en vekstkurve.
b)

Gjennomsnittet er sekantstigningen fra 8 til 11 år og kan skjule at progresjonen var ujevn – for eksempel $-1.00\text{\,}\mathrm{D}$ det første året og lite de to neste. Den gjennomsnittlige endringsraten måles over et intervall, mens den momentane endringsraten er tangentens stigningstall ved én bestemt alder; er progresjonen i ferd med å bremse eller akselerere, kan den momentane raten ved 11 år avvike fra gjennomsnittet $-0.50\text{\,}\mathrm{D}$ per år.

Alle løsningsforslag til kapittel 6

	$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$	$\displaystyle=\frac{(x+h)^{2}+2(x+h)-(x^{2}+2x)}{h}$
		$\displaystyle=\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h-x^{2}-2x}{h}$
		$\displaystyle=\frac{h(2x+h+2)}{h}=2x+h+2\quad\text{for }h\neq 0.$