Kapittel 7 · Mekanikk og bevegelse · 7.2

Newtons lover

Forrige seksjon beskrev bevegelse – posisjon, hastighet, akselerasjon – uten å spørre hva som forårsaker den. Nå spør vi. Svaret er tre lover formulert av Newton, og de knytter bevegelsen til krefter: det som får en gjenstand til å endre farten sin. Den sentrale størrelsen er akselerasjonen fra forrige seksjon, $a=\frac{dv}{dt}$ ; Newtons andre lov sier nettopp hva som bestemmer den.

Kraft og Newtons første lov

En kraft er en påvirkning som kan endre bevegelsen til en gjenstand – et dytt, et drag, et fall. Vi skriver kraften $F$ . Merk skiftet i betydning: i vektorkapittelet var $F$ glasstyrken i dioptri i Prentice’ regel; her, og resten av dette kapittelet, er $F$ en kraft, målt i newton (definert straks nedenfor). Sammenhengen fanges av kapittelets første viktig-boks.

Newtons første lov sier hva som skjer når ingen kraft – mer presist, ingen resultantkraft – virker:

Dette bryter med hverdagserfaringen, der ting som settes i bevegelse etter hvert stopper. Grunnen er at de ikke er kraftfrie: friksjon og luftmotstand virker på dem. Fjerner du de kreftene – en kloss på en isflate, en stein i verdensrommet – fortsetter bevegelsen av seg selv. Motstanden mot å endre bevegelsestilstand kaller vi treghet, og den er større jo mer masse gjenstanden har.

Ordet resultantkraft er nøkkelen, for flere krefter kan virke samtidig. En kraft har både størrelse og retning – den er en vektor, slik du så i vektorkapittelet – og virker flere krefter på samme gjenstand, er det vektorsummen som teller. Vi kaller den resultantkraften $\vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\dots$ , og legger den sammen komponentvis, akkurat som du la sammen prismevektorer. Newtons første lov gjelder når $\vec{F}_{\text{res}}=\vec{0}$ : kreftene kan være mange, så lenge de opphever hverandre. En bok som ligger stille på et bord, trekkes ned av tyngden og skyves like hardt opp av bordet; de to kreftene summerer til null, og boken blir liggende.

Et frilegemediagram er tegningen som gjør dette håndterbart: du isolerer én gjenstand, tegner den som en prikk eller en liten figur, og tegner hver kraft som virker på den som en pil ut fra den, merket med kraftens navn.

Figur 7.3: Frilegemediagram for en kloss som dras mot høyre av kraften

\vec{F}_{1}

og bremses av friksjonskraften

\vec{F}_{f}

, mens tyngden

\vec{G}

trekker ned og normalkraften

\vec{N}

fra underlaget skyver opp.

For at klossen skal ligge i ro loddrett, må $\vec{N}$ og $\vec{G}$ oppheve hverandre; om den skal ligge i ro også vannrett, må $\vec{F}_{1}$ og $\vec{F}_{f}$ det samme. Er $\vec{F}_{1}$ større enn $\vec{F}_{f}$ , er resultantkraften mot høyre ulik null, og da – ifølge den neste loven – akselererer klossen.

Newtons andre lov

Newtons andre lov sier hvor mye en resultantkraft akselererer en gjenstand:

Størrelsen $m$ er massen, målt i kilogram ( $\mathrm{kg}$ ), grunnenheten for masse fra kapittelet om tall, enheter og størrelser. Massen er treghetens mål: tallfestingen av hvor sterkt en gjenstand motsetter seg å bli akselerert. Loven forklarer også første lov som et grensetilfelle: er $\vec{F}_{\text{res}}=\vec{0}$ , er $\vec{a}=\vec{0}$ , og hastigheten holder seg konstant.

Langs én rett linje kan vi droppe vektorpilene og regne med fortegn, slik vi gjorde med hastighet og akselerasjon. Da skrives loven $F=ma$ , og den definerer enheten for kraft. Setter du inn masse i $\mathrm{kg}$ og akselerasjon i $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ , får kraften enheten newton ( $\mathrm{N}$ ):

$1\text{\,}\mathrm{N}$=$1\text{\,}\mathrm{kg}$\cdot$1\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=$1\text{\,}\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$.

Én newton er altså den kraften som gir én kilogram en akselerasjon på én meter per sekund i annen. Enheten bærer sin egen definisjon i seg: hver gang du er i tvil, kan du lese $\mathrm{N}$ som $\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ og la enhetene følge med gjennom regningen, akkurat som i kapittelet om størrelser.

Eksempel 7.2.1

Du dytter et instrumentbrett på hjul med masse $m=$2.0\text{\,}\mathrm{kg}$$ slik at det får akselerasjonen $a=$3.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ . Hvor stor er resultantkraften du må bruke?

Løsning: Newtons andre lov gir kraften direkte som masse ganger akselerasjon.

F=ma=2.0\ \text{kg}\cdot 3.0\ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}=6.0\ \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}=\underline{\underline{$6.0\text{\,}\mathrm{N}$}}.

Enhetene bekrefter svaret: $\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ er newton, så tallet $6.0$ er en kraft i newton, ikke noe annet.

Masse og tyngde

En viktig anvendelse av andre lov er tyngdekraften. I forrige seksjon så du at et fritt fallende legeme nær jorda får den konstante akselerasjonen $g\approx$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ . Etter Newtons andre lov må det da virke en kraft på det, og den kaller vi tyngden (eller tyngdekraften) $G$ :

G=mg.

Tyngden er kraften jordas tyngdefelt utøver på massen, målt i newton som enhver annen kraft.

Her ligger en av de vanligste forvirringene i all fysikk, så den fortjener en egen boks.

Eksempel 7.2.2

En person med masse $m=$70\text{\,}\mathrm{kg}$$ står i en heis. Underlaget skyver opp på personen med en normalkraft $N$ , og denne kraften er det en vekt under føttene ville vist – den tilsynelatende vekten. (a) Hvor stor er $N$ når heisen står stille? (b) Hvor stor er $N$ når heisen akselererer oppover med $a=$1.5\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ ? Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

Løsning: To krefter virker loddrett på personen: normalkraften $N$ oppover og tyngden $G=mg$ nedover. Regner vi oppover som positiv retning, er resultantkraften $N-mg$ , og Newtons andre lov gir $N-mg=ma$ , altså $N=m(g+a)$ .

Når heisen står stille, er $a=0$ :

N=mg=70\cdot 9.81\ $\mathrm{N}$=\underline{\underline{$686.7\text{\,}\mathrm{N}$}}.

Når heisen akselererer oppover, er $a=$1.5\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ :

N=m(g+a)=70\,(9.81+1.5)\ $\mathrm{N}$=70\cdot 11.31\ $\mathrm{N}$\approx\underline{\underline{$792\text{\,}\mathrm{N}$}}.

Normalkraften er større enn tyngden mens heisen akselererer oppover – derfor føler du deg tyngre i det heisen setter i gang. Massen din er hele tiden $70\text{\,}\mathrm{kg}$ ; det er kraften under føttene, ikke massen, som endrer seg.

Newtons tredje lov

De to første lovene handler om kreftene på én gjenstand. Den tredje handler om at krefter alltid opptrer i par mellom to gjenstander:

At de to kreftene virker på hver sin gjenstand, er avgjørende – ellers ville de opphevet hverandre og ingenting kunne akselerert. Når du dytter fra deg mot en vegg, dytter veggen like hardt tilbake på deg, og det er veggens kraft på deg som setter deg i bevegelse. Når du står på gulvet, trykker føttene dine ned på gulvet, og gulvet trykker like hardt opp på deg – det er den oppadrettede normalkraften fra forrige eksempel.

Denne loven forklarer også hvorfor $g$ er masseuavhengig, spørsmålet forrige seksjon lot stå åpent. Tyngden på en gjenstand er $G=mg$ , proporsjonal med massen $m$ : dobler du massen, dobles kraften. Men akselerasjonen er $a=G/m=mg/m=g$ – massen forkortes bort, og alle gjenstander faller med samme $g$ uansett hvor tunge de er. Den tunge steinen kjenner en større tyngdekraft, men har akkurat like mye mer treghet å overvinne, og de to effektene opphever hverandre nøyaktig.

Eksempel 7.2.3

En kloss med masse $m=$3.0\text{\,}\mathrm{kg}$$ ligger på et friksjonsfritt skråplan med helningsvinkel $θ=25°$ . Finn akselerasjonen klossen glir med, og normalkraften fra planet. Bruk $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .

Løsning: Vi tegner et frilegemediagram og dekomponerer tyngden $\vec{G}=m\vec{g}$ i én komponent langs planet og én normalt på det – samme vektordekomposisjon som i vektorkapittelet, nå med tyngden som vektoren.

Figur 7.4: Tyngden dekomponert langs skråplanet og normalt på det; bare komponenten langs planet driver klossen nedover.

Komponenten langs planet er $mg\sin\theta$ ; den er den eneste kraften langs planet (underlaget er friksjonsfritt), så den er resultantkraften der. Newtons andre lov gir da akselerasjonen:

a=mgsinθm=gsinθ=9.81⋅sin25°≈4.15 m s−2.

Massen forkortes bort – akselerasjonen ned et friksjonsfritt skråplan avhenger ikke av hvor tung klossen er, av samme grunn som fritt fall ikke gjør det. Normalt på planet ligger klossen i ro, så normalkraften $N$ oppveier den normale tyngdekomponenten:

N=mgcosθ=3.0⋅9.81⋅cos25°≈26.7 N.

Legg merke til at $N$ er mindre enn hele tyngden $mg=$29.4\text{\,}\mathrm{N}$$ : bare komponenten $mg\cos\theta$ presser mot planet, mens komponenten langs planet driver klossen nedover.

Anvendelse: trykk og tonometri

Krefter virker ofte fordelt over et areal, ikke i ett punkt. Da er det ikke bare kraftens størrelse som teller, men hvor tett den er pakket – kraft per areal. Denne størrelsen kaller vi trykket $p$ :

p=\frac{F}{A},

der $F$ er kraften vinkelrett på flaten og $A$ er arealet den er fordelt over. Merk symbolet: $p$ betyr trykk her. Enheten for trykk er pascal ( $\mathrm{Pa}$ ), og den følger av definisjonen: kraft i newton delt på areal i kvadratmeter,

$1\text{\,}\mathrm{Pa}$=$1\text{\,}\mathrm{N}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Trykket forklarer hvorfor en liten kraft fordelt over et bittelite areal kan gi høyt trykk: samme kraft på et tiendedels areal gir ti ganger trykket. Det er dette som gjør at en beskjeden kraft kan brukes til å måle noe så følsomt som trykket inne i øyet.

Intraokulært trykk (IOP) er trykket væsken inne i øyet står under – kraften den utøver per areal mot øyets vegger. Klinisk oppgis IOP i millimeter kvikksølv ( $\mathrm{mmHg}$ ), en trykkenhet fra kvikksølvmanometeret; broen til SI-enheten [47] er

$1\text{\,}\mathrm{mmHg}$=$133.322\text{\,}\mathrm{Pa}$.

Et normalt IOP ligger mellom om lag $10$ og $21\text{\,}\mathrm{mmHg}$ [51]; verdier over dette regnes som forhøyet og er en risikofaktor for glaukom [52]. Å måle IOP presist er derfor daglig arbeid i klinikken – og måleprinsippet er nettopp $p=F/A$ .

Det vanligste instrumentet er Goldmann applanasjonstonometer. Det trykker et lite, flatt prisme mot hornhinnen og flater ut – applanerer – et sirkulært område av bestemt størrelse, mens det måler kraften $F$ som trengs. Måleprinsippet er Imbert–Fick-prinsippet: for en sfærisk flate uten tykkelse og uten egen stivhet, og der ingen andre krefter virker inn, er kraften som skal til for å flate ut et areal $A$ , lik det innvendige trykket ganger arealet, altså $F=pA$ [53, 54], eller løst for trykket:

p=\frac{F}{A}.

Instrumentet applanerer en flate med diameter $d=$3.06\text{\,}\mathrm{mm}$$ [53], som gir applanasjonsarealet

A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\pi\,($1.53\text{\,}\mathrm{mm}$)^{2}\approx$7.35\text{\,}{\mathrm{mm}}^{2}$=$7.35\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$.

Denne diameteren er ikke tilfeldig valgt, som neste eksempel viser.

Eksempel 7.2.4

Ved en Goldmann-måling flates et hornhinneareal med diameter $d=$3.06\text{\,}\mathrm{mm}$$ ut, og instrumentet måler at det trengs en kraft $F=$9.81\text{\,}\mathrm{mN}$$ . (a) Finn det intraokulære trykket, først i pascal og så i $\mathrm{mmHg}$ . (b) Vis at nettopp denne diameteren gjør avlesningen praktisk: at en påført kraft tilsvarende et lodd på $1\text{\,}\mathrm{g}$ svarer til et trykk på $10\text{\,}\mathrm{mmHg}$ .

Løsning: Måleprinsippet er Imbert–Fick, $p=F/A$ , med applanasjonsarealet $A\approx$7.35\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$$ regnet ut over.

For (a) setter vi kraften inn ( $9.81\text{\,}\mathrm{mN}$ $=$9.81\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{N}$$ ):

p=\frac{F}{A}=\frac{$9.81\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{N}$}{$7.35\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}\approx$1334\text{\,}\mathrm{Pa}$.

Regnet om til kliniske enheter med $1\text{\,}\mathrm{mmHg}$=$133.322\text{\,}\mathrm{Pa}$ :

p=\frac{1334}{133.322}\ $\mathrm{mmHg}$\approx\underline{\underline{$10\text{\,}\mathrm{mmHg}$}}.

Det ligger midt i normalintervallet $10$ – $21\text{\,}\mathrm{mmHg}$ .

For (b): et lodd på $1\text{\,}\mathrm{g}$ $=$0.001\text{\,}\mathrm{kg}$$ har tyngden $G=mg=0.001\cdot 9.81\ $\mathrm{N}$=$9.81\text{\,}\mathrm{mN}$$ – nettopp kraften i (a). Det er sammenhengen instrumentet er kalibrert etter: ved diameteren $3.06\text{\,}\mathrm{mm}$ svarer én gram-vekt til $10\text{\,}\mathrm{mmHg}$ [55]. Da leser instrumentets skala IOP direkte i tiere av $\mathrm{mmHg}$ per gram påført kraft, uten mellomregning. Her møtes seksjonens to størrelser i én måling: en kraft i newton, oversatt til et trykk i $\mathrm{mmHg}$ gjennom arealet – det er hele grunnen til at et bittelite lodd kan måle trykket inne i øyet.

Oppgaver

Oppgave 7.2.1

Du dytter et kontaktlinse-etui med masse $m=$0.045\text{\,}\mathrm{kg}$$ bortover et glatt bord slik at det får akselerasjonen $a=$2.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ . Finn den resulterende kraften på etuiet, og vis ved enhetsanalyse at svaret får enheten newton.

Løsningsforslag

Oppgave 7.2.1: Newtons andre lov gir resultantkraften direkte som masse ganger akselerasjon:

F=ma=0.045\ \text{kg}\cdot 2.0\ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}=\underline{\underline{$0.090\text{\,}\mathrm{N}$}}.

Enhetsanalysen: massen bærer $\mathrm{kg}$ og akselerasjonen $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ , så produktet får enheten $\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ – og det er per definisjon nettopp $\mathrm{N}$ , siden $1\text{\,}\mathrm{N}$=$1\text{\,}\mathrm{kg}\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$ . Kontroll: $a=F/m=0.090/0.045\ $\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$=$2.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ , som oppgitt.

Oppgave 7.2.2

En liten gjenstand har masse $m=$0.20\text{\,}\mathrm{kg}$$ .

a)

Regn ut tyngden $G=mg$ på jorda, med $g=$9.81\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ .
b)

Hva er massen på månen, der $g_{\text{m\r{a}ne}}\approx$1.62\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$$ [57]?
c)

Regn ut tyngden på månen, og forklar med én setning hvorfor massen er uendret mens tyngden endres.

Løsningsforslag

Oppgave 7.2.2:

a)

Tyngden på jorda er

$G=mg=0.20\cdot 9.81\ $\mathrm{N}$=\underline{\underline{$1.96\text{\,}\mathrm{N}$}}.$
b)

Massen er en egenskap ved gjenstanden selv og er den samme overalt i universet: $0.20\text{\,}\mathrm{kg}$ – også på månen.
c)

Tyngden på månen er

$G_{\text{m\r{a}ne}}=mg_{\text{m\r{a}ne}}=0.20\cdot 1.62\ $\mathrm{N}$=\underline{\underline{$0.32\text{\,}\mathrm{N}$}}.$

Massen er uendret fordi den måler gjenstandens treghet – en egenskap ved gjenstanden selv – mens tyngden $G=mg$ er en kraft som avhenger av tyngdeakselerasjonen $g$ på stedet, og $g$ er mindre på månen.

Oppgave 7.2.3

En kloss med masse $m=$4.0\text{\,}\mathrm{kg}$$ påvirkes langs én akse av to drivkrefter i samme retning, $6.0\text{\,}\mathrm{N}$ og $4.0\text{\,}\mathrm{N}$ , mens en motkraft på $2.0\text{\,}\mathrm{N}$ virker motsatt vei.

a)

Tegn et frilegemediagram med de tre kreftene som piler.
b)

Finn resultantkraften langs aksen.
c)

Finn akselerasjonen, med tallverdi, enhet og retning.

Løsningsforslag

Oppgave 7.2.3:

a)

Vi isolerer klossen og tegner de tre kreftene langs aksen som piler ut fra den: de to drivkreftene mot høyre og motkraften mot venstre.
b)

Langs én akse regner vi med fortegn, med drivkreftenes retning som positiv:

$F_{\text{res}}=6.0+4.0-2.0\ $\mathrm{N}$=\underline{\underline{$8.0\text{\,}\mathrm{N}$}}$

i drivkreftenes retning.
c)

Newtons andre lov gir

$a=\frac{F_{\text{res}}}{m}=\frac{8.0\ $\mathrm{N}$}{4.0\ $\mathrm{kg}$}=\underline{\underline{$2.0\text{\,}\mathrm{m}\text{\,}{\mathrm{s}}^{-2}$}},$

rettet samme vei som resultantkraften – altså i drivkreftenes retning. Kontroll: $ma=4.0\cdot 2.0\ $\mathrm{N}$=$8.0\text{\,}\mathrm{N}$=F_{\text{res}}$ .

Oppgave 7.2.4

Ved Goldmann applanasjonstonometri flates et hornhinneareal med diameter $d=$3.06\text{\,}\mathrm{mm}$$ ut, og instrumentet måler kraften $F$ som trengs. Imbert–Fick-prinsippet gir $p=F/A$ .

a)

Regn ut applanasjonsarealet $A$ .
b)

En måling gir $F=$20.6\text{\,}\mathrm{mN}$$ . Finn trykket i pascal, og regn om til $\mathrm{mmHg}$ med $1\text{\,}\mathrm{mmHg}$=$133.322\text{\,}\mathrm{Pa}$ .
c)

Ligger dette IOP-et innenfor det normale intervallet $10$ – $21\text{\,}\mathrm{mmHg}$ ? Vurder hva du ville rådet pasienten til.
d)

Imbert–Fick-prinsippet forutsetter en tynn hornhinne (se rammen over). Vurder hva som skjer med Goldmann-avlesningen hos en pasient med uvanlig tykk hornhinne: blir det målte trykket systematisk for høyt eller for lavt, og hva betyr det for hvordan du tolker et tall like over grensen på $21\text{\,}\mathrm{mmHg}$ ?

Løsningsforslag

Oppgave 7.2.4:

a)

Applanasjonsarealet er en sirkel med radius $d/2=$1.53\text{\,}\mathrm{mm}$$ :

$A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\pi\,($1.53\text{\,}\mathrm{mm}$)^{2}\approx\underline{\underline{$7.35\text{\,}{\mathrm{mm}}^{2}$}}=$7.35\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$.$
b)

Med $F=$20.6\text{\,}\mathrm{mN}$=$20.6\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{N}$$ gir Imbert–Fick-prinsippet

$p=\frac{F}{A}=\frac{$20.6\text{\times}{10}^{-3}\text{\,}\mathrm{N}$}{$7.35\text{\times}{10}^{-6}\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}\approx\underline{\underline{$2801\text{\,}\mathrm{Pa}$}},$

og omregnet til kliniske enheter

$p=\frac{2803}{133.322}\ $\mathrm{mmHg}$\approx\underline{\underline{$21.0\text{\,}\mathrm{mmHg}$}}.$

Kontroll med seksjonens gram-regel: $20.6\text{\,}\mathrm{mN}$ svarer til $20.6/9.81=2.10$ gram påført kraft, altså $21.0\text{\,}\mathrm{mmHg}$ – samme svar.
c)

Verdien ligger akkurat på øvre grense av normalintervallet $10$ – $21\text{\,}\mathrm{mmHg}$ – innenfor, men uten margin. Et fornuftig råd er ikke å konkludere fra én måling: gjenta målingen (gjerne på et annet tidspunkt, siden IOP varierer), og følg opp verdien før noe mer sies til pasienten.
d)

En uvanlig tykk hornhinne er stivere enn kalibreringen forutsetter, så det trengs mer kraft for å flate ut arealet enn det indre trykket alene tilsier – avlesningen blir systematisk for høy. Et tall like over $21\text{\,}\mathrm{mmHg}$ hos en pasient med tykk hornhinne kan derfor svare til et reelt IOP innenfor normalintervallet; tallet bør tolkes i lys av hornhinnetykkelsen før det kalles forhøyet.

Alle løsningsforslag til kapittel 7