Kapittel 15 · Optiske hjelpemidler · 15.1

Brilleglass: form, materiale og egenskaper

Et brilleglass er ikke bare en styrke. Det er en fysisk skive med en form (to krumme flater og en tykkelse), et materiale (med sin egen brytningsindeks, dispersjon og tetthet) og en rekke egenskaper – vekt, tykkelse, reflekser, fargesøm – som følger av de to første. Resepten fastlegger bare styrken; alt det andre er valg som optikeren og pasienten tar sammen, og hvert valg har en fysisk konsekvens som denne seksjonen gjør rede for. Vi tar dem i tur: først hvilken styrke resepten egentlig navngir, så materialet, så hvordan form og materiale sammen bestemmer tykkelse og vekt, og til slutt flatenes form, beleggene og den lille forstørrelsen glasset gir.

Hvilken styrke resepten navngir

Så langt i boka har et «glass med styrke $P$ » vært en uendelig tynn linse. Et virkelig brilleglass er en tykk linse med to brytende flater og en målbar tykkelse mellom dem. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at hver flate har sin flatestyrke $P=(n_{2}-n_{1})/r$ ; vi kaller frontflatens styrke $F_{1}$ og bakflatens $F_{2}$ , og glasset har tykkelsen $d$ og brytningsindeksen $n$ . Spørsmålet er hvilket ett tall som skal stå på resepten – for et tykt glass finnes det flere kandidater som ikke er like.

Den enkleste kandidaten er den nominelle summen $F_{1}+F_{2}$ , altså det de to flatene ville gitt til sammen om glasset var uendelig tynt. En bedre er ekvivalentstyrken, som du møtte for hornhinnen i kapittelet om øyets fysikk: kjeder du de to flatene med den reduserte avstanden $d/n$ mellom dem, blir den sammensatte styrken

P=F_{1}+F_{2}-\frac{d}{n}\,F_{1}F_{2}.

Ekvivalentstyrken er glassets prinsipale styrke – den forteller hvor sterkt systemet bryter målt fra sine egne hovedplan, planene gjennom de hovedpunktene du møtte for det tykke øyet i kapittelet om øyets fysikk, der et tykt system oppfører seg som om all brytningen satt. Men et fokimeter måler ikke fra hovedplanet. Det legger glassets bakflate mot en anleggsflate og måler avstanden derfra til der parallelt lys samles. Den omvendte av den avstanden er den bakre toppunktstyrken

P^{\prime}_{v}=F_{2}+\frac{F_{1}}{1-\frac{d}{n}F_{1}}.

Snur du glasset og måler fra frontflaten i stedet, får du den fremre toppunktstyrken $P_{v}=F_{1}+\frac{F_{2}}{1-\frac{d}{n}F_{2}}$ . Overbevis deg om at alle fire uttrykkene – nominell sum, ekvivalentstyrke, bakre og fremre toppunktstyrke – kollapser til det samme tallet når $d\to 0$ : da forsvinner tykkelsesleddene, og den tynne linsen kjenner ingen forskjell på front og bak.

For et tykt glass er de derimot genuint forskjellige. Ta et plussglass med $F_{1}=$12.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , $F_{2}=$-6.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , tykkelse $d=$4\text{\,}\mathrm{mm}$$ og $n=1.5$ , slik at den reduserte tykkelsen er $d/n=$4\text{\,}\mathrm{mm}$/1.5=$2.667\text{\,}\mathrm{mm}$=$0.002\,667\text{\,}\mathrm{m}$$ :

	nominell sum	$\displaystyle=F_{1}+F_{2}=$6.000\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle P$	$\displaystyle=6-0.002667\cdot 12\cdot(-6)\ $\mathrm{D}$=$6.192\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle P^{\prime}_{v}$	$\displaystyle=-6+\frac{12}{1-0.002667\cdot 12}\ $\mathrm{D}$=-6+\frac{12}{0.968}\ $\mathrm{D}$=$6.397\text{\,}\mathrm{D}$,$
	$\displaystyle P_{v}$	$\displaystyle=12+\frac{-6}{1-0.002667\cdot(-6)}\ $\mathrm{D}$=$6.094\text{\,}\mathrm{D}$.$

Fire ulike tall for det samme glasset, og forskjellen er ren tykkelseseffekt – akkurat samme fysikk som vertex-avstanden lenger ned i seksjonen. Konvensjonen er entydig: den styrken som oppgis for et brilleglass, er den bakre toppunktstyrken [216, punkt 3.11.2]. Et fokimeter måler toppunktstyrken til den flaten som ligger mot instrumentets anleggsflate, så det er bakflaten du legger inntil [216, punkt 3.7] – den samme flaten som vender mot øyet når brillen sitter på. Toleransene et ferdig, innsatt glass kontrolleres mot resepten med, er derfor gitt for bakre toppunktstyrke, verifisert med fokimeter [217, punkt 1, 5.3.1 og 5.3.2].

Materiale: brytningsindeks, Abbe-tall og tetthet

Tre materialtall avgjør det meste av hvordan et glass oppfører seg. Brytningsindeksen $n$ bestemmer hvor kraftig hver flate bryter for en gitt krumning, og dermed hvor tynt glasset kan slipes. Husk fra kapittelet om geometrisk optikk at Abbe-tallet $\nu=(n_{d}-1)/(n_{F}-n_{C})$ måler dispersjonen – høyt Abbe-tall betyr lite fargesøm. Det tredje tallet er tettheten, massen per volum, som sammen med tykkelsen avgjør vekten. Tabellen samler typiske verdier for de vanligste brilleglass-materialene:

Materiale	$n$ (omtrent)	$\nu$ (omtrent)	tetthet ( $\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ )
kroneglass [6, s. 4–6]	$1.523$	$59$	$2.54$
CR-39-plast [6, s. 4–6]	$1.498$	$58$	$1.32$
Trivex [6, s. 4–6]	$1.530$	$43$ [218, s. 10]	$1.11$
polykarbonat [6, s. 4–6]	$1.586$	$30$	$1.20$
mid-indeks [218, s. 10]	$1.60$	$42$	$1.31$
høyindeksplast [218, s. 10]	$1.67$	$32$	$1.36$
høyindeksplast [218, s. 10]	$1.74$	$33$	$1.47$
høyindeksglass [218, s. 38]	$1.80$	$35$	$3.7$

Verdiene varierer noe mellom produsenter – særlig Abbe-tallene for høyindeksmaterialene spriker et par enheter – så les dem som størrelsesorden, ikke fasit. Legg merke til at den siste raden er mineralsk glass. De alminnelige høyindeksplastene topper på $1.74$ [218, s. 10], og det høyest brytende plastmaterialet som finnes, er ett enkelt $1.76$ -materiale fra én produsent [219]; over det finnes materialene bare som mineralsk glass, med indekser opp mot $1.90$ [218, s. 38]. Der klatrer tettheten bratt: $3.7\text{\,}\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ mot $1.47\text{\,}\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ for $1.74$ -plast. Legg samtidig merke til at glasset har et høyere Abbe-tall enn de tynne plastmaterialene, tross høyere indeks – ved samme indeks gir glass som regel mindre fargesøm enn plast, men betaler for det i vekt. Et $1.80$ -glass blir riktignok tynnest av alle materialene i tabellen, men det veier likevel nesten to og en halv ganger så mye som et $1.74$ -plastglass med samme resept, og litt mer enn et vanlig kroneglass – vektgevinsten tynnheten skulle gi, spises opp av tettheten. Derfor ser du $1.80$ bare ved svært høye styrker.

Tabellen skjuler et par sammenhenger det er verdt å trekke fram. Den ene kjenner du fra kapittelet om geometrisk optikk: jo høyere brytningsindeks, desto tynnere glass, men desto lavere Abbe-tall som regel – polykarbonat og de tynne høyindeksmaterialene ligger rundt halvparten av kroneglassets Abbe-tall, altså dobbelt så sterk dispersjon og synligere fargesøm i periferien. Den transverse kromatiske aberrasjonen $\text{TCA}=c\,F/\nu$ fra samme kapittel sier presist hvor: langt fra senteret, i sterke glass, med lavt Abbe-tall. Den andre sammenhengen er at $n$ og tetthet er to uavhengige akser. Trivex bryter omtrent som kroneglass, men har lavest tetthet av alle i tabellen og et pent Abbe-tall på rundt $43$ – klart bedre enn polykarbonatens $30$ . Det er derfor «lettest» og «tynnest» ikke trenger å være samme materiale, som neste underemne viser i tall.

Eksempel 15.1.1

Et brilleglass-materiale har brytningsindeksene $n_{d}=1.586$ , $n_{F}=1.596$ og $n_{C}=1.576$ ved de tre Fraunhofer-linjene. Regn ut Abbe-tallet, og avgjør hvilket materiale i tabellen dette er.

Løsning: Vi setter rett inn i definisjonen fra kapittelet om geometrisk optikk.

\nu=\frac{n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}=\frac{1.586-1}{1.596-1.576}=\frac{0.586}{0.020}=\underline{\underline{29.3}}.

Et Abbe-tall like under $30$ og en indeks på $1.586$ peker på polykarbonat – materialet med kraftigst dispersjon i tabellen.

Tykkelse og vekt

Hvor tykt blir egentlig et glass? For et minusglass er senteret tynt og kanten tykk; for et plussglass er det motsatt. Vi kan tallfeste forskjellen med to formler du alt har. Husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at en sfærisk flate med krumningsradius $r$ har pilhøyden $s=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}$ , som paraksialt – for en halvdiameter $y$ som er liten mot $r$ – blir $s\approx y^{2}/(2r)$ . Og husk fra kapittelet om geometrisk optikk at flatestyrken knytter radius til styrke: frontflaten (luft $\to$ glass) har $F_{1}=(n-1)/r_{1}$ , altså $1/r_{1}=F_{1}/(n-1)$ . Setter vi det inn, blir frontflatens pilhøyde

s_{1}\approx\frac{y^{2}}{2r_{1}}=\frac{F_{1}\,y^{2}}{2(n-1)}.

Bakflaten går motsatt vei (glass $\to$ luft) og har derfor $F_{2}=(1-n)/r_{2}$ – samme fortegnsasymmetri som i kapittelet om geometrisk optikk – slik at $1/r_{2}=-F_{2}/(n-1)$ og pilhøyden blir $s_{2}\approx-F_{2}\,y^{2}/(2(n-1))$ . Tykkelsen ved halvdiameteren $y$ er $t=t_{\text{senter}}+s_{2}-s_{1}$ , og de to fortegnsvendingene gjør at differansen mellom de to flatenes pilhøyder samler seg til glassets samlede styrke $F=F_{1}+F_{2}$ . Med $y$ i millimeter og $F$ i dioptri gir dette forskjellen i millimeter:

t_{\text{kant}}-t_{\text{senter}}=\frac{\lvert F\rvert\,y^{2}}{2000\,(n-1)}.

Legg merke til hva som ikke står her: basiskurven. I den paraksiale tilnærmingen avhenger tykkelsesoppbyggingen bare av den samlede styrken, halvdiameteren og materialet – ikke av hvordan styrken er fordelt på de to flatene. For et minusglass legger dette seg til den nødvendige minste sentertykkelsen; for et plussglass gjelder samme uttrykk for hvor mye senteret bygger seg opp over kanten.

La oss regne på en typisk sterk minusresept: $-6.00\text{\,}\mathrm{D}$ , slipt til diameter $50\text{\,}\mathrm{mm}$ (halvdiameter $y=$25\text{\,}\mathrm{mm}$$ ). Sentertykkelsen holder vi fast på $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ i alle radene, slik at bare materialet skiller dem; det er minstemålet produsentens prosessveiledning for polykarbonat oppgir [220, s. 9]. Kanttykkelsen $t_{\text{kant}}=t_{\text{senter}}+\lvert F\rvert y^{2}/(2000(n-1))$ blir da:

Materiale	$n$	$t_{\text{kant}}$
CR-39-plast	$1.498$	$4.77\text{\,}\mathrm{mm}$
Trivex	$1.530$	$4.54\text{\,}\mathrm{mm}$
polykarbonat	$1.586$	$4.20\text{\,}\mathrm{mm}$
høyindeks $1.67$	$1.670$	$3.80\text{\,}\mathrm{mm}$
høyindeks $1.74$	$1.740$	$3.53\text{\,}\mathrm{mm}$

Gevinsten sitter i kant-oppbyggingen, ikke i senteret: i CR-39 bygger kanten seg $3.77\text{\,}\mathrm{mm}$ opp over senteret, i $1.74$ bare $2.53\text{\,}\mathrm{mm}$ – to tredeler så mye. Ved en større ramme, diameter $60\text{\,}\mathrm{mm}$ , vokser CR-39-kanten til $6.42\text{\,}\mathrm{mm}$ mens $1.74$ holder seg på $4.65\text{\,}\mathrm{mm}$ ; jo større glass, desto mer betyr materialvalget.

Men tynnere er ikke det samme som lettere. Vekten er tetthet ganger volum, og volumet av et minusglass er en sentersylinder pluss den oppbygde kant-ringen. Ringen er summen – integralet – av alle de tynne skallene fra senter til kant, og siden oppbyggingen vokser med kvadratet av avstanden fra senteret, blir volumet

V=\pi y^{2}\,t_{\text{senter}}+\frac{\lvert F\rvert\,\pi\,y^{4}}{4000\,(n-1)}

i kubikkmillimeter, med $y$ i millimeter og $F$ i dioptri. Massen er $V$ ganger tettheten. Regner vi ut både kant og masse for det samme $-6.00\text{\,}\mathrm{D}$ -glasset, kommer poenget fram:

Materiale	tetthet	$t_{\text{kant}}$	masse
CR-39-plast	$1.32$	$4.77\text{\,}\mathrm{mm}$	$7.47\text{\,}\mathrm{g}$
Trivex	$1.11$	$4.54\text{\,}\mathrm{mm}$	$6.03\text{\,}\mathrm{g}$
polykarbonat	$1.20$	$4.20\text{\,}\mathrm{mm}$	$6.13\text{\,}\mathrm{g}$
høyindeks $1.67$	$1.36$	$3.80\text{\,}\mathrm{mm}$	$6.41\text{\,}\mathrm{g}$
høyindeks $1.74$	$1.47$	$3.53\text{\,}\mathrm{mm}$	$6.54\text{\,}\mathrm{g}$

Les tabellen nedover kolonnene: det tynneste glasset ( $1.74$ , kant $3.53\text{\,}\mathrm{mm}$ ) er nest tyngst, mens det letteste (Trivex, $6.03\text{\,}\mathrm{g}$ ) er nest tykkest. Årsaken er at $1.74$ har høy tetthet ( $1.47$ ), som mer enn eter opp tykkelsesgevinsten, mens Trivex’ lave tetthet ( $1.11$ ) vinner på vekt tross større tykkelse. «Tynnest» og «lettest» er to ulike optimeringer: for tykkelse vinner høy indeks, for vekt vinner lav tetthet.

Figur 15.1: Tykkelsen bygger seg opp motsatt vei i de to glasstypene: plussglasset i senteret, minusglasset i kanten.

Figur 15.2: Samme

-6.00\text{\,}\mathrm{D}

-resept og samme frontkurve i begge glass – bare materialet skiller dem.

Eksempel 15.1.2

Et minusglass på $-4.00\text{\,}\mathrm{D}$ slipes til diameter $50\text{\,}\mathrm{mm}$ (halvdiameter $y=$25\text{\,}\mathrm{mm}$$ ) i CR-39 ( $n=1.498$ ), med en sentertykkelse på $1.5\text{\,}\mathrm{mm}$ . Hvor tykk blir kanten?

Løsning: Vi bruker kant-formelen $t_{\text{kant}}=t_{\text{senter}}+\lvert F\rvert y^{2}/(2000(n-1))$ med $y$ i millimeter og $F$ i dioptri.

t_{\text{kant}}=1.5+\frac{4\cdot 25^{2}}{2000\cdot 0.498}\ $\mathrm{mm}$=1.5+\frac{2500}{996}\ $\mathrm{mm}$=1.5+2.51\ $\mathrm{mm}$=\underline{\underline{$4.01\text{\,}\mathrm{mm}$}}.

Kanten er altså vel to og en halv millimeter tykkere enn senteret – en synlig ring i en tynn ramme, og en påminnelse om at sentertykkelsen bare er utgangspunktet.

Eksempel 15.1.3

Den samme $-6.00\text{\,}\mathrm{D}$ -resepten ( $y=$25\text{\,}\mathrm{mm}$$ , sentertykkelse $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ ) skal lages i enten CR-39 ( $n=1.498$ , tetthet $1.32$ ) eller høyindeks $1.67$ ( $n=1.670$ , tetthet $1.36$ ). Regn ut kanttykkelse og masse for begge, og forklar hvorfor det tynneste glasset ikke er det letteste her.

Løsning: Vi bruker kant-formelen for tykkelsen og volumformelen $V=\pi y^{2}t_{\text{senter}}+\lvert F\rvert\pi y^{4}/(4000(n-1))$ for massen ( $V$ i ${\mathrm{mm}}^{3}$ , deretter ganget med tettheten og delt på $1000$ for gram). For CR-39:

	$\displaystyle t_{\text{kant}}$	$\displaystyle=1.0+\frac{6\cdot 625}{2000\cdot 0.498}\ $\mathrm{mm}$=$4.77\text{\,}\mathrm{mm}$,$
	$\displaystyle V$	$\displaystyle=\pi\cdot 625\cdot 1.0+\frac{6\cdot\pi\cdot 25^{4}}{4000\cdot 0.498}\ ${\mathrm{mm}}^{3}$=$5660\text{\,}{\mathrm{mm}}^{3}$,\quad m=5.660\cdot 1.32\ $\mathrm{g}$=$7.47\text{\,}\mathrm{g}$.$

For høyindeks $1.67$ :

	$\displaystyle t_{\text{kant}}$	$\displaystyle=1.0+\frac{6\cdot 625}{2000\cdot 0.670}\ $\mathrm{mm}$=$3.80\text{\,}\mathrm{mm}$,$
	$\displaystyle V$	$\displaystyle=\pi\cdot 625\cdot 1.0+\frac{6\cdot\pi\cdot 25^{4}}{4000\cdot 0.670}\ ${\mathrm{mm}}^{3}$=$4711\text{\,}{\mathrm{mm}}^{3}$,\quad m=4.711\cdot 1.36\ $\mathrm{g}$=\underline{\underline{$6.41\text{\,}\mathrm{g}$}}.$

Høyindeksglasset er tynnere og lettere enn CR-39 – her peker begge samme vei, fordi tetthetsforskjellen er liten. Men det er tilfeldig for akkurat dette paret: tar du med Trivex ( $4.54\text{\,}\mathrm{mm}$ , men bare $6.03\text{\,}\mathrm{g}$ på grunn av den lave tettheten $1.11$ ), ser du at det tykkere Trivex-glasset er lettere enn både $1.67$ og $1.74$ . Tykkelse styres av $1/(n-1)$ , vekt av tetthet ganger volum – to uavhengige regnestykker.

Flatenes form og basekurven

Hvorfor er et moderne brilleglass buet som en menisk – konveks front, konkav bakflate – og ikke bikonvekst eller bikonkavt? Svaret ligger i en aberrasjon du møtte i kapittelet om geometrisk optikk. Når øyet dreier og ser gjennom periferien av glasset, treffer strålene flaten skrått, og et sfærisk glass gir da skrå astigmatisme: de to fokallinjene skiller lag, og bildet blir uskarpt utenfor senteret. Husk fra samme kapittel at løsningen er menisk- eller best-form-glasset, der frontkurven – basekurven – velges så den skrå astigmatismen slukkes, og at det innenfor et visst styrkeområde finnes to slike kurver for hver styrke, hvorav produsenten til vanlig velger den flatere. Et slikt glass kalles også et punktfokus-glass, og det nye her er navnet på kurven de to løsningene ligger på i basekurve–styrke-planet: Tscherning-ellipsen – en tredjeordens tilnærming som gir noe for bratte former sammenliknet med nøyaktig strålegang, men som fanger tendensen riktig [103]. Menisken er nettopp formen disse løsningene tar: en konveks front over en konkav bakflate – for et minusglass er bakflaten den sterkeste, for et plussglass fronten.

Poenget for oss er kvalitativt: basekurven er ikke fritt valgbar hvis glasset skal være skarpt i periferien – den er bundet av styrken gjennom betingelsen om å slukke den skrå astigmatismen. Hvordan de moderne friformglassene skreddersyr flaten punkt for punkt til den enkelte bruker, hører til de avanserte emnene og tas ikke opp her.

Belegg

Fire behandlinger av glassflaten er så vanlige at fysikken bak dem er verdt å samle – hver er alt utledet i et tidligere kapittel, så her holder vi oss til tilbakepekingen.

Antirefleksbelegget bygger på tynnfilminterferens fra kapittelet om bølgeoptikk: en kvartbølgefilm får refleksene fra filmens to sider til å slukke hverandre. Uten belegg kaster hver glassflate tilbake Fresnel-andelen $R=\big{(}(n_{2}-n_{1})/(n_{2}+n_{1})\big{)}^{2}$ av lyset. Regner du den ut for luft mot de ulike materialene, ser du straks hvorfor høyindeks trenger belegg mest:

Materiale	$n$	$R$ per flate
CR-39-plast	$1.498$	$3.97\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$
kroneglass	$1.523$	$4.30\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$
polykarbonat	$1.586$	$5.13\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$
høyindeks $1.67$	$1.670$	$6.30\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$
høyindeks $1.74$	$1.740$	$7.29\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$

Et glass har to flater, så et ubelagt $1.74$ -glass mister mot $14\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av lyset i reflekser – sjenerende speilbilder og redusert kontrast. Nettopp fordi de tynne glassene reflekterer mest, er antirefleksbelegg nærmest obligatorisk på dem.

De tre andre er kortere. Herding gjør glasset mer motstandsdyktig mot brudd: ved varmeherding varmes det ferdigslipte glasset til mykningspunktet, rundt $650 °C$ , og kjøles så raskt at overflaten legges i trykkspenning; ved kjemisk herding senkes glasset i stedet i et saltbad ved $470 °C$ , der en ioneveksling gir økt slagfasthet uten at glasset må gjøres tykkere. For varmeherdede glass kommer mye av slagfastheten nettopp fra den ekstra tykkelsen, og hovedvinningen er at glasset brekker i butte biter i stedet for skarpe splinter [221]. Ripefasthet er en annen egenskap: glass er i utgangspunktet om lag ti ganger så ripefast som plast, og et overflatebelegg bedrer ripefastheten på plast, men svekker den på glass [222]. Fotokromiske glass inneholder molekyler som mørkner i ultrafiolett lys og lysner igjen innendørs. Og polariserende filtre har en fast transmisjonsakse: står den vertikalt, stopper filteret det horisontalt polariserte gjenskinnet fra våte veier og vann, etter Malus’ lov $I=I_{0}\cos^{2}\theta$ fra kapittelet om bølgeoptikk – det du så ligger bak polariserte solbriller.

Viktig

Et brilleglass står typisk $12\text{\,}\mathrm{mm}$ til $14\text{\,}\mathrm{mm}$ foran hornhinnen, mens en kontaktlinse ligger i hornhinneplanet. Brilleplanet regnes konvensjonelt ved $12\text{\,}\mathrm{mm}$ [223], mens den ideelle glassposisjonen beregnet fra ansiktsskanning hos 60 brillebrukere lå i snitt på $13.8\text{\,}\mathrm{mm}$ [224]. Husk fra kapitlene om geometrisk optikk og øyets fysikk at styrken derfor må regnes om mellom de to planene med $P_{\text{eff}}=P/(1-dP)$ , og at avviket $P_{\text{eff}}-P\approx dP^{2}$ passerer det kliniske trinnet $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ omkring $\pm 4$ til $5\text{\,}\mathrm{D}$ . Under den styrken kan du se bort fra vertex-avstanden; over den må resepten vertex-korrigeres – britisk dispenseringspraksis setter grensen ved $\pm$5.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , der vertex-avstanden skal måles og føres opp sammen med styrken [95]. Utledningen står i kapittelet om geometrisk optikk og gjentas ikke her.

Spektakkelforstørrelse

Et brilleglass endrer også størrelsen på netthinnebildet en smule. Spektakkelforstørrelsen er tilnærmet et produkt av to faktorer,

\text{SM}\approx\underbrace{\frac{1}{1-\frac{t}{n}F_{1}}}_{\text{formfaktor}}\cdot\underbrace{\frac{1}{1-d\,P^{\prime}_{v}}}_{\text{styrkefaktor}},

der formfaktoren avhenger av frontkurven $F_{1}$ og tykkelsen $t$ , og styrkefaktoren av vertex-avstanden $d$ og den bakre toppunktstyrken $P^{\prime}_{v}$ . Et plussglass forstørrer bildet, et minusglass forminsker det – derfor ser øynene bak sterke plussbriller store, og bak sterke minusbriller små. Hvor mye dette betyr for samsynet når de to øynene har ulik styrke – den relative spektakkelforstørrelsen og aniseikonien – hører til de avanserte emnene; her nøyer vi oss med å slå fast at forstørrelsen finnes og hvilken vei den går.

Seksjonen lukkes med et tilfelle som setter hele materialvalget på prøve – ikke spektakkelforstørrelsen alene, men indeks, tetthet og refleksjon i samme pasient.

Eksempel 15.1.4

En pasient kommer tilbake misfornøyd med sine gamle briller i høyindeks $1.74$ : hun klager over sjenerende reflekser i glassene og synes de er tunge, «enda de er så tynne». Forklar begge deler fysisk, og foreslå to konkrete grep.

Løsning: De to plagene har hver sin årsak, og begge ligger i materialtabellen. Refleksene: fra Fresnel-formelen kaster hver $1.74$ -flate tilbake $7.29\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ av lyset – mot $4.30\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ for kroneglass – så to ubelagte flater mister mot $14\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ i speilbilder. Den høye indeksen som gjør glasset tynt, er nettopp det som gjør det blankt. Vekten: $1.74$ har tabellens høyeste tetthet ( $1.47\text{\,}\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ ), og den ekstra massen per volum eter opp tykkelsesgevinsten – glasset er tynt, men tungt. To grep følger direkte: legg på et antirefleksbelegg for å dempe Fresnel-refleksene (den fysiske kuren mot det første problemet), og vurder et lettere materiale som Trivex, som er litt tykkere, men merkbart lettere fordi tettheten er lav. Antirefleksbelegg mot refleksene; lavere-tetthets materiale mot vekten. Avveiningen navngir seg selv: velger hun tynnest mulig, betaler hun i vekt; velger hun lettest, betaler hun i tykkelse.

Oppgaver

Oppgave 15.1.1

En pasient med resepten $-5.00\text{\,}\mathrm{D}$ ønsker «de tynneste glassene som finnes». Bruk materialtabellen og svar for de fire materialene CR-39, polykarbonat, høyindeks $1.67$ og høyindeks $1.74$ :

a)

Hvilket gir tynnest kant?
b)

Hvilket har best (høyest) Abbe-tall, altså minst fargesøm?
c)

Hvilket har lavest tetthet?

Hva forteller de tre svarene til sammen om å be om «de tynneste glassene»?

Løsningsforslag

Oppgave 15.1.1: Alle tre svarene leses ut av materialtabellen; for a) bruker vi i tillegg at kant-oppbyggingen skalerer med $1/(n-1)$ , så høyest indeks gir tynnest kant.

a)

Størst $n-1$ gir minst kant-oppbygging: $n-1=0.740$ for $1.74$ mot $0.670$ , $0.586$ og $0.498$ for de tre andre. Tynnest kant gir høyindeks $1.74$ .
b)

Abbe-tallene er $58$ (CR-39), $30$ (polykarbonat), $32$ ( $1.67$ ) og $33$ ( $1.74$ ) – minst fargesøm gir CR-39.
c)

Tetthetene er $1.32$ , $1.20$ , $1.36$ og $1.47$ $\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ – lavest tetthet har polykarbonat.

De tre svarene peker på tre ulike materialer: det tynneste ( $1.74$ ) har verken minst fargesøm (CR-39) eller lavest tetthet (polykarbonat). «De tynneste glassene» optimerer altså bare én av tre uavhengige egenskaper – ønsket er starten på en avveining, ikke en ferdig bestilling.

Oppgave 15.1.2

Et tykt plussglass har frontflatestyrke $F_{1}=$10.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , bakflatestyrke $F_{2}=$-4.00\text{\,}\mathrm{D}$$ , midttykkelse $d=$4\text{\,}\mathrm{mm}$$ og brytningsindeks $n=1.50$ .

a)

Regn ut den nominelle summen $F_{1}+F_{2}$ .
b)

Regn ut ekvivalentstyrken $P=F_{1}+F_{2}-\tfrac{d}{n}F_{1}F_{2}$ .
c)

Regn ut den bakre toppunktstyrken $P^{\prime}_{v}=F_{2}+F_{1}/\big{(}1-\tfrac{d}{n}F_{1}\big{)}$ .
d)

Hvilken av de tre står på resepten, og hva ville skjedd med alle tre om glasset var uendelig tynt?

Løsningsforslag

Oppgave 15.1.2: Den reduserte tykkelsen er $d/n=$4\text{\,}\mathrm{mm}$/1.50=$2.667\text{\,}\mathrm{mm}$=$0.002\,667\text{\,}\mathrm{m}$$ .

a)

Nominell sum: $F_{1}+F_{2}=10-4\ $\mathrm{D}$=\underline{\underline{$6.00\text{\,}\mathrm{D}$}}$ .
b)

Ekvivalentstyrken:

$P=6-0.002667\cdot 10\cdot(-4)\ $\mathrm{D}$=6+0.107\ $\mathrm{D}$=\underline{\underline{$6.11\text{\,}\mathrm{D}$}}.$
c)

Bakre toppunktstyrke:

$P^{\prime}_{v}=-4+\frac{10}{1-0.002667\cdot 10}\ $\mathrm{D}$=-4+\frac{10}{0.9733}\ $\mathrm{D}$=-4+10.274\ $\mathrm{D}$=\underline{\underline{$6.27\text{\,}\mathrm{D}$}}.$
d)

På resepten står den bakre toppunktstyrken $P^{\prime}_{v}$ – det er den fokimeteret leser med bakflaten mot anleggsflaten. Var glasset uendelig tynt ( $d\to 0$ ), ville tykkelsesleddene forsvinne og alle tre kollapse til samme tall, den nominelle summen $6.00\text{\,}\mathrm{D}$ .

Oppgave 15.1.3

En optiker sier: «Velg alltid $1.74$ – det gir garantert det letteste glasset.» Vurder påstanden for en $-6.00\text{\,}\mathrm{D}$ -resept, diameter $50\text{\,}\mathrm{mm}$ , sentertykkelse $1.0\text{\,}\mathrm{mm}$ . Bruk de ferdig utregnede massene fra seksjonen: CR-39 $7.47\text{\,}\mathrm{g}$ , Trivex $6.03\text{\,}\mathrm{g}$ , polykarbonat $6.13\text{\,}\mathrm{g}$ , $1.67$ $6.41\text{\,}\mathrm{g}$ , $1.74$ $6.54\text{\,}\mathrm{g}$ . Er påstanden riktig? Begrunn med hvilken størrelse som avgjør vekten.

Løsningsforslag

Oppgave 15.1.3: Vi rangerer de oppgitte massene: Trivex $6.03\text{\,}\mathrm{g}$ < polykarbonat $6.13\text{\,}\mathrm{g}$ < $1.67$ $6.41\text{\,}\mathrm{g}$ < $1.74$ $6.54\text{\,}\mathrm{g}$ < CR-39 $7.47\text{\,}\mathrm{g}$ . Glasset i $1.74$ er nest tyngst enda det er tynnest – påstanden er gal for denne resepten. Størrelsen som avgjør vekten er ikke indeksen, men tettheten ganger volumet: $1.74$ har tabellens høyeste tetthet ( $1.47\text{\,}\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ ), og den eter opp hele tykkelsesgevinsten fra $1/(n-1)$ , mens Trivex’ lave tetthet ( $1.11\text{\,}\mathrm{g}\text{\,}{\mathrm{cm}}^{-3}$ ) vinner tross større tykkelse. Høy indeks garanterer tynnest, aldri lettest. Nei – Trivex ( $6.03\text{\,}\mathrm{g}$ ) er lettest; vekten styres av tetthet ganger volum, og $1.74$ -glassets høye tetthet gjør det nest tyngst.

Oppgave 15.1.4

Konstruer ditt eget pasienttilfelle der de tre egenskapene tykkelse, vekt og fargesøm (Abbe-tall) ikke peker på samme materiale, slik at valget krever en begrunnet avveining. Oppgi en resept og en ramme, velg tre kandidatmaterialer fra tabellen, regn ut kanttykkelse og relativ masse for hver med formlene fra seksjonen, og skriv en kort anbefaling som eksplisitt sier hvilken egenskap du prioriterer og hvorfor. Kontroller at minst to av de tre egenskapene rangerer materialene i motsatt rekkefølge – ellers er det ingen reell avveining.

Løsningsforslag

Oppgave 15.1.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: kanttykkelse og masse skal være regnet med seksjonens formler for hvert av de tre valgte materialene, og minst to av egenskapene tykkelse, vekt og fargesøm må rangere materialene i motsatt rekkefølge – for eksempel gir høyindeks $1.74$ tynnest kant mens Trivex gir lavest masse og CR-39 høyest Abbe-tall; anbefalingen må navngi hvilken egenskap som prioriteres og hvorfor.

Alle løsningsforslag til kapittel 15