Kapittel 11 · Radiometri og fotometri · 11.4

Lambertske flater og belysningslovene

Denne seksjonen handler om to spørsmål som begge styres av den samme faktoren, $\cos\theta$ , men om to helt forskjellige flater. Det ene er en forutsetning vi la inn i avstandskvadratloven fra seksjonen om radiometriske og fotometriske størrelser og nå skal løfte: at lyset traff flaten vinkelrett. Det andre lå gjemt i et ord vi brukte uten å begrunne det – at en jevn flate ser like lys ut «uansett hvor du står». Denne seksjonen skiller dem, innfører den flatetypen der matematikken blir enkel – den lambertske flaten – og lander i cosinus-innfallsloven, som gjør avstandskvadratloven brukbar også når lyset faller skrått.

Den lambertske flaten og cosinus-emisjonsloven

De fleste flatene du ser på til daglig sender ikke ut lys som et speil, i én skarp retning, men diffust – de sprer lyset til alle kanter. Et matt ark, en kalket vegg, et stykke ubehandlet papir: du ser dem like tydelig fra siden som rett forfra, og de blinker ikke når du beveger hodet. En lambertsk flate (eller perfekt diffus flate) er den idealiserte modellen av nettopp dette: en flate hvis luminans $L_{v}$ er den samme i alle retninger du kan se den fra.

Det høres ut som om en slik flate må sende like mye lys i alle retninger, men det gjør den ikke. Lysstyrken $I_{v}$ fra en liten lambertsk flatebit avtar tvert imot med betraktningsvinkelen etter cosinus-emisjonsloven:

I_{v}(\theta)=I_{v}(0)\cos\theta,

der $\theta$ er vinkelen mellom synslinjen og flatens normal, og $I_{v}(0)$ er lysstyrken rett forfra ( $\theta=0$ ). Sett fra en skrå vinkel sender flatebiten altså mindre lys mot deg – ved $θ=60°$ bare halvparten, siden $cos60°=0.5$ .

Figur 11.5: Kurven er den klassiske cosinusloben: lengden fra flatebiten ut til loben i en gitt retning er lysstyrken

I_{v}

i den retningen, lengst rett fram og kortere jo skråere du ser.

Hvorfor ser flaten da like lys ut fra alle vinkler? Fordi to ting avtar med $\cos\theta$ samtidig, og de kansellerer. Den ene er lysstyrken, $I_{v}(\theta)=I_{v}(0)\cos\theta$ , som vi nettopp så. Den andre er arealet: når du ser flatebiten $d A$ fra vinkelen $\theta$ , ser du ikke hele arealet, men det projiserte arealet $dA\cos\theta$ – flatebiten virker smalere jo skråere du ser den, akkurat som en mynt sett fra kanten blir en tynn strek. Luminansen er lysstyrke per projisert areal, og i den brøken stryker de to cosinusfaktorene hverandre ut:

L_{v}=\frac{I_{v}(\theta)}{dA\cos\theta}=\frac{I_{v}(0)\cos\theta}{dA\cos\theta}=\frac{I_{v}(0)}{dA}.

Resultatet avhenger ikke av $\theta$ : luminansen er konstant. Flaten sender altså mindre lys mot det skrå øyet, men øyet ser også et mindre areal av den, og de to effektene opphever hverandre nøyaktig. Dette er den vanligste forvekslingen i hele emnet – at en flate som sender ut mindre lys på skrå, også må se mørkere ut på skrå. For en lambertsk flate gjør den ikke det.

Eksitans og luminans: $M_{v}=\pi L_{v}$

Fra seksjonen om radiometriske og fotometriske størrelser: eksitansen $M_{v}$ er alt lyset som forlater flaten, per arealenhet – summen av utstrålingen i alle retninger opp fra flaten. Luminansen $L_{v}$ er derimot lyset i én retning, per projisert areal. For en lambertsk flate er de to knyttet sammen ved en enkel og mye brukt relasjon:

M_{v}=\pi L_{v},\qquad\text{og radiometrisk}\qquad M_{e}=\pi L_{e}.

Faktoren er $\pi$ , ikke $2\pi$ som man kanskje skulle tro av at lyset stråler ut i en halvkule på $2\pi$ steradianer. Grunnen er nettopp cosinus-emisjonsloven: når man legger sammen bidraget fra alle retninger i halvkula, veies hver retning med sin $\cos\theta$ , og den vektingen halverer summen fra $2\pi$ til $\pi$ . Selve summeringen er en integrasjon av $L_{v}\cos\theta$ over halvkula, og den ligger over nivået her; vi oppgir derfor $M_{v}=\pi L_{v}$ som et resultat du kan bruke, ikke utlede.

Enheten fortjener et ord, for den avslører hvilken vei lyset går. Eksitansen $M_{v}$ måles i lumen per kvadratmeter ( $\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ ). Det er samme dimensjon som luksen – én $\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ er tallmessig én luks – men vi holder luksen til belysningsstyrken $E_{v}$ , lyset som faller inn på flaten, og skriver $\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ for eksitansen, lyset som forlater den. Samme dimensjon, motsatt retning.

Eksempel 11.4.1

En matt, hvitmalt vegg oppfører seg som en lambertsk flate og har luminansen $L_{v}=$250\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ . Hvor stor er veggens lyseksitans $M_{v}$ ?

Løsning: Sett rett inn i $M_{v}=\pi L_{v}$ .

M_{v}=\pi L_{v}=\pi\cdot$250\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$\approx\underline{\underline{$785\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}

Luminansen er hvor lys veggen ser ut i én retning; eksitansen samler opp alt lyset som forlater hver kvadratmeter av den, i alle retninger.

Cosinus-innfallsloven

Nå til den andre flaten og det andre spørsmålet: hvor sterkt belyses en flate når lyset treffer den skrått? Avstandskvadratloven $E_{v}=I_{v}/r^{2}$ ga svaret for vinkelrett innfall. Faller lyset inn under en vinkel $\theta$ mot flatens normal, sprer den samme lysmengden seg utover et større område, og belysningsstyrken avtar tilsvarende. Resultatet er cosinus-innfallsloven:

E_{v}=\frac{I_{v}}{r^{2}}\cos\theta,

der $r$ er avstanden fra punktkilden til flaten og $\theta$ er innfallsvinkelen, målt fra flatens normal. Setter du $\theta=0$ – vinkelrett innfall – er $\cos\theta=1$ , og loven faller tilbake til avstandskvadratloven fra seksjonen om radiometriske og fotometriske størrelser. Cosinusfaktoren er altså ikke en ny lov, men utvidelsen som fanger den skrå innfallsvinkelen den enkle formen forutsatte bort.

Den geometriske grunnen ser du i figuren under. En smal lysstråle med tverrsnitt $d A$ treffer en flate som står skrått; på flaten dekker den ikke $d A$ , men et større fotavtrykk $dA/\cos\theta$ . Den samme lysfluksen fordeles over et areal som er $1/\cos\theta$ ganger større, så fluksen per areal – belysningsstyrken – blir $\cos\theta$ ganger mindre.

Figur 11.6: Til venstre kilden, avstanden

r

og vinkelen

\theta

; til høyre strålebunten og fotavtrykket.

Eksempel 11.4.2

En bok ligger på en pult og mottar belysningsstyrken $50\text{\,}\mathrm{lx}$ fra en lampe rett over, med lyset vinkelrett på boksiden. Leseren vipper boka opp mot seg slik at innfallsvinkelen blir $θ=60°$ fra sidens normal. Hvilken belysningsstyrke får boksiden nå, om avstanden til lampa er praktisk talt uendret?

Løsning: Avstanden er den samme, så bare cosinusfaktoren fra cosinus-innfallsloven endrer seg; den vinkelrette verdien $50\text{\,}\mathrm{lx}$ ganges med $\cos\theta$ .

Ev=50 lx⋅cos60°=50 lx⋅0.5=25 lx

Å vippe siden $60°$ halverer belysningen – den samme lysmengden fordeler seg nå over dobbelt så stort areal av siden. Det er derfor en oppslått bok flatt på pulten fanger mer lys enn en som står bratt i en lesestativ.

Eksempel 11.4.3

En liten lampe med lysstyrke $I_{v}=$200\text{\,}\mathrm{cd}$$ henger $2.0\text{\,}\mathrm{m}$ rett over et bord og kan regnes som en punktkilde. Finn belysningsstyrken $E_{v}$ i et punkt på bordflaten som ligger $1.5\text{\,}\mathrm{m}$ horisontalt fra punktet rett under lampa.

Løsning: Finn først avstanden $r$ fra lampa til punktet med Pytagoras, deretter innfallsvinkelen via $\cos\theta=h/r$ (hvor $h$ er høyden, siden bordets normal peker rett opp), og sett så begge inn i cosinus-innfallsloven.

	$\displaystyle r$	$\displaystyle=\sqrt{($2.0\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}+($1.5\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}=\sqrt{$6.25\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}=$2.5\text{\,}\mathrm{m}$$
	$\displaystyle\cos\theta$	$\displaystyle=\frac{h}{r}=\frac{$2.0\text{\,}\mathrm{m}$}{$2.5\text{\,}\mathrm{m}$}=0.80$
	$\displaystyle E_{v}$	$\displaystyle=\frac{I_{v}}{r^{2}}\cos\theta=\frac{$200\text{\,}\mathrm{cd}$}{($2.5\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}\cdot 0.80=$32\text{\,}\mathrm{lx}$\cdot 0.80=\underline{\underline{$25.6\text{\,}\mathrm{lx}$}}$

To ting trekker belysningen ned bort fra midten: punktet ligger lenger unna lampa ( $r$ vokser fra $2.0\text{\,}$ til $2.5\text{\,}\mathrm{m}$ ), og lyset treffer skrått ( $\cos\theta=0.80$ ). Begge inngår i den samme regningen – det er nettopp derfor belysningen på et bord er ujevn, sterkest rett under lampa og svakere mot kantene.

Den belyste matte flaten som sekundær kilde

Til slutt bindes seksjonen sammen. En matt flate som blir belyst, kaster ikke tilbake alt lyset som treffer den; en brøkdel $\rho$ blir reflektert, resten slukes. Dette tallet kaller vi flatens reflektans $\rho$ – et dimensjonsløst forholdstall mellom $0$ (helsvart) og $1$ (perfekt hvit), som sier hvor stor andel av den innfallende lysmengden flaten sender videre. Et hvitt ark sender tilbake det meste av lyset som treffer det, en grå pult bare en liten del, og svart fløyel nesten ingenting.

Reflekterer flaten diffust – altså lambertsk – kan vi følge lyset hele veien fra kilde til øye i tre trinn. Flaten mottar belysningsstyrken $E_{v}$ ; den reflekterte eksitansen er da den andelen som kastes tilbake,

M_{v}=\rho E_{v},

og fordi flaten er lambertsk, gir relasjonen $M_{v}=\pi L_{v}$ oss straks luminansen:

L_{v}=\frac{M_{v}}{\pi}=\frac{\rho E_{v}}{\pi}.

En belyst matt flate blir altså selv en sekundær lyskilde med en veldefinert luminans – det er denne luminansen øyet faktisk oppfatter som flatens lyshet. Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at sinusgitteret ble beskrevet med luminansprofilen $L(x)=L_{0}+a\sin(bx)$ ; den $L$ -en er nettopp en slik $L_{v}$ , og kjeden $E_{v}\to M_{v}=\rho E_{v}\to L_{v}=\rho E_{v}/\pi$ er broen fra belysningen i rommet til de luminansverdiene et slikt mønster faktisk har.

Eksempel 11.4.4

En boksides papir mottar belysningsstyrken $E_{v}=$500\text{\,}\mathrm{lx}$$ fra en leselampe. Papiret reflekterer diffust (lambertsk) med reflektans $\rho=0.80$ .

a)

Finn den reflekterte lyseksitansen $M_{v}$ .
b)

Finn sidens luminans $L_{v}$ – hvor lys siden faktisk framstår for øyet.

Løsning: Følg kjeden innfall $\to$ eksitans $\to$ luminans: først $M_{v}=\rho E_{v}$ , deretter $L_{v}=M_{v}/\pi$ fordi papiret er en lambertsk flate.

	$\displaystyle M_{v}$	$\displaystyle=\rho E_{v}=0.80\cdot$500\text{\,}\mathrm{lx}$=\underline{\underline{$400\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$
	$\displaystyle L_{v}$	$\displaystyle=\frac{M_{v}}{\pi}=\frac{$400\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}{\pi}\approx\underline{\underline{$127\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$

Den belyste siden er nå en sekundær lambertsk kilde med luminans rundt $127\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$ – omtrent som hvitt papir i godt innelys i luminansskalaen fra den andre seksjonen. Legg merke til at reflektansen $\rho$ og cosinusfaktoren fra innfallsloven virker på hvert sitt trinn: $\rho$ bestemmer hvor mye lys som kastes tilbake, mens en eventuell skrå belysning ville kommet inn allerede i $E_{v}$ .

Oppgaver

Oppgave 11.4.1

En matt, hvitmalt vegg oppfører seg som en lambertsk flate og har luminansen $L_{v}=$200\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$$ . Bruk sammenhengen $M_{v}=\pi L_{v}$ til å finne veggens lyseksitans $M_{v}$ .

Løsningsforslag

Oppgave 11.4.1: Sett luminansen rett inn i relasjonen for en lambertsk flate, $M_{v}=\pi L_{v}$ .

M_{v}=\pi L_{v}=\pi\cdot$200\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$\approx\underline{\underline{$628\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}

Oppgave 11.4.2

En liten leselampe med lysstyrke $I_{v}=$250\text{\,}\mathrm{cd}$$ henger $1.2\text{\,}\mathrm{m}$ rett over et bord og kan regnes som en punktkilde.

a)

Finn avstanden $r$ fra lampa til et punkt på bordet som ligger $1.6\text{\,}\mathrm{m}$ horisontalt fra punktet rett under lampa.
b)

Finn innfallsvinkelens cosinus, $\cos\theta=h/r$ .
c)

Finn belysningsstyrken $E_{v}$ i dette punktet med cosinus-innfallsloven.

Løsningsforslag

Oppgave 11.4.2: Høyden er $h=$1.2\text{\,}\mathrm{m}$$ og den horisontale avstanden $1.6\text{\,}\mathrm{m}$ .

a)

Pytagoras gir avstanden fra lampa til punktet:

$r=\sqrt{($1.2\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}+($1.6\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}=\sqrt{$4.00\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}=\underline{\underline{$2.0\text{\,}\mathrm{m}$}}$
b)

Bordets normal peker rett opp, så

$\cos\theta=\frac{h}{r}=\frac{$1.2\text{\,}\mathrm{m}$}{$2.0\text{\,}\mathrm{m}$}=\underline{\underline{0.60}}$
c)

Cosinus-innfallsloven med begge delsvarene innsatt:

$E_{v}=\frac{I_{v}}{r^{2}}\cos\theta=\frac{$250\text{\,}\mathrm{cd}$}{($2.0\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}\cdot 0.60=$62.5\text{\,}\mathrm{lx}$\cdot 0.60=\underline{\underline{$37.5\text{\,}\mathrm{lx}$}}$

Oppgave 11.4.3

To flater ligger side om side under den samme belysningsstyrken $E_{v}=$500\text{\,}\mathrm{lx}$$ : et hvitt ark med reflektans $\rho=0.80$ og en grå pultplate med $\rho=0.25$ . Begge reflekterer lambertsk.

a)

Finn luminansen $L_{v}$ for hver av de to flatene.
b)

Hvor mange ganger lysere framstår arket enn pulten for øyet?
c)

Forklar hvorfor forholdet mellom de to luminansene er nøyaktig det samme som forholdet mellom de to reflektansene.

Løsningsforslag

Oppgave 11.4.3: Begge flatene følger kjeden innfall $\to$ eksitans $\to$ luminans: $L_{v}=\rho E_{v}/\pi$ .

a)

For arket og pulten:

$\displaystyle L_{v,\text{ark}}$ $\displaystyle=\frac{0.80\cdot$500\text{\,}\mathrm{lx}$}{\pi}=\frac{$400\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}{\pi}\approx\underline{\underline{$127\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$

$\displaystyle L_{v,\text{pult}}$ $\displaystyle=\frac{0.25\cdot$500\text{\,}\mathrm{lx}$}{\pi}=\frac{$125\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}{\pi}\approx\underline{\underline{$39.8\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$
b)

Forholdet mellom luminansene:

$\frac{L_{v,\text{ark}}}{L_{v,\text{pult}}}=\frac{0.80}{0.25}=\underline{\underline{3.2}}$

Arket framstår $3.2$ ganger lysere enn pulten.
c)

Begge luminansene har formen $L_{v}=\rho E_{v}/\pi$ med samme $E_{v}$ og samme faktor $\pi$ . I forholdet

$\frac{L_{v,\text{ark}}}{L_{v,\text{pult}}}=\frac{\rho_{\text{ark}}E_{v}/\pi}{\rho_{\text{pult}}E_{v}/\pi}=\frac{\rho_{\text{ark}}}{\rho_{\text{pult}}}$

strykes $E_{v}$ og $\pi$ , og bare reflektansene står igjen. Under lik belysning bestemmes altså lyshetsforholdet mellom to lambertske flater av reflektansene alene.

Oppgave 11.4.4

En medstudent påstår: «En matt, hvit tavle må se lysere ut når jeg står rett foran den enn når jeg ser på den fra skrå side, for da sender flaten mest lys rett mot meg.» Vurder påstanden. Er den riktig? Begrunn svaret med dobbelt-cosinus-argumentet, og gjør rede for hvilke to størrelser studenten forveksler.

Løsningsforslag

Oppgave 11.4.4: Påstanden er feil. Studenten har rett i første halvdel: etter cosinus-emisjonsloven $I_{v}(\theta)=I_{v}(0)\cos\theta$ sender en flatebit av tavla mindre lys mot et øye som ser den fra skrå side. Men samtidig ser det skrå øyet bare det projiserte arealet $dA\cos\theta$ av flatebiten. Det øyet oppfatter som flatens lyshet er luminansen – lysstyrke per projisert areal – og der stryker de to cosinusfaktorene hverandre ut:

L_{v}=\frac{I_{v}(\theta)}{dA\cos\theta}=\frac{I_{v}(0)\cos\theta}{dA\cos\theta}=\frac{I_{v}(0)}{dA},

uavhengig av $\theta$ . Studenten forveksler dermed lysstyrken $I_{v}$ (som faktisk avtar med $\cos\theta$ ) med luminansen $L_{v}$ (som er det øyet oppfatter, og som er konstant). Konklusjon: en matt, lambertsk tavle ser like lys ut fra alle betraktningsvinkler – den ser ikke lysere ut rett forfra.

Oppgave 11.4.5

En punktlampe med lysstyrke $I_{v}=$300\text{\,}\mathrm{cd}$$ monteres $1.5\text{\,}\mathrm{m}$ rett foran midten av en loddrett tavle.

a)

Finn belysningsstyrken $E_{v}$ i tavlas sentrum (der innfallet er vinkelrett).
b)

Finn $E_{v}$ i et punkt $1.0\text{\,}\mathrm{m}$ rett over sentrum, og regn ut jevnheten – kantverdien delt på sentrumsverdien – i prosent.
c)

Vurder om belysningen er akseptabelt jevn, og foreslå ett konkret tiltak som gjør den jevnere. Begrunn tiltaket ut fra hvordan både $r$ og $\theta$ inngår i cosinus-innfallsloven.
d)

Konstruer din egen tilsvarende oppgave med andre tall der jevnheten blir bedre enn $70\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ , og vis ved regning at den gjør det.

Løsningsforslag

Oppgave 11.4.5: Tavlas normal peker vannrett mot lampa, og $h=$1.5\text{\,}\mathrm{m}$$ er avstanden fra lampa til sentrum.

a)

I sentrum er innfallet vinkelrett, $\cos\theta=1$ :

$E_{v}=\frac{I_{v}}{r^{2}}=\frac{$300\text{\,}\mathrm{cd}$}{($1.5\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}\approx\underline{\underline{$133\text{\,}\mathrm{lx}$}}$
b)

Punktet $1.0\text{\,}\mathrm{m}$ over sentrum: Pytagoras og $\cos\theta=h/r$ som i eksempelet med bordlampa.

$\displaystyle r$ $\displaystyle=\sqrt{($1.5\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}+($1.0\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}=\sqrt{$3.25\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}\approx$1.80\text{\,}\mathrm{m}$$

$\displaystyle\cos\theta$ $\displaystyle=\frac{$1.5\text{\,}\mathrm{m}$}{$1.80\text{\,}\mathrm{m}$}\approx 0.832$

$\displaystyle E_{v}$ $\displaystyle=\frac{$300\text{\,}\mathrm{cd}$}{$3.25\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}\cdot 0.832\approx\underline{\underline{$76.8\text{\,}\mathrm{lx}$}}$

Jevnheten blir

$\frac{$76.8\text{\,}\mathrm{lx}$}{$133\text{\,}\mathrm{lx}$}\approx 0.58=\underline{\underline{$58\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$}}$
c)

Vurdering: $58\text{\,}\mathrm{\char 37\relax}$ betyr at kanten bare får litt over halvparten av sentrumsbelysningen – en tydelig synlig ujevnhet, ikke akseptabel for en tavle som skal leses over hele flaten. Ett konkret tiltak er å montere lampa lenger fra tavla. Da vokser $r$ relativt sett mindre fra sentrum til kant, og innfallsvinkelen $\theta$ ved kanten blir mindre, så $\cos\theta$ nærmer seg $1$ – begge faktorene i $E_{v}=(I_{v}/r^{2})\cos\theta$ trekker mot jevnere belysning. (Prisen er at hele tavla får lavere $E_{v}$ , som eventuelt må kompenseres med en sterkere kilde.)
d)

Åpen deloppgave; ingen entydig fasit. Vurderingsmoment: sjekk ved regning at studentens egne tall faktisk gir kant-til-sentrum-forhold over $0.70$ – for eksempel gir avstand $2.0\text{\,}\mathrm{m}$ og kantpunkt $1.0\text{\,}\mathrm{m}$ fra sentrum jevnheten $($2.0\text{\,}\mathrm{m}$/\sqrt{$5.0\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$})^{3}\approx 0.72$ .

Alle løsningsforslag til kapittel 11

	$\displaystyle L_{v,\text{ark}}$	$\displaystyle=\frac{0.80\cdot$500\text{\,}\mathrm{lx}$}{\pi}=\frac{$400\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}{\pi}\approx\underline{\underline{$127\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$
	$\displaystyle L_{v,\text{pult}}$	$\displaystyle=\frac{0.25\cdot$500\text{\,}\mathrm{lx}$}{\pi}=\frac{$125\text{\,}\mathrm{lm}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}{\pi}\approx\underline{\underline{$39.8\text{\,}\mathrm{cd}\text{\,}{\mathrm{m}}^{-2}$}}$

	$\displaystyle r$	$\displaystyle=\sqrt{($1.5\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}+($1.0\text{\,}\mathrm{m}$)^{2}}=\sqrt{$3.25\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}\approx$1.80\text{\,}\mathrm{m}$$
	$\displaystyle\cos\theta$	$\displaystyle=\frac{$1.5\text{\,}\mathrm{m}$}{$1.80\text{\,}\mathrm{m}$}\approx 0.832$
	$\displaystyle E_{v}$	$\displaystyle=\frac{$300\text{\,}\mathrm{cd}$}{$3.25\text{\,}{\mathrm{m}}^{2}$}\cdot 0.832\approx\underline{\underline{$76.8\text{\,}\mathrm{lx}$}}$

Lambertske flater og belysningslovene

Den lambertske flaten og cosinus-emisjonsloven

Eksitans og luminans: Mv=π⁢Lv

Cosinus-innfallsloven

Den belyste matte flaten som sekundær kilde

Oppgaver

Eksitans og luminans: $M_{v}=\pi L_{v}$