Radiometriske og fotometriske størrelser

Tenk deg en liten lyskilde – så liten mot avstandene vi regner med at den kan regnes som et punkt. Den sender ut stråling, og vi kan spørre om fire stadig mer forfinede ting.

Hvor mye stråling sender kilden ut i alt? Det er strålingsfluksen ${\mathrm{\Phi }}_e$, den samlede strålingseffekten ut i alle retninger, målt i watt. Her innfris en bro innledningen lovet: ${\mathrm{\Phi }}_e$ er effekten $P$ fra kapittelet om mekanikk – energi per tid, $\mathrm{J}{\mathrm{s}}^{-1}$ = $\mathrm{W}$ – bare brukt om energien som forlater kilden som stråling. Grunnen til at vi likevel gir den et eget symbol ${\mathrm{\Phi }}_e$ og ikke skriver $P$, er den samme som i innledningsboksen: $P$ er allerede opptatt av effekten og av linsestyrken, og fluksen trenger et merke som ikke forveksles.

Hvor mye stråling går i én bestemt retning? En kilde stråler sjelden like sterkt til alle kanter, og en detektor fanger uansett bare opp den lille romvinkelen den utspenner. Vi deler derfor fluksen på romvinkelen den fordeler seg over, og får strålingsstyrken $I_e$ – fluks per romvinkel, målt i watt per steradian ($\mathrm{W}{\mathrm{sr}}^{-1}$):

$$I_e=\frac{{\mathrm{\Phi }}_e}{\mathrm{\Omega }}.$$

For en kilde som stråler like sterkt i alle retninger – en isotrop kilde – fordeler hele fluksen seg jevnt over kulas $4\pi$ steradianer, så $I_e={\mathrm{\Phi }}_e/(4\pi )$.

Hvor mye stråling treffer en flate? Flytt oppmerksomheten fra kilden til en flate som blir truffet. Irradiansen $E_e$ er strålingsfluksen som faller inn per arealenhet av flaten, målt i watt per kvadratmeter ($\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$):

$$E_e=\frac{{\mathrm{\Phi }}_e}{A},$$

der $A$ er arealet flaten dekker. Legg merke til skiftet: $I_e$ ser mot kilden og deler på romvinkel, $E_e$ ser mot mottakeren og deler på areal.

Hvor lys ser flaten selv ut? Den fineste størrelsen kombinerer de to foregående. Radiansen $L_e$ er strålingen fra (eller gjennom) en flate, per romvinkel og per projisert areal, målt i $\mathrm{W}{\mathrm{sr}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-2}$. Radiansen er det radiometriske målet på hvor «sterk» en utstrålende flate er i en gitt retning, og den er størrelsen som ikke endrer seg når du flytter deg nærmere eller lenger unna en jevn flate – en egenskap vi kommer tilbake til i seksjonen om lambertske flater.

Hver av de fire radiometriske størrelsene har en fotometrisk tvilling, laget ved å veie strålingen med øyets følsomhetskurve $V(\lambda )$ og telle bare det synlige. Selve vektingen – integralet – kommer i neste seksjon; her fester vi navnene, symbolene og enhetene, og stiller de to settene side om side.

Luminansen fortjener et ord ekstra, for du har møtt den før. Husk fra kapittelet om trigonometri og geometri at et sinusgitter ble beskrevet med luminansprofilen $L(x)=L_0+a\sin (bx)$ – en $L$ vi den gang ikke satte enhet på. Den $L$-en er nettopp luminansen $L_v$: hvor lys hver stripe i mønsteret er, målt i $\mathrm{cd}{\mathrm{m}}^{-2}$. Når vi i den siste seksjonen tallfester kontrasten i et slikt gitter, er det med denne størrelsen.

Det mest brukte enkeltresultatet i all praktisk fotometri er hvordan belysningsstyrken fra en punktkilde avtar med avstanden. Vi kan utlede det direkte fra de to størrelsene vi nettopp innførte, sammen med romvinkelen fra forrige seksjon.

En punktkilde med lysstyrke $I_v$ sender lysfluksen ${\mathrm{\Phi }}_v=I_v\mathrm{\Omega }$ inn i en romvinkel $\mathrm{\Omega }$. På avstanden $r$ har denne romvinkelen bredt seg ut over et areal $A=r^2\mathrm{\Omega }$ av kuleflaten – det er bare romvinkeldefinisjonen $\mathrm{\Omega }=A/r^2$ løst for arealet. Belysningsstyrken på denne flaten er lysfluksen delt på arealet:

$$E_v=\frac{{\mathrm{\Phi }}_v}{A}=\frac{I_v\mathrm{\Omega }}{r^2\mathrm{\Omega }}=\frac{I_v}{r^2}.$$

Romvinkelen $\mathrm{\Omega }$ forsvinner, og vi står igjen med avstandskvadratloven:

$$E_v=\frac{I_v}{r^2}.$$

Belysningsstyrken avtar med kvadratet av avstanden. Fordoble avstanden, og belysningsstyrken faller til en firedel; tredoble den, og den faller til en niendedel. Den geometriske grunnen er den samme som forsvant i regningen: den samme lysfluksen må dekke en kuleflate som vokser som $r^2$.

Figuren under viser hvorfor eksponenten er nettopp $2$.

Et beslektet, men atskilt spørsmål er hvor stor lysstyrke en kilde har når vi kjenner den totale lysfluksen. For en isotrop kilde deler vi hele fluksen på hele kulas romvinkel:

$$I_v=\frac{{\mathrm{\Phi }}_v}{4\pi }.$$

Hold de to bildene fra hverandre: ${\mathrm{\Phi }}_v$ er helheten – alt lyset, fordelt over $4\pi$ steradianer – mens $I_v$ er lyset per steradian, i én retning. Først når du har gått fra fluks til lysstyrke, kan du bruke avstandskvadratloven.

Luminansen $L_v$ er den størrelsen som best fanger hvor lys en scene ser ut for øyet, og øyet arbeider over et forbløffende spenn av luminanser. Kapittelet om funksjoner og grafer anslo spennet fra måneskinn til middagssol til sju tierpotenser da det innførte de logaritmiske skalaene; her tar vi med hele skalaen – fra den absolutte synsterskelen til solskiva – og setter tall og enhet på den.

Fra klart stjernelys ($\sim {10}^{-3}$) til solbelyst snø ($\sim {10}^4$) er det sju tierpotenser – like mange som mellom måneskinn og middagssol i kapittelet om funksjoner og grafer. Tar vi med terskelen nederst og solskiva øverst, spenner øyets arbeidsområde over rundt femten tierpotenser; hvor mange det blir, avhenger av hvor vidt vi trekker grensene. Dette er samme logaritmiske tankegang som lydintensitetsnivået i kapittelet om bølger, der hver tierpotens i intensitet svarte til $10\mathrm{dB}$.

To radiometriske størrelser til dukker opp så ofte at de fortjener navn, særlig fordi de er broen til lysets virkning over tid og på vev.

Den første er eksitansen: strålingsfluks ut fra en flate, per arealenhet. Radiometrisk skrives den $M_e$ og måles i $\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$; den fotometriske tvillingen $M_v$ måles i lumen per kvadratmeter ($\mathrm{lm}{\mathrm{m}}^{-2}$). Eksitansen har altså samme dimensjon som irradiansen og belysningsstyrken – én $\mathrm{lm}{\mathrm{m}}^{-2}$ er tallmessig én luks – men peker motsatt vei: $E_e$/$E_v$ er stråling som faller inn på flaten, $M_e$/$M_v$ er stråling som forlater den. Luksen holder vi til lyset som faller inn. Hold dem fra hverandre – samme dimensjon betyr ikke samme størrelse. For en flate som stråler like sterkt i alle retninger (en lambertsk flate, seksjonen etter neste) er de to knyttet sammen ved $M_v=\pi L_v$; det resultatet oppgir vi der, siden utledningen krever integrasjon over en halvkule.

Den andre er dosen, eller bestrålingen. Irradiansen $E_e$ forteller hvor sterkt en flate bestråles i øyeblikket; ganger vi med tiden bestrålingen varer, får vi den akkumulerte strålingsenergien per areal:

$$H_e=E_e\cdot t,$$

kalt bestråling og målt i joule per kvadratmeter ($\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-2}$). For en irradians som varierer med tiden er $H_e$ tidsintegralet av $E_e$ – nettopp det arealet-under-kurven-bildet fra kapittelet om kalkulus – men med konstant $E_e$ er det bare et produkt. Den beslektede størrelsen $Q_e$, den totale strålingsenergien i joule, brukes der vi teller energi framfor energi per areal.

Dosen er broen til lysets biologiske virkning: en flate tåler en viss terskel av akkumulert energi før skade oppstår, og innenfor det området der bestrålingsstyrke og tid lar seg bytte mot hverandre, spiller det mindre rolle om terskelen nås av sterk stråling over kort tid eller svak stråling over lengre tid [139]. Tidsvinduet er likevel begrenset: for hornhinnen samler kortbølget ultrafiolett stråling seg bare opp over om lag $48\mathrm{h}$, fordi epitelet fornyes i løpet av den tiden [139]. Den kliniske bruken av dette – grenseverdier for ultrafiolett eksponering av øyet – hører til den siste seksjonen; her tar vi et regneeksempel som viser prinsippet.