Vektorer og koordinatsystemer

Oppgave 4.1.1:

1. a)

   Differansene er $3-0=3$ og $4-0=4$, så avstandsformelen gir

   $$d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$$

2. b)

   Differansene er $2-(-3)=5$ og $3-(-1)=4$:

   $$d=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\approx 6.4.$$

   Svaret er rimelig: luftlinjen må ligge mellom den lengste kateten $5$ og katetsummen $9$.

3. c)

   Punktene har samme $x$-koordinat, så avstanden er den rene differansen $5-(-3)=8$; avstandsformelen bekrefter det, siden $\sqrt{0^2+8^2}=8$.

4. d)

   Midtpunktsformelen gir

   $$M=(\frac{7+9}{2},\frac{-2+5}{2})=(8,\frac{3}{2}).$$

   Kontroll: avstanden fra $M$ til hvert av endepunktene er $\sqrt{1^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2}$ begge veier – $M$ ligger midt mellom dem.

Oppgave 4.1.2:

1. a)

   Avstandsformelen i rommet gir

   $$d=\sqrt{1^2+4^2+8^2}=\sqrt{81}=9.$$

   Kontroll med Pythagoras to ganger: gulvdiagonalen er $\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$, og $\sqrt{17+8^2}=\sqrt{81}=9$.

2. b)

   Differansene er $2-1=1$, $-1-(-3)=2$ og $7-5=2$:

   $$d=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$$

Oppgave 4.1.3: Stemplingen gir $A=52\mathrm{mm}$ og $\mathrm{DBL}=18\mathrm{mm}$.

1. a)

   Hvert bokssenter ligger $\mathrm{DBL}/2+A/2=9+26=35\mathrm{mm}$ fra origo, altså i

   $$x=\pm 35\mathrm{mm}.$$

   Avstanden mellom dem er differansen $35-(-35)=70\mathrm{mm}=A+\mathrm{DBL}$, som er innfatningens senteravstand.

2. b)

   Pupillsentrene ligger symmetrisk om origo med innbyrdes avstand $\mathrm{PD}=62\mathrm{mm}$, altså i

   $$x=\pm \frac{62}{2}=\pm 31\mathrm{mm}.$$

3. c)

   Desentreringen er differansen mellom bokssenterets og pupillsenterets $x$-koordinat: $35-31=4\mathrm{mm}$ på hver side, og siden pupillsenteret ligger nærmere origo enn bokssenteret, flyttes det optiske senteret innover mot nesen:

   $$4\mathrm{mm}\text{ innover for hvert glass}.$$

   Kontroll: $2\cdot 31+2\cdot 4=70\mathrm{mm}$, som stemmer med senteravstanden fra a).

Oppgave 4.1.4: Nei. Avstandsformelen gir

som stemmer med at luftlinjen må ligge mellom den lengste kateten ($8\mathrm{mm}$) og katetsummen ($14\mathrm{mm}$). Medstudenten har regnet ut lengden av veien langs de to skrittene – summen av katetene i den rettvinklede trekanten fra figur 4.1 – ikke lengden av hypotenusen, og hypotenusen er alltid kortere enn katetsummen. Metoden hennes gir riktig svar bare i spesialtilfellet der punktene ligger på samme vannrette eller samme loddrette linje: da er én av differansene null, og avstanden er den gjenværende differansen alene.

Oppgave 4.1.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et vurderingsmoment: i a) må begge koordinatdifferansene være ulik null, og kvadratsummen deres et kvadrattall – for eksempel via en trippel som $3$-$4$-$5$ – og i b) må studentens fasit la seg etterprøve med avstands- og midtpunktsformelen på de oppgitte punktene.

Oppgave 4.2.1: Komponentene er koordinatdifferansene, endepunkt minus startpunkt, og lengden følger av lengdeformelen.

1. a)

   $\overrightarrow{AB}=[4-1,6-2]=[3,4]$, med lengde

   $$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$$

2. b)

   Vektoren er $[4-2,3-(-1),7-3]=[2,4,4]$, med lengde

   $$\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.$$

3. c)

   Start- og endepunkt er like, så vektoren er $[0,0]$ – nullvektoren, med lengde $0$ og uten retning.

Oppgave 4.2.2: Prismedioptrien er definert som centimeter forskyvning per meter avstand, $y=P\cdot x$.

1. a)

   Avstanden må inn i meter: $x=40\mathrm{cm}=0.40\mathrm{m}$. Da er

   $$y=P\cdot x=5\frac{\text{cm}}{\text{m}}\cdot 0.40\mathrm{m}=2.0\mathrm{cm},$$

   mot prismets basis.

2. b)

   Her er forskyvningen kjent, og prismestyrken er proporsjonalitetskonstanten:

   $$P=\frac{y}{x}=\frac{10\mathrm{cm}}{2.0\mathrm{m}}=5^{\mathrm{\Delta }}.$$

Oppgave 4.2.3:

1. a)

   Basis inn peker mot nesen – samme vei som positiv $x$-retning – så $P_h=3$; basis opp er samme vei som positiv $y$-retning, så $P_v=4$. Prismevirkningen er vektoren

   $$\overrightarrow{P}=[3,4].$$

2. b)

   Den samlede prismevirkningen er lengden:

   $$\left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5^{\mathrm{\Delta }}.$$

3. c)

   Begge komponentene er positive, så prismet virker skrått innover (mot nesen) og oppover.

Oppgave 4.2.4: Basis inn betyr mot nesen for begge øyne, og nesen ligger på hver sin side av de to øynene. Med positiv $x$-retning mot pasientens venstre side ligger nesen i positiv $x$-retning sett fra høyre øye, men i negativ $x$-retning sett fra venstre øye. De to horisontale prismevirkningene blir dermed

Komponentene er ikke like, så dette er ikke like vektorer – de har samme lengde, men peker motsatt vei i rommet. Kollegaen tar feil: samme basisretningsnavn på de to øynene gir motsatte vektorer, fordi basisretningene er navngitt i forhold til nesen, ikke i forhold til rommet.

Oppgave 4.2.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et godt svar bruker komponenter fra en pytagoreisk trippel (som $3$-$4$-$5$ eller $6$-$8$-$10$), og basisretningene i forskrivningen må stemme med komponentenes fortegn i det valgte koordinatsystemet.

Oppgave 4.3.1: Alle tre operasjonene virker komponentvis.

1. a)

   $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=[3+1,-2+4]=[4,2]$

2. b)

   $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=[3-1,-2-4]=[2,-6]$ – kontroller gjerne at $\overrightarrow{v}+[2,-6]=\overrightarrow{u}$.

3. c)

   Skaler først: $2\overrightarrow{u}=[6,-4]$ og $3\overrightarrow{v}=[3,12]$, så $2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=[6-3,-4-12]=[3,-16]$

4. d)

   I rommet, med tre komponenter: $[1,2,3]+[4,-2,1]=[1+4,2+(-2),3+1]=[5,0,4]$

Oppgave 4.3.2:

1. a)

   Gjør om til centimeter først: $3\mathrm{mm}=0.3\mathrm{cm}$ og $4\mathrm{mm}=0.4\mathrm{cm}$. Prentice’ regel for hver retning gir

   	$P_h$	$=0.3\text{cm}\cdot 4.00\text{D}={1.2}^{\mathrm{\Delta }},$
   	$P_v$	$=0.4\text{cm}\cdot 4.00\text{D}={1.6}^{\mathrm{\Delta }}.$

2. b)

   Plussglass: basis peker mot det optiske senteret. Synspunktet ligger innenfor og under senteret, så senteret ligger utover og oppover sett derfra: den horisontale delen har basis ut, den vertikale basis opp, og samlet peker virkningen skrått utover og oppover.

3. c)

   Basis ut gir negativ $x$-komponent og basis opp positiv $y$-komponent:

   $$\overrightarrow{P}=[-1.2,1.6],\left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{{1.2}^2+{1.6}^2}=\sqrt{4.00}={2.0}^{\mathrm{\Delta }}.$$

   Kontroll: den samlede desentreringen er $\sqrt{{0.3}^2+{0.4}^2}=0.5\mathrm{cm}$, og $0.5\text{cm}\cdot 4.00\text{D}={2.0}^{\mathrm{\Delta }}$ – samme svar.

4. d)

   I et minusglass peker basis bort fra det optiske senteret, så begge basisretningene snur: basis inn og basis ned, altså $\overrightarrow{P}=[1.2,-1.6]$. Styrken settes inn uten fortegn, så størrelsen er fortsatt ${2.0}^{\mathrm{\Delta }}$: bare retningen endres – den snus helt om.

Oppgave 4.3.3:

1. a)

   Med basis ut og basis opp står de to delene vinkelrett på hverandre, så lengdeformelen gir

   $$\left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}={10}^{\mathrm{\Delta }}.$$

2. b)

   Forslaget $14$ bommer med $4^{\mathrm{\Delta }}$ for mye, forslaget $11$ med $1^{\mathrm{\Delta }}$ for mye. Direkte addisjon av størrelsene sammenlikner $a+b$ med $\sqrt{a^2+b^2}$, og kvadratsetningen avgjør saken: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2>a^2+b^2$ så lenge begge delene er større enn null. Å addere lengdene er bare riktig når pilene peker samme vei; står de vinkelrett, teller leddet $2ab$ med i kvadratet av summen av størrelsene, men ikke i kvadratet av den samlede vektoren.

3. c)

   De to delene og summen danner en rettvinklet trekant med den samlede virkningen som hypotenus. Hypotenusen er lengre enn hver av katetene, så størrelsen er minst $8$ prismedioptrier – og veien langs de to katetene er en omvei fra start til tupp, så den rette diagonalen er kortere enn $8+6=14$ prismedioptrier. Den samlede størrelsen må derfor ligge mellom $8$ og $14$ prismedioptrier.

Oppgave 4.3.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et godt vurderingsmoment: komponentene skal følge av Prentice’ regel med desentreringen omgjort fra millimeter til centimeter, komponentparet skal danne en pytagoreisk trippel slik at $\sqrt{P_h^2+P_v^2}$ blir et helt tall, og basisretningen i ord skal stemme med glassets fortegn – basis mot senteret for plussglass, bort fra det for minusglass.

Oppgave 4.4.1: Vi bruker transformasjonsformlene fra seksjonen direkte.

1. a)

   Translasjon med $(a,b)=(3,2)$ gir

   $$x^{\prime }=7-3=4,y^{\prime }=5-2=3,$$

   altså $(4,3)$ i det nye systemet.

2. b)

   Baklengs legger vi til igjen, $x=x^{\prime }+a$ og $y=y^{\prime }+b$:

   $$x=-1+3=2,y=4+2=6,$$

   altså $(2,6)$. Kontroll forover: $2-3=-1$ og $6-2=4$, som oppgitt.

3. c)

   Speilingen om $y$-aksen skifter fortegn på førstekoordinaten: $(4,2)\to (-4,2)$, og komponent for komponent $[-3,5]\to [3,5]$. Lengdene er like:

   $$\left|[-3,5]\right|=\sqrt{{(-3)}^2+5^2}=\sqrt{34},\left|[3,5]\right|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}.$$

4. d)

   Rotasjonsformlene med $\theta =60\mathrm{°}$, $\cos 60\mathrm{°}=\frac{1}{2}$ og $\sin 60\mathrm{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ fra tabellen:

   $$x^{\prime }=4\cdot \frac{1}{2}-0\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2,y^{\prime }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3},$$

   altså $(2,2\sqrt{3})$. Kontroll: avstanden fra origo er $\sqrt{2^2+{(2\sqrt{3})}^2}=\sqrt{16}=4$ – uendret, slik en rotasjon krever.

Oppgave 4.4.2: Vi bruker omregningsformlene $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ og avstandsformelen $r=\sqrt{x^2+y^2}$, med de eksakte verdiene fra tabellen.

1. a)

   Med $\cos 60\mathrm{°}=\frac{1}{2}$ og $\sin 60\mathrm{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$x=6\cdot \frac{1}{2}=3,y=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 5.20,$$

   altså $(3,3\sqrt{3})$. Kontroll: $\sqrt{3^2+{(3\sqrt{3})}^2}=\sqrt{36}=6$, som oppgitt.

2. b)

   For $(5,90\mathrm{°})$ gir tabellen $\cos 90\mathrm{°}=0$ og $\sin 90\mathrm{°}=1$, så $x=0$ og $y=5$: punktet $(0,5)$ rett opp på $y$-aksen. For $(3,180\mathrm{°})$ er $\cos 180\mathrm{°}=-1$ og $\sin 180\mathrm{°}=0$, så punktet er $(-3,0)$ på den negative $x$-aksen.

3. c)

   Avstandsformelen gir

   $$r=\sqrt{1^2+{(\sqrt{3})}^2}=\sqrt{4}=2,$$

   og forholdstallene blir $\cos \theta =\frac{1}{2}$ og $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ – tabellens kolonne for $60\mathrm{°}$, så $(r,\theta )=(2,60\mathrm{°})$. Kontroll forover: $2\cos 60\mathrm{°}=1$ og $2\sin 60\mathrm{°}=\sqrt{3}$, som oppgitt.

Oppgave 4.4.3:

1. a)

   Punktet én enhet ut langs aksen i høyre øye er $(\cos 30\mathrm{°},\sin 30\mathrm{°})$. Speilingen om midtplanet virker som $x\to -x$ og sender det til $(-\cos 30\mathrm{°},\sin 30\mathrm{°})$, som ligger én enhet ut i retningen $180\mathrm{°}-30\mathrm{°}$ – derav akseregelen $\text{akse}\to 180-\text{akse}$. Innsetting gir

   $$180-30=150,$$

   altså en forventet akse på $150\mathrm{°}$ i venstre øye. Kontroll: speiler vi $150\mathrm{°}$ tilbake, gir $180-150=30$ utgangspunktet.

2. b)

   Den avleste $35\mathrm{°}$ ligger langt fra speilforventningen $150\mathrm{°}$, men nesten oppå høyre øyes $30\mathrm{°}$. Det ser altså ikke ut som speilsymmetri, men som direkte symmetri – de to øynene har nær samme aksetall. Med bare ett øyepar kan du ikke avgjøre saken sikkert, men avlesningen er fullt forenlig med direkte symmetri, så sjekk hvilken symmetri du faktisk venter før du dømmer den som feil.

Oppgave 4.4.4: Legg $z$-aksen langs instrumentaksen, med origo i hornhinnens toppunkt. Meridianvinkelen angir hvilken retning ut fra toppunktet du følger i planet – det er vinkelen $\theta$. Avstanden fra instrumentaksen er per definisjon avstanden fra $z$-aksen, og det er nettopp sylinderkoordinaten $r$ – husk at $r$ i sylinderkoordinater måles fra aksen, ikke fra origo. Pilhøyden er da $z$: den måler hvor langt flaten har veket unna toppunktplanet, og dette avviket måles langs instrumentaksen – altså langs $z$-aksen. Begrunnelsen for at nettopp pilhøyden er $z$, er dermed at den er den eneste av de tre størrelsene som måles langs aksen; de to andre lever i planet vinkelrett på den ($\theta$ som retning, $r$ som avstand fra aksen). Konklusjon: $(r,\theta ,z)=(\text{avstand fra instrumentaksen},\text{meridianvinkel},\text{pilhøyde})$ – topografens tre målte størrelser er sylinderkoordinater.

Oppgave 4.4.5: Åpen oppgave i a) og b); ingen entydig fasit, siden svaret avhenger av valgt vinkel og radius. Vurderingsmoment: b) skal gi tilbake nøyaktig utgangspunktet $(r,\theta )$ – avstandsformelen skal reprodusere den valgte radien, og forholdstallene $\cos \theta =\frac{x}{r}$ og $\sin \theta =\frac{y}{r}$ skal peke ut den valgte kolonnen i tabellen. Deloppgave c) har derimot et bestemt svar: en akse er en linje uten pekeretning, så $0\mathrm{°}$ og $180\mathrm{°}$ angir samme linje og alt gjentar seg etter en halv omdreining; et punkt ligger derimot på én bestemt side av origo – $(r,20\mathrm{°})$ og $(r,200\mathrm{°})$ er to forskjellige punkter – så polarvinkelen trenger hele runden opp mot $360\mathrm{°}$.