Vektorer i planet og rommet

Mange av størrelsene du har regnet med så langt, er fullt beskrevet av ett enkelt tall: en linsestyrke på $3.00\mathrm{D}$, en transmisjon på $0.25$, en pupilleavstand på $63\mathrm{mm}$. En slik størrelse kalles en skalar. Andre størrelser er ikke ferdig beskrevet før du også har oppgitt hvilken vei de virker. Forflytningen fra ett punkt til et annet er det enkleste eksemplet: «$5\mathrm{mm}$» sier hvor langt, men ikke hvorhen. En størrelse med både en størrelse og en retning kalles en vektor.

En vektor tegnes som en pil: pilens lengde viser størrelsen, og pilens retning viser retningen. I et koordinatsystem beskrives pilen av to tall, komponentene: hvor langt den går i $x$-retning, og hvor langt den går i $y$-retning. Vi skriver vektorer med en pil over navnet og setter komponentene i hakeparenteser – dette kalles komponentform:

$$\overrightarrow{v}=[v_x,v_y],$$

der $v_x$ er forflytningen i $x$-retning og $v_y$ forflytningen i $y$-retning. I rommet trengs tre komponenter, $\overrightarrow{v}=[v_x,v_y,v_z]$, med den tredje forflytningen langs $z$-aksen fra forrige seksjon.

Legg merke til parentesene. Et punkt skrives med runde parenteser, $(3,4)$; en vektor med hakeparenteser, $[3,4]$. Forskjellen er ikke pedanteri: punktet $(3,4)$ er ett bestemt sted i koordinatsystemet, mens vektoren $[3,4]$ er en oppskrift på en forflytning – tre bortover og fire opp – som kan starte hvor som helst. To piler med samme komponenter regnes derfor som samme vektor uansett hvor de starter; vi kaller dem like vektorer. Én pil har likevel en særstilling: pilen som starter i origo og ender i punktet $(v_x,v_y)$, kalles punktets posisjonsvektor. Punktet og posisjonsvektoren inneholder de samme tallene, men punktet er stedet, og vektoren er turen dit.

Skal du fra punktet $A=(x_1,y_1)$ til punktet $B=(x_2,y_2)$, flytter du deg $x_2-x_1$ i $x$-retning og $y_2-y_1$ i $y$-retning – de samme differansene som i avstandsformelen fra forrige seksjon. Vektoren fra $A$ til $B$ skrives $\overrightarrow{AB}$, med de to skrittene som komponenter, slik figuren viser:

$$\overrightarrow{AB}=[x_2-x_1,y_2-y_1].$$

Hvor lang er pilen? Se på figur 4.5: komponentene $x_2-x_1$ og $y_2-y_1$ er kateter i en rettvinklet trekant, og vektoren selv er hypotenusen – nøyaktig trekanten fra avstandsformelen i forrige seksjon. Lengden av en vektor skrives $\left|\overrightarrow{v}\right|$, og Pythagoras’ setning gir

$$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.$$

Lengden av $\overrightarrow{AB}$ er dermed det samme som avstanden mellom $A$ og $B$; lengdeformelen er avstandsformelen i ny drakt. I rommet blir det tre kvadrerte komponenter,

$$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2},$$

av samme grunn som for avstandsformelen i rommet: Pythagoras brukt to ganger, først i gulvet og så opp.

Én vektor fortjener et eget navn: nullvektoren $[0,0]$, forflytningen som ikke flytter noe. Den har lengde $0$ og er den eneste vektoren uten retning.

Husk fra kapittelinnledningen at et prisme er en glasskile som bøyer lysets retning, og fra forrige seksjon at et desentrert brilleglass virker som et svakt prisme. Nå tar vi ordentlig fatt i prismet – for virkningen av det er en vektor.

Et prisme har en tykk ende, basis, og en spiss ende, apeks. En lysstråle som går gjennom prismet, avbøyes mot basis, slik figuren nedenfor viser. Retningen endres, men vergensen gjør ikke det (husk fra kapittelet om algebra at vergensen $V$ beskriver hvor sterkt strålene samles eller spres) – prismet verken samler eller sprer lyset. For den som ser gjennom prismet, ser bildet ut til å ligge forskjøvet motsatt vei, mot apeks: øyet oppfatter strålene som om de kom rett fram langs retningen de har etter avbøyningen.

Hvor sterkt et prisme avbøyer, måles i prismedioptrier: et prisme på én prismedioptri forskyver strålen én centimeter sideveis på en skjerm én meter unna. Enhetssymbolet er en hevet stor delta rett etter tallverdien, som i $5^{\mathrm{\Delta }}$. Dobler du avstanden til skjermen, dobles forskyvningen – husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at dette er proporsjonalitet, og prismestyrken er proporsjonalitetskonstanten. Med forskyvningen $y$ målt i centimeter og avstanden $x$ i meter er prismestyrken

$$P=\frac{y}{x},\text{altså}y=P\cdot x.$$

En prismedioptri er med andre ord én centimeter forskyvning per meter avstand. Vi bruker bokstaven $P$ også her; enheten – prismedioptrier eller dioptrier – sier hvilken styrke det gjelder.

Retningen et prisme virker i, angis klinisk med basisretningen – hvilken vei basis peker når prismet står foran øyet. Fire navn dekker det vanligste: basis inn (mot nesen), basis ut (mot tinningen), basis opp og basis ned, ofte forkortet BI, BO, BU og BD etter de engelske navnene (base in/out/up/down). Prismer foreskrives blant annet ved latent skjeling – en skjult tendens til feilstilling av øynene som samsynet vanligvis holder i sjakk – for å lette samarbeidet mellom øynene [20, s. 16, 45, 50]. Styrken står da i prismedioptrier og basisretningen på brilleseddelen.

En prismevirkning har dermed alt en vektor trenger: en størrelse, målt i prismedioptrier, og en retning, gitt av basisretningen. En forskrivning kan til og med ha både en horisontal og en vertikal del – ett prisme med basis inn og ett med basis opp, for eksempel. Det er nettopp komponentform: velger du et koordinatsystem i brilleplanet, med en positiv retning for hver akse, blir forskrivningen én vektor $\overrightarrow{P}=[P_h,P_v]$ med en horisontal komponent $P_h$ og en vertikal komponent $P_v$, slik figuren viser.

Den samlede prismevirkningen er lengden av vektoren,

$$\left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{P_h^2+P_v^2},$$

akkurat som for enhver annen vektor. Retningen beskriver vi foreløpig med ord – «skrått innover og oppover»; i neste kapittel får du verktøyene til å tallfeste den som en vinkel.