Kapittel 4 · Vektorer og koordinatsystemer · 4.4

*Koordinattransformasjoner

Denne siste seksjonen er et frivillig dypdykk – du kan hoppe over den ved første gjennomlesning uten å miste tråden videre i boken. Poenget er enkelt, men nyttig: ett og samme punkt, og én og samme vektor, kan beskrives i flere ulike koordinatsystemer, og i klinikken bytter du system oftere enn du kanskje tror. En hornhinnetopograf legger origo i hornhinnens toppunkt; et autorefraktometer – et instrument som måler øyets brytning automatisk – legger sin egen i instrumentets sentreringsmerke; og skal du regne på et brilleglass, vil du helst ha origo i det optiske senteret. Samme flekk på hornhinnen får da tre forskjellige tallpar, alt etter hvem som ser på den. En koordinattransformasjon er regelen som regner koordinatene til et punkt om fra ett system til et annet. Vi ser først på fire transformasjoner – translasjon, speiling, skalering og rotasjon – og utvider deretter selve repertoaret med tre nye måter å sette koordinater på: polar-, sylinder- og kulekoordinater, som beskriver et punkt ved avstander og retninger i stedet for bare akseavstander. Et varsku før du går i gang: fra og med rotasjonen bruker denne seksjonen sinus og cosinus, som først behandles i kapittelet om trigonometri og geometri. Du får en kort forklaring ved første møte, og alle verdiene du trenger, blir oppgitt underveis – men les gjerne seksjonen på nytt etter det kapittelet, når verktøyene sitter.

Translasjon: å flytte origo

Den enkleste transformasjonen flytter bare nullpunktet. En translasjon beholder aksenes retninger og lengdeenhet, men skyver origo til et nytt sted. La det nye origoet ligge i punktet $(a,b)$ , målt i det gamle systemet, og la aksene fortsatt peke samme vei. Et punkt som hadde koordinatene $(x,y)$ i det gamle systemet, får da nye koordinater

x^{\prime}=x-a,\qquad y^{\prime}=y-b,

slik figuren viser. Fortegnet er lett å overbevise seg om: den nye $x^{\prime}$ måler hvor langt punktet ligger til høyre for det nye nullpunktet, og det er $a$ mindre enn avstanden fra det gamle. Ingen ny matematikk er inne i bildet – dette er ren subtraksjon av to konstanter.

Figur 4.13: Translasjonen flytter bare nullpunktet fra

O

til

O^{\prime}

; aksenes retning og lengdeenhet står.

Regelen går like godt baklengs. Kjenner du de nye koordinatene og vil tilbake til de gamle, legger du bare til igjen: $x=x^{\prime}+a$ og $y=y^{\prime}+b$ . Å bytte koordinatsystem forover og bakover er altså å trekke fra og legge til den samme forskyvningen.

Eksempel 4.4.1

Et topografiapparat måler en markert flekk på hornhinnen til punktet $(5,3)$ , oppgitt i millimeter i apparatets eget system med origo i sentreringsmerket. Du vil heller regne fra pupillsenteret, som ligger i punktet $(2,-1)$ i det samme systemet.

a)

Finn flekkens koordinater i et nytt system med origo i pupillsenteret og akser parallelle med de gamle.
b)

En annen flekk har de nye koordinatene $(1,1)$ . Hva var dens gamle koordinater?

Løsning: Vi flytter origo til $(a,b)=(2,-1)$ og bruker translasjonsformelen. For a) setter vi inn flekkens gamle koordinater:

x^{\prime}=5-2=3,\qquad y^{\prime}=3-(-1)=4,

altså $\underline{\underline{(3,\ 4)}}$ i det nye systemet. For b) går vi baklengs, med $x=x^{\prime}+a$ og $y=y^{\prime}+b$ :

x=1+2=3,\qquad y=1+(-1)=0,

altså $\underline{\underline{(3,\ 0)}}$ i det gamle systemet. Legg merke til at aksene aldri snudde eller endret skala – bare nullpunktet flyttet seg, og da holder det å telle om avstandene fra det.

Speiling om en akse

Den neste transformasjonen snur systemet som i et speil. En speiling om $y$ -aksen lar $y$ -koordinaten stå, men skifter fortegn på $x$ -koordinaten:

(x,y)\longrightarrow(-x,y).

Et punkt tre enheter til høyre for $y$ -aksen havner tre enheter til venstre; det som lå på aksen, blir liggende. Speiling virker på en vektor på nøyaktig samme måte, komponent for komponent: $[v_{x},v_{y}]$ speiles til $[-v_{x},v_{y}]$ . Lengden bryr seg ikke om speilingen, for den eneste komponenten som endres, blir kvadrert:

\left|[-v_{x},v_{y}]\right|=\sqrt{(-v_{x})^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\left|[v_{x},v_{y}]\right|.

En speiling flytter altså punkter og vektorer over på den andre siden av aksen uten å strekke eller krympe noe – akkurat som et planspeil.

Denne transformasjonen har et påfallende klinisk hjem: de to øynene. Høyre og venstre øye er tilnærmet speilsymmetriske om ansiktets loddrette midtplan – de er hverandres speilbilder, en egenskap som kalles enantiomorfi. Måler du formen på de to hornhinnene, er det vanligste funnet at mønsteret i det ene øyet er nær et speilbilde av mønsteret i det andre [23]. Det tvinger fram en språkbruk som håndterer speilingen. Retningen mot nesen kalles nasal, retningen mot tinningen temporal – de samme to retningene du møtte som «basis inn» og «basis ut» i prismeforskrivningen. Fordi øynene er speilbilder, peker nasal mot pasientens venstre for høyre øye og mot pasientens høyre for venstre øye: en speiling om midtplanet bytter nasal og temporal side, men beholder navnene.

Speilingen gjør seg tydeligst til kjenne i astigmatismeaksen. Husk fra keratometrien i kapittelet om algebra at et astigmatisk øye har to hovedmeridianer med ulik styrke; astigmatismeaksen angir retningen til den ene av dem. Aksen oppgis som et tall mellom $0°$ og $180°$ , målt mot klokka fra det vannrette og angitt i grader – husk fra kapittelet om funksjoner og grafer at bueminuttet er en sekstidels grad; en hel omdreining er $360°$ . Den samme skalaen brukes for begge øyne, sett forfra av undersøkeren [24]. Nettopp fordi skalaen er felles, viser den fysiologiske speilsymmetrien seg ikke som like aksetall, men som speilvendte tall. En speiling om $y$ -aksen sender en akse over i sitt speilbilde, og for en retning mellom $0°$ og $180°$ betyr $x\to-x$ nøyaktig

\text{akse}\longrightarrow 180-\text{akse}

(regnet i grader) – en ren subtraksjon, ikke en vinkelutregning. Ved eksakt speilsymmetri hører derfor en akse på $20°$ i det ene øyet sammen med $160°$ i det andre. Hos mange – men ikke alle – følger de to øynenes akser dette speilmønsteret; se det som en tydelig tendens, ikke som en unntaksfri regel [25].

Figur 4.14: Speilsymmetriske astigmatismeakser på felles skala:

160°

i høyre øye svarer til

20°

i venstre.

Eksempel 4.4.2

En pasients høyre øye har astigmatismeakse $160°$ . Målingene på de to øynene er tilnærmet speilsymmetriske om ansiktets midtplan.

a)

Hvilken akse venter du i venstre øye under eksakt speilsymmetri?
b)

En kollega leser av venstre øye til $158°$ . Ser dette ut som speilsymmetri, eller er det noe annet?

Løsning: Speilingen om midtplanet virker på aksekoordinaten som $x\to-x$ , altså $\text{akse}\to 180-\text{akse}$ . For a) gir det

180-160=\underline{\underline{20}},

altså en forventet akse på $20°$ i venstre øye. For b) ligger den avleste $158°$ svært langt fra speilforventningen på $20°$ , men nesten oppå høyre øyes $160°$ . Det ser altså ikke ut som speilsymmetri, men som direkte symmetri – de to øynene har nær samme aksetall. Med bare to øyne kan du ikke avgjøre saken sikkert; verdien er fullt forenlig med direkte symmetri, så før du dømmer avlesningen som feil, bør du sjekke hvilken symmetri du faktisk venter.

Skalering og rotasjon

Den tredje transformasjonen endrer skalaen. En skalering med faktoren $k$ ganger begge koordinatene med samme tall:

(x,y)\longrightarrow(kx,ky).

Dette er et gammelt bekjentskap i ny drakt. Husk skalarmultiplikasjonen fra forrige seksjon: å gange vektoren $\vec{v}$ med tallet $k$ ga $k\vec{v}=[kv_{x},kv_{y}]$ . Å skalere et punkt er nøyaktig det samme regnestykket, og virkningen er den samme – punktet glir langs linjen fra origo, slik figuren viser, dobbelt så langt ut for $k=2$ og halvveis inn for $k=\tfrac{1}{2}$ . Og som for vektoren ganges avstanden fra origo med $\sqrt{k^{2}}$ : er $k$ positiv, blir det ganske enkelt $k$ . Skalering krever heller ingen ny regning.

Figur 4.15: Skaleringen flytter punktet langs linjen gjennom origo, uten å endre retningen ut fra origo.

Det bringer oss til den fjerde transformasjonen: å rotere, altså vri en vinkel om origo. Rotasjonen skiller seg fra de tre andre på et grunnleggende vis. Translasjon, speiling og skalering lot seg skrive med bare addisjon, fortegnsskifte og multiplikasjon av hver koordinat for seg. En rotasjon blander derimot de to koordinatene inn i hverandre: den nye $x^{\prime}$ kommer til å avhenge av både gammel $x$ og gammel $y$ . Hvor mye av hver bestemmes av dreievinkelen $\theta$ , målt i grader som astigmatismeaksen i speilingsavsnittet. Blandingsforholdene bæres av to vinkelavhengige tall, cosinus og sinus, skrevet $\cos\theta$ og $\sin\theta$ . De defineres og behandles fullt ut i kapittelet om trigonometri og geometri; her trenger du bare den geometriske betydningen: går du én lengdeenhet ut fra origo i retningen som danner vinkelen $\theta$ med den positive $x$ -aksen, målt mot klokka, lander du i punktet

(\cos\theta,\sin\theta).

For de runde vinklene vi bruker i denne seksjonen, oppgir vi verdiene som kjensgjerninger – hvor de kommer fra, ser du i kapittelet om trigonometri og geometri:

θ0°30°45°60°90°180°cosθ13222120−1sinθ012223210

Tallverdiene er $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.71$ og $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87$ . Med dette på plass kan rotasjonsformlene skrives ned. Roteres punktet $(x,y)$ vinkelen $\theta$ mot klokka om origo, slik figuren viser, er de nye koordinatene

x^{\prime}=x\cos\theta-y\sin\theta,\qquad y^{\prime}=x\sin\theta+y\cos\theta.

Figur 4.16: Rotasjonen dreier punktet vinkelen

\theta

mot klokka om origo, med avstanden fra origo i behold.

Den fulle utledningen hører hjemme i kapittelet om trigonometri og geometri, men du kan kontrollere formlene allerede nå. Sett $θ=90°$ og start i $(1,0)$ : tabellen gir $cos90°=0$ og $sin90°=1$ , så

x^{\prime}=1\cdot 0-0\cdot 1=0,\qquad y^{\prime}=1\cdot 1+0\cdot 0=1.

Punktet på $x$ -aksen løftes opp på $y$ -aksen – nøyaktig en kvart omdreining mot klokka. Overbevis deg også om at $θ=0°$ lar punktet stå i ro. Og vil du heller vri selve koordinatsystemet mens punktet ligger i ro, er det samme regning med motsatt dreieretning: sett fra de nye aksene har punktet rotert like langt den andre veien.

Før vi utvider selve koordinatrepertoaret, samler vi trådene fra transformasjonene i ett scenario, der translasjonen møter prismeregningen fra forrige seksjon.

Eksempel 4.4.3

Et brilleglass har styrken $5.00\text{\,}\mathrm{D}$ . I glassets eget koordinatsystem ligger det optiske senteret i origo, med koordinater i centimeter. Pasientens blikklinje treffer glasset i punktet $(0.4,0)$ – altså $0.4\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ til siden for senteret.

a)

Flytt origo til treffpunktet. Hvor havner det optiske senteret i det nye systemet, og hvor stor er desentreringen?
b)

Hvor mange prismedioptrier opplever pasienten?

Løsning: For a) flytter vi origo til $(a,b)=(0.4,0)$ og setter senterets gamle koordinater inn i translasjonsformelen:

x^{\prime}=0-0.4=-0.4,\qquad y^{\prime}=0-0=0,

så det optiske senteret ligger i $(-0.4,0)$ . Desentreringen er avstanden fra treffpunktet til senteret, altså $\underline{\underline{$0.4\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$}}$ . For b) henter vi Prentice’ regel fra forrige seksjon, $P=c\cdot F$ , med desentreringen $c$ i centimeter og styrken $F$ i dioptrier:

P=c\cdot F=0.4\cdot 5.00=\underline{\underline{$2\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}.

Selve prismet regnet vi ut i forrige seksjon; det nye her er å se desentreringen ved å bytte koordinatsystem – flytt origo dit blikket treffer, og senterets nye $x$ -koordinat er desentreringen, fortegn og alt.

Polarkoordinater

De fire transformasjonene byttet mellom kartesiske koordinatsystemer – akser i rett vinkel og koordinater som forteller hvor langt du går langs hver akse. Men mange kliniske målinger er ikke bygget opp slik. En hornhinnetopograf beskriver gjerne posisjoner på hornhinnen langs en meridian – en retning ut fra toppunktet, angitt ved en vinkel; hovedmeridianene du husker fra keratometrien i kapittelet om algebra, er nettopp to slike retninger. Astigmatismeaksen fra speilingsavsnittet er også en retning angitt som et gradtall. Beskrivelsen «gå i den retningen, så langt ut» er det polarkoordinatene som fanger.

Et punkt i planet har polarkoordinater $(r,\theta)$ , der $r$ er avstanden fra origo og $\theta$ er vinkelen fra den positive $x$ -aksen til retningen mot punktet. Konvensjonen er den samme som for rotasjonen: $\theta$ måles mot klokka, og vi holder oss til $r\geq 0$ og lar $\theta$ løpe fra $0°$ rundt hele sirkelen mot $360°$ . Omregningen til kartesiske koordinater følger av det du alt vet. Punktet én enhet ut i retningen $\theta$ er $(\cos\theta,\sin\theta)$ , og punktet $r$ enheter ut ligger $r$ ganger så langt fra origo – en skalering med faktoren $r$ :

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.

Veien tilbake begynner med en gammel kjenning. Avstanden fra origo er gitt av avstandsformelen fra første seksjon,

r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},

og vinkelen leser du ut av forholdstallene $\cos\theta=\frac{x}{r}$ og $\sin\theta=\frac{y}{r}$ – for de runde vinklene kjenner du dem igjen i tabellen; den systematiske omvendingen får du i kapittelet om trigonometri og geometri.

Figur 4.17: Polarkoordinatene

(r,\theta)

gir de kartesiske ved projeksjon:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

Legg merke til kontrasten til astigmatismeaksens skala. Aksen stopper ved $180°$ fordi en akse er en linje uten pekeretning: $0°$ og $180°$ angir samme linje, så alt gjentar seg etter en halv omdreining. Et punkt ligger derimot på én bestemt side av origo – $(r,20°)$ og $(r,200°)$ er to forskjellige punkter – så polarvinkelen trenger hele runden.

Eksempel 4.4.4

Regn om mellom koordinatformene:

a)

punktet med polarkoordinater $(r,θ)=(2,30°)$ til kartesiske koordinater;
b)

punktet med kartesiske koordinater $(3,3)$ til polarkoordinater.

Løsning: For a) setter vi inn i omregningsformlene og henter $cos30°=32$ og $sin30°=12$ fra tabellen:

x=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx 1.73,\qquad y=2\cdot\tfrac{1}{2}=1,

altså punktet $\underline{\underline{(\sqrt{3},\ 1)}}$ . For b) gir avstandsformelen

r=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4.24,

og forholdstallene blir $\cos\theta=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ – tabellens kolonne for $45°$ , så $(r,θ)=(32,45°)$ . Vinkelen stemmer med bildet: punktet $(3,3)$ ligger på linjen $y=x$ , midt mellom aksene.

Sylinderkoordinater

Polarkoordinatene bor i planet, men hornhinnen bor i rommet. Sylinderkoordinater $(r,\theta,z)$ tar polarparet med seg dit: $r$ og $\theta$ er polarkoordinatene til punktets skygge i $x y$ -planet, og $z$ er den vanlige høyden. Merk at $r$ dermed er avstanden fra $z$ -aksen, ikke fra origo. Omregningen er polarformlene pluss en uendret høyde:

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,

og tilbake gir avstandsformelen $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , mens $z$ følger med urørt.

Figur 4.18: I sylinderkoordinater måles

r

fra

z

-aksen, ikke fra origo.

Dette er hornhinnetopografens naturlige språk. Husk fra første seksjon at topografen lagrer flaten som punkter $(x,y,z)$ med origo i hornhinnens toppunkt; men standarden for hornhinnetopografer definerer og regner de samme dataene meridian for meridian [18]. Meridianvinkelen sier hvilken retning ut fra toppunktet du følger – det er $\theta$ ; avstanden ut fra instrumentets akse er $r$ ; og høyden flaten har veket unna toppunktplanet der ute, er $z$ – nettopp pilhøyden fra kapittelet om funksjoner og grafer. De tre målte størrelsene er med andre ord sylinderkoordinater.

Eksempel 4.4.5

En hornhinne har sentral krumningsradius $7.8\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ [26]; krumningsradien kaller vi $r_{k}$ her, siden $r$ er opptatt av den radielle avstanden. Topografen registrerer et punkt på meridianen $60°$ , i avstanden $2\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ fra instrumentaksen.

a)

Bruk den paraksiale tilnærmingen til å finne pilhøyden i punktet.
b)

Angi punktets sylinderkoordinater, og regn dem om til $(x,y,z)$ , med alle lengder i millimeter.

Løsning: For a) henter vi den paraksiale pilhøydeformelen fra kapittelet om funksjoner og grafer, $s\approx\frac{y^{2}}{2r}$ – der sto $y$ for avstanden fra aksen, her vår $r$ , og $r$ for krumningsradien, her $r_{k}$ . Altså er $s\approx\frac{r^{2}}{2r_{k}}$ , og innsetting gir

s\approx\frac{2^{2}}{2\cdot 7.8}=\frac{4}{15.6}\approx\underline{\underline{$0.26\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$}}.

For b) er meridianvinkelen $θ=60°$ , den radielle avstanden $r=2$ og høyden $z$ pilhøyden fra a), så sylinderkoordinatene er $(r,θ,z)≈(2,60°,0.26)$ . Omregningen gir

	$\displaystyle x$	$=2cos60°=2⋅12=1,$
	$\displaystyle y$	$=2sin60°=2⋅32=3≈1.73,$
	$\displaystyle z$	$\displaystyle\approx 0.26,$

altså $(x,y,z)\approx\underline{\underline{(1,\ 1.73,\ 0.26)}}$ . Legg merke til hvor liten $z$ er mot utstrekningen i planet: hornhinnen er svakt buet på denne skalaen, og det er nettopp derfor den paraksiale tilnærmingen i a) er god.

Kulekoordinater

Sylinderkoordinatene organiserer rommet rundt en akse; kulekoordinatene organiserer det rundt et punkt og er de naturlige koordinatene for retninger i rommet – som blikkretninger. Et punkt har kulekoordinater $(r,\theta,\varphi)$ , der $r$ er avstanden fra origo, $\theta$ er polarvinkelen – målt fra den positive $z$ -aksen mot retningen til punktet, fra $0°$ til $180°$ – og $\varphi$ er asimutvinkelen i $x y$ -planet, målt mot klokka fra den positive $x$ -aksen, fra $0°$ mot $360°$ . Vær nøye med konvensjonen: symbolene brukes ulikt i ulike tradisjoner, og i mange matematikkbøker bytter $\theta$ og $\varphi$ roller. Merk særlig at vinkelen i planet – den som het $\theta$ i polar- og sylinderkoordinatene – her heter $\varphi$ : i kulekoordinatene er det polarvinkelen fra $z$ -aksen som har overtatt navnet $\theta$ . Når denne boken bruker kulekoordinater, er fordelingen alltid den ovenfor – $\theta$ fra $z$ -aksen, $\varphi$ i planet.

Omregningen bygger på sylinderkoordinatene. I planet som spennes ut av $z$ -aksen og punktet, er «gå $r$ ut i retningen $\theta$ » polaroppskriften om igjen, bare med $z$ -aksen i referanserollen: komponenten langs $z$ -aksen er $r\cos\theta$ , og avstanden fra aksen er $r\sin\theta$ . Avstanden fra aksen er nettopp sylinderradien, og den ligger i $x y$ -planet ved asimutvinkelen $\varphi$ – vinkelen sylinderkoordinatene kalte $\theta$ :

x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta.

Veien tilbake starter igjen med en avstand du kjenner: $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ er avstandsformelen i rommet fra første seksjon. Kontroller gjerne spesialtilfellene med tabellen: $θ=0°$ gir punktet $(0,0,r)$ rett opp på $z$ -aksen, og $θ=90°$ gir $z=0$ – punktet ligger i $x y$ -planet, der kulekoordinatene faller sammen med polarkoordinatene, med asimuten $\varphi$ i rollen som polarkoordinatenes vinkel.

Figur 4.19: Polarvinkelen

\theta

måles fra den positive

z

-aksen, mens asimutvinkelen

\varphi

ligger i

x y

-planet.

Synsfeltmålingen fra første seksjon er kuletenkning i praksis. Husk at perimetri tester lysfølsomheten i faste punkter rundt fikseringspunktet – punktet blikket holdes i ro på. Hvert testpunkt beskrives ved sin eksentrisitet – vinkelavstanden fra fikseringsretningen – og ved sin meridian, retningen ut fra feltets sentrum. Legger du $z$ -aksen langs fikseringsretningen, er eksentrisiteten polarvinkelen $\theta$ og meridianen asimutvinkelen $\varphi$ ; radien spiller ingen rolle for en retning, så vi kan sette $r=1$ . Meridianene telles med samme regneretning som vinklene ellers i dette kapittelet: $0°$ peker vannrett, og vinkelen vokser mot klokka opp mot $360°$ . Ståstedet er derimot et annet enn for astigmatismeaksen: synsfeltkartet tegnes slik pasienten ser feltet, så $0°$ peker mot pasientens høyre. Skalaen er felles for de to øynene; det som skifter, er hva gradtallet betyr anatomisk – $0°$ ligger temporalt i høyre øye og nasalt i venstre, mens $90°$ er oppe og $270°$ nede i begge [27]. Poenget her er uansett selve beskrivelsen: en retning og en vinkelavstand er kulekoordinater uten radius.

Eksempel 4.4.6

Under en synsfeltundersøkelse vises et lysglimt med eksentrisitet $30°$ langs meridianen $45°$ , regnet mot klokka fra vannrett. Legg $z$ -aksen langs fikseringsretningen, $x$ -aksen vannrett og $y$ -aksen loddrett, og beskriv stimulusretningen som et punkt på kulen med $r=1$ : finn $(x,y,z)$ og avstanden fra $z$ -aksen.

Løsning: Vi kler situasjonen i kulekoordinater: eksentrisiteten er polarvinkelen og meridianen er asimut, så $(r,θ,φ)=(1,30°,45°)$ . Tabellen gir $sin30°=12$ , $cos30°=32$ og $cos45°=sin45°=22$ , så

	$\displaystyle x$	$\displaystyle=1\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{4}\approx 0.35,$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle=1\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{4}\approx 0.35,$
	$\displaystyle z$	$\displaystyle=1\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87,$

altså $(x,y,z)\approx\underline{\underline{(0.35,\ 0.35,\ 0.87)}}$ . Avstanden fra $z$ -aksen er $r\sin\theta=\underline{\underline{\tfrac{1}{2}}}$ , og du kan kontrollere den med avstandsformelen: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\tfrac{2}{16}+\tfrac{2}{16}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}$ – sylinderradien gjemt inne i kuleformlene. At $z$ -komponenten dominerer, gir mening: et testpunkt $30°$ ute i feltet ligger fortsatt «mest rett fram» i forhold til blikket.

Oppgaver

Oppgave 4.4.1

a)

Origo flyttes til $(3,2)$ , med aksene i behold. Finn de nye koordinatene til punktet $(7,5)$ .
b)

I det samme nye systemet har et punkt koordinatene $(-1,4)$ . Hva var de gamle koordinatene?
c)

Speil punktet $(4,2)$ om $y$ -aksen. Speil så vektoren $[-3,5]$ om $y$ -aksen, og bekreft ved regning at speilingen ikke endrer lengden.
d)

Roter punktet $(4,0)$ vinkelen $60°$ mot klokka om origo, og oppgi de nye koordinatene eksakt.

Løsningsforslag

Oppgave 4.4.1: Vi bruker transformasjonsformlene fra seksjonen direkte.

a)

Translasjon med $(a,b)=(3,2)$ gir

$x^{\prime}=7-3=4,\qquad y^{\prime}=5-2=3,$

altså $\underline{\underline{(4,\ 3)}}$ i det nye systemet.
b)

Baklengs legger vi til igjen, $x=x^{\prime}+a$ og $y=y^{\prime}+b$ :

$x=-1+3=2,\qquad y=4+2=6,$

altså $\underline{\underline{(2,\ 6)}}$ . Kontroll forover: $2-3=-1$ og $6-2=4$ , som oppgitt.
c)

Speilingen om $y$ -aksen skifter fortegn på førstekoordinaten: $(4,2)\to\underline{\underline{(-4,\ 2)}}$ , og komponent for komponent $[-3,5]\to\underline{\underline{[3,\ 5]}}$ . Lengdene er like:

$\left|[-3,5]\right|=\sqrt{(-3)^{2}+5^{2}}=\sqrt{34},\qquad\left|[3,5]\right|=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}.$
d)

Rotasjonsformlene med $θ=60°$ , $cos60°=12$ og $sin60°=32$ fra tabellen:

$x^{\prime}=4\cdot\tfrac{1}{2}-0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=2,\qquad y^{\prime}=4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot\tfrac{1}{2}=2\sqrt{3},$

altså $\underline{\underline{(2,\ 2\sqrt{3})}}$ . Kontroll: avstanden fra origo er $\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16}=4$ – uendret, slik en rotasjon krever.

Oppgave 4.4.2

a)

Et punkt har polarkoordinater $(r,θ)=(6,60°)$ . Finn de kartesiske koordinatene $(x,y)$ .
b)

Regn om polarkoordinatene $(5,90°)$ og $(3,180°)$ til kartesiske koordinater.
c)

Et punkt har kartesiske koordinater $(1,\sqrt{3})$ . Finn polarkoordinatene $(r,\theta)$ .

Løsningsforslag

Oppgave 4.4.2: Vi bruker omregningsformlene $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ og avstandsformelen $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , med de eksakte verdiene fra tabellen.

a)

Med $cos60°=12$ og $sin60°=32$ :

$x=6\cdot\tfrac{1}{2}=3,\qquad y=6\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 5.20,$

altså $\underline{\underline{(3,\ 3\sqrt{3})}}$ . Kontroll: $\sqrt{3^{2}+(3\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{36}=6$ , som oppgitt.
b)

For $(5,90°)$ gir tabellen $cos90°=0$ og $sin90°=1$ , så $x=0$ og $y=5$ : punktet $\underline{\underline{(0,\ 5)}}$ rett opp på $y$ -aksen. For $(3,180°)$ er $cos180°=−1$ og $sin180°=0$ , så punktet er $\underline{\underline{(-3,\ 0)}}$ på den negative $x$ -aksen.
c)

Avstandsformelen gir

$r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}=2,$

og forholdstallene blir $\cos\theta=\tfrac{1}{2}$ og $\sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ – tabellens kolonne for $60°$ , så $(r,θ)=(2,60°)$ . Kontroll forover: $2cos60°=1$ og $2sin60°=3$ , som oppgitt.

Oppgave 4.4.3

En pasients høyre øye har astigmatismeakse $30°$ , og de to øynene er tilnærmet speilsymmetriske om ansiktets midtplan.

a)

Hvilken akse venter du i venstre øye under eksakt speilsymmetri? Vis hvordan speilingen $x\to-x$ gir akseregelen du bruker.
b)

En kollega leser av venstre øye til $35°$ . Er det forenlig med tilnærmet speilsymmetri, eller ser det ut som noe annet? Begrunn svaret.

Løsningsforslag

Oppgave 4.4.3:

a)

Punktet én enhet ut langs aksen i høyre øye er $(cos30°,sin30°)$ . Speilingen om midtplanet virker som $x\to-x$ og sender det til $(−cos30°,sin30°)$ , som ligger én enhet ut i retningen $180°−30°$ – derav akseregelen $\text{akse}\to 180-\text{akse}$ . Innsetting gir

$180-30=\underline{\underline{150}},$

altså en forventet akse på $150°$ i venstre øye. Kontroll: speiler vi $150°$ tilbake, gir $180-150=30$ utgangspunktet.
b)

Den avleste $35°$ ligger langt fra speilforventningen $150°$ , men nesten oppå høyre øyes $30°$ . Det ser altså ikke ut som speilsymmetri, men som direkte symmetri – de to øynene har nær samme aksetall. Med bare ett øyepar kan du ikke avgjøre saken sikkert, men avlesningen er fullt forenlig med direkte symmetri, så sjekk hvilken symmetri du faktisk venter før du dømmer den som feil.

Oppgave 4.4.4

En hornhinnetopograf beskriver flaten ved å måle pilhøyden langs ulike meridianer ut fra hornhinnens toppunkt. Forklar hvordan de tre målte størrelsene – meridianvinkelen, avstanden fra instrumentaksen og pilhøyden – svarer til hver sin sylinderkoordinat $(r,\theta,z)$ , og begrunn hvilken av dem som er $z$ .

Løsningsforslag

Oppgave 4.4.4: Legg $z$ -aksen langs instrumentaksen, med origo i hornhinnens toppunkt. Meridianvinkelen angir hvilken retning ut fra toppunktet du følger i planet – det er vinkelen $\theta$ . Avstanden fra instrumentaksen er per definisjon avstanden fra $z$ -aksen, og det er nettopp sylinderkoordinaten $r$ – husk at $r$ i sylinderkoordinater måles fra aksen, ikke fra origo. Pilhøyden er da $z$ : den måler hvor langt flaten har veket unna toppunktplanet, og dette avviket måles langs instrumentaksen – altså langs $z$ -aksen. Begrunnelsen for at nettopp pilhøyden er $z$ , er dermed at den er den eneste av de tre størrelsene som måles langs aksen; de to andre lever i planet vinkelrett på den ( $\theta$ som retning, $r$ som avstand fra aksen). Konklusjon: $(r,\theta,z)=(\text{avstand fra instrumentaksen},\ \text{meridianvinkel},\ \text{pilh\o yde})$ – topografens tre målte størrelser er sylinderkoordinater.

Oppgave 4.4.5

Velg selv en vinkel blant $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$ og $180°$ , og en radius $r$ du liker.

a)

Regn ut de kartesiske koordinatene til punktet med polarkoordinater $(r,\theta)$ .
b)

Regn deg tilbake fra $(x,y)$ til $(r,\theta)$ , og bekreft at du får utgangspunktet.
c)

Forklar med én eller to setninger hvorfor astigmatismeaksens skala klarer seg med en halv omdreining, $0°$ – $180°$ , mens polarvinkelen trenger hele runden opp mot $360°$ .

Løsningsforslag

Oppgave 4.4.5: Åpen oppgave i a) og b); ingen entydig fasit, siden svaret avhenger av valgt vinkel og radius. Vurderingsmoment: b) skal gi tilbake nøyaktig utgangspunktet $(r,\theta)$ – avstandsformelen skal reprodusere den valgte radien, og forholdstallene $\cos\theta=\frac{x}{r}$ og $\sin\theta=\frac{y}{r}$ skal peke ut den valgte kolonnen i tabellen. Deloppgave c) har derimot et bestemt svar: en akse er en linje uten pekeretning, så $0°$ og $180°$ angir samme linje og alt gjentar seg etter en halv omdreining; et punkt ligger derimot på én bestemt side av origo – $(r,20°)$ og $(r,200°)$ er to forskjellige punkter – så polarvinkelen trenger hele runden opp mot $360°$ .

Alle løsningsforslag til kapittel 4