Kapittel 4 · Vektorer og koordinatsystemer · 4.3

Vektoroperasjoner

Forrige seksjon ga deg vektorene; nå skal du regne med dem. Tre operasjoner er alt som trengs: å legge sammen vektorer, å trekke dem fra hverandre og å gange dem med tall. Alle tre virker komponentvis, så selve regningen er velkjent aritmetikk – det nye er hva operasjonene betyr som piler, og hvilke kliniske spørsmål de svarer på. Til slutt innfrir vi løftet fra seksjonen om koordinatsystemer og tallfester prismevirkningen av et desentrert brilleglass.

Addisjon og subtraksjon

To forflytninger etter hverandre gir én samlet forflytning. Går du først $\vec{u}$ og deretter $\vec{v}$ , har du i alt flyttet deg $u_{x}+v_{x}$ i $x$ -retning og $u_{y}+v_{y}$ i $y$ -retning; summen av to vektorer regnes derfor ut komponent for komponent:

\vec{u}+\vec{v}=[u_{x}+v_{x},\ u_{y}+v_{y}],

og i rommet på samme vis, med tre komponenter. Geometrisk er addisjon å tegne pilene etter hverandre: la $\vec{v}$ starte der $\vec{u}$ slutter, og summen er pilen fra starten av $\vec{u}$ til tuppen av $\vec{v}$ , slik figuren viser. Rekkefølgen spiller ingen rolle – husk fra kapittelet om algebra at addisjon av tall er kommutativ, og komponentene er nettopp tall. Figuren viser begge rekkefølgene; sammen spenner de ut et parallellogram (en firkant der motstående sider er parallelle og like lange) med summen som diagonal.

Figur 4.8: Rekkefølgen spiller ingen rolle: de to veiene spenner ut et parallellogram med

\vec{u}+\vec{v}

som diagonal.

Eksempel 4.3.1

Regn ut $[3,\ 1]+[1,\ 3]$ .

Løsning: Vi adderer komponentvis, $x$ med $x$ og $y$ med $y$ :

[3,\ 1]+[1,\ 3]=[3+1,\ 1+3]=\underline{\underline{[4,\ 4]}}.

Dette er regnestykket i figuren over: tre bortover og én opp, fulgt av én bortover og tre opp, blir samlet fire bortover og fire opp.

Differansen regnes også komponentvis:

\vec{u}-\vec{v}=[u_{x}-v_{x},\ u_{y}-v_{y}].

Den beste lesningen av differansen er «det som mangler»: $\vec{u}-\vec{v}$ er vektoren som må legges til $\vec{v}$ for å nå $\vec{u}$ . Overbevis deg om det med komponentene: i summen $\vec{v}+(\vec{u}-\vec{v})$ kansellerer $v_{x}$ mot $-v_{x}$ og $v_{y}$ mot $-v_{y}$ , og igjen står $\vec{u}$ . Lar du $\vec{u}$ og $\vec{v}$ starte i samme punkt, går differansen derfor som en pil fra tuppen av $\vec{v}$ til tuppen av $\vec{u}$ , slik figuren viser.

Figur 4.9: Med felles startpunkt går

\vec{u}-\vec{v}

fra tuppen av

\vec{v}

til tuppen av

\vec{u}

– det som mangler for å nå

\vec{u}

Multiplikasjon med et tall

Husk fra forrige seksjon at en størrelse uten retning kalles en skalar. Å gange en vektor med en skalar $k$ kalles derfor skalarmultiplikasjon, og også den virker komponentvis:

k\cdot\vec{v}=[k\cdot v_{x},\ k\cdot v_{y}].

Hver komponent skaleres med samme faktor, akkurat som funksjonsverdien i proporsjonaliteten $y=kx$ fra kapittelet om funksjoner og grafer. Geometrisk strekker eller krymper skalaren pilen, for lengden følger komponentene:

\left|k\vec{v}\right|=\sqrt{(kv_{x})^{2}+(kv_{y})^{2}}=\sqrt{k^{2}}\cdot\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{k^{2}}\cdot\left|\vec{v}\right|,

og for $k\geq 0$ er $\sqrt{k^{2}}=k$ : vektoren $2\vec{v}$ er dobbelt så lang som $\vec{v}$ og peker samme vei, mens $\frac{1}{2}\vec{v}$ er halvparten så lang. Er skalaren negativ, snur pilen i tillegg: $(-1)\cdot\vec{v}$ skrives kort $-\vec{v}$ og kalles den motsatte vektoren – like lang som $\vec{v}$ , siden $\sqrt{(-1)^{2}}=1$ , men motsatt rettet, slik figuren viser. Den motsatte vektoren knytter operasjonene sammen: å trekke fra $\vec{v}$ er det samme som å legge til $-\vec{v}$ . Sjekk gjerne at $\vec{u}+(-1)\cdot\vec{v}$ har nøyaktig komponentene til $\vec{u}-\vec{v}$ .

Figur 4.10: Skalarmultiplikasjon strekker og snur:

2\vec{v}

er dobbelt så lang og peker samme vei,

-\vec{v}

er like lang og motsatt rettet. Pilene er tegnet fra hvert sitt startpunkt – husk at like vektorer kan starte hvor som helst.

Eksempel 4.3.2

La $\vec{u}=[2,\ 1]$ og $\vec{v}=[1,\ -2]$ . Regn ut $2\vec{u}-\vec{v}$ , og finn lengden av resultatet.

Løsning: Vi skalerer først, trekker så fra komponentvis, og måler til slutt med lengdeformelen fra forrige seksjon:

	$\displaystyle 2\vec{u}$	$\displaystyle=[4,\ 2],$
	$\displaystyle 2\vec{u}-\vec{v}$	$\displaystyle=[4-1,\ 2-(-2)]=\underline{\underline{[3,\ 4]}}.$

Lengden er

\left|2\vec{u}-\vec{v}\right|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=\underline{\underline{5}}.

Legg merke til den doble fortegnsvendingen i andre komponent: å trekke fra $-2$ er å legge til $2$ .

Prismevirkningen av desentrering

I seksjonen om koordinatsystemer så du at et brilleglass med det optiske senteret på feil sted bøyer lyset av, som om et svakt prisme var lagt inn i glasset – og vi lovte å regne på hvor sterkt. Nå har du alt som trengs.

Se først på hvorfor prismet oppstår. Et plussglass kan du tenke på som to prismer stilt basis mot basis: tykkest i midten, tynnest ute ved kanten, slik figuren viser. Ser øyet gjennom et punkt over det optiske senteret, sitter det bak et prisme med basis ned; under senteret er basis opp. Et minusglass er bygget omvendt, apeks mot apeks, og snur alle retningene. Begge tilfellene samles i én regel: i et plussglass peker basis mot det optiske senteret, i et minusglass bort fra det.

Figur 4.11: Prismeparene som svarer til et plussglass og et minusglass.

Så styrken. Husk fra kapittelet om algebra at styrken og brennvidden er hverandres inverse: et glass med styrke $F$ samler parallelt innfallende lys i avstanden $f=\frac{1}{F}$ bak glasset. Punktet der lyset samles, kalles brennpunktet, og aksen i figuren nedenfor er linjen gjennom det optiske senteret og brennpunktet. Vi skriver glassets styrke som $F$ her, siden bokstaven $P$ alt er i bruk for prismevirkningen i dette kapittelet. Følg strålen i figuren: den treffer glasset $c$ centimeter fra det optiske senteret, parallelt med aksen.

Figur 4.12: Stråleforløpet gjennom et plussglass, sett fra siden.

Uten glasset ville strålen fortsatt rett fram, langs den stiplede linjen; med glasset bøyes den av og går gjennom brennpunktet. Der – $f$ meter bak glasset – ligger den $c$ centimeter unna den ubøyde retningen. Husk fra forrige seksjon at prismevirkning måles i nettopp centimeter forskyvning per meter, så avbøyningen svarer til prismevirkningen

P=\frac{c}{f}=c\cdot F.

Dette er Prentice’ regel: prismevirkningen i prismedioptrier er desentreringen i centimeter – avstanden fra det optiske senteret til punktet øyet ser gjennom – ganger glassets styrke i dioptrier [21, s. 101–102, 116–117]. Utledningen brukte et tynt glass og stråler nær aksen, den paraksiale tilnærmingen fra kapittelet om funksjoner og grafer; for virkelige glass er regelen derfor en god tilnærming og ikke en eksakt lov – og den mister nøyaktighet både for sterke og for svært svake glass [12, s. 55]. Et minusglass sprer strålene i stedet for å samle dem, men regelen gjelder med samme tallverdi: sett inn styrken uten fortegn, og hent basisretningen fra prisme-bildet over – da slipper du å holde to fortegnssystemer i hodet samtidig.

Å kombinere prismevirkninger

Husk fra forrige seksjon at en prismevirkning med både horisontal og vertikal del er én vektor $\vec{P}=[P_{h},\ P_{v}]$ , med samlet størrelse $\left|\vec{P}\right|=\sqrt{P_{h}^{2}+P_{v}^{2}}$ . Vektorregningen gjør dermed to kliniske spørsmål til ren komponentregning. Addisjonen svarer på «hva blir den samlede virkningen?»: bidrag på samme øye – fra desentrering, fra foreskrevne prismer eller begge deler – legges sammen komponent for komponent, og størrelsen leses ut med lengdeformelen. Subtraksjonen svarer på «hva mangler for å nå målet?» og «hvor stor er forskjellen mellom øynene?». Retningen beskriver vi fortsatt med ord; verktøyene som tallfester den som en vinkel, kommer i neste kapittel.

Eksempel 4.3.3

For høyre øye er målet en samlet prismevirkning på $4\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ basis ut og $3\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ basis opp. Glasset gir allerede $4\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ basis ut gjennom desentreringen sin, men ingen vertikal virkning. Hvilken prismevirkning mangler?

Løsning: «Det som mangler» er en differanse, så strategien er å skrive målet og det glasset gir som vektorer og trekke fra. Vi bruker koordinatsystemet for høyre øye fra forrige seksjon, med positiv $x$ -retning mot nesen og positiv $y$ -retning opp, slik at basis ut gir negativ $x$ -komponent. Målet er $\vec{P}=[-4,\ 3]$ , og glasset gir $\vec{P}_{1}=[-4,\ 0]$ . Det som mangler, er

\vec{P}-\vec{P}_{1}=[-4-(-4),\ 3-0]=\underline{\underline{[0,\ 3]}},

altså $3\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ basis opp – og ingen ny horisontal virkning. Kontroller med addisjon: $[-4,\ 0]+[0,\ 3]=[-4,\ 3]$ , nøyaktig målet.

Eksempel 4.3.4

En pasient har anisometropi – ulik brytning på de to øynene – og brillene har styrken $4.00\text{\,}\mathrm{D}$ på høyre øye og $1.00\text{\,}\mathrm{D}$ på venstre. Ved lesing senkes blikket, og begge øynene ser gjennom et punkt om lag $10\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ rett under det optiske senteret i sitt glass. Hvor stor er forskjellen i vertikal prismevirkning mellom øynene?

Løsning: Strategien er Prentice’ regel på hvert øye for seg, deretter en vektordifferanse. Desentreringen er $c=$10\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$=$1.0\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ – husk omregningen – og er lik for begge øynene, men styrkene er ulike:

	$\displaystyle P_{\text{h\o yre}}$	$\displaystyle=c\cdot F=1.0\ \text{cm}\cdot 4.00\ \text{D}=$4.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$,$
	$\displaystyle P_{\text{venstre}}$	$\displaystyle=1.0\ \text{cm}\cdot 1.00\ \text{D}=$1.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$.$

Enhetene går opp av seg selv: dioptri er én per meter (husk fra kapittelet om algebra), så centimeter ganger dioptri er centimeter per meter – nettopp prismedioptrier. Begge glassene er plussglass, og lesepunktet ligger under det optiske senteret, så basis peker mot senteret: opp, for begge øynene. Med positiv $y$ -retning opp er de to prismevirkningene $\vec{P}_{\text{h\o yre}}=[0,\ 4.0]$ og $\vec{P}_{\text{venstre}}=[0,\ 1.0]$ , og forskjellen mellom øynene er differansen

\vec{P}_{\text{h\o yre}}-\vec{P}_{\text{venstre}}=[0,\ 4.0-1.0]=[0,\ 3.0],

altså en vertikal forskjell på $\underline{\underline{$3.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}$ . Legg merke til hva subtraksjonen fanger: hadde begge øynene fått samme prismevirkning, ville bildene flyttet seg like mye og samsynet vært uberørt; det er forskjellen som tvinger øynene til å se i litt ulike retninger. En vertikal forskjell på tre prismedioptrier er stor i denne sammenhengen – vertikal ubalanse tolereres langt dårligere enn horisontal [22, s. 7] – og en forskjell av denne størrelsen regnes som uforenlig med komfortabelt syn på nært hold [22, s. 12]; kapittelet om optiske hjelpemidler tar opp toleransegrensene og hvordan en slik forskjell rettes.

Oppgaver

Oppgave 4.3.1

La $\vec{u}=[3,\ -2]$ og $\vec{v}=[1,\ 4]$ . Regn ut:

a)

$\vec{u}+\vec{v}$
b)

$\vec{u}-\vec{v}$
c)

$2\vec{u}-3\vec{v}$
d)

$[1,\ 2,\ 3]+[4,\ -2,\ 1]$

Løsningsforslag

Oppgave 4.3.1: Alle tre operasjonene virker komponentvis.

a)

$\vec{u}+\vec{v}=[3+1,\ -2+4]=\underline{\underline{[4,\ 2]}}$
b)

$\vec{u}-\vec{v}=[3-1,\ -2-4]=\underline{\underline{[2,\ -6]}}$ – kontroller gjerne at $\vec{v}+[2,\ -6]=\vec{u}$ .
c)

Skaler først: $2\vec{u}=[6,\ -4]$ og $3\vec{v}=[3,\ 12]$ , så $2\vec{u}-3\vec{v}=[6-3,\ -4-12]=\underline{\underline{[3,\ -16]}}$
d)

I rommet, med tre komponenter: $[1,\ 2,\ 3]+[4,\ -2,\ 1]=[1+4,\ 2+(-2),\ 3+1]=\underline{\underline{[5,\ 0,\ 4]}}$

Oppgave 4.3.2

Et brilleglass for høyre øye har styrken $4.00\text{\,}\mathrm{D}$ , og pupillen ser gjennom et punkt $3\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ innenfor (mot nesen) og $4\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$ under det optiske senteret.

a)

Finn den horisontale og den vertikale prismevirkningen hver for seg med Prentice’ regel.
b)

Finn basisretningen til hver av de to delene, og beskriv den samlede retningen med ord.
c)

Skriv den samlede prismevirkningen som en vektor i koordinatsystemet for høyre øye (positiv $x$ -retning mot nesen, positiv $y$ -retning opp), og finn størrelsen på den.
d)

Glasset byttes til $-4.00\text{\,}\mathrm{D}$ , med samme desentrering. Hva endres – størrelsen, retningen eller begge?

Løsningsforslag

Oppgave 4.3.2:

a)

Gjør om til centimeter først: $3\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$=$0.3\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ og $4\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$=$0.4\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ . Prentice’ regel for hver retning gir

$\displaystyle P_{h}$ $\displaystyle=0.3\ \text{cm}\cdot 4.00\ \text{D}=\underline{\underline{$1.2\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}},$

$\displaystyle P_{v}$ $\displaystyle=0.4\ \text{cm}\cdot 4.00\ \text{D}=\underline{\underline{$1.6\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}.$
b)

Plussglass: basis peker mot det optiske senteret. Synspunktet ligger innenfor og under senteret, så senteret ligger utover og oppover sett derfra: den horisontale delen har basis ut, den vertikale basis opp, og samlet peker virkningen skrått utover og oppover.
c)

Basis ut gir negativ $x$ -komponent og basis opp positiv $y$ -komponent:

$\vec{P}=\underline{\underline{[-1.2,\ 1.6]}},\qquad\left|\vec{P}\right|=\sqrt{1.2^{2}+1.6^{2}}=\sqrt{4.00}=\underline{\underline{$2.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}.$

Kontroll: den samlede desentreringen er $\sqrt{0.3^{2}+0.4^{2}}=$0.5\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ , og $0.5\ \text{cm}\cdot 4.00\ \text{D}=$2.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$$ – samme svar.
d)

I et minusglass peker basis bort fra det optiske senteret, så begge basisretningene snur: basis inn og basis ned, altså $\vec{P}=[1.2,\ -1.6]$ . Styrken settes inn uten fortegn, så størrelsen er fortsatt $2.0\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ : bare retningen endres – den snus helt om.

Oppgave 4.3.3

For samme øye skal to prismer slås sammen til ett skrått prisme: $8\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ basis ut og $6\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$ basis opp. En kollega foreslår å bestille $8+6=14$ prismedioptrier; en annen bruker tommelfingerregelen «det største pluss halvparten av det minste» og anslår $8+3=11$ prismedioptrier.

a)

Finn den eksakte samlede størrelsen med vektorregning.
b)

Vurder de to forslagene: hvor mye bommer hvert av dem, og hvorfor gir direkte addisjon av størrelsene alltid for mye når delene står vinkelrett på hverandre?
c)

Uten å regne: forklar hvorfor den samlede størrelsen uansett må ligge mellom $8$ og $14$ prismedioptrier.

Løsningsforslag

Oppgave 4.3.3:

a)

Med basis ut og basis opp står de to delene vinkelrett på hverandre, så lengdeformelen gir

$\left|\vec{P}\right|=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=\underline{\underline{$10\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}.$
b)

Forslaget $14$ bommer med $\underline{\underline{$4\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}$ for mye, forslaget $11$ med $\underline{\underline{$1\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}$ for mye. Direkte addisjon av størrelsene sammenlikner $a+b$ med $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , og kvadratsetningen avgjør saken: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}>a^{2}+b^{2}$ så lenge begge delene er større enn null. Å addere lengdene er bare riktig når pilene peker samme vei; står de vinkelrett, teller leddet $2ab$ med i kvadratet av summen av størrelsene, men ikke i kvadratet av den samlede vektoren.
c)

De to delene og summen danner en rettvinklet trekant med den samlede virkningen som hypotenus. Hypotenusen er lengre enn hver av katetene, så størrelsen er minst $8$ prismedioptrier – og veien langs de to katetene er en omvei fra start til tupp, så den rette diagonalen er kortere enn $8+6=14$ prismedioptrier. Den samlede størrelsen må derfor ligge mellom $8$ og $14$ prismedioptrier.

Oppgave 4.3.4

Lag din egen oppgave der et desentrert brilleglass gir både horisontal og vertikal prismevirkning, og der den samlede virkningen blir et helt antall prismedioptrier. Velg glasstyrke og desentrering selv; trekantene $3$ – $4$ – $5$ og $6$ – $8$ – $10$ er gode å sikte mot. Skriv fullstendig fasit med komponenter, vektor, samlet størrelse og basisretning i ord, og kontroller både enhetene og Pythagoras-regningen din.

Løsningsforslag

Oppgave 4.3.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. Et godt vurderingsmoment: komponentene skal følge av Prentice’ regel med desentreringen omgjort fra millimeter til centimeter, komponentparet skal danne en pytagoreisk trippel slik at $\sqrt{P_{h}^{2}+P_{v}^{2}}$ blir et helt tall, og basisretningen i ord skal stemme med glassets fortegn – basis mot senteret for plussglass, bort fra det for minusglass.

Alle løsningsforslag til kapittel 4

	$\displaystyle P_{h}$	$\displaystyle=0.3\ \text{cm}\cdot 4.00\ \text{D}=\underline{\underline{$1.2\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}},$
	$\displaystyle P_{v}$	$\displaystyle=0.4\ \text{cm}\cdot 4.00\ \text{D}=\underline{\underline{$1.6\text{\,}\mathrm{{}^{\Delta}}$}}.$