Vinkler og vinkelmål

Vi deler en hel omdreining i $360$ like store deler og kaller hver del én grad, skrevet $1\mathrm{°}$. En hel runde er da $360\mathrm{°}$, en halv omdreining $180\mathrm{°}$, og en kvart omdreining – en rett vinkel – $90\mathrm{°}$. Inndelingen av sirkelen i $360$ deler oppsto i babylonsk astronomi i de siste århundrene før vår tidsregning; selve sekstitellingen er mange århundrer eldre og har ikke noe astronomisk opphav [28, s. 25]. Tallet $360$ har ingen dypere matematisk grunn – det er praktisk fordi det har svært mange divisorer.

For finere inndeling deles graden videre. Husk fra kapittelet om eksponentialfunksjoner og logaritmer at ett bueminutt er en sekstidel av en grad. Det finnes et enda finere trinn: ett buesekund er en sekstidel av et bueminutt, altså

$$1\mathrm{°}={60}^{\prime }={3600}^{\prime \prime },$$

der ^′ betegner bueminutt og ^′′ buesekund. Denne trappa – $60$ av det ene i det neste – er den samme babylonske sekstitellingen; du møter den igjen når klokka deler timen i minutter og sekunder.

Her ligger det kliniske hjertet i vinkelbegrepet. Når du ser på et objekt, er det ikke objektets fysiske størrelse øyet registrerer direkte, men hvor stor en vinkel objektet spenner ut ved øyet. Denne vinkelen kaller vi synsvinkelen, og vi betegner den $v$. To objekter som spenner ut samme synsvinkel, danner like store bilder på netthinnen – enten det er en liten bokstav på nært hold eller en stor bokstav langt unna.

Se på figuren. Et objekt med høyde $h$ står rett fram på avstand $d$ fra øyet. Deler vi objektet på midten, får vi en rettvinklet trekant med den halve høyden $h/2$ som motstående katet og avstanden $d$ som hosliggende katet, og den halve synsvinkelen $v/2$ ved øyet. Da gjelder $\tan (v/2)=(h/2)/d$, altså

$$v=2\arctan \left(\frac{h/2}{d}\right).$$

Så lenge objektet ikke er for stort og står omtrent rett fram, gjør det liten forskjell om vi regner med den halverte trekanten eller behandler hele objektet under ett; da forenkler uttrykket seg til den formen du vil bruke oftest,

$$\tan v=\frac{h}{d}.$$

Vi kommer tilbake til $\tan$ – tangens – i neste seksjon; her holder det å vite at den knytter en vinkel til forholdet mellom motstående og hosliggende katet.

Denne synsvinkelen er broen tilbake til visusmålet. Husk fra kapittelet om eksponentialfunksjoner og logaritmer at MAR – den minste oppløsningsvinkelen – er den vinkelen den kritiske detaljen i en bokstav må spenne ut for at øyet så vidt skal skille den. MAR er altså en synsvinkel, målt i bueminutter. For et øye med normalt syn, standarden $6/6$, er MAR nettopp $1^{\prime }$: den minste detaljen øyet skiller på $6$ meter, spenner ut ett bueminutt [4].

Optotypene – bokstavene på synstavla – er bygd rundt dette. Bokstavene er konstruert slik at høyden og bredden begge er fem ganger strekbredden. På $6/6$-linja spenner streken $1^{\prime }$, så hele bokstaven spenner $5^{\prime }$ i høyden [30]. Da er bokstavens fysiske høyde bestemt av avstanden:

Graden er praktisk, men vilkårlig: valget av $360$ deler kunne like gjerne vært et annet. For matematikken som kommer – og for buelengder – finnes et mer naturlig mål, der tallet ikke er valgt, men følger av sirkelen selv. Før vi kan innføre det, trenger vi tallet $\pi$.

$\pi$ (pi) er forholdet mellom en sirkels omkrets og dens diameter. Måler du omkretsen $O$ rundt en hvilken som helst sirkel og deler på diameteren $D$, får du alltid det samme tallet, $\pi =O/D\approx 3.14159$. Dette tallet er irrasjonalt – det kan ikke skrives som en brøk mellom to hele tall, og desimalene fortsetter uten å gjenta seg. Siden diameteren er to ganger radien $r$, kan omkretsen skrives

$$O=\pi D=2\pi r.$$

Nå kan vi definere det andre vinkelmålet. Tegn en sirkel med radius $r$ og se på en sentralvinkel – en vinkel med toppunkt i sentrum. Vinkelbenene skjærer ut en bue på sirkelen; kall buelengden $s$. Vinkelen målt i radianer er da forholdet mellom buelengden og radien,

$$\theta =\frac{s}{r}.$$

Er buen akkurat like lang som radien, er $\theta =1$ radian. Fordi både buelengde og radius er lengder, forkortes enhetene bort: radianen er dimensjonsløs, et rent tall. Vi skriver likevel gjerne $\mathrm{rad}$ bak tallet når vi vil minne om hvilket vinkelmål som er brukt.

Sammenhengen med grader følger av omkretsen. En hel omdreining trekker buen helt rundt, så $s=O=2\pi r$, og da er

$$\theta =\frac{2\pi r}{r}=2\pi \text{rad}.$$

En hel runde er altså $2\pi$ radianer, samtidig som den er $360\mathrm{°}$. Det gir omregningsbroen

$$2\pi \text{rad}=360\mathrm{°},\text{så}\pi \text{rad}=180\mathrm{°}.$$

Herfra følger alt annet: én radian er $180\mathrm{°}/\pi \approx 57.30\mathrm{°}$, og for å gjøre om ganger du med $\pi /180\mathrm{°}$ den ene veien og med $180\mathrm{°}/\pi$ den andre.

Grunnen til at radianen er verdt bryet, ligger i definisjonen selv. Snur vi $\theta =s/r$, får vi $s=r\theta$: buelengden er ganske enkelt radien ganger vinkelen – når vinkelen måles i radianer. Ingen ekstra faktor, ingen $360$ eller $\pi$ som må slepes med. Denne buelengdeformelen kommer vi tilbake til i seksjonen om plane figurer; her er den grunnen til at radianen finnes.