Kapittel 2 · Algebra · 2.5

Bokstavuttrykk

Algebra introduserer bokstaver som representanter for tall. Dette gir oss mulighet til å uttrykke generelle sammenhenger og formler som gjelder for mange verdier samtidig.

Variabler og konstanter

En variabel er et symbol (vanligvis en bokstav) som kan representere ulike verdier. En konstant er et symbol med en fast verdi. I formelen $P=\frac{n-1}{r}$ er $P$ og $r$ variabler (styrke og krumningsradius), mens $n$ ofte behandles som en konstant (brytningsindeksen for et gitt materiale – et dimensjonsløst mål på hvor mye materialet bremser lyset).

Algebraiske uttrykk

Et algebraisk uttrykk kombinerer variabler, konstanter og operasjoner. Eksempler:

•

$3x+5$
•

$2a^{2}-4ab+b^{2}$
•

$\frac{x+1}{x-1}$

Ledd og koeffisienter

Et ledd er en del av et uttrykk atskilt av addisjon eller subtraksjon. I uttrykket $3x^{2}-5x+7$ er leddene $3x^{2}$ , $-5x$ og $7$ .

Koeffisienten er tallfaktoren foran variablene. I leddet $3x^{2}$ er koeffisienten 3. Hvis ingen koeffisient er skrevet eksplisitt, er den 1 (som i $x=1\cdot x$ ).

Like ledd

Like ledd har samme variabel-del (samme variabler opphøyd i samme potenser). Eksempel: $3x^{2}$ og $-5x^{2}$ er like ledd, men $3x^{2}$ og $3x$ er ikke like.

Like ledd kan kombineres ved å addere koeffisientene (dette følger av den distributive loven brukt baklengs):

3x^{2}-5x^{2}=(3-5)x^{2}=-2x^{2}

Eksempel 2.5.1

Forenkle uttrykket $5a-3b+2a+7b-a$ .

Løsning: Vi samler like ledd:

(5a+2a-a)+(-3b+7b)=\underline{\underline{6a+4b}}

Substitusjon

Å substituere betyr å erstatte en variabel med en verdi. For uttrykket $2x+3$ med $x=5$ :

2(5)+3=10+3=13

Eksempel 2.5.2

Linsemakerformelen for en tynn linse i luft er

P=(n-1)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right),

der $P$ er linsens brytningsstyrke (i dioptri), $n$ er brytningsindeksen og $r_{1},r_{2}$ er krumningsradiene til linsens to flater. For vanlig kroneglass oppgis brytningsindeksen til $n_{d}=1.523$ målt ved heliums d-linje, $587.56\text{\,}\mathrm{nm}$ [6, s. 4–5]; vi runder av til $n\approx 1.5$ i regnestykket under.

For en bikonveks linse med $n=1.5$ , $r_{1}=$0.10\text{\,}\mathrm{m}$$ og $r_{2}=$-0.15\text{\,}\mathrm{m}$$ , finn styrken.

Løsning: Vi substituerer verdiene:

	$\displaystyle P$	$\displaystyle=(1.5-1)\left(\frac{1}{0.10}-\frac{1}{-0.15}\right)$
		$\displaystyle\approx 0.5\cdot\left(10-(-6.67)\right)$
		$\displaystyle=0.5\cdot\left(10+6.67\right)$
		$\displaystyle\approx\underline{\underline{$8.33\text{\,}\mathrm{D}$}}$

Eksempel 2.5.3

LogMAR-skalaen er en moderne måte å uttrykke synsstyrke (visus) på. Skalaen er bygd slik at hver linje på synstavlen representerer en konstant logaritmisk endring i størrelsen på bokstavene: hver linje består av bokstaver som er $k=\sqrt[10]{10}\approx 1.26$ ganger så store som bokstavene på linjen under [7, avsn. V.1, s. 10] (tallet $k$ kalles linjefaktoren). Anta at en pasient akkurat klarer å lese en linje med visusverdi $V$ . Linjen over har bokstaver som er $k$ ganger så store, og tilsvarer derfor en visusverdi redusert med faktoren $k$ : $V/k$ . Tilsvarende krever linjen under $k$ ganger så godt syn, altså visus $k V$ .

Uttrykk visus tre linjer over som funksjon av $V$ , og beregn forholdet $V_{3}/V$ for $k=1.26$ .

Løsning: Hvert linjeskift oppover tilsvarer å dele på $k$ :

V_{3}=\frac{V}{k^{3}}

Med $k=1.26$ får vi $k^{3}\approx 2.00$ , altså

\frac{V_{3}}{V}=\frac{1}{k^{3}}\approx\underline{\underline{\frac{1}{2}}}

Det vil si: tre linjer på en LogMAR-tavle tilsvarer omtrent en halvering (eller dobling) av detaljnivået øyet kan oppløse.

Oppgaver

Oppgave 2.5.1

Forenkle følgende uttrykk:

a)

$4x+7-2x+3$
b)

$3a^{2}-5a+2a^{2}+a$
c)

$2(x+3)-(x-1)$

Løsningsforslag

Oppgave 2.5.1: Vi samler like ledd, og i c) løser vi først opp parentesene:

a)

$4x+7-2x+3=(4-2)x+(7+3)=\underline{\underline{2x+10}}$
b)

$3a^{2}-5a+2a^{2}+a=(3+2)a^{2}+(-5+1)a=\underline{\underline{5a^{2}-4a}}$
c)

$2(x+3)-(x-1)=2x+6-x+1=\underline{\underline{x+7}}$

Oppgave 2.5.2

Uttrykket $\frac{n_{2}-n_{1}}{r}$ gir styrken (i dioptri) til en brytende flate som skiller to medier med brytningsindekser $n_{1}$ og $n_{2}$ , der flatens krumningsradius er $r$ (i meter). Evaluer for $n_{1}=1.000$ (luft) og $n_{2}=1.336$ – kammervannets brytningsindeks, som tårefilmen foran hornhinnen ligger praktisk talt på – med $r=$0.0078\text{\,}\mathrm{m}$$ [8, s. 317–318], typiske verdier for hornhinnens fremre flate.

Løsningsforslag

Oppgave 2.5.2: Vi substituerer verdiene inn i uttrykket:

\frac{n_{2}-n_{1}}{r}=\frac{1.336-1.000}{0.0078}=\frac{0.336}{0.0078}\approx\underline{\underline{$43.1\text{\,}\mathrm{D}$}}

Kontroll baklengs: $43.1\cdot 0.0078\approx 0.336$ , som stemmer med telleren.

Oppgave 2.5.3

En brillelinse sitter et stykke foran øyet, i vertex-avstanden $d$ (avstanden fra linsens bakside til hornhinnen, som definert tidligere). Husk at den effektive styrken ved øyet er gitt ved

P_{\text{eff}}=\frac{P_{\text{brille}}}{1-d\cdot P_{\text{brille}}},

der $d$ måles i meter og $P$ i dioptri. Forenkle uttrykket når $d=0$ , og forklar i én setning hva resultatet betyr fysisk.

Løsningsforslag

Oppgave 2.5.3: Med $d=0$ blir nevneren $1-0\cdot P_{\text{brille}}=1$ , så

P_{\text{eff}}=\frac{P_{\text{brille}}}{1}=\underline{\underline{P_{\text{brille}}}}

Fysisk betyr dette at en linse som ligger helt inntil hornhinnen, virker med sin merkede styrke – det er vertex-avstanden mellom linse og øye som skaper forskjellen mellom brillestyrke og effektiv styrke.

Oppgave 2.5.4

Gjennomsnittlig hornhinnestyrke kan estimeres som $K=\frac{K_{1}+K_{2}}{2}$ , der $K_{1}$ og $K_{2}$ er målte styrker i hornhinnens to hovedretninger (meridianer). Hvis $K_{1}=$43.00\text{\,}\mathrm{D}$$ og $K=$43.75\text{\,}\mathrm{D}$$ , finn $K_{2}$ ved å omforme formelen.

Løsningsforslag

Oppgave 2.5.4: Vi multipliserer begge sider med 2 og isolerer $K_{2}$ :

K=\frac{K_{1}+K_{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad K_{2}=2K-K_{1}=2\cdot$43.75\text{\,}\mathrm{D}$-$43.00\text{\,}\mathrm{D}$=\underline{\underline{$44.50\text{\,}\mathrm{D}$}}

Kontroll ved innsetting: $\left($43.00\text{\,}\mathrm{D}$+$44.50\text{\,}\mathrm{D}$\right)/2=$43.75\text{\,}\mathrm{D}$$ , som oppgitt.

Oppgave 2.5.5

Skap en egen formel der minst to ulike variabler inngår, gi variablene en realistisk klinisk eller hverdagslig tolkning, og lag deretter en oppgave der man skal finne én av variablene gitt verdiene til de andre. Sjekk at enhetene henger sammen i formelen.

Løsningsforslag

Oppgave 2.5.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må inneholde en formel der enhetene på begge sider stemmer overens, og en tilhørende oppgave som faktisk lar seg løse ved substitusjon eller omforming av formelen.

Alle løsningsforslag til kapittel 2