Kapittel 2 · Algebra · 2.4

Brøkregning

Brøker er fundamentale i optometri; mange optiske formler involverer brøkuttrykk. Å beherske brøkregning er derfor essensielt.

Brøk

En brøk $\frac{a}{b}$ består av en teller ( $a$ ) og en nevner ( $b$ ). Brøken representerer divisjonen $a\div b$ , altså $a$ delt i $b$ like deler. Nevneren kan ikke være null, da divisjon med null er udefinert.

Likeverdige brøker

To brøker er likeverdige hvis de representerer samme verdi. Vi kan lage likeverdige brøker ved å multiplisere eller dividere både teller og nevner med samme tall (unntatt null):

\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}=\frac{a\div k}{b\div k}\quad\text{for }k\neq 0

For eksempel: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$ .

Forkorting

Å forkorte en brøk betyr å dividere teller og nevner med deres største felles faktor (SFF). En brøk er fullt forkortet når teller og nevner ikke har felles faktorer utover 1.

\frac{12}{18}=\frac{12\div 6}{18\div 6}=\frac{2}{3}

Addisjon og subtraksjon

Brøker kan bare adderes eller subtraheres direkte når de har samme nevner (fellesnevner):

\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

For brøker med ulike nevnere må vi først finne fellesnevner:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{c\cdot b}{d\cdot b}=\frac{ad+cb}{bd}

Den minste fellesnevneren (MFN) er det minste tallet som begge nevnerne går opp i.

Multiplikasjon

Brøker multipliseres ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner:

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

Divisjon

Divisjon med en brøk er det samme som multiplikasjon med den omvendte brøken (den resiproke):

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}

Den resiproke av $\frac{c}{d}$ er $\frac{d}{c}$ .

Eksempel 2.4.1

En pasient har synsstyrke (visus) 6/18. Forkort denne brøken.

Løsning: Vi finner SFF av 6 og 18, som er 6:

\frac{6}{18}=\frac{6\div 6}{18\div 6}=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}

Dette betyr at pasienten ser på 6 meter det en person med normalsyn ser på 18 meter [4, punkt 3.3.2, s. 2].

Eksempel 2.4.2

Når to tynne linser plasseres helt inntil hverandre – to linser i kontakt – blir den samlede optiske styrken $P$ summen av enkeltstyrkene: $P=P_{1}+P_{2}$ . (Resultatet kommer av at lyset brytes ved hver linse og at avstanden mellom dem er forsvinnende liten; vi utleder det grundigere i kapittelet om geometrisk optikk.) Hvis $P_{1}=\frac{5}{2}\,$\mathrm{D}$$ og $P_{2}=\frac{3}{4}\,$\mathrm{D}$$ , hva er totalstyrken?

Løsning: Vi trenger fellesnevner. MFN av 2 og 4 er 4:

P=\frac{5}{2}+\frac{3}{4}=\frac{10}{4}+\frac{3}{4}=\frac{13}{4}=\underline{\underline{$3.25\text{\,}\mathrm{D}$}}

Eksempel 2.4.3

En lupe er en enkel samlelinse som forstørrer et nært objekt. Forstørrelsen er gitt ved

M=\frac{D_{\text{ref}}}{f},

der $D_{\text{ref}}=$0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ er referanseavstanden – avstanden for tydelig nærsyn, som per konvensjon settes til 25 cm og er det lupens forstørrelse måles mot [5, oppslagsord «magnification, apparent»] – og $f$ er lupens brennvidde. Hvis $f=\frac{1}{20}\,$\mathrm{m}$$ , hva er forstørrelsen? Og hva blir den med en svakere lupe med dobbelt så lang brennvidde, $f=\frac{1}{10}\,$\mathrm{m}$$ ?

Løsning: Vi setter inn i forstørrelsesformelen og bruker at divisjon med en brøk er multiplikasjon med den resiproke:

M=\frac{0.25}{\frac{1}{20}}=0.25\cdot 20=\underline{\underline{5}}

For den svakere lupen gir samme regning

M=\frac{0.25}{\frac{1}{10}}=0.25\cdot 10=\underline{\underline{2.5}}

$M$ er dimensjonsløst fordi både teller og nevner har enhet meter, og sammenligningen viser mønsteret: dobles brennvidden, halveres forstørrelsen – kortere brennvidde betyr sterkere lupe.

Eksempel 2.4.4

En brillelinse sitter ikke direkte på øyet, men i en liten avstand foran hornhinnen. Denne avstanden – fra linsens bakside til hornhinnens forflate – kalles vertex-avstand og betegnes $d$ . Når linsestyrken $P$ måles i selve linsen, men vi vil vite hvilken styrke linsen leverer ved øyet, må vi regne om til en effektiv styrke:

P_{\text{eff}}=\frac{P}{1-dP}.

For en brillelinse med $P=$10\text{\,}\mathrm{D}$$ i vertex-avstand $d=\frac{1}{50}\,$\mathrm{m}$=$0.02\text{\,}\mathrm{m}$$ , hva er den effektive styrken ved øyet? Undersøk deretter, med samme formel og samme vertex-avstand, hva som skjer når styrken er negativ, $P=$-10\text{\,}\mathrm{D}$$ : virker også den linsen sterkere ved øyet?

Løsning: Først beregner vi nevneren:

1-dP=1-\frac{1}{50}\cdot 10=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}

Deretter:

P_{\text{eff}}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=10\cdot\frac{5}{4}=\frac{50}{4}=\underline{\underline{$12.5\text{\,}\mathrm{D}$}}

Med $P=$-10\text{\,}\mathrm{D}$$ snur fortegnet på produktet $d P$ , og nevneren blir større enn 1 i stedet for mindre:

P_{\text{eff}}=\frac{-10}{1+\frac{1}{5}}=-10\cdot\frac{5}{6}=-\frac{50}{6}\approx\underline{\underline{$-8.33\text{\,}\mathrm{D}$}}

En linse med positiv styrke «føles» altså sterkere ved øyet enn dens målte styrke skulle tilsi, mens en med negativ styrke føles svakere – samme formel gir motsatt utslag, styrt av fortegnet til $P$ .

Oppgaver

Oppgave 2.4.1

Forkort følgende brøker:

a)

$\frac{24}{36}$
b)

$\frac{45}{60}$
c)

$\frac{6}{9}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.4.1: Vi dividerer teller og nevner med største felles faktor.

a)

SFF av 24 og 36 er 12: $\frac{24}{36}=\frac{24\div 12}{36\div 12}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$
b)

SFF av 45 og 60 er 15: $\frac{45}{60}=\frac{45\div 15}{60\div 15}=\underline{\underline{\frac{3}{4}}}$
c)

SFF av 6 og 9 er 3: $\frac{6}{9}=\frac{6\div 3}{9\div 3}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$

Oppgave 2.4.2

Utfør beregningene:

a)

$\frac{2}{5}+\frac{3}{10}$
b)

$\frac{7}{8}-\frac{1}{3}$
c)

$\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}$
d)

$\frac{5}{6}\div\frac{2}{3}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.4.2:

a)

MFN av 5 og 10 er 10: $\frac{2}{5}+\frac{3}{10}=\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\underline{\underline{\frac{7}{10}}}$
b)

MFN av 8 og 3 er 24: $\frac{7}{8}-\frac{1}{3}=\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\underline{\underline{\frac{13}{24}}}$
c)

$\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=\frac{3\cdot 8}{4\cdot 9}=\frac{24}{36}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$
d)

Divisjon er multiplikasjon med den resiproke: $\frac{5}{6}\div\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{12}=\underline{\underline{\frac{5}{4}}}$

Oppgave 2.4.3

En pasient forbedrer sin visus fra 6/60 til 6/15 etter korreksjon. Hvor mange ganger bedre har synsevnen blitt? (Hint: Sammenlign brøkene.)

Løsningsforslag

Oppgave 2.4.3: Som verdier er $\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$ og $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ . Forholdet mellom ny og gammel visus er

\frac{2}{5}\div\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\cdot\frac{10}{1}=\frac{20}{5}=\underline{\underline{4}}

Synsevnen er blitt 4 ganger bedre.

Oppgave 2.4.4

Linseformelen for en tynn linse er $\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}$ , der $s$ er objektavstanden, $s^{\prime}$ bildeavstanden og $f$ brennvidden. Avstander måles i lysets retning, så et reelt objekt foran linsen får negativ objektavstand. Et objekt står $0.5\text{\,}\mathrm{m}$ foran en linse ( $s=$-0.5\text{\,}\mathrm{m}$$ ) og gir et skarpt bilde $0.25\text{\,}\mathrm{m}$ bak den ( $s^{\prime}=$0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ ). Finn $f$ .

Løsningsforslag

Oppgave 2.4.4: Vi løser linseformelen for $\frac{1}{f}$ og setter inn:

\frac{1}{f}=\frac{1}{s^{\prime}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{0.25}-\frac{1}{-0.5}=4+2=6\,${\mathrm{m}}^{-1}$

Dermed er $f=\underline{\underline{\frac{1}{6}\,$\mathrm{m}$\approx$0.17\text{\,}\mathrm{m}$}}$ . Kontroll: $\frac{1}{s}+\frac{1}{f}=-2+6=4=\frac{1}{0.25}=\frac{1}{s^{\prime}}$ .

Oppgave 2.4.5

Forklar hvorfor $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ ved å bruke definisjonen av divisjon som «hvor mange ganger går divisoren opp i dividenden».

Løsningsforslag

Oppgave 2.4.5: Per definisjon er $x=\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$ tallet som angir hvor mange ganger $\frac{c}{d}$ går opp i $\frac{a}{b}$ , altså tallet som oppfyller $x\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$ . Multipliserer vi begge sider med den resiproke $\frac{d}{c}$ , blir venstresiden $x\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}=x\cdot\frac{cd}{dc}=x$ , og dermed

x=\underline{\underline{\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}}

Kontroll med tall: $1\div\frac{1}{2}=2$ , siden $\frac{1}{2}$ går to ganger opp i $1$ – og regelen gir samme svar, $1\cdot\frac{2}{1}=2$ .

Alle løsningsforslag til kapittel 2