Algebra

Oppgave 2.1.1: Vi utfører operasjonene direkte.

1. a)

   $47+83=130$

2. b)

   $156-89=67$

3. c)

   Vi deler opp den ene faktoren: $23\cdot 17=20\cdot 17+3\cdot 17=340+51=391$

4. d)

   $\frac{432}{18}=24$, siden $18\cdot 24=432$.

Oppgave 2.1.2: Vi skriver den ene faktoren som en sum eller differanse og bruker den distributive loven.

1. a)

   $7\cdot 97=7\cdot (100-3)=700-21=679$

2. b)

   $25\cdot 14=25\cdot (10+4)=250+100=350$

Oppgave 2.1.3: Vi bruker potensdefinisjonen og regnereglene for potenser.

1. a)

   $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$

2. b)

   ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

3. c)

   $5^0\cdot 5^2=5^{0+2}=5^2=25$ – samme svar som direkte utregning $1\cdot 25$, siden $5^0=1$.

4. d)

   ${\left(-2\right)}^2=(-2)\cdot (-2)=4$, mens $-2^2=-(2^2)=-4$. Eksponenten virker bare på det som står rett foran den: i ${\left(-2\right)}^2$ gjør parentesen hele tallet $-2$ til grunntall, mens i $-2^2$ kvadreres bare $2$, og fortegnet settes på etterpå.

Oppgave 2.1.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse beskriver en konkret situasjon der minst én av de fire regneoperasjonene inngår naturlig, og oppgaveforfatteren kan selv stille opp regnestykket og regne ut riktig svar.

Oppgave 2.2.1:

1. a)

   Omform til samme enhet først: $40\mathrm{cm}=0.4\mathrm{m}$. Da er

   $$2.5\mathrm{m}+0.4\mathrm{m}=2.9\mathrm{m}$$

2. b)

   Både tallene og enhetene multipliseres:

   $$6\mathrm{m}\cdot 4\mathrm{m}=\left(6\cdot 4\right)\mathrm{m}\cdot \mathrm{m}=24{\mathrm{m}}^2$$

3. c)

   Tallene divideres, og enhetene danner en brøk:

   $$\frac{180\mathrm{km}}{2\mathrm{h}}=\frac{180}{2}\frac{\text{km}}{\text{h}}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Oppgave 2.2.2: Effektiv arbeidstid per ansatt per dag er $8\mathrm{timer}-0.5\mathrm{timer}=7.5\mathrm{timer}$ – samme enhet, så subtraksjonen er lov. Samlet kapasitet per uke:

$$7.5\frac{\text{timer}}{\text{dag}}\cdot 5\frac{\text{dager}}{\text{uke}}\cdot 12\text{ansatte}=450\frac{\text{timer}}{\text{uke}}$$

Hver konsultasjon tar $30\mathrm{minutter}=0.5\mathrm{timer}$ per pasient, og dermed

$$\frac{450\frac{\text{timer}}{\text{uke}}}{0.5\frac{\text{timer}}{\text{pasient}}}=900\frac{\text{pasienter}}{\text{uke}}$$

Enheten timer kanselleres, og bare pasienter per uke står igjen. Kontroll: hver ansatt rekker $7.5/0.5=15$ pasienter per dag, og $15\cdot 5\cdot 12=900$.

Oppgave 2.2.3: Feilen ligger i enhetsbehandlingen: ved divisjon skal enhetene danne en brøk, ikke multipliseres. Riktig enhetsregning gir

$$\frac{\text{m}}{\text{m/s}}=\text{m}\cdot \frac{\text{s}}{\text{m}}=\text{s},$$

så resultatet er en tid i sekunder, ikke $\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}$. Tallverdien følger av divisjonsregelen for tierpotenser:

$$\frac{1.5\times {10}^{11}\mathrm{m}}{3\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1.5}{3}\cdot {10}^{11-8}\text{s}=0.5\cdot {10}^3\text{s}=500\mathrm{s}$$

Tallverdien $500$ var altså riktig; bare enheten var gal. Kontroll: $3\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 500\mathrm{s}=1.5\times {10}^{11}\mathrm{m}$, som stemmer med avstanden.

Oppgave 2.2.4: Addisjon krever samme enhet og bevarer den: $\mathrm{m}+\mathrm{m}$ gir alltid en størrelse i $\mathrm{m}$ – altså en lengde, aldri et areal. Siden areal har enhet ${\mathrm{m}}^2$, kan formelen «areal $=$ lengde $+$ bredde» umulig stemme, uansett hvilke tall som settes inn. Skal resultatet få enhet ${\mathrm{m}}^2$, må enhetene multipliseres, og det skjer bare når to lengder multipliseres:

$$\text{lengde}\cdot \text{bredde gir }\mathrm{m}\cdot \mathrm{m}={\mathrm{m}}^2$$

Oppgave 2.2.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse beskriver en situasjon med minst to størrelser med ulike enheter, og løsningen må vise at enhetene kombineres eller kanselleres slik at riktig enhet står igjen i svaret – fjernes enhetsbehandlingen, skal oppgaven bli tvetydig eller gal.

Oppgave 2.3.1:

1. a)

   Multiplikasjonen først, deretter fra venstre mot høyre: $15-3\cdot 4+2=15-12+2=3+2=5$

2. b)

   Divisjonene har samme prioritet og utføres fra venstre mot høyre: $24÷6÷2=4÷2=2$

3. c)

   Parentesen først, så eksponenten: ${(7-3)}^2+6=4^2+6=16+6=22$

4. d)

   Innerst i parentesen utføres multiplikasjonen før subtraksjonen: $100-5\cdot (8-2\cdot 3)=100-5\cdot 2=100-10=90$

Oppgave 2.3.2: Brøkstreken fungerer som en parentes rundt telleren, så summen $K_1+K_2$ beregnes før divisjonen:

$$K=\frac{K_1+K_2}{2}=\frac{42.50+44.00}{2}=\frac{86.50}{2}=43.25\mathrm{D}$$

Oppgave 2.3.3: Uten parenteser er $8+4\cdot 2-6÷3=8+8-2=14$.

1. a)

   En parentes rundt summen tvinger addisjonen først: $(8+4)\cdot 2-6÷3=24-2=22$

2. b)

   Nøstede parenteser, som evalueres innenfra og ut: $\left((8+4)\cdot 2-6\right)÷3=\left(24-6\right)÷3=18÷3=6$

Oppgave 2.3.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må inneholde et uttrykk der gal og riktig rekkefølge faktisk gir ulike tall, begge utregningene vist, og en kort forklaring som peker på hvilken PEMDAS-regel som blir brutt i den gale varianten.

Oppgave 2.4.1: Vi dividerer teller og nevner med største felles faktor.

1. a)

   SFF av 24 og 36 er 12: $\frac{24}{36}=\frac{24÷12}{36÷12}=\frac{2}{3}$

2. b)

   SFF av 45 og 60 er 15: $\frac{45}{60}=\frac{45÷15}{60÷15}=\frac{3}{4}$

3. c)

   SFF av 6 og 9 er 3: $\frac{6}{9}=\frac{6÷3}{9÷3}=\frac{2}{3}$

Oppgave 2.4.2:

1. a)

   MFN av 5 og 10 er 10: $\frac{2}{5}+\frac{3}{10}=\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$

2. b)

   MFN av 8 og 3 er 24: $\frac{7}{8}-\frac{1}{3}=\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\frac{13}{24}$

3. c)

   $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}=\frac{3\cdot 8}{4\cdot 9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$

4. d)

   Divisjon er multiplikasjon med den resiproke: $\frac{5}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$

Oppgave 2.4.3: Som verdier er $\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$ og $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Forholdet mellom ny og gammel visus er

$$\frac{2}{5}÷\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\cdot \frac{10}{1}=\frac{20}{5}=4$$

Synsevnen er blitt 4 ganger bedre.

Oppgave 2.4.4: Vi løser linseformelen for $\frac{1}{f}$ og setter inn:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{s^{\prime }}-\frac{1}{s}=\frac{1}{0.25}-\frac{1}{-0.5}=4+2=6{\mathrm{m}}^{-1}$$

Dermed er $f=\frac{1}{6}\mathrm{m}\approx 0.17\mathrm{m}$. Kontroll: $\frac{1}{s}+\frac{1}{f}=-2+6=4=\frac{1}{0.25}=\frac{1}{s^{\prime }}$.

Oppgave 2.4.5: Per definisjon er $x=\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}$ tallet som angir hvor mange ganger $\frac{c}{d}$ går opp i $\frac{a}{b}$, altså tallet som oppfyller $x\cdot \frac{c}{d}=\frac{a}{b}$. Multipliserer vi begge sider med den resiproke $\frac{d}{c}$, blir venstresiden $x\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{d}{c}=x\cdot \frac{cd}{dc}=x$, og dermed

$$x=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$

Kontroll med tall: $1÷\frac{1}{2}=2$, siden $\frac{1}{2}$ går to ganger opp i $1$ – og regelen gir samme svar, $1\cdot \frac{2}{1}=2$.

Oppgave 2.5.1: Vi samler like ledd, og i c) løser vi først opp parentesene:

1. a)

   $4x+7-2x+3=(4-2)x+(7+3)=2x+10$

2. b)

   $3a^2-5a+2a^2+a=(3+2)a^2+(-5+1)a=5a^2-4a$

3. c)

   $2(x+3)-(x-1)=2x+6-x+1=x+7$

Oppgave 2.5.2: Vi substituerer verdiene inn i uttrykket:

$$\frac{n_2-n_1}{r}=\frac{1.336-1.000}{0.0078}=\frac{0.336}{0.0078}\approx 43.1\mathrm{D}$$

Kontroll baklengs: $43.1\cdot 0.0078\approx 0.336$, som stemmer med telleren.

Oppgave 2.5.3: Med $d=0$ blir nevneren $1-0\cdot P_{\text{brille}}=1$, så

$$P_{\text{eff}}=\frac{P_{\text{brille}}}{1}=P_{\text{brille}}$$

Fysisk betyr dette at en linse som ligger helt inntil hornhinnen, virker med sin merkede styrke – det er vertex-avstanden mellom linse og øye som skaper forskjellen mellom brillestyrke og effektiv styrke.

Oppgave 2.5.4: Vi multipliserer begge sider med 2 og isolerer $K_2$:

$$K=\frac{K_1+K_2}{2}⟹K_2=2K-K_1=2\cdot 43.75\mathrm{D}-43.00\mathrm{D}=44.50\mathrm{D}$$

Kontroll ved innsetting: $\left(43.00\mathrm{D}+44.50\mathrm{D}\right)/2=43.75\mathrm{D}$, som oppgitt.

Oppgave 2.5.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må inneholde en formel der enhetene på begge sider stemmer overens, og en tilhørende oppgave som faktisk lar seg løse ved substitusjon eller omforming av formelen.

Oppgave 2.6.1: Vi velger mønster per uttrykk: felles faktor, konjugatsetningen, kvadratsetning og produkt-og-sum.

1. a)

   Felles faktor 4: $8x-12=4(2x-3)$

2. b)

   Konjugatsetningen med $49=7^2$: $x^2-49=(x+7)(x-7)$

3. c)

   Andre kvadratsetning med $25=5^2$ og $10x=2\cdot 5\cdot x$: $x^2-10x+25={(x-5)}^2$

4. d)

   To tall med produkt 12 og sum 7 er 3 og 4: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$

Utmultiplisering av hvert svar gir det opprinnelige uttrykket tilbake – det er kontrollen.

Oppgave 2.6.2: Vi søker $(px+q)(rx+s)$ med $pr=2$, $qs=-3$ og $ps+qr=5$. Med $p=2$ og $r=1$ prøver vi $q=-1$ og $s=3$: da er $ps+qr=2\cdot 3+(-1)\cdot 1=5$, som stemmer:

$$2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)$$

Kontroll: $(2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$.

Oppgave 2.6.3: Med $h^2$ og $r^2$ som byggesteiner passer uttrykket den andre kvadratsetningen, $a^2-2ab+b^2$ med $a=h^2$ og $b=r^2$:

$$h^4-2h^2{r}^2+r^4={(h^2-r^2)}^2$$

Faktoren $h^2-r^2$ er en differanse mellom kvadrater og faktoriseres videre med konjugatsetningen:

$$h^4-2h^2{r}^2+r^4={(h+r)}^2{(h-r)}^2$$

Kontroll: ${(h+r)}^2{(h-r)}^2={\left[(h+r)(h-r)\right]}^2={(h^2-r^2)}^2=h^4-2h^2{r}^2+r^4$.

Oppgave 2.6.4: Utmultiplisering gir konjugatsetningen direkte:

$$(n-1)(n+1)=n^2+n-n-1=n^2-1$$

La så $n$ være et oddetall, $n=2k+1$ for et helt tall $k$. Da er $n-1=2k$ og $n+1=2(k+1)$ to partall som følger rett etter hverandre, og

$$n^2-1=2k\cdot 2(k+1)=4k(k+1).$$

Av de to påfølgende hele tallene $k$ og $k+1$ er alltid ett et partall, så $k(k+1)$ er delelig med 2, og dermed er $n^2-1=4k(k+1)$ delelig med $4\cdot 2=8$. Kontroll med $n=5$: $n^2-1=24=8\cdot 3$.

Oppgave 2.6.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må vise at utmultipliseringen og faktoriseringen er hverandres motsatte operasjoner: det utmultipliserte uttrykket skal ved faktorisering gi nøyaktig det faktoriserte utgangspunktet tilbake.

Oppgave 2.7.1: Uttrykkene er udefinert der nevneren er null.

1. a)

   $x+5=0$ gir $x=-5$. Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $-5$.

2. b)

   $x^2-4=(x-2)(x+2)=0$ gir $x=2$ eller $x=-2$. Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $-2$ og $2$.

3. c)

   $x^2+1\ge 1$ for alle reelle $x$, så nevneren blir aldri null. Definisjonsmengden er alle reelle tall.

Oppgave 2.7.2:

1. a)

   Faktoriser telleren og stryk felles faktor:

   $$\frac{x^2-4x}{x-4}=\frac{x(x-4)}{x-4}=x\text{for }x\ne 4$$

2. b)

   Faktoriser teller og nevner:

   $$\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x+3)}{{(x+2)}^2}=\frac{x+3}{x+2}\text{for }x\ne -2$$

3. c)

   Fellesnevneren er $(x+1)(x-1)=x^2-1$:

   $$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{2(x-1)+3(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{5x+1}{x^2-1}$$

4. d)

   Multipliser tellerne og nevnerne, og stryk felles faktorer:

   $$\frac{x}{x+2}\cdot \frac{x+2}{x^2}=\frac{x(x+2)}{(x+2)x^2}=\frac{1}{x}\text{for }x\ne -2\text{ og }x\ne 0$$

Oppgave 2.7.3: Vi setter høyresiden på felles brøkstrek med fellesnevneren $sf$:

$$\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}=\frac{f}{sf}+\frac{s}{sf}=\frac{s+f}{sf}$$

Når to brøker er like, er også de omvendte brøkene like:

$$s^{\prime }=\frac{sf}{s+f}$$

Kontroll: med $s=f$ gir formelen $s^{\prime }=\frac{s^2}{2s}=\frac{s}{2}$, i samsvar med $\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}=\frac{2}{s}$.

Oppgave 2.7.4:

1. a)

   Forkorting stryker felles faktorer i teller og nevner. I $\frac{x+2}{x}$ er $x$ et ledd i telleren, ikke en faktor i hele telleren, så det finnes ingen felles faktor å stryke. Talleksempel med $x=3$: $\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}\ne 2$. En lovlig forenkling er å dele leddvis på nevneren:

   $$\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x}+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{x}$$

2. b)

   Nevneren faktoriseres: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, som er null for $x=2$ og $x=-1$. Uttrykket er altså udefinert for $x=2$ og $x=-1$. Vi faktoriserer telleren og forkorter:

   $$\frac{x^2-1}{x^2-x-2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x-1}{x-2}\text{for }x\ne -1$$

   Forkortingen med $(x+1)$ forutsetter at $x+1\ne 0$; for $x=-1$ gir det opprinnelige uttrykket $\frac{0}{0}$, som er udefinert. Det forenklede uttrykket er derfor bare likt det opprinnelige der begge er definert, og $x=-1$ forblir utenfor definisjonsmengden selv om faktoren ikke lenger er synlig i nevneren.

Oppgave 2.7.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må inneholde to rasjonale uttrykk med reelt ulike nevnere, en korrekt funnet fellesnevner med riktig utvidelse av begge brøkene, og en forklaring som peker på en konkret gevinst ved det forenklede uttrykket – for eksempel at én brøkstrek gjør innsetting eller tolkning enklere, slik summen $\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}=\frac{f_1+f_2}{f_1{f}_2}$ i seksjonens eksempel gjør.

Oppgave 2.8.1: Ekvivalente omforminger gjennomgående; i c) velger vi faktorisering, og i e) snur ulikhetstegnet ved divisjon med et negativt tall.

1. a)

   $5x+3=2x-9$ gir $3x=-12$, så $x=-4$. Kontroll: begge sider blir $-17$.

2. b)

   Multipliser med 3: $2x-1=12$, så $2x=13$ og $x=\frac{13}{2}$.

3. c)

   Vi søker to tall med produkt $-15$ og sum $2$; det er $5$ og $-3$: $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)=0$, så $x=-5$ eller $x=3$. abc-formelen gir det samme: $x=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}=\frac{-2\pm 8}{2}$.

4. d)

   $3x\le 15$, så løsningen er $x\le 5$.

5. e)

   $-4x>8$; divisjon med $-4$ snur tegnet, så løsningen er .

Oppgave 2.8.2: Vi isolerer brøkleddet og løser deretter for $f$, som står i nevneren:

	$M-1$	$={\displaystyle \frac{D_{\text{ref}}}{f}}$
	$f\cdot (M-1)$	$=D_{\text{ref}}$
	$f$	$={\displaystyle \frac{D_{\text{ref}}}{M-1}}$

Innsetting tilbake i formelen gir $1+\frac{D_{\text{ref}}}{f}=1+(M-1)=M$, som bekrefter omformingen.

Oppgave 2.8.3: Vi oversetter avstanden til vergens, bruker vergensformelen og oversetter tilbake:

	$V$	$={\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{-0.5\mathrm{m}}}=-2\mathrm{D}$
	$V^{\prime }$	$=V+P=-2+4=2\mathrm{D}$
	$s^{\prime }$	$={\displaystyle \frac{1}{V^{\prime }}}=0.5\mathrm{m}$

Den positive bildeavstanden betyr at bildet er reelt og dannes $0.5\mathrm{m}$ bak linsen. Kontroll med formelen $s^{\prime }=\frac{sf}{s+f}$ fra seksjonens eksempel ($f=1/P=0.25\mathrm{m}$) gir samme svar: $s^{\prime }=\frac{(-0.5)\cdot 0.25}{-0.5+0.25}=0.5\mathrm{m}$.

Oppgave 2.8.4: Vi løser definisjonen $A=P_{\text{nær}}-P_{\text{fjern}}$ for $P_{\text{fjern}}$ og setter inn:

$$P_{\text{fjern}}=P_{\text{nær}}-A=10-6=4\mathrm{D}$$

$P_{\text{fjern}}$ er styrken øyet stiller inn til når akkommodasjonen er helt avslappet – den laveste brytningsstyrken øyet kan innta, brukt når det fokuserer på sitt fjerneste skarpe punkt. Kontroll: $P_{\text{nær}}-P_{\text{fjern}}=10-4=6\mathrm{D}=A$.

Oppgave 2.8.5: Medstudenten har dividert begge sider med $-2$ uten å snu ulikhetstegnet. Divisjon med et negativt tall bytter om rekkefølgen på tallinjen, så tegnet må snus:

Riktig løsning er . Kontroll: $x=-4$ gir $-2\cdot (-4)=8>6$, som stemmer, mens medstudentens løsning ville godtatt $x=0$, der $-2\cdot 0=0>6$ er usant.

Oppgave 2.9.1:

1. a)

   Fra den andre likningen er $y=2x$. Innsatt i den første:

   $$x+3\cdot 2x=7⟹7x=7⟹x=1,$$

   og dermed $y=2\cdot 1=2$. Kontroll i begge likningene: $1+3\cdot 2=7$ og $2\cdot 1-2=0$. Løsningen er $(x,y)=(1,2)$.

2. b)

   Multipliser den andre likningen med 2: $-4x+2y=-10$. Addert til den første gir dette $0=0$ – likningene beskriver samme linje, altså er linjene sammenfallende. Systemet har uendelig mange løsninger: alle punkter på linjen $y=2x-5$.

Oppgave 2.9.2: La $a$ være antall flasker av type A og $b$ antall flasker av type B:

	$a+b$	$=10$
	$80a+120b$	$=920$

Fra første likning: $a=10-b$. Sett inn i andre likning:

$$80\left(10-b\right)+120b=920⟹800+40b=920⟹b=3,$$

og dermed $a=10-3=7$. Kontroll: $80\cdot 7+120\cdot 3=560+360=920$. Optometristen kjøpte 7 flasker av type A og 3 flasker av type B.

Oppgave 2.9.3: Sett inn $\mathrm{\Delta }\mathrm{SE}=0$ og $\mathrm{\Delta }C=-0.50\mathrm{D}$:

$$0=\mathrm{\Delta }S+\frac{1}{2}\left(-0.50\right)⟹\mathrm{\Delta }S=0.25\mathrm{D}$$

Generelt gir $\mathrm{\Delta }\mathrm{SE}=0$ at $\mathrm{\Delta }S=-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }C$: skal SE være uendret, må den sfæriske komponenten endres i motsatt retning av sylinderen, med halvparten av sylinderendringens størrelse. Her reduseres $C$ med $0.50\mathrm{D}$, og $S$ må derfor økes med $0.25\mathrm{D}$.

Oppgave 2.9.4: Divideres den første likningen med 2, blir systemet

$$\{\begin{array}{cc}x+2y=4\hfill & \\ x+2y=5\hfill & \end{array}$$

Venstresidene er identiske, men høyresidene er ulike – ingen $(x,y)$ kan gi både 4 og 5. Skrevet på formen $y=-\frac{1}{2}x+2$ og $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ har de to linjene samme stigningstall $-\frac{1}{2}$, men ulike konstantledd: de er parallelle og ikke sammenfallende, og skjærer derfor aldri hverandre. Systemet har ingen løsning.

Oppgave 2.9.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse gir to uavhengige opplysninger om de to ukjente (slik at linjene verken er parallelle eller sammenfallende), viser at begge metodene gir samme løsning, og begrunner metodevalget ut fra systemets form – for eksempel at innsetting er ryddigst når en variabel lett kan isoleres, og addisjon når koeffisientene ligger til rette for eliminasjon.