Kapittel 2 · Algebra · 2.6

Faktorisering

Faktorisering er prosessen med å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer. Dette er det motsatte av å multiplisere ut parenteser. Faktorisering er et kraftig verktøy for å forenkle uttrykk, løse likninger og forstå matematiske strukturer.

Faktorisering ved uttak av felles faktor

Hvis alle ledd i et uttrykk har en felles faktor, kan denne settes utenfor en parentes:

ab+ac=a(b+c)

Vi bruker den distributive loven «baklengs».

Eksempel 2.6.1

Faktoriser $6x^{2}+9x$ .

Løsning: Begge ledd har felles faktor $3x$ :

6x^{2}+9x=\underline{\underline{3x(2x+3)}}

Konjugatsetningen

Et viktig faktoriseringsmønster er differansen mellom to kvadrater:

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

Faktorene $(a+b)$ og $(a-b)$ kalles konjugater. Overbevis deg om regelen ved å multiplisere ut $(a+b)(a-b)$ selv – de to kryssleddene opphever hverandre.

Eksempel 2.6.2

Faktoriser $x^{2}-16$ , og deretter $3x^{2}-48$ fullstendig.

Løsning: Vi gjenkjenner $x^{2}-16$ som differansen mellom to kvadrater, $x^{2}-4^{2}$ :

x^{2}-16=\underline{\underline{(x+4)(x-4)}}

I $3x^{2}-48$ setter vi først den felles faktoren 3 utenfor – da kommer det samme mønsteret til syne:

3x^{2}-48=3(x^{2}-16)=\underline{\underline{3(x+4)(x-4)}}

Felles faktor først, deretter konjugatsetningen: den rekkefølgen er den vanlige arbeidsgangen når begge mønstrene er til stede.

Kvadratsetningene

To andre viktige mønstre:

	$\displaystyle(a+b)^{2}$	$\displaystyle=a^{2}+2ab+b^{2}$
	$\displaystyle(a-b)^{2}$	$\displaystyle=a^{2}-2ab+b^{2}$

Disse kan brukes «baklengs» for faktorisering når vi gjenkjenner mønsteret. Multipliser ut $(a+b)(a+b)$ selv og se hvor dobbeltleddet $2ab$ kommer fra.

Eksempel 2.6.3

Faktoriser $x^{2}+6x+9$ , og avgjør ut fra faktoriseringen om uttrykket kan være negativt for noen verdi av $x$ .

Løsning: Vi ser at $9=3^{2}$ og $6x=2\cdot 3\cdot x$ , så uttrykket passer mønsteret $a^{2}+2ab+b^{2}$ med $a=x$ og $b=3$ :

x^{2}+6x+9=\underline{\underline{(x+3)^{2}}}

Et kvadrat er aldri negativt, så uttrykket er større enn eller lik null for alle $x$ – faktoriseringen gjør synlig en egenskap som var skjult i den utmultipliserte formen.

Faktorisering av andregradsuttrykk

For uttrykk på formen $ax^{2}+bx+c$ søker vi faktorer $(px+q)(rx+s)$ slik at:

•

$pr=a$
•

$qs=c$
•

$ps+qr=b$

Eksempel 2.6.4

Faktoriser $x^{2}+5x+6$ .

Løsning: Vi søker to tall som multiplisert gir 6 og addert gir 5. Dette er 2 og 3:

x^{2}+5x+6=\underline{\underline{(x+2)(x+3)}}

Eksempel 2.6.5

Faktoriser $r^{2}-r_{0}^{2}$ , og bruk faktoriseringen til å avgjøre for hvilke verdier av $r$ uttrykket er lik null.

Løsning: Dette er en differanse mellom kvadrater:

r^{2}-r_{0}^{2}=\underline{\underline{(r+r_{0})(r-r_{0})}}

Et produkt er null nettopp når minst én av faktorene er null, altså når $r=r_{0}$ eller $r=-r_{0}$ . Faktoriseringen gjør nullpunktene synlige uten videre regning – det er ofte selve poenget med å faktorisere.

Oppgaver

Oppgave 2.6.1

Faktoriser følgende uttrykk:

a)

$8x-12$
b)

$x^{2}-49$
c)

$x^{2}-10x+25$
d)

$x^{2}+7x+12$

Løsningsforslag

Oppgave 2.6.1: Vi velger mønster per uttrykk: felles faktor, konjugatsetningen, kvadratsetning og produkt-og-sum.

a)

Felles faktor 4: $8x-12=\underline{\underline{4(2x-3)}}$
b)

Konjugatsetningen med $49=7^{2}$ : $x^{2}-49=\underline{\underline{(x+7)(x-7)}}$
c)

Andre kvadratsetning med $25=5^{2}$ og $10x=2\cdot 5\cdot x$ : $x^{2}-10x+25=\underline{\underline{(x-5)^{2}}}$
d)

To tall med produkt 12 og sum 7 er 3 og 4: $x^{2}+7x+12=\underline{\underline{(x+3)(x+4)}}$

Utmultiplisering av hvert svar gir det opprinnelige uttrykket tilbake – det er kontrollen.

Oppgave 2.6.2

Faktoriser $2x^{2}+5x-3$ .

Løsningsforslag

Oppgave 2.6.2: Vi søker $(px+q)(rx+s)$ med $pr=2$ , $qs=-3$ og $ps+qr=5$ . Med $p=2$ og $r=1$ prøver vi $q=-1$ og $s=3$ : da er $ps+qr=2\cdot 3+(-1)\cdot 1=5$ , som stemmer:

2x^{2}+5x-3=\underline{\underline{(2x-1)(x+3)}}

Kontroll: $(2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3$ .

Oppgave 2.6.3

Faktoriser $h^{4}-2h^{2}r^{2}+r^{4}$ fullstendig. (Hint: betrakt $h^{2}$ og $r^{2}$ som byggesteiner.)

Løsningsforslag

Oppgave 2.6.3: Med $h^{2}$ og $r^{2}$ som byggesteiner passer uttrykket den andre kvadratsetningen, $a^{2}-2ab+b^{2}$ med $a=h^{2}$ og $b=r^{2}$ :

h^{4}-2h^{2}r^{2}+r^{4}=(h^{2}-r^{2})^{2}

Faktoren $h^{2}-r^{2}$ er en differanse mellom kvadrater og faktoriseres videre med konjugatsetningen:

h^{4}-2h^{2}r^{2}+r^{4}=\underline{\underline{(h+r)^{2}(h-r)^{2}}}

Kontroll: $(h+r)^{2}(h-r)^{2}=\left[(h+r)(h-r)\right]^{2}=(h^{2}-r^{2})^{2}=h^{4}-2h^{2}r^{2}+r^{4}$ .

Oppgave 2.6.4

Vis at $n^{2}-1=(n-1)(n+1)$ . Bruk dette til å forklare hvorfor $n^{2}-1$ alltid er delelig med 8 når $n$ er et oddetall. (Hint: når $n$ er et oddetall, hva slags tall er da $n-1$ og $n+1$ ? Og hvis to partall følger rett etter hverandre, hvorfor må ett av dem være delelig med 4?)

Løsningsforslag

Oppgave 2.6.4: Utmultiplisering gir konjugatsetningen direkte:

(n-1)(n+1)=n^{2}+n-n-1=n^{2}-1

La så $n$ være et oddetall, $n=2k+1$ for et helt tall $k$ . Da er $n-1=2k$ og $n+1=2(k+1)$ to partall som følger rett etter hverandre, og

n^{2}-1=2k\cdot 2(k+1)=4k(k+1).

Av de to påfølgende hele tallene $k$ og $k+1$ er alltid ett et partall, så $k(k+1)$ er delelig med 2, og dermed er $n^{2}-1=4k(k+1)$ delelig med $4\cdot 2=8$ . Kontroll med $n=5$ : $n^{2}-1=24=8\cdot 3$ .

Oppgave 2.6.5

Skap en egen faktoriseringsoppgave: skriv ned et faktorisert uttrykk på formen $(x+a)(x+b)$ eller $(ax+b)(cx+d)$ , multipliser ut og presenter det utmultipliserte uttrykket som oppgave. Løs deretter din egen oppgave – og merk at du allerede vet svaret.

Løsningsforslag

Oppgave 2.6.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må vise at utmultipliseringen og faktoriseringen er hverandres motsatte operasjoner: det utmultipliserte uttrykket skal ved faktorisering gi nøyaktig det faktoriserte utgangspunktet tilbake.

Alle løsningsforslag til kapittel 2