Kapittel 2 · Algebra · 2.3

Regnerekkefølgen

Når et uttrykk inneholder flere operasjoner, må vi ha klare regler for hvilken rekkefølge operasjonene skal utføres i. Uten slike regler ville uttrykket $3+4\cdot 2$ være tvetydig: Er svaret $14$ ( $7\cdot 2$ om vi adderer først) eller $11$ ( $3+8$ om vi multipliserer først)?

PEMDAS-regelen

Den internasjonale konvensjonen for regnerekkefølge kan huskes med akronymet PEMDAS:

1.

Parenteser: Utfør operasjoner inne i parenteser først, fra innerste til ytterste.
2.

Eksponenter: Beregn potenser og røtter.
3.

Multiplikasjon og Divisjon: Utfør fra venstre mot høyre.
4.

Addisjon og Subtraksjon: Utfør fra venstre mot høyre.

Multiplikasjon og divisjon har samme prioritet; det samme gjelder addisjon og subtraksjon. Når operasjoner har samme prioritet, utføres de fra venstre mot høyre.

Parenteser som styringsverktøy

Parenteser brukes til å overstyre standardrekkefølgen. Uttrykket $(3+4)\cdot 2=14$ tvinger addisjonen til å utføres før multiplikasjonen.

Nøstede parenteser evalueres innenfra og ut:

2\cdot\left(3+(4-1)^{2}\right)=2\cdot(3+9)=2\cdot 12=24

Implisitt multiplikasjon

I matematisk notasjon underforstås ofte multiplikasjon. Uttrykkene $2x$ , $3(x+1)$ og $(a)(b)$ betyr alle multiplikasjon. Denne implisitte multiplikasjonen følger samme prioritet som eksplisitt multiplikasjon.

Eksempel 2.3.1

Evaluer uttrykket $8+2\cdot 5-3$ .

Løsning: Multiplikasjon utføres først:

8+2\cdot 5-3=8+10-3=18-3=\underline{\underline{15}}

Eksempel 2.3.2

Evaluer $\frac{12+8}{4}-2^{2}$ .

Løsning: Brøkstreken fungerer som en parentes rundt telleren. Vi beregner teller først, deretter eksponenten og til slutt subtraksjonen:

\frac{12+8}{4}-2^{2}=\frac{20}{4}-4=5-4=\underline{\underline{1}}

Eksempel 2.3.3

Sfærisk ekvivalent (SE) er en sammenfattende dioptriverdi som ofte brukes klinisk for å beskrive en pasients refraksjon med ett tall. Den beregnes som

\mathrm{SE}=S+\frac{C}{2},

der $S$ er den sfæriske komponenten og $C$ er den sylindriske komponenten av brillekorreksjonen. (Detaljene rundt sfæriske og sylindriske komponenter kommer senere; her trenger vi bare uttrykket for å øve regnerekkefølgen.) For $S=$-3.00\text{\,}\mathrm{D}$$ og $C=$-1.50\text{\,}\mathrm{D}$$ , beregn SE.

Løsning: Etter standard regnerekkefølge utføres divisjonen før addisjonen:

	$\displaystyle\mathrm{SE}$	$\displaystyle=-3.00+\frac{-1.50}{2}$
		$\displaystyle=-3.00+(-0.75)$
		$\displaystyle=\underline{\underline{$-3.75\text{\,}\mathrm{D}$}}$

Hadde uttrykket vært skrevet $(S+C)/2$ – altså med parentes rundt summen først – ville svaret blitt $-2.25\text{\,}\mathrm{D}$ , en helt annen verdi. Regnerekkefølgen er ikke valgfri.

Oppgaver

Oppgave 2.3.1

Evaluer følgende uttrykk:

a)

$15-3\cdot 4+2$
b)

$24\div 6\div 2$
c)

$(7-3)^{2}+6$
d)

$100-5\cdot(8-2\cdot 3)$

Løsningsforslag

Oppgave 2.3.1:

a)

Multiplikasjonen først, deretter fra venstre mot høyre: $15-3\cdot 4+2=15-12+2=3+2=\underline{\underline{5}}$
b)

Divisjonene har samme prioritet og utføres fra venstre mot høyre: $24\div 6\div 2=4\div 2=\underline{\underline{2}}$
c)

Parentesen først, så eksponenten: $(7-3)^{2}+6=4^{2}+6=16+6=\underline{\underline{22}}$
d)

Innerst i parentesen utføres multiplikasjonen før subtraksjonen: $100-5\cdot(8-2\cdot 3)=100-5\cdot 2=100-10=\underline{\underline{90}}$

Oppgave 2.3.2

Keratometri er måling av hornhinnens krumning. (Hornhinnen er den klare, kuppelformede vevsstrukturen som lyset møter først når det treffer øyet.) Resultatet oppgis gjerne som to styrker i dioptrier, $K_{1}$ og $K_{2}$ , én for hver av hornhinnens to hovedmeridianer (retningene der krumningen er henholdsvis svakest og sterkest). Gjennomsnittlig keratometri beregnes som

K=\frac{K_{1}+K_{2}}{2}

Beregn $K$ når $K_{1}=$42.50\text{\,}\mathrm{D}$$ og $K_{2}=$44.00\text{\,}\mathrm{D}$$ . Vis tydelig hvilken rekkefølge operasjonene må utføres i.

Løsningsforslag

Oppgave 2.3.2: Brøkstreken fungerer som en parentes rundt telleren, så summen $K_{1}+K_{2}$ beregnes før divisjonen:

K=\frac{K_{1}+K_{2}}{2}=\frac{42.50+44.00}{2}=\frac{86.50}{2}=\underline{\underline{$43.25\text{\,}\mathrm{D}$}}

Oppgave 2.3.3

Sett inn parenteser i uttrykket $8+4\cdot 2-6\div 3$ slik at resultatet blir:

a)

22
b)

6

Løsningsforslag

Oppgave 2.3.3: Uten parenteser er $8+4\cdot 2-6\div 3=8+8-2=14$ .

a)

En parentes rundt summen tvinger addisjonen først: $(8+4)\cdot 2-6\div 3=24-2=\underline{\underline{22}}$
b)

Nøstede parenteser, som evalueres innenfra og ut: $\left((8+4)\cdot 2-6\right)\div 3=\left(24-6\right)\div 3=18\div 3=\underline{\underline{6}}$

Oppgave 2.3.4

Skap en egen oppgave – gjerne med klinisk eller hverdagslig setting – der riktig regnerekkefølge er avgjørende for å lande på korrekt svar. Vis både resultatet ved gal rekkefølge og det korrekte svaret, og forklar med få ord hvorfor de er forskjellige.

Løsningsforslag

Oppgave 2.3.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må inneholde et uttrykk der gal og riktig rekkefølge faktisk gir ulike tall, begge utregningene vist, og en kort forklaring som peker på hvilken PEMDAS-regel som blir brutt i den gale varianten.

Alle løsningsforslag til kapittel 2