Kapittel 2 · Algebra · 2.7

Rasjonale uttrykk

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og/eller nevner inneholder variabler. Slike uttrykk dukker opp hyppig i optikk, for eksempel i linseformelen $\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}$ .

Definisjonsmengde

Et rasjonalt uttrykk er udefinert for verdier som gjør nevneren lik null. Definisjonsmengden er mengden av alle tillatte verdier for variabelen.

Eksempel 2.7.1

Finn definisjonsmengden til $\frac{x+2}{x-3}$ .

Løsning: Uttrykket er udefinert når nevneren er null, altså når $x-3=0$ , det vil si $x=3$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt 3.

Forkorting av rasjonale uttrykk

Vi kan forkorte rasjonale uttrykk ved å faktorisere teller og nevner, og deretter stryke felles faktorer:

\frac{x^{2}-4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2\quad\text{for }x\neq-2

Merk at $x=-2$ fortsatt er utenfor definisjonsmengden, selv om det forenklede uttrykket er definert der.

Multiplikasjon og divisjon

Multiplikasjon og divisjon av rasjonale uttrykk følger samme regler som for tallbrøker:

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk, må vi først finne fellesnevner:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}

Eksempel 2.7.2

Forenkle $\frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6}$ .

Løsning: Vi faktoriserer teller og nevner:

	Teller:	$\displaystyle x^{2}-9=(x+3)(x-3)$
	Nevner:	$\displaystyle x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$

Dermed:

	$\displaystyle\frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6}$	$\displaystyle=\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+2)}$
		$\displaystyle=\underline{\underline{\frac{x+3}{x+2}}}$

Det opprinnelige uttrykket er udefinert for $x=3$ og $x=-2$ . Forkortingen fjerner faktoren $(x-3)$ , så vi må huske $x\neq 3$ ; restriksjonen $x\neq-2$ er fortsatt synlig i nevneren til det forenklede uttrykket.

Eksempel 2.7.3

Adder $\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}$ .

Løsning: Fellesnevneren er $f_{1}f_{2}$ :

\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}=\frac{f_{2}}{f_{1}f_{2}}+\frac{f_{1}}{f_{1}f_{2}}=\underline{\underline{\frac{f_{1}+f_{2}}{f_{1}f_{2}}}}

Dette viser at for to linser i kontakt gjelder $\frac{1}{f}=\frac{f_{1}+f_{2}}{f_{1}f_{2}}$ , eller $f=\frac{f_{1}f_{2}}{f_{1}+f_{2}}$ .

Eksempel 2.7.4

Linsemakerformelen kan skrives:

\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)

Forenkle parentesuttrykket, og bruk det forenklede uttrykket til å avgjøre hva som skjer med styrken når de to flatene har samme krumningsradius, $r_{1}=r_{2}$ .

Løsning: Vi setter de to brøkene på felles brøkstrek med fellesnevneren $r_{1}r_{2}$ :

\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=\frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}

Dermed:

\frac{1}{f}=\underline{\underline{\frac{(n-1)(r_{2}-r_{1})}{r_{1}r_{2}}}}

Med $r_{1}=r_{2}$ blir telleren $r_{2}-r_{1}=0$ , altså $\frac{1}{f}=0$ : en tynn linse med samme krumningsradius på begge flater er uten styrke. Det forenklede uttrykket viser dette med ett blikk – det er differansen mellom radiene som gir linsen styrke.

Oppgaver

Oppgave 2.7.1

Finn definisjonsmengden for:

a)

$\frac{3}{x+5}$
b)

$\frac{x}{x^{2}-4}$
c)

$\frac{1}{x^{2}+1}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.7.1: Uttrykkene er udefinert der nevneren er null.

a)

$x+5=0$ gir $x=-5$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $-5$ .
b)

$x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0$ gir $x=2$ eller $x=-2$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $-2$ og $2$ .
c)

$x^{2}+1\geq 1$ for alle reelle $x$ , så nevneren blir aldri null. Definisjonsmengden er alle reelle tall.

Oppgave 2.7.2

Forenkle følgende uttrykk:

a)

$\frac{x^{2}-4x}{x-4}$
b)

$\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+4x+4}$
c)

$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}$
d)

$\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x^{2}}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.7.2:

a)

Faktoriser telleren og stryk felles faktor:

$\frac{x^{2}-4x}{x-4}=\frac{x(x-4)}{x-4}=\underline{\underline{x}}\quad\text{for }x\neq 4$
b)

Faktoriser teller og nevner:

$\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^{2}}=\underline{\underline{\frac{x+3}{x+2}}}\quad\text{for }x\neq-2$
c)

Fellesnevneren er $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$ :

$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{2(x-1)+3(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\underline{\underline{\frac{5x+1}{x^{2}-1}}}$
d)

Multipliser tellerne og nevnerne, og stryk felles faktorer:

$\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x^{2}}=\frac{x(x+2)}{(x+2)x^{2}}=\underline{\underline{\frac{1}{x}}}\quad\text{for }x\neq-2\text{ og }x\neq 0$

Oppgave 2.7.3

Vergens er et mål for hvor sterkt en lysstråle konvergerer mot eller divergerer fra et punkt. For en stråle som krysser en flate i avstand $s$ fra et referansepunkt, defineres vergensen som $V=1/s$ (målt i dioptri når $s$ er i meter). Vergensformelen for en tynn linse sier at vergensen etter linsen er vergensen før pluss linsens styrke:

V^{\prime}=V+P,\qquad\text{eller}\qquad\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}.

Løs den siste likningen for $s^{\prime}$ uttrykt ved $s$ og $f$ .

Løsningsforslag

Oppgave 2.7.3: Vi setter høyresiden på felles brøkstrek med fellesnevneren $s f$ :

\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}=\frac{f}{sf}+\frac{s}{sf}=\frac{s+f}{sf}

Når to brøker er like, er også de omvendte brøkene like:

s^{\prime}=\underline{\underline{\frac{sf}{s+f}}}

Kontroll: med $s=f$ gir formelen $s^{\prime}=\frac{s^{2}}{2s}=\frac{s}{2}$ , i samsvar med $\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}=\frac{2}{s}$ .

Oppgave 2.7.4

En medstudent påstår at $\frac{x+2}{x}=2$ siden $x$ -ene «kanselleres».

a)

Forklar nøyaktig hvorfor dette er feil, og vis ved et talleksempel ( $x=3$ ) at det opprinnelige uttrykket og påstanden ikke gir samme verdi. Beskriv også en lovlig forenkling man kan gjøre av $\frac{x+2}{x}$ .
b)

Avgjør for hvilke verdier av $x$ uttrykket $\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}$ er udefinert. Forenkle deretter uttrykket så langt som mulig, og forklar hvorfor en verdi som «forsvinner» fra nevneren ved forkortingen, fortsatt er utenfor definisjonsmengden til det opprinnelige uttrykket.

Løsningsforslag

Oppgave 2.7.4:

a)

Forkorting stryker felles faktorer i teller og nevner. I $\frac{x+2}{x}$ er $x$ et ledd i telleren, ikke en faktor i hele telleren, så det finnes ingen felles faktor å stryke. Talleksempel med $x=3$ : $\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}\neq 2$ . En lovlig forenkling er å dele leddvis på nevneren:

$\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x}+\frac{2}{x}=\underline{\underline{1+\frac{2}{x}}}$
b)

Nevneren faktoriseres: $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ , som er null for $x=2$ og $x=-1$ . Uttrykket er altså udefinert for $x=2$ og $x=-1$ . Vi faktoriserer telleren og forkorter:

$\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x-2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\underline{\underline{\frac{x-1}{x-2}}}\quad\text{for }x\neq-1$

Forkortingen med $(x+1)$ forutsetter at $x+1\neq 0$ ; for $x=-1$ gir det opprinnelige uttrykket $\frac{0}{0}$ , som er udefinert. Det forenklede uttrykket er derfor bare likt det opprinnelige der begge er definert, og $x=-1$ forblir utenfor definisjonsmengden selv om faktoren ikke lenger er synlig i nevneren.

Oppgave 2.7.5

Skap en egen klinisk eller hverdagslig sammenheng der to ulike rasjonale uttrykk skal adderes (med ulike nevnere). Sett opp uttrykket, finn fellesnevner og forenkle. Forklar i én setning hvorfor det forenklede uttrykket er nyttig sammenlignet med det opprinnelige.

Løsningsforslag

Oppgave 2.7.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse må inneholde to rasjonale uttrykk med reelt ulike nevnere, en korrekt funnet fellesnevner med riktig utvidelse av begge brøkene, og en forklaring som peker på en konkret gevinst ved det forenklede uttrykket – for eksempel at én brøkstrek gjør innsetting eller tolkning enklere, slik summen $\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}=\frac{f_{1}+f_{2}}{f_{1}f_{2}}$ i seksjonens eksempel gjør.

Alle løsningsforslag til kapittel 2