Kapittel 2 · Algebra · 2.8

Likninger, ulikheter og formler

En likning er et utsagn om at to uttrykk er like. Å løse en likning betyr å finne verdiene av variabelen som gjør utsagnet sant.

Ekvivalente omforminger

Vi løser likninger ved å utføre samme operasjon på begge sider. Operasjoner som bevarer løsningene kalles ekvivalente omforminger:

•

Addere eller subtrahere samme tall på begge sider
•

Multiplisere eller dividere begge sider med samme tall $\neq 0$

Lineære likninger

En lineær likning har formen $ax+b=c$ . Løsningsstrategi:

1.

Isoler leddet med $x$ ved å subtrahere/addere konstanter
2.

Divider med koeffisienten til $x$

Eksempel 2.8.1

Løs $3x-7=14$ .

Løsning:

	$\displaystyle 3x-7$	$\displaystyle=14$
	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle=14+7=21$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle=\frac{21}{3}=\underline{\underline{7}}$

Likninger med brøker

For likninger med brøker er det ofte nyttig å multiplisere med fellesnevneren for å eliminere brøkene.

Eksempel 2.8.2

Løs $\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7$ .

Løsning: Fellesnevneren er 12. Vi multipliserer hele likningen med 12:

	$\displaystyle 12\cdot\frac{x}{3}+12\cdot\frac{x}{4}$	$\displaystyle=12\cdot 7$
	$\displaystyle 4x+3x$	$\displaystyle=84$
	$\displaystyle 7x$	$\displaystyle=84$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle=\underline{\underline{12}}$

Andregradslikninger

En andregradslikning har formen $ax^{2}+bx+c=0$ , der $a\neq 0$ . Den generelle løsningen kan vi utlede selv ved å fullføre kvadratet. Husk fra seksjonen om faktorisering at $(x+d)^{2}=x^{2}+2dx+d^{2}$ – leser vi denne kvadratsetningen baklengs, kan vi samle $x$ -leddene i ett kvadrat. Divider likningen med $a$ , og velg $d=\frac{b}{2a}$ slik at $2dx=\frac{b}{a}x$ :

	$\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}$	$\displaystyle=0$
	$\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}$	$\displaystyle=0$
	$\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$	$\displaystyle=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

Nå trekker vi kvadratroten (kjent fra underemnet om potenser) på begge sider; siden et positivt og et negativt tall gir samme kvadrat, må begge fortegn med:

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Resultatet er abc-formelen:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Gjør gjerne utledningen om igjen med penn og papir – hvert steg er en ekvivalent omforming du allerede kjenner. Uttrykket $b^{2}-4ac$ kalles diskriminanten:

•

Hvis $b^{2}-4ac>0$ : To ulike løsninger
•

Hvis $b^{2}-4ac=0$ : Én løsning (dobbeltrot)
•

Hvis $b^{2}-4ac<0$ : Ingen reelle løsninger

Eksempel 2.8.3

Løs likningen $x^{2}-5x+6=0$ . Undersøk først hva diskriminanten forteller om løsningene, og velg metode – faktorisering eller abc-formelen – ut fra det.

Løsning: Vi leser av $a=1$ , $b=-5$ og $c=6$ , og beregner diskriminanten før vi velger metode:

b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1

Diskriminanten er positiv, så likningen har to ulike løsninger, og kvadratroten av den er et helt tall ( $\sqrt{1}=1$ ) – det varsler pene løsninger, og da er faktorisering gjerne raskest. Vi søker to tall som multiplisert gir $6$ og addert gir $-5$ ; det er $-2$ og $-3$ :

x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0

Et produkt er null bare når minst én av faktorene er null, så $x=\underline{\underline{2}}$ eller $x=\underline{\underline{3}}$ . abc-formelen gir det samme, $x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}$ – valget står mellom to likeverdige veier, og diskriminanten hjalp oss å velge den korteste.

Ulikheter

En ulikhet sammenligner to uttrykk med $<$ , $>$ , $\leq$ eller $\geq$ . Ulikheter løses som likninger, med én kritisk forskjell: når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Eksempel 2.8.4

Løs $-2x+5>11$ .

Løsning:

	$\displaystyle-2x+5$	$\displaystyle>11$
	$\displaystyle-2x$	$\displaystyle>6$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle<-3\quad\text{(tegnet snur!)}$

Løsningen er $x<-3$ .

Omforming av formler

Formler uttrykker sammenhenger mellom flere variabler. Vi kan løse en formel for en bestemt variabel ved ekvivalente omforminger.

Eksempel 2.8.5

Linseformelen for en tynn linse knytter objektavstanden $s$ , bildeavstanden $s^{\prime}$ og brennvidden $f$ sammen:

\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}.

Løs linseformelen for $s^{\prime}$ .

Løsning: Vi samler de to kjente leddene på én brøkstrek:

	$\displaystyle\frac{1}{s^{\prime}}$	$\displaystyle=\frac{1}{s}+\frac{1}{f}=\frac{f+s}{sf}$
	$\displaystyle s^{\prime}$	$\displaystyle=\underline{\underline{\frac{sf}{s+f}}}$

Eksempel 2.8.6

I en forenklet modell av øyet regner vi hornhinnens styrke $K$ og øyelinsens bidrag $P_{L}$ i samme plan, slik at totalstyrken er summen $P=K+P_{L}$ . Husk fra seksjonen om bokstavuttrykk at brytningsindeksen er et dimensjonsløst mål på hvor mye et medium bremser lyset; inne i øyet går lyset i medier med brytningsindeks $n^{\prime}\approx 1.336$ [8, s. 354]. For at et fjernt objekt skal avbildes skarpt på netthinnen i avstand $L$ bak dette planet, må totalstyrken da oppfylle

P=\frac{n^{\prime}}{L}

– ikke $1/L$ , nettopp fordi lyset går i et medium og ikke i luft. Den fulle begrunnelsen kommer i kapittelet om geometrisk optikk; her tar vi kravet som gitt. Hvis $L=$24\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{m}$=$0.024\text{\,}\mathrm{m}$$ og $K=$43\text{\,}\mathrm{D}$$ [8, s. 354], hvor stort er øyelinsens bidrag $P_{L}$ ?

Løsning: Vi løser $K+P_{L}=\frac{n^{\prime}}{L}$ for $P_{L}$ og setter inn:

	$\displaystyle P_{L}$	$\displaystyle=\frac{n^{\prime}}{L}-K=\frac{1.336}{0.024}-43$
		$\displaystyle\approx 55.7-43\approx\underline{\underline{$12.7\text{\,}\mathrm{D}$}}$

Øyelinsen bidrar altså med en betydelig positiv styrke – den er en plusslinse som samler lyset ytterligere etter hornhinnen. Tallet er lavere enn øyelinsens styrke i en modell som skiller hornhinnen og øyelinsen med en avstand, og det er som ventet: to plusstyrker et stykke fra hverandre virker til sammen mindre enn summen av dem, så i ett felles plan trengs det mindre styrke for samme totalvirkning. Den fulle modellen, med avstanden mellom flatene, kommer i kapittelet om øyets fysikk og anatomi.

Oppgaver

Oppgave 2.8.1

Løs likningene og ulikhetene:

a)

$5x+3=2x-9$
b)

$\frac{2x-1}{3}=4$
c)

$x^{2}+2x-15=0$
d)

$3x-7\leq 8$
e)

$-4x+2>10$

Løsningsforslag

Oppgave 2.8.1: Ekvivalente omforminger gjennomgående; i c) velger vi faktorisering, og i e) snur ulikhetstegnet ved divisjon med et negativt tall.

a)

$5x+3=2x-9$ gir $3x=-12$ , så $x=\underline{\underline{-4}}$ . Kontroll: begge sider blir $-17$ .
b)

Multipliser med 3: $2x-1=12$ , så $2x=13$ og $x=\underline{\underline{\frac{13}{2}}}$ .
c)

Vi søker to tall med produkt $-15$ og sum $2$ ; det er $5$ og $-3$ : $x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)=0$ , så $x=\underline{\underline{-5}}$ eller $x=\underline{\underline{3}}$ . abc-formelen gir det samme: $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2}=\frac{-2\pm 8}{2}$ .
d)

$3x\leq 15$ , så løsningen er $x\leq 5$ .
e)

$-4x>8$ ; divisjon med $-4$ snur tegnet, så løsningen er $x<-2$ .

Oppgave 2.8.2

Husk fra seksjonen om brøkregning at forstørrelsen til en lupe er $M=\frac{D_{\text{ref}}}{f}$ , med referanseavstanden $D_{\text{ref}}=$0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ ; den formelen gjelder når bildet dannes uendelig langt borte og øyet er avslappet [9, avsn. 2.7]. Holder du i stedet lupen inntil øyet og flytter objektet slik at bildet dannes i selve referanseavstanden, blir forstørrelsen

M=1+\frac{D_{\text{ref}}}{f}.

Løs den siste formelen for $f$ .

Løsningsforslag

Oppgave 2.8.2: Vi isolerer brøkleddet og løser deretter for $f$ , som står i nevneren:

	$\displaystyle M-1$	$\displaystyle=\frac{D_{\text{ref}}}{f}$
	$\displaystyle f\cdot(M-1)$	$\displaystyle=D_{\text{ref}}$
	$\displaystyle f$	$\displaystyle=\underline{\underline{\frac{D_{\text{ref}}}{M-1}}}$

Innsetting tilbake i formelen gir $1+\frac{D_{\text{ref}}}{f}=1+(M-1)=M$ , som bekrefter omformingen.

Oppgave 2.8.3

Vergensformelen $V^{\prime}=V+P$ gjelder for en tynn linse. Hvis et objekt plasseres i avstand $s=$-0.5\text{\,}\mathrm{m}$$ fra en linse med styrke $P=$4\text{\,}\mathrm{D}$$ , finn bildeavstanden $s^{\prime}$ . (Hint: $V=\frac{1}{s}$ og $V^{\prime}=\frac{1}{s^{\prime}}$ .)

Løsningsforslag

Oppgave 2.8.3: Vi oversetter avstanden til vergens, bruker vergensformelen og oversetter tilbake:

	$\displaystyle V$	$\displaystyle=\frac{1}{s}=\frac{1}{$-0.5\text{\,}\mathrm{m}$}=$-2\text{\,}\mathrm{D}$$
	$\displaystyle V^{\prime}$	$\displaystyle=V+P=-2+4=$2\text{\,}\mathrm{D}$$
	$\displaystyle s^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{1}{V^{\prime}}=\underline{\underline{$0.5\text{\,}\mathrm{m}$}}$

Den positive bildeavstanden betyr at bildet er reelt og dannes $0.5\text{\,}\mathrm{m}$ bak linsen. Kontroll med formelen $s^{\prime}=\frac{sf}{s+f}$ fra seksjonens eksempel ( $f=1/P=$0.25\text{\,}\mathrm{m}$$ ) gir samme svar: $s^{\prime}=\frac{(-0.5)\cdot 0.25}{-0.5+0.25}=$0.5\text{\,}\mathrm{m}$$ .

Oppgave 2.8.4

Akkommodasjon er øyets evne til å endre brytningsstyrke for å fokusere på objekter i ulike avstander; dette skjer ved at den indre øyelinsen endrer krumning. Akkommodasjonsamplituden $A$ er forskjellen mellom maksimal og minimal styrke øyet kan stille inn til:

A=P_{\text{n\ae r}}-P_{\text{fjern}},

der $P_{\text{n\ae r}}$ er styrken når øyet ser på nærmeste skarpe punkt og $P_{\text{fjern}}$ styrken når det ser på fjerneste skarpe punkt. Anta at en pasient har $P_{\text{n\ae r}}=$10\text{\,}\mathrm{D}$$ og $A=$6\text{\,}\mathrm{D}$$ . Finn $P_{\text{fjern}}$ , og forklar hva dette tallet representerer fysiologisk.

Løsningsforslag

Oppgave 2.8.4: Vi løser definisjonen $A=P_{\text{n\ae r}}-P_{\text{fjern}}$ for $P_{\text{fjern}}$ og setter inn:

P_{\text{fjern}}=P_{\text{n\ae r}}-A=10-6=\underline{\underline{$4\text{\,}\mathrm{D}$}}

$P_{\text{fjern}}$ er styrken øyet stiller inn til når akkommodasjonen er helt avslappet – den laveste brytningsstyrken øyet kan innta, brukt når det fokuserer på sitt fjerneste skarpe punkt. Kontroll: $P_{\text{n\ae r}}-P_{\text{fjern}}=10-4=$6\text{\,}\mathrm{D}$=A$ .

Oppgave 2.8.5

En medstudent løser ulikheten $-2x>6$ og får $x>-3$ . Forklar hvilken feil som er gjort, og finn den riktige løsningen.

Løsningsforslag

Oppgave 2.8.5: Medstudenten har dividert begge sider med $-2$ uten å snu ulikhetstegnet. Divisjon med et negativt tall bytter om rekkefølgen på tallinjen, så tegnet må snus:

-2x>6\quad\Longrightarrow\quad x<\frac{6}{-2}=-3

Riktig løsning er $x<-3$ . Kontroll: $x=-4$ gir $-2\cdot(-4)=8>6$ , som stemmer, mens medstudentens løsning ville godtatt $x=0$ , der $-2\cdot 0=0>6$ er usant.

Alle løsningsforslag til kapittel 2