Kapittel 2 · Algebra · 2.1

De vanlige regneoperasjonene

Matematikken bygger på fire grunnleggende regneoperasjoner: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Disse operasjonene er verktøyene vi bruker for å manipulere tall, og de danner fundamentet for all videre matematikk.

Addisjon og subtraksjon

Addisjon kombinerer to eller flere tall til en sum. Vi skriver $a+b=c$ , der $a$ og $b$ kalles ledd og $c$ kalles summen. Subtraksjon er den inverse operasjonen: $c-b=a$ .

Addisjon har to viktige egenskaper:

•

Kommutativitet: Rekkefølgen spiller ingen rolle. $a+b=b+a$ .
•

Assosiativitet: Grupperingen spiller ingen rolle. $(a+b)+c=a+(b+c)$ .

Subtraksjon er verken kommutativ eller assosiativ: $5-3\neq 3-5$ , og $(10-5)-2\neq 10-(5-2)$ .

Multiplikasjon og divisjon

Multiplikasjon kan forstås som gjentatt addisjon. Når $b$ er et positivt heltall, betyr produktet $a\cdot b$ summen av $b$ kopier av $a$ ; for eksempel er $a\cdot 3=a+a+a$ . Vi skriver $a\cdot b=c$ , der $a$ og $b$ kalles faktorer og $c$ kalles produktet.

Multiplikasjon er også kommutativ ( $a\cdot b=b\cdot a$ ) og assosiativ ( $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ ).

Negative tall følger faste fortegnsregler ved multiplikasjon: produktet av to tall med ulikt fortegn er negativt, mens produktet av to tall med samme fortegn er positivt.

2\cdot(-3)=-6,\qquad(-2)\cdot(-3)=6

En måte å se den siste regelen på: å multiplisere med $-1$ betyr å bytte fortegn, og bytter vi fortegn to ganger, er vi tilbake der vi startet. De samme fortegnsreglene gjelder for divisjon.

Divisjon er den inverse operasjonen til multiplikasjon. Vi skriver $c\div b=a$ eller $\frac{c}{b}=a$ , der $c$ kalles dividenden, $b$ kalles divisoren, og $a$ kalles kvotienten.

Distributiv lov

Multiplikasjon og addisjon kobles sammen gjennom den distributive loven:

a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c

Denne loven er fundamental for algebraisk manipulasjon og brukes konstant i matematisk arbeid.

Eksempel 2.1.1

En optometrist skal utstyre tre nye undersøkelsesrom helt likt. Hvert rom trenger en spesiallampe til $1500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ og et sett med testlinser til $500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ . Hva blir totalkostnaden?

Løsning: Vi kan regne på to ekvivalente måter. Først summerer vi kostnaden per rom og multipliserer med antall rom:

	$\displaystyle 3\cdot($1500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$+$500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$)$	$\displaystyle=3\cdot$2000\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$$
		$\displaystyle=$6000\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$$

Eller vi multipliserer hver vare for seg og adderer:

	$\displaystyle 3\cdot$1500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$+3\cdot$500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$$	$\displaystyle=$4500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$+$1500\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$$
		$\displaystyle=$6000\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$$

Begge gir $6000\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{r}$ – den distributive loven sier nettopp at de må gi samme svar.

Potenser

Når vi multipliserer et tall med seg selv flere ganger, bruker vi potensnotasjon som en kompakt måte å skrive dette på. Uttrykket $a^{n}$ er produktet av $n$ faktorer som alle er lik $a$ .

Vi kaller $a$ for grunntall (eller base) og $n$ for eksponent. Hele uttrykket $a^{n}$ kalles en potens. For positive heltall $n$ har vi:

a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\text{ faktorer}}

En grunnleggende regel følger direkte fra denne definisjonen: når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, adderer vi eksponentene:

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

Dette ser vi ved å telle faktorene: $a^{2}\cdot a^{3}=(aa)(aaa)=aaaaa=a^{5}$ . Samme telleargument gir divisjonsregelen: når vi dividerer to potenser med samme grunntall, subtraherer vi eksponentene, $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ . Telleargumentet peker også ut regelen for en potens av en potens: opphøyer vi $a^{m}$ i $n$ -te potens, får vi $n$ faktorer som hver er $a^{m}$ , altså $m n$ faktorer $a$ til sammen:

\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}

Skriver vi det ut, er $\left(a^{2}\right)^{3}=a^{2}\cdot a^{2}\cdot a^{2}=a^{6}$ , og $2\cdot 3=6$ stemmer.

Vær nøye med fortegn: $\left(-2\right)^{2}=(-2)\cdot(-2)=4$ , mens $-2^{2}=-(2^{2})=-4$ . Eksponenten virker bare på det som står rett foran den, så skal et negativt tall opphøyes, må hele tallet stå i parentes.

Vi definerer videre $a^{0}=1$ for alle $a\neq 0$ . Begrunnelsen ligger i regelen over: for at $a^{0}\cdot a^{n}=a^{0+n}=a^{n}$ skal stemme, må $a^{0}$ være det tallet som lar $a^{n}$ være uendret ved multiplikasjon – altså 1.

Negative eksponenter

Regelen for multiplikasjon peker også ut hva en negativ eksponent må bety. For at $a^{-n}\cdot a^{n}=a^{-n+n}=a^{0}=1$ skal stemme, må $a^{-n}$ være tallet som ganget med $a^{n}$ gir 1:

a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\quad\text{for }a\neq 0

For eksempel er $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ . Samme konvensjon brukes i enheter: $\mathrm{m}^{-1}$ betyr «per meter», altså $1/$\mathrm{m}$$ – en skrivemåte du møter igjen når dioptri defineres i neste seksjon.

Røtter

Å kvadrere et tall og å trekke ut kvadratroten er motsatte operasjoner. Kvadratroten av et ikke-negativt tall $a$ , skrevet $\sqrt{a}$ , er det ikke-negative tallet som ganget med seg selv gir $a$ : siden $3^{2}=9$ , er $\sqrt{9}=3$ . Mer generelt er den $n$ -te roten av et ikke-negativt tall $a$ , skrevet $\sqrt[n]{a}$ , det ikke-negative tallet som opphøyd i $n$ -te potens gir $a$ ; for eksempel er $\sqrt[3]{8}=2$ fordi $2^{3}=8$ . Rotens grad $n$ skrives i rottegnets vinkel; for kvadratroten er $n=2$ , og graden sløyfes da i notasjonen.

Røttene er egentlig potenser i forkledning: den $n$ -te roten svarer til eksponenten $1/n$ , altså

\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.

Dette er nettopp det regelen for en potens av en potens krever, for da blir $\left(a^{1/n}\right)^{n}=a^{(1/n)\cdot n}=a^{1}=a$ – tallet som opphøyd i $n$ -te potens gir $a$ . Senere i kapittelet møter du en tiendedelsrot, $\sqrt[10]{10}=10^{1/10}=10^{0.1}$ – tallet som opphøyd i tiende potens gir 10.

Tierpotenser og standardform

Potenser av 10 gir en kompakt måte å skrive svært store og svært små tall på: $10^{3}=1\,000$ , og $10^{-3}=\frac{1}{1\,000}=0.001$ . Å skrive et tall som et desimaltall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens kalles standardform. For eksempel er avstanden fra sola til jorda omtrent $1.5\cdot 10^{11}\,$\mathrm{m}$$ [1, 2]: tallet 1.5 med desimaltegnet flyttet 11 plasser mot høyre, altså $150\,000\,000\,000\,$\mathrm{m}$$ . Standardform brukes gjennomgående i naturvitenskapen, og regnereglene for potenser gjelder uendret for tierpotensene.

Eksempel 2.1.2

Beregn $2^{5}$ , $10^{3}$ og $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ .

Løsning: Vi skriver ut produktet med så mange faktorer som eksponenten angir:

	$\displaystyle 2^{5}$	$\displaystyle=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=\underline{\underline{32}}$
	$\displaystyle 10^{3}$	$\displaystyle=10\cdot 10\cdot 10=\underline{\underline{1\,000}}$
	$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\underline{\frac{1}{16}}}$

Eksempel 2.1.3

Forenkle $\frac{5^{3}\cdot 5^{2}}{5^{4}}$ uten å regne ut potensene først.

Løsning: Vi bruker regelen $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ i telleren, og deretter divisjonsregelen $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ :

\frac{5^{3}\cdot 5^{2}}{5^{4}}=\frac{5^{3+2}}{5^{4}}=5^{5-4}=5^{1}=\underline{\underline{5}}

Å forenkle med reglene først lønner seg – alternativet var å regne ut $\frac{3\,125}{625}$ for hånd.

Eksempel 2.1.4

På laboratoriet lages en fortynningsrekke: en løsning med konsentrasjon $80\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{l}$ halveres i fire trinn, slik at hvert trinn inneholder halvparten så mye virkestoff per milliliter som det forrige. Hva er konsentrasjonen etter fjerde trinn?

Løsning: Fire halveringer betyr at vi multipliserer med $\frac{1}{2}$ fire ganger, altså med $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ :

$80\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{l}$\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=$80\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{l}$\cdot\frac{1}{16}=\underline{\underline{$5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{l}$}}

Potensen samler fire like operasjoner i ett uttrykk – det er nettopp dette potensnotasjonen er til.

Oppgaver

Oppgave 2.1.1

Utfør følgende beregninger:

a)

$47+83$
b)

$156-89$
c)

$23\cdot 17$
d)

$\frac{432}{18}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.1.1: Vi utfører operasjonene direkte.

a)

$47+83=\underline{\underline{130}}$
b)

$156-89=\underline{\underline{67}}$
c)

Vi deler opp den ene faktoren: $23\cdot 17=20\cdot 17+3\cdot 17=340+51=\underline{\underline{391}}$
d)

$\frac{432}{18}=\underline{\underline{24}}$ , siden $18\cdot 24=432$ .

Oppgave 2.1.2

Bruk den distributive loven til å forenkle hoderegningen:

a)

$7\cdot 97$ (skriv $97=100-3$ )
b)

$25\cdot 14$ (skriv $14=10+4$ )

Løsningsforslag

Oppgave 2.1.2: Vi skriver den ene faktoren som en sum eller differanse og bruker den distributive loven.

a)

$7\cdot 97=7\cdot(100-3)=700-21=\underline{\underline{679}}$
b)

$25\cdot 14=25\cdot(10+4)=250+100=\underline{\underline{350}}$

Oppgave 2.1.3

Beregn følgende potenser:

a)

$3^{4}$
b)

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$
c)

$5^{0}\cdot 5^{2}$
d)

$\left(-2\right)^{2}$ og $-2^{2}$ – forklar hvorfor svarene er ulike

Løsningsforslag

Oppgave 2.1.3: Vi bruker potensdefinisjonen og regnereglene for potenser.

a)

$3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=\underline{\underline{81}}$
b)

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\underline{\frac{4}{9}}}$
c)

$5^{0}\cdot 5^{2}=5^{0+2}=5^{2}=\underline{\underline{25}}$ – samme svar som direkte utregning $1\cdot 25$ , siden $5^{0}=1$ .
d)

$\left(-2\right)^{2}=(-2)\cdot(-2)=\underline{\underline{4}}$ , mens $-2^{2}=-(2^{2})=\underline{\underline{-4}}$ . Eksponenten virker bare på det som står rett foran den: i $\left(-2\right)^{2}$ gjør parentesen hele tallet $-2$ til grunntall, mens i $-2^{2}$ kvadreres bare $2$ , og fortegnet settes på etterpå.

Oppgave 2.1.4

Skap en egen oppgave – med en beskrevet situasjon – som handler om de grunnleggende regneoperasjonene.

Løsningsforslag

Oppgave 2.1.4: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse beskriver en konkret situasjon der minst én av de fire regneoperasjonene inngår naturlig, og oppgaveforfatteren kan selv stille opp regnestykket og regne ut riktig svar.

Alle løsningsforslag til kapittel 2