Kapittel 2 · Algebra · 2.2

Tall, enheter og størrelser

I hverdagen opererer vi ikke bare med rene tall, men med størrelser – tall som er knyttet til fysiske egenskaper i verden. Forståelsen av forskjellen mellom tall, enheter og størrelser er grunnleggende for all kvantitativ vitenskap, inkludert optometri.

Tall

Tall er abstrakte matematiske objekter: $5$ , $-3$ , $\frac{2}{3}$ , $\pi$ . De eksisterer uavhengig av fysiske fenomener.

Enheter

Enheter er standardiserte målestokker for fysiske egenskaper. Meter (m) måler lengde, kilogram (kg) måler masse, sekund (s) måler tid. For optometri er dioptri (D) en svært sentral enhet – den standardiserte enheten for optisk styrke til linser og brytende flater [3, punkt 3.10.1]. Definisjonen er

$1\text{\,}\mathrm{D}$=$1\text{\,}\mathrm{m}^{-1}$=\frac{1}{$1\text{\,}\mathrm{m}$},

altså den inverse av en lengde i meter – her møter vi igjen den negative eksponenten fra potensavsnittet. En linse med brennvidde (avstanden fra linsen til der parallelt innfallende lys samles) lik $1\text{\,}\mathrm{m}$ har styrke $1\text{\,}\mathrm{D}$ ; en linse med brennvidde $0.5\text{\,}\mathrm{m}$ har styrke $2\text{\,}\mathrm{D}$ , og så videre. Jo kortere brennvidde, jo høyere dioptriverdi – altså sterkere linse. Vi møter dioptri igjen mange ganger gjennom kapittelet.

Størrelser

En størrelse er kombinasjonen av et tall og en enhet. Når vi skriver $5\text{\,}\mathrm{m}$ , $3\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{g}$ eller $2.5\text{\,}\mathrm{D}$ , har vi en størrelse som beskriver noe konkret og målbart.

Addisjon og subtraksjon av størrelser

Matematisk uttrykt: hvis $a$ og $b$ er tall, og $[E]$ er en enhet, så gjelder

a\,[E]+b\,[E]=(a+b)\,[E]

Multiplikasjon og divisjon av størrelser

Ved multiplikasjon og divisjon behandles enheter algebraisk. Vi kan multiplisere og dividere størrelser med forskjellige enheter, og resultatet får en ny enhet som reflekterer operasjonen.

Ved multiplikasjon multipliseres både tallene og enhetene:

(a\,[E_{1}])\cdot(b\,[E_{2}])=(a\cdot b)\,[E_{1}\cdot E_{2}]

Ved divisjon divideres tallene, og enhetene danner en brøk:

\frac{a\,[E_{1}]}{b\,[E_{2}]}=\frac{a}{b}\,\frac{[E_{1}]}{[E_{2}]}

Hvis enheten i teller og nevner er den samme, kanselleres de, og resultatet blir dimensjonsløst (bare et tall).

Eksempel 2.2.1

En fyrstikkeske har grunnflate $8\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ $\times$ $6\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ , og en person går $15\text{\,}\mathrm{m}$ på $10\text{\,}\mathrm{s}$ . Hva er arealet av grunnflaten, og hva er personens hastighet?

Løsning: Areal er lengde multiplisert med bredde; både tallene og enhetene multipliseres:

A=$8\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$\cdot$6\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$48\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}^{2}$}}

Hastighet er tilbakelagt distanse per tidsenhet; tallene divideres, og enhetene danner en brøk:

v=\frac{$15\text{\,}\mathrm{m}$}{$10\text{\,}\mathrm{s}$}=\underline{\underline{$1.5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$}}

I begge tilfeller følger enheten av operasjonen: multiplikasjonen gir $\text{cm}^{2}$ (kvadratcentimeter, enheten for areal), og divisjonen gir $\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$ (meter per sekund, enheten for hastighet).

Eksempel 2.2.2

En flaske med kontaktlinsevæske inneholder $360\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{l}$ . En pasient bruker $10\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{l}$ til rens om kvelden og $5\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{l}$ til skylling om morgenen. Hvor mange dager varer flasken?

Løsning: Først finner vi forbruket per dag; de to størrelsene har samme enhet og kan derfor adderes:

10\,\frac{\text{ml}}{\text{dag}}+5\,\frac{\text{ml}}{\text{dag}}=15\,\frac{\text{ml}}{\text{dag}}

Deretter dividerer vi totalvolumet på forbruket per dag:

\frac{360\,\text{ml}}{15\,\frac{\text{ml}}{\text{dag}}}=\underline{\underline{24\,\text{dager}}}

Enheten ml kanselleres, og bare dager står igjen – flasken varer i overkant av tre uker.

Eksempel 2.2.3

En klinikk skal gjennomføre synsundersøkelser av 96 skoleelever. Hver undersøkelse tar 45 minutter, og klinikken har satt av 6 timer per dag til prosjektet. Hvor mange dager trenger klinikken?

Løsning: Vi regner ut samlet undersøkelsestid, gjør den om til timer og dividerer på tiden som er satt av per dag – og lar enhetene følge med i hvert steg:

	$\displaystyle 96\,\text{elever}\cdot 45\,\frac{\text{minutter}}{\text{elev}}$	$\displaystyle=4\,320\,\text{minutter}$
	$\displaystyle\frac{4\,320\,\text{minutter}}{60\,\frac{\text{minutter}}{\text{time}}}$	$\displaystyle=72\,\text{timer}$
	$\displaystyle\frac{72\,\text{timer}}{6\,\frac{\text{timer}}{\text{dag}}}$	$\displaystyle=\underline{\underline{12\,\text{dager}}}$

I hvert steg kanselleres én enhet, og til slutt står bare dager igjen. Hadde vi glemt omregningen fra minutter til timer, ville enhetene ikke gått opp – enhetssjekken avslører feilen før tallet gjør det.

Oppgaver

Oppgave 2.2.1

Beregn og gi svaret med riktig enhet:

a)

$2.5\text{\,}\mathrm{m}$+$40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ (omform til samme enhet først)
b)

$6\text{\,}\mathrm{m}$\cdot$4\text{\,}\mathrm{m}$
c)

$\frac{$180\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{m}$}{$2\text{\,}\mathrm{h}$}$

Løsningsforslag

Oppgave 2.2.1:

a)

Omform til samme enhet først: $40\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$=$0.4\text{\,}\mathrm{m}$ . Da er

$$2.5\text{\,}\mathrm{m}$+$0.4\text{\,}\mathrm{m}$=\underline{\underline{$2.9\text{\,}\mathrm{m}$}}$
b)

Både tallene og enhetene multipliseres:

$$6\text{\,}\mathrm{m}$\cdot$4\text{\,}\mathrm{m}$=\left(6\cdot 4\right)\,$\mathrm{m}\cdot\mathrm{m}$=\underline{\underline{$24\text{\,}\mathrm{m}^{2}$}}$
c)

Tallene divideres, og enhetene danner en brøk:

$\frac{$180\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{m}$}{$2\text{\,}\mathrm{h}$}=\frac{180}{2}\,\frac{\text{km}}{\text{h}}=\underline{\underline{$90\text{\,}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h}$}}$

Oppgave 2.2.2

En klinikk har 12 ansatte og holder åpent 8 timer per dag, 5 dager i uken. Hver pasientkonsultasjon tar 30 minutter, og de ansatte har 30 minutter lunsjpause hver dag. Hvor mange pasienter kan klinikken maksimalt betjene i løpet av én uke? Ta med enheter i utregningen.

Løsningsforslag

Oppgave 2.2.2: Effektiv arbeidstid per ansatt per dag er $8\text{\,}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$-$0.5\text{\,}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$=$7.5\text{\,}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$ – samme enhet, så subtraksjonen er lov. Samlet kapasitet per uke:

7.5\,\frac{\text{timer}}{\text{dag}}\cdot 5\,\frac{\text{dager}}{\text{uke}}\cdot 12\,\text{ansatte}=450\,\frac{\text{timer}}{\text{uke}}

Hver konsultasjon tar $30\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$=$0.5\text{\,}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$ per pasient, og dermed

\frac{450\,\frac{\text{timer}}{\text{uke}}}{0.5\,\frac{\text{timer}}{\text{pasient}}}=\underline{\underline{900\,\frac{\text{pasienter}}{\text{uke}}}}

Enheten timer kanselleres, og bare pasienter per uke står igjen. Kontroll: hver ansatt rekker $7.5/0.5=15$ pasienter per dag, og $15\cdot 5\cdot 12=900$ .

Oppgave 2.2.3

En student presenterer utregningen

\frac{$1.5\text{\times}{10}^{11}\text{\,}\mathrm{m}$}{$3\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$}=$500\text{\,}\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}$

som «tiden lyset bruker fra sola til jorda». Hvor i utregningen er feilen? Hva er riktig enhet på resultatet, og hva blir riktig tallverdi?

Løsningsforslag

Oppgave 2.2.3: Feilen ligger i enhetsbehandlingen: ved divisjon skal enhetene danne en brøk, ikke multipliseres. Riktig enhetsregning gir

\frac{\text{m}}{\text{m/s}}=\text{m}\cdot\frac{\text{s}}{\text{m}}=\text{s},

så resultatet er en tid i sekunder, ikke $\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}$ . Tallverdien følger av divisjonsregelen for tierpotenser:

\frac{$1.5\text{\times}{10}^{11}\text{\,}\mathrm{m}$}{$3\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$}=\frac{1.5}{3}\cdot 10^{11-8}\,\text{s}=0.5\cdot 10^{3}\,\text{s}=\underline{\underline{$500\text{\,}\mathrm{s}$}}

Tallverdien $500$ var altså riktig; bare enheten var gal. Kontroll: $3\text{\times}{10}^{8}\text{\,}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$\cdot$500\text{\,}\mathrm{s}$=$1.5\text{\times}{10}^{11}\text{\,}\mathrm{m}$ , som stemmer med avstanden.

Oppgave 2.2.4

Forestill deg at noen presenterer formelen «areal $=$ lengde $+$ bredde» som en regel for å regne ut areal. Forklar – ved å se på enhetene – hvorfor denne formelen umulig kan stemme. Hvilke operasjoner på lengde og bredde kan derimot gi en størrelse med enhet $\mathrm{m}^{2}$ ?

Løsningsforslag

Oppgave 2.2.4: Addisjon krever samme enhet og bevarer den: $\mathrm{m}$+$\mathrm{m}$ gir alltid en størrelse i $\mathrm{m}$ – altså en lengde, aldri et areal. Siden areal har enhet $\mathrm{m}^{2}$ , kan formelen «areal $=$ lengde $+$ bredde» umulig stemme, uansett hvilke tall som settes inn. Skal resultatet få enhet $\mathrm{m}^{2}$ , må enhetene multipliseres, og det skjer bare når to lengder multipliseres:

\underline{\underline{\text{lengde}\cdot\text{bredde gir }$\mathrm{m}$\cdot$\mathrm{m}$=$\mathrm{m}^{2}$}}

Oppgave 2.2.5

Skap en egen oppgave med beskrevet situasjon der enhetsbehandling er avgjørende for å lande på riktig svar. Oppgaven skal kreve at studenten kombinerer minst to størrelser med ulike enheter.

Løsningsforslag

Oppgave 2.2.5: Åpen oppgave; ingen entydig fasit. En god besvarelse beskriver en situasjon med minst to størrelser med ulike enheter, og løsningen må vise at enhetene kombineres eller kanselleres slik at riktig enhet står igjen i svaret – fjernes enhetsbehandlingen, skal oppgaven bli tvetydig eller gal.

Alle løsningsforslag til kapittel 2