Kapittel 6 · Grunnleggende kalkulus · 6.1

Grenser og kontinuitet

Hva skjer med en funksjonsverdi når argumentet nærmer seg et bestemt tall – uten nødvendigvis å nå det? Spørsmålet ser uskyldig ut, men svaret bærer resten av kapittelet: både den deriverte og integralet kommer til å bli definert som grenser.

Grenseverdibegrepet

Se på funksjonen

f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}.

Setter du inn $x=1$ , får du $\frac{0}{0}$ – og husk fra kapittelet om de vanlige regneoperasjonene at divisjon med null er udefinert. Punktet $x=1$ ligger altså utenfor definisjonsmengden, på samme måte som nevnerens nullpunkter i kapittelet om rasjonale uttrykk. Men ingenting hindrer oss i å spørre hva som skjer like ved $x=1$ :

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$1$	$1.001$	$1.01$	$1.1$
$f(x)$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	udefinert	$2.001$	$2.01$	$2.1$

Fra begge sider kryper funksjonsverdiene mot det samme tallet, $2$ – enda funksjonen aldri er definert i selve punktet. Vi sier at $f(x)$ har grenseverdien (eller bare grensen) $2$ når $x$ går mot $1$ , og skriver det med notasjonen $\lim$ , etter det latinske limes, grense:

\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2.

Generelt betyr $\lim_{x\to a}f(x)=L$ at $f(x)$ kommer så nær $L$ vi måtte ønske, bare $x$ er nær nok $a$ – uten at $x$ noen gang settes lik $a$ . Grensen handler om veien inn mot punktet, ikke om punktet selv; derfor kan den finnes selv der funksjonen ikke gjør det. Denne beskrivelsen kan gjøres helt presis, med tallfestede krav til «så nær vi måtte ønske», men den stringente definisjonen hører hjemme i et videregående kalkuluskurs; for bokens formål er den numeriske forståelsen tilstrekkelig.

Algebraen forklarer tabellen. Faktoriser telleren med konjugatsetningen fra kapittelet om faktorisering, og forkort:

\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\quad\text{for }x\neq 1.

Husk fra kapittelet om rasjonale uttrykk at forkortingen ikke endrer definisjonsmengden: $f$ og linjen $y=x+1$ er like overalt unntatt i $x=1$ , der $f$ mangler en verdi. Grafen til $f$ er derfor linjen $y=x+1$ med et hull i punktet $(1,2)$ – og grensen $2$ er nettopp verdien hullet peker på.

Figur 6.1: Det åpne punktet markerer at

f

mangler en verdi i

x=1

; grensen finnes likevel.

Eksempel 6.1.1

Regn ut $\lim_{x\to 2}\,(3x+1)$ .

Løsning: Uttrykket $3x+1$ er et polynom, og et polynom har ingen forbudte punkter – verdiene glir jevnt, uten hull. Da er grensen rett og slett funksjonsverdien, og vi kan sette inn:

\lim_{x\to 2}\,(3x+1)=3\cdot 2+1=\underline{\underline{7}}.

Hvorfor innsetting er tillatt her – og når den ikke er det – får et eget navn i det siste underemnet: kontinuitet.

Eksempel 6.1.2

Regn ut $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$ .

Løsning: Innsetting gir $\frac{0}{0}$ , så vi faktoriserer telleren med konjugatsetningen og forkorter før vi lar $x$ gå mot $3$ :

\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=x+3\quad\text{for }x\neq 3,

og dermed

\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=3+3=\underline{\underline{6}}.

En rask kontroll bekrefter svaret: $x=2.999$ gir $5.999$ , og $x=3.001$ gir $6.001$ .

Ikke alle $\frac{0}{0}$ -grenser lar seg forkorte bort. Den viktigste av dem alle i denne boken kommer fra trigonometrien – og den må angripes numerisk.

Eksempel 6.1.3

Undersøk $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ numerisk, med $x$ i radianer, og forklar hva grensen har med småvinkeltilnærmingen fra trigonometrikapittelet å gjøre.

Løsning: Innsetting gir $\frac{0}{0}$ , og ingen faktorisering kan hjelpe oss – sinus er ikke et polynom. Vi regner oss derfor innover mot null:

$x$ (rad)	$0.5$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$\sin x/x$	$0.958851$	$0.998334$	$0.999983$	$0.99999983$

Negative $x$ gir de samme verdiene, siden $\sin(-x)=-\sin x$ gjør at fortegnene forkortes. Verdiene presser seg mot $1$ fra begge sider:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\underline{\underline{1}}.

Radianene er ikke pynt: måler du vinkelen i grader, blir tallet i stedet $\pi/180\approx 0.01745$ . Og husk småvinkeltilnærmingen $\sin v\approx v$ fra trigonometrikapittelet, som der bare ble motivert med en tallrekke: grensen over er dens presise formulering – forholdet $\sin v/v$ kommer så nær $1$ vi vil, bare vinkelen er liten nok og målt i radianer. Denne grensen får hovedrollen igjen når sinus skal deriveres senere i kapittelet.

Ensidige grenser og grenser mot uendelig

I hulleksempelet nærmet $f(x)$ seg $2$ fra begge sider. Sidene er ikke alltid enige, og da trenger de hver sin notasjon: venstregrensen $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ er verdien $f(x)$ nærmer seg når $x$ kryper mot $a$ nedenfra ( $x<a$ ), og høyregrensen $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ er den tilsvarende ovenfra ( $x>a$ ). Sammen kalles de ensidige grenser, og de avgjør alt: den tosidige grensen $\lim_{x\to a}f(x)$ finnes hvis og bare hvis begge de ensidige grensene finnes og er like.

h(x)=\frac{\left|x\right|}{x}.

For positive $x$ er $\left|x\right|=x$ , så $h(x)=1$ ; for negative $x$ er $\left|x\right|=-x$ , så $h(x)=-1$ ; i null er den udefinert. Dermed er

\lim_{x\to 0^{-}}h(x)=-1\qquad\text{og}\qquad\lim_{x\to 0^{+}}h(x)=1,

og siden $-1\neq 1$ , finnes ingen tosidig grense i null. Grafen gjør et hopp:

Figur 6.2: Begge de ensidige grensene finnes, men de er ulike – derfor finnes ingen tosidig grense i null.

Så til det andre nye: grenser og uendelighet, i to varianter. Husk fra trigonometrikapittelet hvordan tangens oppfører seg inntil $90°$ : verdiene «vokser uten grense» – $tan89°≈57$ , $tan89.9°≈573$ . For slike situasjoner innfører vi symbolet $\infty$ , uendelig. Det er ikke et tall du kan regne med, men en presis talemåte: $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$ betyr at $f(x)$ vokser over alle grenser når $x$ nærmer seg $a$ ovenfra – verdiene overstiger til slutt ethvert tall du måtte nevne. Tangens kan nå beskrives eksakt:

limθ→90°−tanθ=∞oglimθ→90°+tanθ=−∞,

der den siste følger av at cosinus er et bittelite negativt tall rett over $90°$ , slik at $tan90.1°≈−573$ . Den loddrette asymptoten fra trigonometrikapittelet får dermed sin presise beskrivelse: en funksjon har en loddrett asymptote i $x=a$ nettopp når en ensidig grense der er $\infty$ eller $-\infty$ .

Den andre varianten lar $x$ selv vokse over alle grenser: $\lim_{x\to\infty}f(x)$ spør hva $f(x)$ nærmer seg når $x$ blir vilkårlig stor. Her kan vi innfri et løfte fra kapittelet om funksjoner og grafer. Om akkommodasjonsbehovet $A=1/d$ – dioptri når avstanden $d$ er i meter – het det at hyperbelen «flater ut mot $x$ -aksen uten noen gang å røre den». Nå kan vi si det med notasjon:

\lim_{d\to\infty}\frac{1}{d}=0.

Kurven har $d$ -aksen som vannrett asymptote: en vannrett linje $y=L$ er en vannrett asymptote for $f$ når $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ (eller det samme når $x\to-\infty$ ). I den andre enden av kurven er

\lim_{d\to 0^{+}}\frac{1}{d}=\infty

– ensidig, for negative avstander gir ikke mening her – så $A$ -aksen er en loddrett asymptote.

Figur 6.3:

A=1/d

tegnet for avstander fra noen centimeter ut til

6\text{\,}\mathrm{m}

Eksempel 6.1.4

I kapittelet om funksjoner og grafer regnet vi ut at gjennomsnittsmodellen $A(t)=18.5-0.30\,t$ [10] gir en $40$ -åring akkommodasjonsamplitude $6.5\text{\,}\mathrm{D}$ og dermed nærpunkt – den korteste avstanden øyet kan se skarpt på – på om lag $15\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$ . Bruk de to grensene til $A=1/d$ til å forklare to kliniske kjensgjerninger: at ikke noe øye kan se skarpt helt inntil hornhinnen og at $6\text{\,}\mathrm{m}$ regnes som «optisk uendelig» ved synsprøver.

Løsning: Vi tolker hver grense for seg. Nær øyet sier $\lim_{d\to 0^{+}}1/d=\infty$ at behovet før eller siden overstiger ethvert tall – også enhver akkommodasjonsamplitude. Har øyet amplituden $A$ dioptrier, krever skarpt syn at $1/d\leq A$ , altså $d\geq 1/A$ . For $40$ -åringen betyr det $d\geq 1/6.5\approx$0.15\text{\,}\mathrm{m}$$ , og selv modellens største amplitude, $18.5\text{\,}\mathrm{D}$ ved $t=0$ , gir $d\geq 1/18.5\approx$0.054\text{\,}\mathrm{m}$$ . Uansett hvor stor $A$ er, er $1/A$ et positivt tall – det finnes alltid avstander som er for korte.

Langt borte sier $\lim_{d\to\infty}1/d=0$ at behovet dør ut med avstanden. Allerede ved $6\text{\,}\mathrm{m}$ er

A=\frac{1}{6}\approx\underline{\underline{$0.17\text{\,}\mathrm{D}$}},

mindre enn $0.25\text{\,}\mathrm{D}$ -trinnet som prøveglassene – glassene som prøves ut ved en synsprøve – vanligvis er gradert i; et trinn på $0.167\text{\,}\mathrm{D}$ , som er nettopp det $6\text{\,}\mathrm{m}$ ville krevd, finnes ikke i prøveglassettene [7, avsn. VIII.3, s. 11]. Øyet står altså praktisk talt i fjerninnstilling, og $6\text{\,}\mathrm{m}$ er én av prøveavstandene som er i bruk for fjernvisus [7, avsn. VIII.2 og VIII.4, s. 11] – telleren i Snellen-brøker som $6/6$ og $6/18$ fra kapitlene om brøkregning og funksjoner. Behovet blir aldri eksakt null, men $0.17\text{\,}\mathrm{D}$ er klinisk neglisjerbart: grensen er ikke nådd, bare nådd godt nok.

Kontinuitet

Tegner du grafen til et polynom, glir pennen over papiret uten å løftes. Tegner du $h(x)=\left|x\right|/x$ , må du løfte pennen i null. Den første egenskapen – ingen hull, ingen hopp, ingen loddrette asymptoter – kalles kontinuitet, og med grensebegrepet kan vi si presist hva den betyr i hvert enkelt punkt.

Er $f$ kontinuerlig i hvert punkt i et intervall, sier vi at den er kontinuerlig på intervallet. Hvem består testen? Polynomer er kontinuerlige overalt – det var derfor innsettingen i det første eksempelet var lovlig. Sinus og cosinus er også kontinuerlige overalt. Rasjonale funksjoner er kontinuerlige overalt i definisjonsmengden sin; bruddene ligger i nevnerens nullpunkter, nettopp de verdiene kapittelet om rasjonale uttrykk lærte deg å luke ut. Og tangens er diskontinuerlig ved $90°+n⋅180°$ – asymptotepunktene fra trigonometrikapittelet.

Et punkt der en funksjon ikke er kontinuerlig, kalles en diskontinuitet, og eksemplene våre har allerede vist de tre viktigste typene. Hullet til $(x^{2}-1)/(x-1)$ i $x=1$ er en hevbar diskontinuitet: grensen finnes ( $2$ ), det er bare funksjonsverdien som mangler, og definerer vi i tillegg verdien $2$ i punktet, blir den utvidede funksjonen kontinuerlig. Merk presisjonen fra kapittelet om rasjonale uttrykk: forkortingen alene fyller ikke hullet, for $(x^{2}-1)/(x-1)$ og $x+1$ er ikke samme funksjon – hullet må fylles ved et eksplisitt valg av funksjonsverdi. Hoppet til $\left|x\right|/x$ er derimot ikke-hevbart: de ensidige grensene finnes, men er ulike, og ingen enkeltverdi i null kan lime sammen to nivåer. Ikke-hevbar er også den uendelige diskontinuiteten, der en ensidig grense er $\infty$ eller $-\infty$ – tangens ved $90°$ , eller $A=1/d$ inntil $d=0$ .

Oppgaver

Oppgave 6.1.1

La $g(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ .

a)

Regn ut $g(x)$ for $x=1.9$ , $1.99$ og $1.999$ , og for $x=2.1$ , $2.01$ og $2.001$ .
b)

Hvilken verdi ser $g(x)$ ut til å nærme seg når $x$ nærmer seg $2$ ? Skriv svaret med $\lim$ -notasjon.
c)

Er $g$ definert i $x=2$ ? Begrunn svaret.

Løsningsforslag

Oppgave 6.1.1:

a)

Innsetting gir $g(1.9)=\frac{3.61-4}{-0.1}=3.9$ , og tilsvarende for resten: for $x=1.9$ , $1.99$ og $1.999$ er $g(x)=3.9$ , $3.99$ og $3.999$ ; for $x=2.1$ , $2.01$ og $2.001$ er $g(x)=4.1$ , $4.01$ og $4.001$ .
b)

Verdiene presser seg mot samme tall fra begge sider:

$\lim_{x\to 2}g(x)=\underline{\underline{4}}.$

Algebraen bekrefter tabellen: konjugatsetningen gir $g(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$ for $x\neq 2$ , og $x+2\to 4$ når $x\to 2$ .
c)

Nei – innsetting av $x=2$ gir $\frac{0}{0}$ , og divisjon med null er udefinert, så $x=2$ ligger utenfor definisjonsmengden. Grensen finnes likevel: den handler om veien inn mot punktet, ikke om punktet selv.

Oppgave 6.1.2

Regn ut grensene. Faktoriser først der innsetting gir $\frac{0}{0}$ .

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}-25}{x-5}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ (vink: utvid brøken med $\sqrt{x}+2$ og bruk konjugatsetningen)

Løsningsforslag

Oppgave 6.1.2:

a)

Innsetting gir $\frac{0}{0}$ . Konjugatsetningen og forkorting:

$\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}-25}{x-5}=\lim_{x\to 5}\frac{(x+5)(x-5)}{x-5}=\lim_{x\to 5}\,(x+5)=\underline{\underline{10}}.$

Kontroll: $x=5.01$ gir $10.01$ .
b)

Innsetting gir $\frac{0}{0}$ . Telleren faktoriseres med nullpunktene $-2$ og $-3$ : $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$ , så

$\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)(x+3)}{x+2}=\lim_{x\to-2}\,(x+3)=-2+3=\underline{\underline{1}}.$

Kontroll: $x=-1.99$ gir $1.01$ .
c)

Innsetting gir $\frac{0}{0}$ . Utvid med $\sqrt{x}+2$ ; konjugatsetningen gjør telleren til $x-4$ :

$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}\quad\text{for }x\neq 4,$

og dermed

$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\underline{\underline{\frac{1}{4}}}.$

Kontroll: $x=4.01$ gir $0.2498$ .

Oppgave 6.1.3

Akkommodasjonsbehovet er $A=1/d$ dioptri når objektet står i avstanden $d$ meter fra øyet.

a)

Regn ut $A$ for $d=0.50$ , $0.25$ , $0.10$ , $0.05$ og $0.01\text{\,}\mathrm{m}$ . Hva skjer med behovet når avstanden krymper mot null?
b)

Skriv observasjonen i a) med $\lim$ -notasjon. Hvorfor må grensen tas ensidig?
c)

En ung voksen har akkommodasjonsamplitude på om lag $10\text{\,}\mathrm{D}$ [44]. Hvor nær øyet kan hun se skarpt? Bruk svaret til å forklare hvorfor ikke noe øye – uansett amplitude – kan se skarpt helt inntil hornhinnen.
d)

Finn $\lim_{d\to\infty}A$ , og forklar med én setning hva grensen betyr klinisk.

Løsningsforslag

Oppgave 6.1.3:

a)

$A=1/d$ gir $2\text{\,}\mathrm{D}$ , $4\text{\,}\mathrm{D}$ , $10\text{\,}\mathrm{D}$ , $20\text{\,}\mathrm{D}$ og $100\text{\,}\mathrm{D}$ . Hver halvering av avstanden dobler behovet – det vokser over alle grenser når $d$ krymper mot null.
b)

$\lim_{d\to 0^{+}}\frac{1}{d}=\infty.$

Grensen må tas ensidig fordi bare positive avstander gir mening: objektet kan ikke stå i negativ avstand fra øyet.
c)

Skarpt syn krever $1/d\leq 10$ , altså $d\geq 1/10$ ; hun kan se skarpt inn til

$d=\underline{\underline{$0.10\text{\,}\mathrm{m}$}},$

ti centimeter fra øyet. Kontroll: $A(0.10)=1/0.10=$10\text{\,}\mathrm{D}$$ , nøyaktig amplituden. Med amplitude $A$ blir den korteste avstanden $1/A$ – et positivt tall uansett hvor stor $A$ er. Siden behovet vokser over alle grenser inntil hornhinnen, finnes det alltid avstander som er for korte.
d)

$\lim_{d\to\infty}A=\underline{\underline{$0\text{\,}\mathrm{D}$}}$

– jo lenger unna objektet står, desto mindre akkommodasjon kreves, og langt borte er behovet klinisk neglisjerbart.

Oppgave 6.1.4

En medstudent påstår: « $\frac{x^{2}-1}{x-1}$ er det samme som $x+1$ , så funksjonen er kontinuerlig i $x=1$ .» Hva er riktig og hva er galt i påstanden – og hva måtte du ha gjort for å få en funksjon som faktisk er kontinuerlig i $x=1$ ?

Løsningsforslag

Oppgave 6.1.4: Det riktige i påstanden: for alle $x\neq 1$ er $\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1$ , og grensen finnes derfor: $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ . Det gale: forkortingen endrer ikke definisjonsmengden, så de to er ikke samme funksjon – $\frac{x^{2}-1}{x-1}$ er udefinert i $x=1$ , der innsetting gir $\frac{0}{0}$ . Dermed svikter det første av de tre kravene i kontinuitetsdefinisjonen, og funksjonen er ikke kontinuerlig i $x=1$ ; at grensen finnes, er ikke nok. Diskontinuiteten er hevbar, men hullet må fylles ved et eksplisitt valg av funksjonsverdi lik grensen:

\tilde{f}(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}&\text{for }x\neq 1,\\ 2&\text{for }x=1.\end{cases}

Da er $\tilde{f}(1)=2$ definert, grensen er fortsatt $2$ , og de to er like – alle tre kravene er oppfylt, så $\tilde{f}$ er kontinuerlig i $x=1$ .

Oppgave 6.1.5

Konstruer et rasjonalt uttrykk som er udefinert i $x=5$ , men som har grenseverdi $8$ når $x\to 5$ . Vis med utregning at uttrykket ditt oppfyller begge kravene, og formuler deretter oppskriften din generelt, slik at en medstudent kan lage et hull i et hvilket som helst punkt $a$ med en hvilken som helst grenseverdi $L$ .

Løsningsforslag

Oppgave 6.1.5: Ett mulig svar: start med den konstante funksjonen $8$ og lag et hull i $x=5$ ved å gange med brøken $\frac{x-5}{x-5}$ :

f(x)=\frac{8(x-5)}{x-5}.

Begge kravene sjekkes. Udefinert i $x=5$ : innsetting gir $\frac{0}{0}$ , og divisjon med null er udefinert. Grenseverdi $8$ : for $x\neq 5$ forkortes brøken til $f(x)=8$ , så

\lim_{x\to 5}f(x)=8.

Kontroll ved innsetting nær punktet: $x=5.001$ gir $\frac{8\cdot 0.001}{0.001}=8$ . Den generelle oppskriften: for et hull i punktet $a$ med grenseverdi $L$ , ta

f(x)=\frac{L(x-a)}{x-a}.

Faktoren $x-a$ i nevneren gjør uttrykket udefinert i $a$ ; overalt ellers forkortes den bort og lar verdien $L$ stå igjen, så grensen er $L$ . Samme knep virker på et hvilket som helst uttrykk med grenseverdi $L$ i $a$ – konjugateksemplene i seksjonen, som $\frac{x^{2}-25}{x-5}$ , er nettopp slike hull i forkledning.

Alle løsningsforslag til kapittel 6