Kapittel 5 · Trigonometri og geometri · 5.9

*Sfærisk geometri

Denne siste seksjonen er et frivillig dypdykk – asterisken i tittelen betyr at du trygt kan hoppe over den ved første gjennomlesning. Alt vi har bygd i kapittelet har levd i planet eller på flate figurer. Men synsfeltet krummer seg som en kuleflate rundt øyet, og jorden er en kule; på slike flater svikter den plane geometrien du kjenner. Her ser vi kort hva som endrer seg – og, like viktig, når det ikke spiller noen rolle, slik at de plane formlene fra resten av kapittelet fortsatt er de riktige å bruke.

Geometri på en kuleflate

På et flatt ark er den korteste veien mellom to punkter en rett linje. På en kuleflate finnes ingen rette linjer – alt krummer. Det nærmeste vi kommer, er en storsirkel: skjæringen mellom kula og et plan gjennom kulas sentrum. Ekvator er en storsirkel, og det er hver meridian som løper fra pol til pol; men en breddesirkel nord for ekvator er det ikke, for planet gjennom den treffer ikke sentrum. Fordi en storsirkel har samme radius som kula selv, er den den størst mulige sirkelen du kan tegne på flaten – derav navnet.

Storsirkelen spiller på kula nøyaktig den rollen den rette linja spiller i planet: den korteste veien mellom to punkter på kuleflaten følger alltid en storsirkelbue – den korteste av de to buene punktene deler storsirkelen i. Vi kaller en slik korteste-vei-kurve kulas «rette linje». Og som to punkter i planet bestemmer nøyaktig én rett linje, bestemmer to punkter på kula (så lenge de ikke ligger rett overfor hverandre) nøyaktig én storsirkel.

Figur 5.19: Storsirkelbuen mellom

P

Q

– kuleflatens motstykke til den rette linja.

Sfæriske trekanter og eksess

Tegn tre punkter på kula og bind dem sammen med storsirkelbuer. Resultatet er en sfærisk trekant: tre hjørner, tre sider som er storsirkelbuer og tre vinkler. Alt ser lokalt kjent ut, men én ting er grunnleggende annerledes. Husk fra seksjonen om sinussetningen og cosinussetningen at vinklene i en plan trekant alltid summerer til nøyaktig $180°$ . På kula holder ikke det: vinkelsummen i en sfærisk trekant er alltid større enn $180°$ . Sidene buler utover, og vinklene åpner seg mer enn i planet.

Hvor mye summen overstiger $180°$ , er et mål i seg selv. Vi kaller det den sfæriske eksessen $E$ :

E=α+β+γ−180°,

der $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ er de tre vinklene. Eksessen er det som skiller kula fra planet – i planet er den null. Den er heller ikke bare et kuriosum: arealet av en sfærisk trekant på en kule med radius $R$ er

S=R^{2}E,

med $E$ målt i radianer. Arealet er altså proporsjonalt med eksessen – jo mer trekanten buler, desto større flate dekker den.

Figur 5.20: Sidene buler utover, og vinkelsummen blir derfor større enn

180°

Eksempel 5.9.1

En sfærisk trekant har vinklene $α=80°$ , $β=70°$ og $γ=60°$ . Finn vinkelsummen og den sfæriske eksessen.

Løsning: Vi legger sammen de tre vinklene og trekker fra $180°$ :

α+β+γ=80°+70°+60°=210°,

E=210°−180°=30°.

Summen ble større enn $180°$ , som den må på en kule; eksessen på $30°$ måler hvor «kuleaktig» – og dermed hvor stor – trekanten er. En plan trekant med disse tre vinklene finnes ikke, for der er summen alltid nøyaktig $180°$ .

Det finnes ett tilfelle verdt å feste seg ved, for det gjør hele forskjellen mellom kule og plan konkret. Start ved nordpolen. Følg én meridian rett ned til ekvator; gå $90°$ langs ekvator; følg en ny meridian tilbake til polen. Hver meridian møter ekvator vinkelrett, så begge hjørnene på ekvator er rette vinkler. Og fordi de to meridianene er $90°$ fra hverandre, er også vinkelen ved polen rett. Trekanten har altså tre rette vinkler – umulig i planet, der de tre vinklene til sammen bare rekker til $180°$ .

Eksempel 5.9.2

Vis at trekanten med tre rette vinkler har sfærisk eksess $90°$ , og bruk symmetri til å finne hvor stor brøkdel av kuleflaten den dekker.

Løsning: Med tre rette vinkler er $α=β=γ=90°$ , så

E=90°+90°+90°−180°=90°.

For brøkdelen tenker vi geometrisk framfor å regne areal. Fire slike trekanter dekker hele den nordlige halvkula (fire kvartsegmenter av ekvator, hver med sin spiss i nordpolen), og fire til dekker den sørlige. Til sammen dekker åtte like trekanter hele kula, så hver dekker $\tfrac{1}{8}$ . Kontrollen bekrefter det: eksessen i radianer er $\tfrac{\pi}{2}$ , og arealformelen gir brøkdelen $\tfrac{E}{4\pi}=\tfrac{\pi/2}{4\pi}=\tfrac{1}{8}$ . Eksess og areal peker på samme svar – akkurat som proporsjonaliteten $S=R^{2}E$ lover.

Når trenger du dette – og når ikke?

Her er den beroligende nyheten for resten av kapittelet. En liten sfærisk trekant ser nesten plan ut. Fordi arealet er proporsjonalt med eksessen, betyr en liten flate en liten eksess – og en liten eksess betyr en vinkelsum svært nær $180°$ , umulig å skille fra en plan trekant. Det er dette som rettferdiggjør at vi behandlet hornhinnen med plane og paraksiale formler i pilhøyde-regningen: over et lite utsnitt av en krum flate er avviket fra planet forsvinnende.

Vi kan gjøre «forsvinnende» konkret ved å sammenligne den rette korden mellom to punkter med storsirkelbuen. For en vinkelavstand $\theta$ (i radianer) på en kule med radius $R$ er buen $R\theta$ og korden $2R\sin(\theta/2)$ . Forholdet mellom dem forteller hvor mye vi taper ved å erstatte den krumme flaten med et plan:

vinkelavstand	korde $/$ bue
$1°$	$0.99999$
$10°$	$0.99873$
$30°$	$0.98862$

Ved $1°$ er korde og bue like til fem desimaler; ved $10°$ skiller de bare rundt én promille. Først rundt $30°$ begynner avviket – vel én prosent – å bli merkbart. For de små utsnittene paraksial optikk arbeider med, er kula og planet altså praktisk talt det samme.

Men ett sted i synsfaget lar kulegeometrien seg ikke unngå: synsfeltet. Husk fra kapittelet om vektorer og koordinatsystemer at et synsfelt måles på en kuleflate – et perimeter er formet som en bolle med øyet i sentrum, og testpunktene ligger på flaten. Goldmann-perimeteret har radius $R=$30\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ , og nyere automatiserte perimetre har mindre boller [43, kap. 6]. Hvert testpunkt beskrives ved sin eksentrisitet – vinkelavstanden fra fikseringsretningen – og sin meridian. Det er nøyaktig kulekoordinatene fra det stjernemerkede stoffet i forrige kapittel: eksentrisiteten er polarvinkelen $\theta$ , meridianen er asimut $\varphi$ , og radien er fast.

Da blir vinkelavstander i synsfeltet buelengder på bollen. Husk buelengdeformelen $s=R\theta$ : en vinkelavstand på $\theta$ radianer spenner en storsirkelbue $R\theta$ på flaten – en direkte bro fra «grader i synsfeltet» til «centimeter på bollen». Men her lurer en felle: to punkter er skilt med differansen i eksentrisitet bare når de ligger på samme meridian, for da ligger de på én storsirkel gjennom fikseringspunktet. Ligger de på ulike meridianer, er den sfæriske avstanden mindre enn en naiv subtraksjon av meridianvinkler skulle tilsi, som den siste oppgaven viser.

Eksempel 5.9.3

På et Goldmann-perimeter (kuleflate, $R=$30\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ ) ligger to testpunkter på samme meridian, ved eksentrisitet $15°$ og $45°$ fra fikseringsretningen. Hvor langt fra hverandre er de – i grader langs storsirkelen, og i centimeter langs bollen?

Løsning: Fordi punktene deler meridian, ligger de på én storsirkel gjennom fikseringspunktet, og vinkelavstanden er differansen i eksentrisitet:

θ=45°−15°=30°=π6rad.

Buelengden følger av $s=R\theta$ med $\theta$ i radianer og $R=$30\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ :

s=30\cdot\frac{\pi}{6}=5\pi\approx\underline{\underline{$15.7\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$}}.

Tretti graders forskjell i eksentrisitet svarer altså til en drøy desimeter langs bollen – men bare fordi punktene deler meridian.

Oppgaver

Oppgave 5.9.1

Et Goldmann-perimeter er en kuleflate med radius $R=$30\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ om øyet.

a)

En sfærisk trekant har vinklene $100°$ , $90°$ og $60°$ . Finn eksessen, og forklar hvorfor en plan trekant ikke kan ha slike vinkler.
b)

To testpunkter ligger på samme meridian, ved eksentrisitet $30°$ og $60°$ . Gjør om til radianer og bruk $s=R\theta$ til å finne buelengden ut til hvert av dem, og buen mellom de to.

Løsningsforslag

Oppgave 5.9.1:

a)

Vinkelsummen er $100°+90°+60°=250°$ , så eksessen er

$E=250°−180°=70°.$

En plan trekant kan ikke ha disse vinklene, for i planet er vinkelsummen alltid nøyaktig $180°$ – her overstiger den $180°$ med hele $70°$ , noe bare en kuleflate tillater.
b)

Omregnet til radianer er $30°=π6$ og $60°=π3$ . Buelengdeformelen $s=R\theta$ med $R=$30\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$$ gir

$s_{1}=30\cdot\frac{\pi}{6}=5\pi\approx\underline{\underline{$15.7\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$}},\qquad s_{2}=30\cdot\frac{\pi}{3}=10\pi\approx\underline{\underline{$31.4\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$}}.$

Fordi punktene deler meridian, er vinkelavstanden mellom dem differansen $60°−30°=30°=π6$ , så buen mellom dem er

$s=30\cdot\frac{\pi}{6}=5\pi\approx\underline{\underline{$15.7\text{\,}\mathrm{c}\mathrm{m}$}}.$

Kontroll: buene ligger på samme storsirkel, så differansen $s_{2}-s_{1}=10\pi-5\pi=5\pi$ gir det samme.

Oppgave 5.9.2

Start ved nordpolen, følg en meridian ned til ekvator, gå $90°$ langs ekvator og følg en ny meridian tilbake.

a)

Forklar hvorfor alle tre vinklene er rette, og finn eksessen.
b)

Hvor mange like trekanter dekker kula? Bruk det til å finne brøkdelen, og bekreft at arealet er proporsjonalt med eksessen.

Løsningsforslag

Oppgave 5.9.2:

a)

Hver meridian møter ekvator vinkelrett, så begge hjørnene på ekvator er rette. Og fordi turen langs ekvator er $90°$ , står de to meridianene $90°$ fra hverandre – vinkelen ved polen er også rett. Med $α=β=γ=90°$ blir eksessen

$E=270°−180°=90°.$
b)

Fire slike trekanter – fire kvartsegmenter av ekvator, hver med spiss i nordpolen – dekker den nordlige halvkula, og fire til dekker den sørlige. Åtte like trekanter dekker altså hele kula, så hver dekker brøkdelen $\underline{\underline{\tfrac{1}{8}}}$ . Arealformelen bekrefter proporsjonaliteten: $E=\tfrac{\pi}{2}$ i radianer gir $S=R^{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}$ , og delt på hele kulearealet blir brøkdelen $\tfrac{E}{4\pi}=\tfrac{\pi/2}{4\pi}=\tfrac{1}{8}$ – symmetriargumentet og $S=R^{2}E$ peker på samme svar.

Oppgave 5.9.3

På en kule med radius $R$ er korden mellom to punkter $2R\sin(\theta/2)$ og storsirkelbuen $R\theta$ , med $\theta$ i radianer.

a)

Regn ut forholdet korde $/$ bue for $θ=10°$ og $θ=30°$ , med fire desimaler.
b)

En optiker behandler hornhinnen lokalt som et plan. Er det forsvarlig for små utsnitt, og når begynner avviket å bety noe?
c)

Hvorfor er «liten trekant» og «vinkelsum nær $180°$ » to sider av samme sak?

Løsningsforslag

Oppgave 5.9.3:

a)

Forholdet er $\dfrac{2R\sin(\theta/2)}{R\theta}=\dfrac{2\sin(\theta/2)}{\theta}$ med $\theta$ i radianer. For $θ=10°=0.1745$ rad er $sin5°=0.0872$ , så forholdet blir

$\frac{2\cdot 0.0872}{0.1745}\approx\underline{\underline{0.9987}}.$

For $θ=30°=0.5236$ rad er $sin15°=0.2588$ , så

$\frac{2\cdot 0.2588}{0.5236}\approx\underline{\underline{0.9886}}.$

Begge stemmer med tabellen i teksten.
b)

Ja, for små utsnitt er det forsvarlig: ved $10°$ skiller korde og bue bare rundt én promille, langt under det som betyr noe i praktisk måling. Først rundt $30°$ når avviket omtrent én prosent og begynner å bli merkbart – det er der den plane tilnærmingen må brukes med omtanke.
c)

Arealet er proporsjonalt med eksessen, $S=R^{2}E$ . En liten trekant har lite areal, dermed liten eksess – og siden vinkelsummen er $180°+E$ , ligger den da tett ved $180°$ . «Liten trekant» og «vinkelsum nær $180°$ » er derfor samme utsagn lest gjennom $S=R^{2}E$ : krymper flaten, krymper avviket fra planet i samme takt.

Oppgave 5.9.4

En student tror avstanden mellom to synsfeltpunkter alltid er meridiandifferansen. To testpunkter har eksentrisitet $30°$ , på meridianene $0°$ og $90°$ .

a)

Beskriv hvert punkt som en retning på enhetskula (kulekoordinatene fra kapittel 4: $r=1$ , polarvinkel $=$ eksentrisitet, asimut $=$ meridian), og finn $(x,y,z)$ .
b)

Vinkelavstanden er gitt ved $\cos\sigma=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}$ . Regn ut $\sigma$ , og avgjør om gjetningen på $90°$ holder.
c)

Lag din egen regel for når meridiandifferansen er den sfæriske avstanden, og gi et punktpar der den gir svaret direkte.

Løsningsforslag

Oppgave 5.9.4:

a)

Med $r=1$ , polarvinkel lik eksentrisiteten $30°$ og asimut lik meridianen gir omregningsformlene $x=\sin\theta\cos\varphi$ , $y=\sin\theta\sin\varphi$ , $z=\cos\theta$ . Punktet på meridianen $0°$ :

$u→=(sin30°cos0°,sin30°sin0°,cos30°)=(12, 0,32),$

og punktet på meridianen $90°$ :

$v→=(sin30°cos90°,sin30°sin90°,cos30°)=(0,12,32).$
b)

Innsetting gir

$\cos\sigma=\tfrac{1}{2}\cdot 0+0\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{3}{4},$

så $σ=arccos(34)≈41.4°$ . Gjetningen på $90°$ holder ikke: begge punktene ligger bare $30°$ fra fikseringsretningen og er derfor langt nærmere hverandre enn meridianvinklene antyder. Kontroll med korden: avstanden mellom punktene er $\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\approx 0.707$ , og $2\sin(\sigma/2)=0.707$ gir samme $σ≈41.4°$ .
c)

Regelen: meridiandifferansen er den sfæriske avstanden nøyaktig når begge punktene har eksentrisitet $90°$ – da ligger de på storsirkelen som har fikseringsretningen som pol, og buen mellom dem spennes av asimutdifferansen alene. Et punktpar der den gir svaret direkte: eksentrisitet $90°$ på meridianene $0°$ og $90°$ gir $\vec{u}=(1,0,0)$ og $\vec{v}=(0,1,0)$ , så $\cos\sigma=0$ og $σ=90°$ – lik meridiandifferansen. Ethvert annet par med eksentrisitet $90°$ duger like godt.

Alle løsningsforslag til kapittel 5